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【高考复习方案】专题2-三角函数与解三角形-2015年高三数学(理科)二轮复习-浙江省专用



专题二

三角函数、三角恒等变换 与解三角形
三角函数的图像与性质 三角恒等变换与解三角形

第5讲 第6讲

第7讲

平面向量

核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究

第5讲 三角函数的图像与性质

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第5讲 三角函数的图像与性质

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 三角函数 的定义 关键词: 终边、 三角函数定义,如 ①.

1.[2014· 全国卷改编] 已知角 α 的终边经过点(-4, 3), 则 cos α=① ____________.

4 [答案] -5
[解析] 根据题意,得 cos α= -4 4 2 2=-5. (-4) +3

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第5讲

三角函数的图像与性质

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 同角三角 函数关系 关键词: 同角、 三角函数关系,如 ②.

2.[2013· 全国卷改编] 已知 α 是第二象限角, 5 sin α=13,则cos α=② ________.

12 [答案] -13
[解析] cos α=- 1-sin2 α 12 =- . 13
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第5讲

三角函数的图像与性质

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 诱导公式 关键词:三角 函数符号、诱导公 式,如③.

3.[2013· 广东卷改编 ] 已知 ?5π ? 1 ? ? sin 2 +α = 5 , 则 cos α=③ ? ? ________.

1 [答案] 5
[解析] 1 cos α= 5.
?π ? ?5π ? sin? 2 +α?= sin?2+α?= ? ? ? ?

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第5讲

三角函数的图像与性质

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识


4.[2014·全 国 卷 改 编 ]

, 则 a,b,c 的大小关系是 ________.

[答案] c>b>a

? 三角函数 单调性 关键词:三角 函数、单调性,如 ④.

[解析] 因为 b=cos 55° = sin 35° >sin 33° ,所以 b>a.因为 cos 35° <1, 1 sin 35° 所以cos 35° >1,所以cos 35° >sin 35° , sin 35° 所以 c=tan 35° = >sin 35° ,所 cos 35° 以 c>b,所以 c>b>a.
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第5讲

三角函数的图像与性质

体验高考
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主干知识
? 三角函数 的周期性 关键词:周期 函数、 最小正周期, 如⑤.

5.[2014· 陕西卷改编] 函数 f(x) ? π? = cos ?2x- 6? 的 最小正周期⑤ 是 ? ? ________.
[答案] π

[解析] 已知函数 y=Acos(ωx+ 2π φ)(A>0,ω>0)的周期为 T= ,故 ω 2π 函数 f(x)的最小正周期 T= 2 =π.

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第5讲

三角函数的图像与性质

体验高考
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主干知识
? 三角函数 的最值 关键词:定义 域、值域、最值, 如⑥.

6.[2013· 天津卷改编 ] 函数 f(x) ? ? π? π? = sin ?2x- ? 在 区 间 ?0, ? 上 的 4? 2? ? ? 最小值 是________.
2 [答案] - 2
[ 解析] 因为


? π? x∈ ?0, ? ,所以 2? ?

π ? π 3π? π π ? ? 2x- ∈ - , ,当 2x- =- 4 ? 4 4? 4 4 2 时,f(x)取得最小值- 2 .
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三角函数的图像与性质

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 三角函数 的图像与奇偶性 关键词: 图像、 对称性、奇偶性, 三角函数图像变 换,如⑦⑧.

7. [2014· 安徽卷] 若将函数 f(x) ? π? =sin?2x+ ?的图像向右平移 φ 个单 4? ? 位,所得图像关于 y轴对称⑦ ,则 φ 的最小正值是
3π [答案] 8

________.

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第5讲

三角函数的图像与性质

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[解析] 将 到 y=sin

? π? f(x)=sin?2x+4?的图像向右平移 ? ?

φ 个单位, 得 y 轴对

? ? π ?2x+ -2φ?的图像,由该函数的图像关于 4 ? ? ?π ? ? -2φ?=± 1,即 ?4 ?

称,可知 sin

sin

? π? ?2φ- ?=± 1,故 4? ?

π 2φ-4=

π kπ 3π kπ+2,k∈Z,即 φ= 2 + 8 ,k∈Z,所以当 φ>0 时,φmin 3π = . 8

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第5讲

三角函数的图像与性质

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

8.[2014· 浙江卷改编] 为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的 图 像 , 可 以 将 函 数 y = 2 cos 3x 的 图 像 向右平移⑧ ________.
π [答案] 个单位 12
[ 解 析 ] y = sin 3x + cos 3 x = 2 cos
? ? ? π? ? ? ?? cos?3?x- ??,所以将函数 12?? ? ?

? π? ? ? 3 x - ? 4? ? ?

= 2

π y= 2cos 3x 的图像向右平移 个 12

单位可以得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像.

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第5讲

三角函数的图像与性质

—— 教师知识必备 ——
知识必备 三角函数
任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y)时, 定义 三 角 函 数 基 本 问 题 同角 三角 函数 关系 诱导 公式 360° ± α,180° ± α,-α,90° ± α,270° ± α, “奇变偶不变,符号看象限” sin α sin2α+cos2α=1,cos α=tan α y sin α=y,cos α=x,tan α=x

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第5讲

三角函数的图像与性质

—— 教师知识必备 ——
值域 三 角 函 三 数 角 的 函 图 y=cos x 数 像 与 性 质 y =tan x
π? ? ? x ? k π? ? 2? ?

周期 2kπ

单调区间 增区间 ?? 2 ? 2k π, 2 ? 2k π?
3π ?π ? 减区间 ? 2 ? 2k π, 2 ? 2k π? ? ?
? π ? π ? ?

奇偶 性 奇函 数

对称 中心 (kπ, 0)(k∈ Z)
? ? ? ? k? ? , 0 ? 2 ? ?

对称轴 x=kπ π +2 (k∈Z) x=kπ (k∈Z)

y=sin x (x∈R)

[- 1,1]

(k∈Z 且 2kπ

k≠0) (k∈Z) 增区间[-π+2kπ, 偶函 数 减区间[2kπ,2kπ+ [- 1,1] (k∈Z 2kπ] 且 kπ R k≠0) π](k∈Z)

(x∈R)

(k∈Z)

(k∈Z 增区间 ? ? ? k π, ? k π ? 奇函 ? 2 ,0 ? 2 ? ? ? 2 ? 且 数 (k∈Z) (k∈Z) k≠0)

? π

π

?

?kπ

?



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第5讲

三角函数的图像与性质

—— 教师知识必备 ——
平移 变换 上下平移 左右平移 y=f(x)的图像平移|k|得y=f(x)+k的图像, k>0向上,k<0向下 y=f(x)的图像平移|φ|得y=f(x+φ)的图像, φ>0向左,φ<0向右 把y=f(x)图像各点的横坐标变为原来ω倍得 伸缩 变换 y轴方向 中心对称 轴对称 x轴方向
?1 ? y=f ?ω x? 的图像 ? ?

三 角 函 数

图 像 变 换

把y=f(x)图像各点的纵坐标变为原来的A倍得 y=Af(x)的图像 y=f(x)图像关于点(a,b)对称的图像的解析式是 y=2b-f(2a-x) y=f(x)图像关于直线x=a对称的图像的解析式 是y=f(2a-x)

对称 变换

注:y=Asin(ωx+φ)的图像可由表格中一般图像的变换规则得出.
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第5讲

三角函数的图像与性质

? 考点一 三角函数的概念、同角三角函数关系、 诱导公式 三角函数 的概念 ——根据三角函数的概念求三角函数值

考 点 考 向 探 究

同角三角 函数关系

——利用同角三角函数关系求值

诱导公式 ——利用诱导公式求值、化简 题型:选择、填空 分值:5 分 难度:中等 热点:利用三角函数定义、同角三角函数关系和诱导 公式求值
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第5讲

三角函数的图像与性质

考 点 考 向 探 究

? π? 3 π 例 1 (1)已知-2<θ<0,sin?θ+2?=5,则 tan(π-θ)的 ? ? 值为( ) 4 3 3 4 A.-3 B.-4 C.4 D.3 ? 3π 3π? (2)已知点 P?sin 4 ,cos 4 ?在角 θ 的终边上(角 θ 的顶 ? ? ? π? 点为原点,始边为 x 轴非负半轴 ) ,则 tan ?θ+3? 的值为 ? ? __________.

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第5讲

三角函数的图像与性质

[答案] (1)D

(2)2- 3
? π? 3 3 π ?θ+ ?= , 所以 cos θ= . 又- <θ<0, 2? 5 5 2 ?

[解析] (1)因为 sin

考 点 考 向 探 究

4 sin θ 4 所以 sin θ=- ,所以 tan(π-θ)=-tan θ=- = . 5 cos θ 3 3π cos 4 (2) 根据三角函数定义,得 tan θ = =-1 ,所以 3π sin 4 π ? π? tan θ+tan 3 -1+ 3 tan?θ+ ?= = =2- 3. 3? π 1+ 3 ? 1-tan θtan 3

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第5讲

三角函数的图像与性质

考 点 考 向 探 究

[小结]在单位圆中定义的三角函数,当角顶点在坐标 原点、角的始边在 x 轴正半轴上时,角的终边与单位圆交 点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值.如 果不是在单位圆中定义的三角函数, 则只需将角的终边上 点的坐标除以该点到坐标原点的距离可将其转化为单位 圆上定义的三角函数.

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第5讲

三角函数的图像与性质

考 点 考 向 探 究

变式题 (1)已知函数 y=loga(x-1)+3(a>0 且 a≠1)的图 像恒过定点 P,若角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正 半轴重合,终边经过点 P,则 sin2α-sin 2α 的值为( ) 5 5 3 3 A. B.- C. D.- 13 13 13 13 π (2) 已知 2 < α < π , 3sin 2α = 2cos α ,则 cos(α - π) 等于 ( ) 2 6 2 2 3 2 A.3 B. 4 C. 3 D. 6

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第5讲

三角函数的图像与性质

[答案] (1)D

(2)C

考 点 考 向 探 究

[解析] (1)根据已知可得点 P 的坐标为(2,3),根据三 3 2 角函数定义,可得 sin α= ,cos α= ,所以 sin2α- 13 13 ? 3 ?2 3 2 3 ? ? 2 sin 2α=sin α-2sin αcos α=? ? -2× 13× 13=-13. 13 ? ? π 1 π (2)由2<α<π,3sin 2α=2cos α,得 sin α=3.因为2<α ?1?2 2 2 ? ? <π,所以 cos α=- 1- 3 =- 3 ,故 cos(α-π)=- ? ? 2 cos α=3 2.

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第5讲

三角函数的图像与性质

?

考点二

函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式

函数 y=Asin(ωx+φ) 的意义 ——A,ω,φ 的意义 函数 y=Asin(ωx+φ) 的解析式 ——求解析式

考 点 考 向 探 究

题型:选择、填空 分值:5 分 难度:中等 热点:求解析式或解析式中的某个字母系数

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第5讲

三角函数的图像与性质

考 点 考 向 探 究

例 2 (1)一观览车的主架示意图如图 51 所示,其中 O 为轮轴的中心,距地面 32 m(OM 的长),巨轮的半径为 30 m,AM=BP=2 m,巨轮逆时针旋转且每 12 分钟转动 一圈.若点 M 为吊舱 P 的初始位置,经过 t 分钟,该吊 舱距离地面的高度为 h(t) m,则 h(t)=( ) ?π π? ? A.30sin 12t-2?+30 ? ? ?π π? B.30sin?6t-2?+30 ? ? ?π π? C.30sin?6t-2?+32 ? ? ?π π? D.30sin?6t-2? ? ? 图 51
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第5讲

三角函数的图像与性质
? π? f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ |< 2?的部分 ? ?

(2)函数

考 点 考 向 探 究

图像如图 52 所示,为了得到 y= sin 2x 的图像,只需将 f(x) 的图像( ) π A.向右平移 3个单位 π B.向左平移 个单位 3 π C.向右平移6 个单位 π 图52 D.向左平移6个单位
[答案] (1)B (2)C
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第5讲

三角函数的图像与性质

考 点 考 向 探 究

2π π [解析] (1)由题知周期为 12,故 ω =12,所以 ω=6,初始 π 位置 φ=-2,振幅 A=30,P 距离地面的高度与点 B 距离地面 ?π π? ? 的高度的差为 2,故 h(t)=30sin 6t-2?+30. ? ? 1 2π π ? π? (2)由图可知 A=1,由2×ω =3-?-6?,得 ω=2. ? ? ? π? π π ?- ?+φ=2kπ(k∈Z),|φ|< ,得 φ= , 由 2× 2 3 ? 6? ? π? 所以 f(x)=sin?2x+3?. ? ? ? ? π? π? 因为 y=sin?2?x-6?+3?=sin 2x,所以把函数 f(x)的图像向 ? ? ? ? π 右平移6个单位得到的图像的解析式为 y=sin 2x.
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第5讲

三角函数的图像与性质

考 点 考 向 探 究

[小结] 平面直角坐标系中,以圆心为坐标原点,r为 半径,φ为初相,ω为角速度运动的质点,其横坐标和运 动时间t满足函数关系y=rsin(ωt+φ),这是根据三角函数 的定义得到的.根据三角函数图像求函数的解析式时, 可根据函数图像得出函数的最小正周期,求出ω的值, 再根据函数图像上特殊点的坐标求出φ值,近而得出三角 函数的方程.

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第5讲

三角函数的图像与性质

考 点 考 向 探 究

(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0)的最大 π π 值为4,最小值为0,最小正周期为 ,直线x= 是其图像的 2 3 一条对称轴,则符合条件的解析式为( ) ? π? A.y=2sin?4x+6?+2 ? ? ? π? B.y=2sin?2x+3?+2 ? ? ? π? C.y=2sin?4x+3?+2 ? ? ? π? D.y=4sin?4x+6? ? ? 变式题

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第5讲

三角函数的图像与性质

(2) 已知

? π? f(x) = Asin(ωx+φ) ?A>0,ω>0,|φ |< ?的部 2? ?

考 点 考 向 探 究

分图像如图 53 所示,则 φ=( π A.- 6 π B. 6 π C.- 3 π D. 3

)

图53

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第5讲

三角函数的图像与性质

[答案] (1)A

(2)D

考 点 考 向 探 究

[解析] (1)由已知可得A+k=4,k-A=0,解得A=k= 2π π π π 2.由 ω = ,得ω=4.又4× +φ=kπ+ ,k∈Z,取k=1,可 2 3 2 ? π? π 得φ= ,所以y=2sin?4x+6?+2符合条件. 6 ? ? 1 2π π π π π π (2)由图像得 ×ω = - = ,则ω=2.由2× +φ= 4 3 12 4 12 2 π π +2kπ(k∈Z),|φ|< ,得φ= . 2 3

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第5讲

三角函数的图像与性质

?

考点三

函数 y=Asin(ωx+φ)的图像变换 ——y=sin x 的图像变换.

y=sin x 的图像

考 点 考 向 探 究

y=Asin(ωx+φ) 的图像 ——y=sin x 的图像与 y=Asin(ωx+φ) 的图像的互化 题型:选择、填空 分值:5 分 难度:中等 热点:三角函数图像的伸缩和平移变换

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第5讲

三角函数的图像与性质

考 点 考 向 探 究

把函数 y=cos x 的图像上所有点的横坐标缩小 1 π 到原来的 2 ( 纵坐标不变 ) ,再把所得图像向左平移 4 个单 位,则所得图像对应的函数解析式为( ) ?1 π? A.y= cos? x+ ? 4? ?2 ? π? B.y=cos?2x+4 ? ? ? ?1 π? C.y=cos? x+ ? 8? ?2 D.y=- sin 2x

例3

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第5讲

三角函数的图像与性质

[答案] D
[解析] 把函数 y=cos x 的图像上所有点的横坐标 1 缩小到原来的 得到的图像的解析式是 y=cos 2x,再把 2 π 所得图像向左平移4 个单位得到的图像的解析式是 y= ? ? π? π? cos 2 ?x+4?=cos?2x+2?=-sin 2x. ? ? ? ?

考 点 考 向 探 究

[小结 ]函数图像左右平移变换的规则是“左加右减”, 并且在变换过程中只变换其中的自变量 x, 如果 x 的系数不 是 1,就要提取这个系数后再确定变换的单位和方向.

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第5讲

三角函数的图像与性质

考 点 考 向 探 究

1 3 变式题 将函数 y= sin x+ cos x(x∈R)的图像向左 4 4 平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图像关于 y 轴对称, 则 m 的最小值是( ) π π A.12 B.6 π 5π C. D. 3 6
[答案] B

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第5讲

三角函数的图像与性质

考 点 考 向 探 究

1 ? π? [解析] 由已知可得 y=2sin?x+3?,把其图像向左平移 ? ? π? 1 ?? m 个单位后得到的图像的解析式为 y=2sin?(x+m)+ 3? ? π? 1 ? π π ? ? = sin x+m+3 ,其为偶函数的充要条件是 m+ =kπ+ 2 ? 3 2 ? π (k∈Z),所以 m=kπ+6(k∈Z,m>0),当 k=0 时,m 取 π 得最小值,为6.

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第5讲

三角函数的图像与性质

?

考点四

函数 y=Asin(ωx+φ)的图像与性质

y=sin x 的图像 与性质 y=Asin(ωx+φ) 的图像与性质

——y=sin x 的图像与性质的应用

考 点 考 向 探 究

——1.函数 y=Asin(ωx+φ)的性质; 2.画函数 y=Asin(ωx+φ)的图 像

题型:选择、填空、解答 分值:5-12 分 难度:中等 热点:三角函数的图像和性质的判断与应用

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第5讲

三角函数的图像与性质

例4 将函数

? π? f(x)=3sin?4x+6?的图像上所有点的横坐 ? ?

π 标伸长到原来的 2 倍,再向右平移6个单位长度,得到函数 y=g(x)的图像,则 y=g(x)的图像的一条对称轴是( π π A.x=12 B.x=6 π 2π C.x=3 D.x= 3 )

考 点 考 向 探 究

[答案] C

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第5讲

三角函数的图像与性质
? ? π? π? ?2?x- ?+ ? 6? 6? ? ?

[ 解 析 ] 由 已 知 可 得 g(x) = 3sin
? π? 3sin?2x-6?,其对称轴方程为 ? ?



π π 2x-6=kπ+2,k∈Z,即 x

考 点 考 向 探 究

kπ π = 2 +3,k∈Z,取 k=0,得 y=g(x)的图像的一条对称轴 π 方程为 x=3.
[小结] 三角函数的性质主要有单调性、奇偶性、周期 性和最值,三角函数的性质和图像是密不可分的,在研究 三角函数性质时要注意从图像的特征得出性质,同时注意 根据三角函数性质推断函数图像的特征.

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第5讲

三角函数的图像与性质

变式题

将函数

? π? y=sin ?x+ ? 的图像上各点的横坐标 6? ?

1 π 缩短为原来的 (纵坐标不变) ,再将所得图像向右平移 个 2 3 单位,所得图像的一个对称中心为( )
考 点 考 向 探 究
? π ? A. ?- ,0? ? 2 ? ? π ? B.?- ,0? ? 4 ? ?π ? D.?8,0? ? ?

C.(2π,0)
[答案] B

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第5讲

三角函数的图像与性质

[解析] 变换后所得图像的函数解析式为 y=
? ? π ? π? ? π? sin ?2 ? x ? ? ? ? 2x- ?=-cos 2x, 其对称中心的横坐标 3 ? 6 ? =sin? ? ? 2 ? ?

考 点 考 向 探 究

π kπ π x 满足 2x=kπ+ ,k∈Z,即 x= + ,k∈Z,纵坐标为 0, 2 2 4 结合各选项可知,选 B.

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第5讲

三角函数的图像与性质
例 5 已知向量 m=
? ? π? ?sin?x+ ?,- 4? ? ? ? π ?? ? 3cos x+4?? ? ??

,n=

? ? ? π? π ?? ?sin?x+ ?,cos?x- ??,函数 4? 4 ?? ? ? ?

f(x)=m· n,x∈R.

(1)求函数 y=f(x)的图像的对称中心的坐标; (2)将函数 y=f(x)的 1 图像先向下平移2个单 π 位,再向左平移3个单位 得 到 函 数 y = g(x) 的 图 像, 试写出 y=g(x)的解析式并
? π 5π? 作出它在区间?-6, 6 ?上的图像. ? ?

考 点 考 向 探 究

图 5-4

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第5讲

三角函数的图像与性质

π? ? ? ? ? ? π π x? ? 解:(1)f(x) =m· n=sin2 ?x+ ? - 3cos?x+ ? cos ? 4? 4? ? 4 ? ? ? ? ? 1 3 π? 1 π? = (1+sin 2x)- cos 2x=sin?2x- ?+ ,由 sin?2x- ?=0 2 2 3? 2 3? ? ?
考 点 考 向 探 究

π 1 π 得,2x-3=kπ,k∈Z,所以 x=2kπ+6,k∈Z. 故 函 数 y = f(x) 的 图 像 的 对 称 中 心 的 坐 标 为 ?1 π 1? ? kπ+ , ?,k∈Z. 6 2? ?2

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第5讲

三角函数的图像与性质

(2)易知

考 点 考 向 探 究

3π 0 π 2π 2 π π 7π 5π x -6 3 12 6 g(x) 0 0 -1 0 ? π 5π? 描点、连线得函数 y=g(x)在区间?- , ?上的图像 6? ? 6 如图所示:

π 2x+ 3

? π? g(x)=sin?2x+ ?,列表: 3? ?

π 2 π 12 1

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第5讲

三角函数的图像与性质

考 点 考 向 探 究

[ 小结 ] 函数 y = Acos(ωx + φ) 的对称中心的坐标是 π ? ? kπ-φ k π + - φ ? ? 2 (k∈Z),对称轴方程是 x= (k∈Z).函 ? ω ,0? ω ? ? ?kπ-φ ? ? ? 数 y=Asin(ωx+φ)的对称中心的坐标是? ,0?(k∈Z), ? ω ? π kπ+ -φ 2 对称轴方程是 x= (k∈Z). ω

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第5讲

三角函数的图像与性质

—— 教师备用例题 ——

例 1【配例 4 使用】 若函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx(x∈R, π ω>0)满足 f(α)=-2, f(β)=0 且|α-β |的最小值为 , 则函数 f(x) 2 的单调递增区间为________.

[答案]

? 5π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z) 6 6? ?

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第5讲

三角函数的图像与性质

[解析]

f(x)=sin ωx+

? π? 3cos ωx=2sin?ωx+3?,因为 ? ?

π T π f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β |min= ,所以 = ,得 T=2π 2 4 2 2π (T 为函数 f(x) 的最小正周期 ) ,所以 ω = =1 ,故 f(x) = T

π? ? π π π 5π 2sin ? x ? ? 得 2kπ- ≤ 3 ? .令 2kπ-2≤x+3≤2kπ+2(k∈Z), ? 6 π x ≤ 2kπ + (k∈Z) , 所 以 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 6 ? 5π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z). 6 6? ?
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第5讲

三角函数的图像与性质

(sin x-cos x)sin 2x 例 2【配例 5 使用】 设函数 f(x)= . sin x (1)求函数 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调递减区间.
解: (1)由 sin x≠0,得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x|x∈R 且 x≠kπ,k∈Z}. (sin x-cos x)sin 2x ∵f(x)= sin x =2cos x(sin x-cos x) =sin 2 x-2cos2x =sin 2 x-cos 2 x-1 ? π? = 2sin?2x-4?-1, ? ?
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第5讲

三角函数的图像与性质

2π ∴函数 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π 3π (2)令 2kπ+2≤2x-4≤2kπ+ 2 ,(x≠kπ,k∈ Z), 3π 7π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z), 8 8 ? 3π 7π? ∴ 函 数 f(x) 的 单 调 递 减 区 间 为 ?kπ+ ,kπ+ ? 8 8? ? (k∈Z).

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核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究

第6讲 三角恒等变换与 解三角形

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第 6讲

三角恒等变换与解三角形

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 和与差的 三角函数 关键词:和 角、差角的正弦、 余弦和正切公式, 如①.

1.[2013· 安徽卷改编] 设函数 ? π?① f(x)=sin x+sin?x+3? , 则 f(x)的最小值 ? ? 是________.

1 3 [解析]因为 f(x)=sin x+ 2sin x+ 2 ? 3 3 π? cos x=2sin x+ 2 cos x= 3sin?x+ 6?,所 ? ? π π 以当 x+ =2kπ- (k∈Z),即 x=2kπ- 6 2 2π (k∈Z)时,f(x)取得最小值- 3. 3

[答案] - 3

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第6讲

三角恒等变换与解三角形

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 二倍角公 式 关键词:二倍 角的正弦、余弦和 正切公式,如②③.

2.[2013· 四川卷] 设 sin 2α ?π ? =-sin α, α∈?2,π?, 则 tan 2α② ? ? 的值是________.

[答案] 3

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三角恒等变换与解三角形

核 心 知 识 聚 焦

[解析] 方法一:由 sin 2α=-sin α,得 2sin αcos α= ?π ? 1 -sin α,又 α∈?2,π?,故 sin α ≠0,于是 cos α=- 2,进而 ? ? 3 sin α= 2 ,于是 tan α=- 3, 2× (- 3) 2tan α ∴tan 2α= = = 3. 1-tan2α 1-3
?π ? 1 2π ? ? 方法二: 同上得 cos α=- , 又 α∈ ,π , 可得 α= , 2 3 ?2 ? 4π ∴tan 2α=tan 3 = 3.

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三角恒等变换与解三角形

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

2 3.[2013· 新课标全国卷Ⅱ改编] 已知 sin 2α= 3,则 cos
2

? π? ③ ?α+ ?= ________. 4? ?

1 [答案] 6
[解析] cos
2

? π? ?α+ ?= 4? ?

? π? 1+cos?2α+2? ? ?

2

1-sin 2α 1 = =6. 2

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三角恒等变换与解三角形

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 正弦定理、 余弦定理 关键词:解三 角形、正弦定理、 余弦定理, 如④⑤.

4.[2014· 广东卷] 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, a ④ c.已知 bcos C+ccos B=2b ,则 = b ________. [答案] 2

[解析] 利用正弦定理,将 bcos C +ccos B=2b 化简得 sin Bcos C+sin Ccos B = 2sin B ,即 sin(B + C) = 2sin B. ∵sin(B+C)= sin A, ∴sin A=2sin B, a 利用正弦定理化简得 a=2b,故 =2. b
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三角恒等变换与解三角形

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

5.[2014· 北京卷改编] 在△ABC 中,a=1,b=2,cos C 1 = ,则 c⑤ =________. 4

[答案] 2
[解析] 由余弦定理,得 c= 1 12+22-2× 1× 2× 4=2.

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三角恒等变换与解三角形

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 三角形面 积 关键词:三角 形面积公式,如⑥.

6.[2014· 福建卷] 在△ABC 中, A=60° , AC=4, BC=2 3, 则△ABC 的 面积⑥ 等于________.

[答案] 2 3

BC AC [ 解析 ] 由 = ,得 sin B = sin A sin B 4sin 60° =1, 2 3 ∴B=90° ,C=180° -(A+B)=30° , 1 1 则 S△ABC = · AC· BCsin C = × 4× 2 3 2 2 sin 30° =2 3,即△ABC 的面积等于 2 3.
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三角恒等变换与解三角形

—— 教师知识必备 ——
知识必备 三角恒等变换
和差角公式 正 三 角 变 恒 换 余 等 公 弦 变 式 换 正 切 tan α± tan β tan(α± β)= 1 ? tan αtan β cos(α±β)= cos αcos β ? sin αsin β 弦 sin(α± β)= sin αcos β± cos α sin β 倍角公式 sin 2α=2sin αcos α cos 2α=cos2α-sin2α =2cos2α-1 =1-2sin α 2tan α tan 2α= 1-tan2α
2

2tan α sin 2α= 1+tan2α 1-tan2α cos 2α= 1+tan2α 1-cos 2α sin α= 2
2

1+cos 2α cos2α= 2

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三角恒等变换与解三角形

—— 教师知识必备 ——
知识必备 解三角形
a b c = = sin A sin B sin C a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2RsinC (R 为△ABC 的外接圆的半径) 射影定理: a=bcos C+ccos B b=acos C+ccos A c=acos B+bcos A

正 定理 弦 定 变形 解 理 三 角 形 余 弦 定 理

类型 三角形两边和一边对角、三角形两角与一边 定理 变形 类型 c2=a2+b2-2abcos C

a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, b2+c2-a2 (b+c)2-a2 cos A= 2bc = -1 等 2bc 两边及一角(一角为两边夹角时直接使用、一角为一边对角时列 方程)、三边
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第6讲

三角恒等变换与解三角形

—— 教师知识必备 ——

基本 解 面 三 积 角 公 形 式 导出 公式 公式

1 1 1 1 1 1 S= a· ha= b· hb= c· hc= absin C= bcsin A= acsin B 2 2 2 2 2 2

abc S= (R 为△ABC 的外接圆的半径); 4R 1 S= (a+b+c)r(r 为△ABC 的内切圆的半径) 2

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三角恒等变换与解三角形

—— 教师知识必备 ——

基本 把要求解的量归入到可解三角形中.在实际问题中,往往涉及多 思想 个三角形,要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中 仰角 解 实 三 际 角 应 常用 形 用 术语 俯角 视线在水平线以上时,在视线所在的垂直平面内,视线 与水平线所成的角 视线在水平线以下时,在视线所在的垂直平面内,视线 与水平线所成的角 方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南 方向角 方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般是锐 角,如北偏西 30° ) 方位角 某点的正北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间 的水平夹角

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三角恒等变换与解三角形

? 考点一

三角恒等变换 ——应用公式求值、化简

和角、差角、二倍角公式

函数变换、角变换
考 点 考 向 探 究

——通过变换求值、化简、 研究三角函数的图像 与性质

题型:选择、填空 分值:5 分 难度:中等 热点:利用三角函数定义、同角三角函数关系和诱导 公式求值
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三角恒等变换与解三角形

例1 的值是(

(1) 已知 )

? π? 4 3 ? ? cos α+6 -sin α= 5 ,则 ? ?

11π ? ? ? ? ? sin ? 6 ? ?

考 点 考 向 探 究

2 3 4 2 3 A.- 5 B.- 5 C. 5 ? 65π? π 5π ? =( (2) sin sin sin?- ) 18 18 18 ? ? 1 1 1 A. 8 B.16 C.-16

4 D.5

1 D.-8

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三角恒等变换与解三角形

[答案] (1)B

(2)A

考 点 考 向 探 究

? π? 4 3 3 ? ? [解析] (1)由 cos α+6 -sin α= 5 可得 2 cos α- ? ? ?1 ? 4 3 ?π ? 3 4 3 3 ? ? = 5 ,所以 sin?6-α? cos α - sin α ? 2sin α= 5 ,即 3? 2 ? ? ?2 ? ? ? ? ? 11π? π? ? π? 4 =5,所以 sin?α+ 6 ?=sin?2π+?α-6??=sin?α-6?= ? ? ? ?? ? ? ? ?π ? 4 -sin?6-α?=-5. ? ?

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三角恒等变换与解三角形

考 点 考 向 探 究

? 65π? ? π 5π π 5π ? 65π (2)sin sin sin?- 18 ?=sin sin sin?- 18 +4π? 18 18 18 18 ? ? ? ? π 5π 7π π 4π 2π = sin 18 sin 18 sin 18 = sin 18 cos 18 cos 18 = π π 4π 2π 2π 4π 2π 2cos 18sin 18cos 18cos 18 sin 18cos 18cos 18 = = π π 2cos 18 2cos 18 4π 4π 8π π sin 18cos 18 sin 18 cos 18 1 = = = π π π 8. 4cos 18 8cos 18 8cos 18

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三角恒等变换与解三角形

考 点 考 向 探 究

[小结] 解决三角函数问题的基本思想是“变换”,通 过适当的变换达到由此及彼的目的. 在三角函数问题中有 两个变换的基本方向:一个是变换函数名称,另一个是变 换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角 函数关系、二倍角的余弦公式等;变换角的形式,可以使 用两角和、差的三角函数公式、倍角公式,可以对角进行 代数形式的变换等.

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三角恒等变换与解三角形

考 点 考 向 探 究

?3π ? 24 变式题 (1) 已知 sin 2α=- ,且 α∈? ,π?, 25 ?4 ? 则 sin α=( ) 3 4 A. 5 B. 5 3 4 C.- D.- 5 5 sin B (2)在△ABC 中,若 =2cos(A+B),则 tan B 的 sin A 最大值是( ) 3 2 A. 3 B. 2 C.1 D.2

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三角恒等变换与解三角形

[答案] (1)A

(2)A

[解析]
考 点 考 向 探 究

?3π ? ?3π ? (1)由α∈ ? 4 ,π? ,可得2α∈ ? 2 ,2π? ,所以 ? ? ? ?
2

1-cos 2α 9 7 2 cos 2α= 1-sin 2α=25,所以sin α= =25. 2 3 又sin α>0,所以sin α=5.

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三角恒等变换与解三角形

考 点 考 向 探 究

sin B (2)因为 =2cos(A+B)=-2cosC> 0,所以角 C sin A sin B 为钝角, 所以角 A, B 为锐角, tanA>0. 又由 =2cos(A sin A +B),可得 sin B=2sin Acos(A+B),即 sin(A+C) =-2sin A cos C,所以 3sin Acos C+ cos A sin C=0,则 3tan A+tan C=0,所以 tan C=-3tan A.故 tan B=-tan (A+C)=- tan A+tan C 2tan A 2tan A 3 = ≤ = , 当且仅当 tan A 1-tan Atan C 1+3tan2A 2 3tan A 3 3 = 时等号成立. 3

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三角恒等变换与解三角形

?

考点二

正、余弦定理在解三角形中的应用 ——解三角形、进行三角形边角关系的 互化

正弦定理

考 点 考 向 探 究

余弦定理

——解三角形、进行三角形边角关系的 互化

题型:选择、填空、解答 分值:5-12 分 难度:中等 热点:解三角形,与三角函数、不等式等结合的最值问题

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三角恒等变换与解三角形

?

考向一

求解三角形中的边与角

考 点 考 向 探 究

已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, c-b sin A b, c,且 = ,则 B=( ) c-a sin C+ sin B π π π 3π A. B. C. D. 6 4 3 4
[答案] C

例2

c-b sin A a [解析]由正弦定理可得 = = ? c-a sin C+sin B c+b 2 2 2 a + c - b 1 2 2 2 a +c -b =ac?cos B= = .又因为0<B<π, 2ac 2 π 所以B=3.
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第6讲

三角恒等变换与解三角形

[小结] 利用正、 余弦定理解三角形的关键是根据已知 条件和定理得出求解目标所需要的方程(组),通过解方程 (组)得出求解目标.正弦定理揭示了三角形三边和其对角 正弦值的比例关系, 余弦定理揭示了三角形的三边和其中 一个内角的余弦值的关系.
考 点 考 向 探 究

变式题 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若点(a, b)在直线 x(sin A+sin B)+ysin B=csin C 上, 则角 C 的值为( ) π 5π π 2π A. 6 B. C.3 D. 3 6

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第6讲

三角恒等变换与解三角形

[答案] D
[解析] 将点(a,b)代入直线方程得 a(sin A+sin B)+ bsin B=csin C,根据正弦定理得 a(a+b)+b2=c2,即 a2+ 2 2 2 a + b - c 1 2 2 b -c =-ab,所以 cos C= 2ab =-2.又因为 0<C 2π <π,所以 C= 3 . ? 考向二 求解三角形的面积
例3 已知△ABC 三个内角 A,B,C 的对边分别是 a, b,c,面积为 S,且 acos C+ 3csin A-b-c=0. (1)求角 A 的值; 3 (2)若 a= 3, 求 S+ 3cos Bcos C 取最大值时 S 的值. 3
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考 点 考 向 探 究

第6讲

三角恒等变换与解三角形

考 点 考 向 探 究

解:(1)由正弦定理,得 sin Acos C+ 3sin Asin C- sin B-sin C=0, ∴sin Acos C+ 3sin Asin C-sin(A+C)-sin C=0, ∴sin Acos C+ 3sin Asin C-sin Acos C-cos Asin C -sin C=0, ∴ 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 又∵sin C≠0, ? π? ∴ 3sin A-cos A=1,即 2sin?A-6?=1, ? ? ? π? 1 ∴sin?A-6?=2. ? ? π π 5π π π π ∵-6<A-6< 6 ,∴A-6=6,∴A=3.
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三角恒等变换与解三角形

考 点 考 向 探 究

3 b c a (2)由正弦定理,得 = = = =2, sin B sin C sin A 3 2 ∴b=2sin B,c=2sin C. 2π 由(1)知 C= -B, 3 3 ∴ S+ 3cos Bcos C 3 3 1 =3× 2bcsin A+ 3cos Bcos C 3 1 3 = ×× 2sin B· 2sin C· + 3cos Bcos C 3 2 2 =sin Bsin C+ 3cos Bcos C ?2π ? ?2π ? =sin B· sin? 3 -B?+ 3cos B· cos? 3 -B? ? ? ? ?
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三角恒等变换与解三角形

考 点 考 向 探 究

3 1 3 3 sin 2B+ sin2B- cos2B+ sin 2B 4 2 2 4 3 1 1 3 1 3 = sin 2B+ × (1-cos 2B)- × (1+cos 2B)+ sin 2B 4 2 2 2 2 4 3+1 1- 3 = 4 ( 3sin 2B-cos 2B)+ 4 3+1 ? π ? 1- 3 = sin?2B-6?+ . 2 4 ? ? 2π π π 7π ∵0<B< 3 ,∴-6<2B-6< 6 , π π π ∴当 2B- = ,即 B= 时,原式取得最大值, 6 2 3 此时△ABC 为等边三角形, 1 π 3 3 3 3 2 ∴S= ( 3) · sin = × = . 2 3 2 2 4 =
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三角恒等变换与解三角形

考 点 考 向 探 究

[小结] 正弦定理、 余弦定理的功能是实现三角形边角 关系的相互转换,解题时要根据具体情况选择转换的方 向,在动态问题中一般是把边转化为角的三角函数,把研 究目标转化为角的三角函数, 通过研究三角函数的性质得 出原问题的性质.

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三角恒等变换与解三角形

变式题 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b,c,满足 b(sin B- 2sin C)=(a+c)(sin A-sin C),且 →· → ≥0. AB BC (1)求角 A 的值; (2)若 a= 2,求 b- 2c 的取值范围.
考 点 考 向 探 究

解:(1)由 b(sin B- 2sin C)=(a+c)(sin A-sin C) ,可 得 b(b- 2c)=(a+c)(a-c),即 b2- 2bc=a2-c2,即 b2+ 2 2 2 b + c - a 2 2 2 c -a = 2bc,于是 cos A= = . 2 2bc π 又 A∈(0,π),∴A= . 4

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三角恒等变换与解三角形

考 点 考 向 探 究

π → → (2)∵AB· BC≥0,∴B 为钝角或直角,∴A+C≤ . 2 π π 又 A=4,∴0<C≤4. 2 b c a 由正弦定理可知,sin B=sin C=sin A= =2, 2 2 ?3π ? ∴ b- 2c=2sin B-2 2sin C=2sin? 4 -C?-2 2sin C ? ? ? π? =2cos?C+4?. ? ? π π π π 又 0<C≤4,∴4<C+4≤2 , ? π? ∴2cos?C+4?∈[0, 2). ? ?
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三角恒等变换与解三角形

?

考向三 与解三角形有关的范围问题

例4 已知向量 m=(2sin x, 1), n=( 3cos x, 2cos2x), 函数 f(x)=m· n-t. (1)若方程 f(x)=0 在
考 点 考 向 探 究
? π ? x∈?0, 2 ? ? ? 求 ?上有解, ?

t 的取值范

围; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对 的边,当(1)中的 t 取最大值且 f(A)=-1,b+c=2 时,求 a 的最小值.

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三角恒等变换与解三角形

解:(1)∵m=(2sin x,1),n=( 3cos x,2cos2 x), ∴f(x)=m· n-t=(2sin x,1)· ( 3cos x,2cos2x)-t= 2 3sin xcos x+2cos x-t=
考 点 考 向 探 究
2

? π? ? 3sin?2x+ ? ? +1-t. 6 ? ?

? π? ? 由 f(x)=0,得 2sin?2x+ ? ? +1=t. 6 ? ? ? π ? π? 7π ? ? ?π ∴当 x∈?0, ?时,2x+ ∈? , 6 ?6 2? 6 ? ? π ? ∴2sin?2x+ 6 ?

? ? ?, ?

? ? ?+1∈[0,3],∴0≤t≤3. ?

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三角恒等变换与解三角形

(2)由(1)知 t=3.又 ∴有

? π? ? f(A)=-1,f(x)=2sin?2x+ ? ? +1-t, 6 ? ? ? ? ?+1-3=-1,即 ? ? π ? sin?2A+ 6 ? ? ? ?= ?

? π ? f(A)=2sin?2A+ 6 ?

考 点 考 向 探 究

π 1 2.又 0<A<π ,∴A= 3 . 由余弦定理可得 a2=b2+c2-2cos A=b2+c2-bc=(b+ c)2-3bc. ∵b+c=2,∴a
2

?b+c? 2 ? =4-3bc≥4-3 ? ? 2 ? =4-3=1,当 ? ?

且仅当 b=c=1 时等号成立,∴a≥1,故 amin=1.

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三角恒等变换与解三角形

[ 小结 ] 三角函数求值的关键是通过恒等变换公式把 已知转化为求解目标.注意恒等式 (sin α ± cos α )2 = 1± sin 2α的应用.
变式题
考 点 考 向 探 究

在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a,

2 b,c,且 C= 3π . (1)若 a,b,c 依次成等差数列,且公差为 2,求 c 的值; (2)若 c= 3,B=θ,试用 θ 表示△ABC 的周长,并求出 周长的最大值.

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三角恒等变换与解三角形

解:(1)∵a,b,c 成等差数列,且公差为 2, ∴a=c-4, b=c-2. a2+b2-c2 2 1 1 又∵C=3π ,∴cos C=- 2,∴ =-2, 2ab (c-4)2+(c-2)2-c2 1 ∴ =- , 2 2(c-4)(c-2)
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整理得 c2-9c+14=0,解得 c=7 或 c=2. 又∵c>4,∴c=7. b a c (2)在△ABC 中, = = , sin B sin A sin C b a 3 ∴ = ? = =2, ? sin θ 2π ?π ? sin? -θ? sin 3 ?3 ?
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三角恒等变换与解三角形

∴b=2sin θ

?π ,a=2sin? ?3 ?

? ? -θ?, ? ?π +2sin? ?3 ? ? ? -θ? ?

∴△ABC 的周长 f(θ)=a+b+c=2sin θ +
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?1 ? ? 3 ? ? 3=2? sin θ + cos θ ?+ 3=2sin? ?θ 2 2 ? ? ? ? π π 2π π? ? ? 又∵θ∈?0, ?,∴ 3 <θ + 3 < 3 , 3? ?

π? ? + 3 ?+ 3. ?

π π π ∴当 θ+ = ,即 θ= 时,△ABC 的周长 f(θ)取得 3 2 6 最大值 2+ 3.

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三角恒等变换与解三角形

?

考点三

正、余弦定理的应用 ——解三角形 ——测量两点的距离,航海中的 方位和距离的测量计算 ——计算平面图形中的线段、面 积、角度等

正弦定理、余弦定理

测量、航海中的应用
考 点 考 向 探 究

计算平面图形中的 几何元素

题型:解答 分值:12 分 难度:中等 热点:在实际问题中解三角形,与三角函数、不 等式等结合的最值问题
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三角恒等变换与解三角形

考 点 考 向 探 究

例 5 如图 61 所示, 某建筑工地准备建造一间两面 靠墙的三角形露天仓库用来堆放材料, 已知已有的两面墙 CA,CB 的夹角为 60° (即∠ACB=60° ),第三面围墙 AB 的长为 6 米(CA,CB 两面墙的长均大于 6 米),记∠ABC =θ,问当 θ 为多少时,所建造的三角形露天仓库的面积 最大?并求出最大值.

图 61

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三角恒等变换与解三角形

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AC AB 解: 在△ABC 中, AB=6, 由正弦定理可得 = sin θ sin 60° BC = ?? ?, ? 120° - θ sin? ? ? ? ? ?, θ + 60° 化简得 AC=4 3· sin θ,BC=4 3· sin? ? 1 所以 S△ABC=2AC· BC· sin 60° ? ? ? ? θ + 60° =12 3· sin θ· sin? ? ?1 ? 3 ? ? =12 3sin θ· sin θ + cos θ ?2 ? 2 ? ? =6 3(sin2θ+ 3sin θ· cos θ) ?1-cos 2θ ? 3 ? ? =6 3? + sin 2 θ ? 2 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? =6 3?2+sin?2θ-30° ??, ? ?
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三角恒等变换与解三角形

? ? ?+3 3(0<θ<120° 即 S△ABC=6 3sin??2θ-30° ), ? 所以当 2θ-30° =90° , 即 θ=60° 时, S△ABC 取得最大值 9 3. 故当 θ=60° 时, 所建造的三角形露天仓库的面积最大, 最大值为 9 3.

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[小结]使用正、余弦定理解三角形的关键是把求解目 标纳入到可解三角形( 可解三角形指符合正弦定理、余弦 定理的应用条件,能够求出三角形各个元素的三角形)中, 在一些复杂的问题中, 需要把求解目标分解到两个或者更 多的可解三角形中.

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三角恒等变换与解三角形

变式题 如图 62 所示,设 A,B 两点在河的两岸,一 测量者在 A 的同侧所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的 距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° ,则 A ,B 两点 间的距离为(
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)

25 2 A. m 2 B.25 2 m C.50 2 m D.50 3 m
图 62
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三角恒等变换与解三角形

[答案] C
[解析] 在△ABC 中, AC=50, ∠ACB=45° , ∠CAB AC = 105° ,所以∠ABC = 30° ,由正弦定理得 sin∠ABC = AB sin∠ACB, 所以 AB=50 2,即 A,B 两点间的距离为 50 2 m.

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三角恒等变换与解三角形

—— 教师备用例题 ——

例 1 【配例 1 使用】已知 α 为第二象限角,sin α+ 3 cos α= 3 ,则 cos 2α=( ) 5 5 A.- 3 B.- 9

5 C. 9

5 D. 3

[答案] A

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三角恒等变换与解三角形

3 [解析]方法一:因为 sin α+cos α= 3 ,所以两边平方 1 2 得 1+2sin αcos α=3,所以 sin 2α=-3.因为 sin α+cos α ? π? 3 π = 2sin?α+4?= 3 >0, 且 α 为第二象限角, 所以 2kπ+2< ? ? 3π 3π α<2kπ+ 4 (k∈Z),所以 4kπ+π<2α<4kπ+ 2 (k∈Z),所 4 5 2 以 cos 2α=- 1-sin 2α=- 1-9=- 3 .

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第6讲

三角恒等变换与解三角形

3 方法二:因为 sin α+cos α= 3 ,所以两边平方得 1+ 1 2 2sin α cos α=3, 所以 2sin αcos α=-3<0.因为 α 为第二象 限角,所以 sin α > 0 , cos α < 0 ,所以 sin α - cos α = 2 5 15 1-2sin αcos α= 1+3= 3= 3 ,与 sin α+cos α= 3+ 15 3- 15 3 联立,解得 sin α= ,cos α= ,所以 3 6 6 5 2 2 cos 2α=cos α-sin α=- . 3

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第6讲

三角恒等变换与解三角形

3 方法三:因为 sin α+cos α= 3 ,所以两边平方得 1+ 1 2 2sin αcos α=3,所以 2sin αcos α=-3<0.因为 α 为第二象 限角,所以 sin α > 0 , cos α < 0 ,所以 sin α - cos α = 2 5 15 1-2sin αcos α= 1+3= 3= 3 , 所以 cos 2α=cos2α 15 3 5 2 -sin α=(cos α-sin α)(cos α+sin α)=- 3 × 3 =- 3 .

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第6讲

三角恒等变换与解三角形

例 2 【配例 3 使用】已知函数

? π? f(x)=Asin?ωx-6?(ω> ? ?

?π? π 0)的图像的两个相邻对称轴之间的距离是 , 且满足 f? ? = 2 ? 4?

3. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)在钝角三角形 ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B, C 的对边,a=2,sin B= 3sin C,f(A)=1,求△ABC 的面 积.

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第6讲

三角恒等变换与解三角形

解:(1)由题意知周期 T=π,∴ω=2. ?π? ? π? ∵f?4?= 3,∴A=2,∴f(x)=2sin?2x-6?. ? ? ? ? π π 3π 由2+2kπ≤2x-6≤ 2 +2kπ(k∈Z), π 5π 得3+kπ≤x≤ 6 +kπ(k∈Z), ?π ? 5π ∴f(x)的单调递减区间为?3+kπ, 6 +kπ?(k∈Z). ? ?

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第6讲

三角恒等变换与解三角形

(2)由

? π? f(A)=2sin?2A- ?=1,得 6? ?

? sin?2A ?

π? 1 - ?= . 6? 2

π π 11π π π ∵-6<2A-6< 6 ,∴A=6 或2. 又∵△ABC 为钝角三角形, π ∴A=6.由 sin B= 3sin C,得 b= 3c, 又∵a2=b2+c2-2bccos A, 3 ∴4=3c2+c2-2 3c2× 2 =c2,∴c=2,b=2 1 1 1 故 S△ABC=2bcsin A=2× 2 3× 2× 2= 3.

3.

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核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究

第7讲 平面向量

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第7讲

平面向量

核 心 知 识 聚 焦

体验高考 1.[2013· 辽宁卷改编]

主干知识
已知点
? 平面向量 的概念 关键词:向 量、相等向量、相 反向量、单位向 量、向量的模、向 量的投影,如 ①②.

→ A(1,3),B(4,-1),则与向量 AB 同方向的 单位向量① 为________.
?3 4? ? ,- ? 5? ?5

[答案]

→ =(3,-4),∴与 [解析] ∵ AB → AB → AB 方向相同的单位向量为 = → |AB| ?3 4? ? ,- ?. 5? ?5

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第7讲

平面向量

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

2.[2013· 湖北卷改编] 已知点 A(-1,1),B(1,2), → 在CD → 方向上的 投影② 为 C(-2,-1),D(3,4),则向量AB ________.
3 2 [答案] 2 → =(2,1),CD → =(5,5),|AB → |cos〈AB → ,CD →〉 [解析] AB

→ ·CD → 3 2 AB = = . 2 → |CD|

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第7讲

平面向量

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 平面向量 的线性运算 关键词:向量 的加减运算、数乘 运算,如③.

3.[2014· 广东卷改编] 已知向 量a=(1,2),b=(3,1),则 b-a =________.
[答案] (2,-1)
[解析]b-a=(3,1)-(1,2) =(2,-1).


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第7讲

平面向量

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 平面向量 的数量积运算 关键词:向量 的数量积、两向量 的夹角,如④⑤.

4.[2014· 新课标全国卷Ⅱ改编] 设向量a,b满足|a+b|=


10 ,|a-b|

= 6,则 a·b =________.

[答案] 1
[ 解析 ] 由已知得 |a + b|2 = 10 , |a -b|2=6,两式相减,得 4a· b=4,所 以 a· b=1.

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第7讲

平面向量

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

5 . [2014· 浙江卷改编 ] 记
?y,x≥y, ? min{x, y}= ? 设 ? ?x,x<y.

? ?x,x≥y, max{x , y} = ? ? ?y,x<y,

a,b 为平面向量,则


max{|a+b |2, |a-b |2}________|a |2+ |b |2 “≤”)

.(填“≥”或

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第7讲

平面向量

核 心 知 识 聚 焦

[答案] ≥

→ =a,OB → =b,构造平行四边形 OACB,根据 [解析] 设OA 平行四边形法则,∠AOB 与∠OBC 至少有一个大于或等于 90 °,根据余弦定理,max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2 +|b|2 成立.

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第7讲

平面向量

—— 教师知识必备 ——
知识必备 平面向量
向量 零向量 平行向量 向量夹角 投影 既有大小又有方向的量, 表示向量的有向线 段长度叫作该向量的模 长度为 0, 方向任意的向量(0 与任一非零向 量共线) 方向相同或者相反的非零向量叫作平行向 量,也叫共线向量 起点放在一点的两非零向量所成的角, 范围 是[0,π ],a,b 的夹角记为〈a,b〉 〈a,b〉=θ,|b|cosθ 叫 b 在 a 方向上的投 影(注意:投影是数量)
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平 重 面 要 向 概 量 念

第7讲

平面向量

—— 教师知识必备 ——

e1,e2 不共线,存在唯一的实数对(λ,μ),使 a=λe1 基本定理 重 平 要 面 法 向 则 量 定 理 共线条件 a, b(b≠0)共线?存在唯 一实数 λ,使 a=λb a⊥b?a· b=0 一般表示 坐标表示 ( 向量坐标上下文 理解) (x1, y1)=λ(x2, y2)?x1y2=x2y1 +μe2.若 e1,e2 分别为 x 轴、y 轴上的单位正交向量, 则(λ,μ)就是向量 a 的坐标

垂直条件

x1x2+y1y2=0

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第7讲

平面向量

—— 教师知识必备 ——
法则 加法 运算 平 各 面 种 减法 向 运 运算 量 算 数乘 运算 运算律 概念 算律 法则 分解 a+b 的平行四边形法则、三 角形法则 a+b=(x1+x2,y1+y2)

a+b=b+a,(a+b)+c=a+ 与加法运算有同样的坐 ( b +c ) a-b 的三角形法则 → =ON → -OM → MN λa 为向量,λ>0 与 a 方向相 同, λ <0 与 a 方向相反, |λa| =|λ||a| μa,λ (a+b)=λa+λb 标表示 a-b=(x1-x2,y1-y2) → =(xN-xM,yN-yM) MN 若 a=(x, y), 则 λa=(λx, λy)

λ(μa)= (λμ)a , (λ+ μ)a= λa + 与数乘运算有同样的坐 标表示
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第7讲

平面向量

—— 教师知识必备 ——

概念

a· b=|a|· |b|cos 〈a, b〉

a· b=x1x2+y1y2 |a|= x2+y2 |x1x2+y1y2|≤
2 2 2 x2 1+y1 · x2+y2

平 面 向 量

各 种 运 算

数量 积运 算

主要 性质

a· a=|a| , |a· b|≤|a|· |b| a· b=b· a,(a+b)· c

2

运算律

=a · c+b· c, (λa)· b=a· (λb)= λ(a· b)

与数量积、数乘等具 有同样的坐标表示

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第7讲

平面向量

? 考点一 平面向量的概念及线性运算 平面向量 的概念 ——1.概念的理解和应用;2.零向量和单位向量; 3.向量的投影
考 点 考 向 探 究

平面向量的 线性运算——1.向量的线性运算;2.共线向量定理的应用 题型:选择、填空 分值:5 分 难度:中等 热点:线性运算中的参数求值或者参数取值范围

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第7讲

平面向量

例1

(1)已知△ABC 中,D 是 BC 边的中点,过点 D

→ =λAB → ,AF →= 的直线分别交直线 AB,AC 于点 E,F.若AE → ,其中 λ>0,μ>0,则 λμ 的最小值是( μ AC A.1
考 点 考 向 探 究

)

1 B.2

1 C.3

1 D.4 )

(2)[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设 D,E,F 分别为△ABC → +FC → =( 的三边 BC,CA,AB 的中点,则EB → A.AD 1→ C.2BC 1→ B.2AD → D.BC

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第7讲

平面向量

考 点 考 向 探 究

(2)A → =1(AB → +AC → )= 1 AE → + 1 AF → ,且 [解析] (1)因为AD 2 2λ 2μ 1 1 D,E,F 三点共线,所以 + =1,所以 2λ 2μ 1 1 1≥2 · ,即λ μ ≥1,当且仅当 λ=μ=1 时等号 2λ 2μ 成立,故 λμ 的最小值是 1. 1→ 1→ → → → → → → → (2)EB+FC=EC+CB+FB+BC=2AC+2AB=AD.

[答案] (1)A

[小结]进行向量运算时,要尽可能将其转化到三 角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向 量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量 表示出来.
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第7讲

平面向量

变式题 (1)已知向量 a=(1, m), b=(m, 2). 若 a∥b, 则实数 m 等于( ) A.- 2 B. 2 C.- 2或 2
考 点 考 向 探 究

D.0

→ +OB → +2OC → =0, (2)四点 O,A,B,C 共面,若OA 则△AOC 的面积与△ABC 的面积之比为( ) 1 2 A. 3 B. 3 1 1 C.2 D. 4
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第7讲

平面向量

[答案] (1)C

(2)D

[解析] (1)a∥b 的充要条件是 1×2= m×m,解得 m=± 2. (2)如图所示, 以 OA, OB 为邻边作平 行四边形 OADB,E 为 OD 与 AB 的交点, → + OB → = OD → . 由 OA → + OB → + 2 OC → =0, 则 OA → =-2OC → ,所以 C,O,E,D 四 可知OD 点共线, 且 |OC|= |OE |, 所以 S△AOC=S△ AOE 1 =4S△ABC,故选 D.
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考 点 考 向 探 究

第7讲

平面向量
? 考点二 平面向量的数量积

数量积的 概念——1.利用概念计算数量积;2.求两向量的夹角

考 点 考 向 探 究

数量积的 运算——1.利用概念和坐标运算求解数量积或者数量积 的最值;2.根据数量积求参数值或者参数范围; 3.两向量垂直的充要条件的应用 题型:选择、填空 分值:5 分 难度:中等 热点:数量积中的参数求值或者参数取值范围,向量垂 直的条件的应用

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第7讲

平面向量

例 2 (1)[2014· 全国卷] 若向量 a,b 满足|a|=1,(a+ b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( ) A.2 B. 2 2 C.1 D. 2 (2)[2014· 天津卷]已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD= 120°, 点 E, F 分别在边 BC, DC 上, BE=λBC, DF=μDC. 2 → → → → 若AE·AF=1,CE·CF=- ,则 λ+μ=( ) 3 1 2 5 7 A. B. C. D. 2 3 6 12

考 点 考 向 探 究

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第7讲

平面向量

[答案] (1)B

(2)C

[解析](1)因为(a+b)⊥a, 所以(a+b)· a=0, 即|a|2+b· a=0.因为(2a +b)⊥b,所以(2a+b)· b=0,即 2a· b+|b|2=0,与|a|2+b· a=0 联立,可 得 2|a|2-|b|2=0,所以|b|= 2|a|= 2. (2)建立如图所示的坐标系,则 A(-1,0),B(0,- 3),C(1,0),D(0,

考 点 考 向 探 究

3).设 E(x1,y1),F(x2,y2).由 BE = λ BC 得(x1,y1+ 3)=λ (1, 3),解得
?x =λ, ? 1 ? 即点 ? ?y1= 3(λ-1),

E(λ, 3(λ-1)).

→ =μ DC → 得(x2,y2- 3)=μ(1,- 3), 由DF

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第7讲

平面向量

? ?x2=μ, 解得? 即点 ? ?y2= 3(1-μ),

AF =(λ F(μ, 3(1-μ)). 又∵ AE ·

+1, 3(λ-1))· (μ+1, 3(1-μ))=1,① → ·CF → =(λ-1, CE
考 点 考 向 探 究

3(λ-1))· (μ-1,

2 3(1-μ))=- ,② 3

5 ∴①-②得 λ+μ= . 6

[小结]根据平面向量基本定理, 在选定了基向量后, 平面内任意向量均可使用基向量表达. 当试题中涉及多 个向量时可以将这些向量用基向量表达出来, 然后再进 行相关的运算与推理.
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第7讲

平面向量

变式题 (1)设平面向量a,b,c均为非零向量,则 “a· (b-c)=0”是“b=c”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
考 点 考 向 探 究
? ? ? = a + b (2)已知非零向量a,b的夹角为θ, ? ? ? ? ? ? ?=1,则θ的取值范围是( a-b? ?

3 ,

) π π B. 3 ≤θ ≤ 2 2π D.0<θ< 3
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π A.0≤θ ≤ 3 π π C. 6 ≤θ < 2

第7讲

平面向量

[答案] (1)B

(2)A

考 点 考 向 探 究

[解析] (1)当 a· (b-c)=0 时,有 a⊥(b-c),此时 b- c 不一定为零向量,故条件是不充分的;反之,若 b=c, 则 b-c=0, 此时一定有 a· (b-c)=0, 故条件是必要的. 所 以“a· (b-c)=0”是“b=c”的必要不充分条件. (2)由|a+b |= 3,|a- b |=1,得 a2+2a· b+b2=3,a2 1 2 -2a· b+b =1,两式相减得 a· b= ,两式相加得 a2+b2 2 a· b 1 =2≥2|a |· |b |, 即 |a |· |b |≤1, 所以 cos θ = ≥ .又 0≤θ≤ |a |· |b | 2 π π ,所以 0≤θ≤ 3 .
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第7讲

平面向量

?

考点三

平面向量的综合应用

平面向量的 ——1.加减法、数乘、数量积;2.向量的模和夹角 代数特点

考 点 考 向 探 究

平面向量的 ——1. 向量线性运算;2.向量平行和垂直;3.在三角形 几何特点 中的应用 题型:选择题、填空题 分值:5 分 难度:中等 热点:数量积中的参数求值或者参数的取值范围,向量垂直的 条件的应用,向量和三角形的结合

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第7讲

平面向量

例3 (1)已知圆 O 的半径为 2,A,B 是圆 O 上两点且 2π →= ∠AOB= 3 ,MN 是一条直径,点 C 在圆 O 内且满足OC → +(1-λ)OB → (0<λ<1).则CM → ·CN → 的最小值为( λOA A.-2 C.-3
考 点 考 向 探 究

)

B.-1 D.-4

(2)已知两个不共线的向量 a,b,其夹角为 θ,且|a |=3, |a |=1,x 为正实数. ①若 a+2b 与 a-4b 垂直,求 tan θ . π ②若 θ= , 求|xa-b |的最小值及对应的 x 的值, 并判断 6 此时向量 a 与 xa-b 是否垂直?
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第7讲

平面向量

(2)解:①由题意,得(a+2b)· (a-4b)=0, 即 a2-2a· b-8b2=0, 1 即 32-2×3×1×cos θ -8×12=0,解得 cos θ = . 6 又 θ∈(0,π ),所以 sin θ = 1-cos θ = sin θ 故 tan θ= = 35. cos θ ②|xa-b |= (xa-b) = x a -2xa· b+b = 3 1 故当 x= 6 时, |xa-b |取得最小值 2. π 3 此时 a· (xa-b)=xa2-a· b= 6 ×9-3×1×cos 6 =0, 故向量 a 与 xa-b 垂直.
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2 2 2 2 2

? 1? 2 1-?6? = ? ?

35 6 ,

考 点 考 向 探 究

? 9? ? x- ?

3? ?2 1 +4, 6? ?

第7讲

平面向量

变式题 已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角 π → =2a 为 3 ,O为平面直角坐标系的原点.若点A,B满足 OA → =3a-b,则△OAB的面积为( +b,OB
考 点 考 向 探 究

) 11 D. 4

5 3 A. 2

5 3 B. 4

7 3 C. 4

[答案] (1) B

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第7讲

平面向量

1 → |= (2a+b)2= 7, [解析] 因为a· b= ,所以|OA 2 11 2 → → → | OB |= (3a-b) = 7 , OA · OB = ,所以cos 2
考 点 考 向 探 究

→ ·OB → OA 11 → → → , OB → 〉= 〈 OA , OB 〉= = 14 ,sin〈 OA → |·|OB →| |OA 5 3 1 → → |sin〈 OA → , OB → 〉= ,故△ OAB 的面积为 | OA | · | OB 14 2 5 3 4 .

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第7讲

平面向量

—— 教师备用例题 ——
例 1 【配例 1 使用】如图所示,四边形 ABCD 是正方 形,延长 CD 至 E,使得 DE=CD.若动点 P 从点 A 出发, → 沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,且满足AP → +μAE → ,则下列判断正确的是( =λAB .. ) A.满足 λ+μ=2 的点 P 必为 BC 的中点 B.满足 λ+μ=1 的点 P 有且只有一个 C.λ+μ 的最大值为 3 D.λ+μ 的最小值不存在

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第7讲

平面向量

[答案] C

[解析] 由题意可知,λ≥0.μ≥0.当λ=μ=0时,λ+ μ的最小值为0,此时P点与A点重合,故D错误.当λ= 1,μ=1时,P点也可以在D点处,故A错误.当λ=1, μ=0,λ+μ=1时,P点在B点处,当P点在线段AD的中 1 点时,λ=μ=2,也有λ+μ=1,故B错误.

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第7讲

平面向量
例2 【配例2使用】若等边三角形ABC的边长为2 3 ,平面

1→ 2→ → → ·MB → =( 内一点M满足CM=6CB+3CA,则MA A.-1 [答案] B B.-2 C.2 D.3

)

→ · MB → [解析] 如图所示, MA → - CM → )· → - CM → )= =( CA ( CB
?1 1→? → ? CA- CB? 6 ? ?3
? ? ? ? ? ?

·

?5 2→? → ? CB- CA? 3 ? ?6

2 =- 9

5 →2 7 → → 8 → CA - 36 | CB | + 18 CA · CB =- 3 5 7 -3+3=-2.
2

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