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口算圆锥曲线第二讲



第二讲:如何尼玛求最值

圆锥曲线运算体系: 直曲联立求韦达 条件代数消坐标 得到系数求定最
? 核心公式: “6、3、2、1”法:口诀: “前前后后两两中间” 。

1:1 反比例,口诀: “找中心,判单调(正增负减) ,画图” 。

一比一反比例,二比二行列式。 德尔塔: a 2 A2 ? b2 B 2 ?

C 2 2 pB2 ? 4 AC (抛物线) 焦点纵轴双曲线

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1.【2007 全国Ⅰ卷理科】 平面直接坐标系中,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 , 过 F1 的直线交椭 3 2

圆与 B 、 D ,过 F2 的直线交椭圆与 A 、 C ,且 AC ? BD ,垂足为 P 。 (1)设 P 点的坐标为 ?x0 , y0 ? ,证明
2 x0 y2 ? 0 ?1; 3 2

(2)求四边形 ABCD 的面积的最小值。

2.【2005 全国Ⅱ卷理科】 P、Q、M、N 四点都在椭圆 x ?
2
? ?
?

? ? y2 ? 1 上,F 为椭圆在 y 轴正半轴的焦点,已知 PF 与 FQ 2
?

共线, MF 与 FN 共线,且 PF ? MF ? 0 . 求四边形 PMQN 的面积最小值和最大值.

3.【2009 年全国Ⅰ卷理科压轴填空】 若

?
4

?x?

?
2

,则函数 y ? tan 2x tan x 的最大值为。
3

4.【2007 重庆文科 12 压轴选择】 已知以 F1 ?? 2,0?, F2 ?2,0? 为焦点的椭圆与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 有且只有一个焦点,则椭圆 的长轴长为:

A.3 2 B.2 6 C.2 7 D.4 2

第 2 页 共 2 页

5.【2014 年福建卷理科】 已知双曲线 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线分别为 l1 : y ? 2 x, l2 : y ? ?2 x . a 2 b2
l

y

l1 y=2x

A

O B
y=-2x l2

x

(1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图, O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1 , l2 于 A, B 两点( A, B 分别在第一,四象 限) , 且 ?OAB 的面积恒为 8, 试探究: 是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E ? 若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由.

6. 【2012 广东理科卷】 在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C1: 点 P(0,1)在 C1 上。 (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2: y ? 4 x 相切,求直线 l 的方程.
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1(-1,0) ,且 a 2 b2

总结:分式最值分两种
一比一和一比二 德尔塔的应用广
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部分题参考答案: 3.-8 【解析】令 tan x ? t , ?

?
4

?x?

?
2

?t ? 1,

? y ? tan 2 x tan 3 x ?

2 tan 4 x 2t 4 2 2 2 ? ? ? ? ? ?8 。 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ? tan x 1 ? t ? ( 2? ) ? ? t4 t2 t 2 4 4

5.(1) 5 ;(2)存在 【解析】 试 题 分 析 : (1) 已 知 双 曲 线 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 两 条 渐 近 线 分 别 为 a 2 b2

b ? 2 即可求得结论. a (2)首先分类讨论直线 l 的位置.由直线 l 垂直于 x 轴可得到一个结论.再讨论直线 l 不垂直于 1 x 轴,由 ?OAB 的面积恒为 8,则转化为 S ?OAB ? OC y1 ? y2 .由直线与双曲线方程联立以 2 l 及韦达定理,即可得到直线 有且只有一个公共点.

l1 : y ? 2 x, l2 : y ? ?2 x ,所以根据

试 题 解 析 : (1) 因 为 双 曲 线 E 的 渐 近 线 分 别 为 和 y ? 2 x, y ? ?2 x . 所 以

b c2 ? a2 ? 2,? ? 2,? c ? 5a ,从而双曲线 E 的离心率 e ? 5 . a a
(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .设直线 l 与 x 轴相交于点 C. a 2 4a 2

当 l ? x 轴时 , 若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点 , 则 OC ? a, AB ? 4a , 又因为

?OAB 的面积为 8, 所以

1 1 OC AB ? 8,? a ? 4a ? 8,? a ? 2 . 此时双曲线 E 的方程为 2 2

x2 y 2 ? ?1. 4 16
若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为

x2 y 2 ? ? 1 .以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂 4 16

x2 y 2 ? ? 1 也满足条件. 直时,双曲线 E: 4 16
设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,依题意,得 k>2 或 k<-2.则 C ( ?

m , 0) , 记 Ax (, y, ) ( ,y 1 1 Bx 2) k

2

.

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由 ?

? y ? 2x 2m 2m 1 , 得 y1 ? , 同 理 得 y2 ? . 由 S ?OAB ? OC y1 ? y2 得 , 2?k 2?k 2 ? y ? kx ? m

1 m 2m 2m ? ? ? ? 8 即 m2 ? 4 4 ? k 2 ? 4(k 2 ? 4) . 2 k 2?k 2?k

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y2 得 , (4 ? k 2 ) x2 ? 2kmx ? m2 ?16 ? 0 . 因 为 4 ? k 2 ? 0 , 所 以 ?1 ? ? ? 4 16

? ? 4k 2 m2 ? 4 ( 4? k2

2 ) m( ?

2 ,4 又因 1 ? 6 )? k 2 1 6m ? ( ? 为 m21 ?6 4(k ) 2 ? 4) . 所 以

? ? 0 ,即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点.
因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 16

考点:1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示. 6. (1)

x2 ? y2 ? 1 2

(2)l 的方程为 y ?

2 2 x? 2 或 y ?? x? 2 2 2

2 【解析】(1)由题意知: c ? 1 , b ? 1 ,所以 a ? 2 ,故椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)由题意知, 直线 l 的斜率必存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,则 由?

? y ? kx ? m ? y ? 4x
2

消 x 得: ky ? 4 y ? 4m ? 0 ,因为直线 l 和抛物线 C2: y ? 4 x 相切,
2 2

所以 k ? 0 且 ? ? 16 ? 16km ? 0 ,解得 km ? 1 ???①,

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 消 y 得: (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 ,即 2 ? ? y ?1 ?2

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4x ? 2m2 ? 2 ? 0 ,因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以
? ? 0 ,整理得: m2 ? 2k 2 ? 1 ???②,解①②得: m 2 ? 2 ,即 m ? 2, k ?
2 ? 2 2 ,所以直线 l 的方程为 y ? x? 2 或 y ?? x? 2 . 2 2 2 2 或 2

m ? ? 2, k ?

考点:本题考查椭圆与抛物线的方程,考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系,考查同 学们分析问题、解决问题的能力.

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