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高考数学专题复习讲练测——专题二-函数与方程-专题复习讲练-1-集合与集合思想的应用



§? 1 ?集合与集合思想的应用

一、复习要点 ?在系统复习的基础上,本轮复习主要解决好如下三个问题: 1.重要知识点的再现: (1)集合中元素的三个性质; (2)集合的三种运算; (3)用集 合语言表示有关数学概念,用集合工具表示有关数量关系. 2.集合综合题的解法: (1)集合与不等式的综合; (2)集合与三角的综合; (3)集合 与解析几何的综合. 3.集合思想的应用: (1)用集合方法判断命题的充要关系; (2)用集合观点解决比较 复杂的排列组合问题; (3)补集思想的运用. ?二、例题讲解 例 1 已知集合 M={x|x=cos(nπ )/3,n∈Z} ,P={x|x=sin[(2m-3)π ]/6, m∈Z} ,则 M 与 P 满足(? ?). ??A.MP ??B.M=P ??C.MP ??D.M∩P=Φ ??讲解:可从理解集合 M、P 的意义入手. 若视 n、m 为自变量,则 M、P 分别表示函数 x=cos(nπ )/3、x=sin[ (2m-3)π ]/ 6 的值域,问题转化为判断这两个函数值域的关系. 由于这两个函数的定义域均为整数集 Z,所以它们的值域并不一定等于[-1,1].如何 求这两个函数的值域呢?如果分别取整数 n、m 的一些值,用列举法写出集合 M、P,然后观 察作出判断,这种解法虽然直观,但由于不能写出集合 M、P 的所有元素,可能会产生判断 失误.我们知道,函数在它的一个周期内的函数值的集合就是该函数的值域,因此本题有如 下解法: ∵函数 x=cos(nπ )/3、x=sin[ (2m-3)π ]/6 的最小正周期均为 6, ∴分别取 n,m=0,1,2,3,4,5,得 M={1, (1/2) ,-(1/2) ,-1} , P={-1,-(1/2) , (1/2) ,1} . ? ∴M=P,选 B. 例 2 设f (x) =x2+px+q, A= {x|x=f (x) } , B= {x|f [f (x) ] =x} . (1)求证AB; (2)如果A={-1,3} ,求 B. 讲解:本例是涉及集合、函数和方程的综合题.依据子集的概念,要证AB,只要证对 任意x0∈A,均有x0∈B成立.由 A={-1,3}知,方程x=f(x)有二实根-1 和 3,从而应用韦达定理可求出p、q的值,也就确定出f(x)的解析式,再解方程x= f[f(x) ] ,就可求出 B 中的所有元素. (1)设x0是集合 A 中的任一元素,即有x0∈A. ∵ A={x|x=f(x) } ,

∴ x0=f(x0) , 即有 f[f(x0) ]=f(x0)=x0, ∴ x0∈B, 故AB. (2)∵ A={-1,3}={x|x2+px+q=x} , ∴ 方程x2+(p-1)x+q=0 有两根-1 和 3,应用韦达定理,得 -1+3=-(p-1) , p=-1,

(-1)×3=q q=-3, ∴ f(x)=x2-x-3. 于是集合 B 的元素是方程f[f(x) ]=x,也即 (x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x???(?)的根. 将方程(?)变形,得 (x2-x-3)2-x2=0,?即?(x2-2x-3) (x2-3)=0,?解得?x =-1,3, ,-. 故B={-,-1, ,3} . 例 3 5 个人站成一列,其中甲不站在排头,乙不站在排尾,共有多少种不同的排法? 讲解:将 5 个人的全排列记为全集 I,而 I 中的元素个数记为 n(I) ,则 n(I)=P55. 同样,将甲站在排头的排列记为 A,将乙站在排尾的排列记为 B,则 n(A)=n(B)=P 44. 由图 2-1 有 n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B).

图 2-1 故甲不站在排头、乙不站在排尾的排法种数为 n()=n(I)-n(A∪B)=n(I)-n(A) -n(B)+n(A∩B)=P55-2P44+P33=78(种) . 三、专题训练 1.已知集合E={ (x,y)|x2/16+y2/9=1} ,F={ (x,y)|x2+y 2=1} ,则集合 E 与 F 的关系是( ) . A.EF ??B.FE C.E∩F=Φ ??D.E∪F=F 2.定义 A-B={x|x∈A,且 xB} .若 M={1,2,3,4,5} ,N={2,3,6} ,则 N-M等于?( ) .? A.M

??B.N C. {6} ??D. {1,4,5} 3.设P={x|(x2-4)/(x-5)≤0} ,Q={x||x-1|<a} .若P∪ Q={x|x<5} ,则实数a的取值范围是( ) . A. [1,4] ??B. [1,4) C. [3,4] ??D. [3,4) 4.已知集合 P={ (x,y)|x2+y2=1} ,Q={ (x,y)|x/a+y/b=1,a,b∈R +} .若 P∩Q≠Φ ,则 a,b 应满足( ) .? A.a≤1,b≤1 ?? B.a≤,b≤ C.ab≥ ?? D.ab≤ 5.若集合 A={2,4,x3-2x2-x+7} ,B={-4,y+3,y2-2y+2,y3+y2+3y+7} , 且 A∩B={2,5},则 A∪B=______. 6.设全集 I=R,集合 M={x|y=/(|x|-x) (a>1)},则=______. 7.给出下列四个命题: ①若 A={y|y=x2+1,x∈N},B={y|y=x2-2x+2,x∈N},则 A=B; ②若 A、B 均为非空集合,且 A∩B=Φ ,M={A 的子集},N={B 的子集},则 M∩N={Φ }; ③若 A=B,则 A∩C=B∩C;④若 A∩C=B∩C,则A=B.其中正确命题的序号 是______. 8.已知M是满足下列两个条件的函数f(x)的集合: ①f(x)的定义域是[-1,1] ; ②若x1,x2∈[-1,1] ,则|f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|.? 试问:定义在[-1,1]上的函数g(x)=x2+2x-1 是否属于集合 M?并说明理 由. 9.设 m∈R,集合 A={(x,y)|y=-x+m},B={(x,y)|x=cosθ ,y=sinθ ,0<θ <2 π }.若 A∩B={(cosθ 1,sinθ 1) , (cosθ 2,sinθ 2) ,θ 1≠θ 2},求 m 的取值范围. 10. 设集合 A= { (x, y) |y2-x-1=0}, B={ (x, y) |4x2+2x-2y+5=0}, C={ (x , y) |y=kx+b}. 问:是否存在 k,b∈N,使得(A∪B)∩C=Φ ?并证明你的结论.



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