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变化率问题



第三章 导数及其应用

3.1.1 变化率问题

牛顿

两人同时创立 了微积分 莱布尼兹

问题一:工资增长率

下面是一家公司的工资发放情况:
其中,工资的年薪s(单位:10元)与时间

t(单位:年)成函数关系。
用y表示每年的

平均工资增长率. 试分析公司的效益发展趋势?

公司的工资发放情况 1 2 3 4 5 年份 年 薪 2000 2100 2300 2600 3000 第1年到第2年的平均工资增长率
s (2) ? s (1) y1 ? ? 100 2 ?1

第2年到第3年的平均工资增长率
s(3) ? s(2) y2 ? ? 200 3? 2

可见,
此公司的平均工资增长率是越来越大,

说明此公司效益越来越好.

问题二:气球膨胀率

观看

动画

0.62dm

第 一 次
0.16dm

观察小新接连两次 吹气球时, 气球的膨胀程度。

第 二 次

气球的体积V(单位:L)与半径r(单

位:dm)之间的函数关系是:
4 3 V (r ) ? ?r 3

用V 表示r得:
r (V ) ? 3 3V 4?

★当V从0增加到1L时,

气球的半径增加了

r (V ) ? 3

3V 4?

r(1)-r(0)≈0.62(dm)
r (1) ? r (0) 气球的平均膨胀率为 ? 0.62(dm ) 1? 0

★当V从1增加到2L时,气球的半径增加了

r(2)-r(1)≈0.16(dm)
r (2) ? r (1) ? 0.16(dm ) 气球的平均膨胀率为 2 ?1

3 V r (V ) ? 3 4?

可以看出,随着气球的体积逐渐变大,
气球的平均膨胀率逐渐变小了。

思考
当气球的空气容量从V1增加到V2时,

气球的平均膨胀率是多少?

问题三:高空崩极

观看

动画

观察小男孩崩极时
4.9米 的平均速度变化 第0秒到第1秒这段 时间内 14.7米 第1秒到第2秒这段 时间内 重复观看请按

作崩极时,小男孩落下的高度h(单位:m)

与跳后的时间 t (单位:s)存在函数关系
h(t)=
1 2 gt 2

h(t)= v 来描述其运动状态,那么 在0?t?1这段时间内 v1 在1?t?2这段时间内

1 2 gt 2

如果用小男孩在某段时间内的平均速度

h(1) ? h(0) ? ? 4. 9( m / s ) 1? 0

h ( 2 ) ? h ( 1 ) v2 ? 2 ? 1 ? 14.7(m / s)

可以看出, 随着跳后的时间的推移, 小男孩下落的速度越来越大。 思考

h(t)=

1 2 gt 2

小男孩跳后的时间从t1变化到t2时,

平均速度是多少。

平均变化率的定义 如果上述三个问题中的函数关系用f(x)

表示,那么问题中的变化率可用式子
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

上式称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。

想一想 上面的式子和我们以前学过的 什么式子相似!

平均变化率的几何意义

就是两点间的斜率

习惯上记: △x=x2-x1 △f=f(x2)-f(x1)

则平均

另一种形式

x2=x1 +△x
f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?x

则平均变化率为

3 V r (V ) ? 3 4?

可以看出,随着气球的体积逐渐变大,
气球的平均膨胀率逐渐变小了。

思考

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

当气球的空气容量从V1增加到V2时,

气球的平均膨胀率是多少?

可以看出, 随着跳后的时间的推移,

h(t)=

1 2 gt 2

小男孩下落的速度越来越大。 h(t 2 ) ? h(t1 ) 思考

t 2 ? t1

小男孩跳后的时间从t1变化到t2时,

平均速度是多少。

例1、自由落体运动的运动方程为s=

1 2 2 gt ,

计算t从3s到3.1s, 3.01s , 3.001s 各段时间
内的平均速度(位移的单位为m)。 解:设在[3,3.1]内的平均速度为v1,则 △t1=3.1-3=0.1(s)

△s1=s(3.1)-s(3)=0.5g× 3.12-0.5g×32
=0.305g(m)

所以

?s1 0.305g v1 ? ? ? 3.05g (m / s) ?t1 0.1
?s2 0.03005g 同v2 ? ?t ? 0.01 ? 3.005g(m / s) 2



?s3 0.0030005 g v3 ? ? ? 3.0005g (m / s) ?t3 0.001

练习1、求函数y=5x2+6在区间[2,2+△x]

内的平均变化率。
△ y=[5(2+ △x)2+6]-(5×22+6) =20△x+5△x2
?y ?20?5?x 所 ?x

以 平

小 结:
函数f(x)从x1到x2的平均变化率:
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1



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