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抛物线的提升练习[1]



1. 有一张长为 8,宽为 4 的矩形纸片 ABCD,按图示方法进行折叠,使每次折叠后点 B 都落 在 AD 边上, 此时将 B 记为 B' 注: ( 图中 EF 为折痕, F 也可落在边 CD 上)过 B' 作 B ' T // CD 点 。 交 EF 于 T 点, (1)求 T 点的轨迹所在的曲线 E 方程 (2)是否存在过点 B 的直线交曲线 E 于

M,N 两点,使得以 MN 为直径的圆经过曲线 E 的顶 点,若存在求出直线方程;若不存在,说明理由;
A

B'

D

E T B F C

4. 已知点 B 10 (-1, , (1, , 是平面上一动点, 0) C 0) P 且满足 (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2) 已知点 A (m,2) 在曲线 C 上, 过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE, AD⊥AE, 且 判断:直线 DE 是否过定点?试证明你的结论. (3)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE,且 AD、AE 的斜率 k1、k2 满足 k1·k2=2.求证:直线 DE 过定点,并求出这个定点.

5.已知定点 F 为 (0, (a≠0) 点 P、 分别在 x 、 轴上, a) , M y 满足 FP· MP=0,点 N 满足 PM+PN=0. (1)求 P 点 N 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作一条斜率为 k 的直线 l,l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 G(0,-a) ,∠AGB=θ , 求证:0﹤θ ≦π /2.

6.设 A(a,0)(a>0),B、C 分别为 x 轴、y 轴上的点,非零向量 BP 满足 BP=2BC,BP⊥AC. (1)当点 B 在 x 轴上运动时,求点 P 的轨迹 E 的方程; (2)设 L 是曲线 E 在点 P 处的切线,与 x 轴交于点 M,F 的曲线 E 的焦点,求证:△FMP 是 等腰三角形; (3)设 Q 是曲线 E 上异于 P 的点,且 OP·OQ=0,求证:直线 PQ 过定点

7. 已知抛物线 y2=-4x 的焦点 F,其准线与 x 轴交于点 M,过点 M 作斜率为 k 的直线 L,与抛物 线交于 A、B 两点,弦 AB 的中点为 P,AB 的中垂线与 x 轴交于点 E(x0,0). (1)求 k 的取值范围; (2)求证:x0<-3; (3)△PEF 能否成为以 EF 为底的等腰三角形?若能,求出此时的 k 值;若不能,请说明理 由。

8.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2) (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 L,使得直线 L 与抛物线 C 有公共点,且 直线 OA 与 L 的距离等于√5/5?若存在,求直线 L 的方程;若不存在,说明理由。

9.已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都 是1 (1)求曲线 C 的方程; (2) 是否存在正数 m, 对于过点 M m,0) ( 且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线, 都有 FA· FB<0? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由

10. 设 P(a, b)(b ? 0) 是平面直角坐标系 xOy 中的点,l 是经过原点与点 (1, b) 的直线,记 Q
2 是直线 l 与抛物线 x ? 2 py ( p ≠0)的异于原点的交点.

(1)已知 a ? 1, b ? 2, p ? 2 .,求点 Q 的坐标; ( 2 ) 已 知 点 P(a, b)(ab ? 0) 在 椭 圆

x2 1 ? y 2 ? 1上, p ? . 求证:点 Q 落在双曲线 4 2ab

4x2 ? 4 y 2 =1 上;
(3)已知动点 P (a, b) 满足 ab ? 0 , p ?

1 ,若点 Q 始终落在一条关于 x 轴对称的抛物 2ab

线上,试问动点 P 的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由.

11. 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的对称轴上一点 A? a,0?? a ? 0? 的直线与抛物线相交 于 M、N 两点,自 M、N 向直线 l : x ? ? a 作垂线,垂足分别为 M 1 、 N1 。 (Ⅰ)当 a ? (Ⅱ)记

p 时,求证: AM1 ⊥ AN1 ; 2

?AMM1 、 ?AM1 N1 、 ?ANN1 的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 ,是否存在
2

? ,使得对任意的 a ? 0 ,都有 S2

? ? S1S2 成立。若存在,求出 ? 的值;若不存在,说

明理由。 (本题主要考察抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知 识进行推理运算的能力。)

最值问题 12.设 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点,F 为抛物线的焦点 (1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值; (2)若 B(3,2) ,求|PB|+|PF|的最小值

13.已知抛物线 y2=2x (1)设点 A 的坐标为(2/3,0) ,求曲线上与点 A 距离最近的点 P 的坐标及相应的|PA| 的值; (2)设点 A 坐标为(a,0) ,a∈R,求曲线上的点到点 A 的距离的最小值 d,并写出 d=f(a) 的函数表达式

14.定长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 y2=x 上移动,求 AB 中点 M 到 y 轴距离的最小 值

15.已知直线 L1:4x-3y+6=0 和直线 L2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 L1 和直线 L2 的距离之和的最小值 16.已知点 P 是抛物线 y2=4x 上一点, 设点 P 到此抛物线准线的距离为 d1,到直线 x+2y-12 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值是

17.若点 P 在抛物线 y=3x +4x+2 上,A(0,-3),B(-1,-1) ,要使△ABP 的面积最小,则点 P 的坐标为( )

2

18.已知抛物线 y2=4x 的顶点 O,点 A(5,0),倾斜角为π /4的直线 L 与线段 OA 相交 但不过 O、A 两点,且交抛物线于 M,N 两点,求使△AMN 面积最大的直线 L 的方程,并求 △AMN 的最大面积

19.已知定点 A(0,p)(p>0)和长度为 2p 的线段 MN,当线段 MN 在 x 轴上滑动时,设 |AM|=L1,|AN|=L2,∠MAN=θ (1) 求△MAN 的外接圆圆心 C 的轨迹方程; (2) 当△MAN 的外接圆圆心 C 在上述轨迹上运动时,能否使θ 为钝角?若能,试求 C 的 相应的运动范围或位置;若不能,试说明理由 (3) 求 L1/L2+L2/L1 的最大值

定值类问题 20.过抛物线 y2=2px(p>0)的顶点任意作两条互相垂直的弦 OA、OB,求证:直线 AB 过抛物 线对称轴上的一定点

21.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 C 在抛物线的准线上, 且 BC∥x 轴,求证:直线 AC 经过原点 O

中点弦与对称问题 22.已知抛物线 y2=2x,过点 Q(2,1)作一条直线交抛物线于 A,B 两点,试求弦 AB 的 中点的轨迹方程

23.在抛物线 y=x2 上存在两个不同的 M、N,关于直线 y=-kx+9/2 对称,求 k 的范围

24.已知直线 L:y=kx 和抛物线 C:(y+1)2=3(x-1) (1) k=-1/3 时,求点 M(3,0)关于直线 L 的对称点 N 的坐标,并判断点 N 是否在抛 物线 C 上; (2)当 k 变化(k≠0)且直线 L 与抛物线 C 有公共点时,点 P(a,0)关于直线 L 的对称 点为 Q(x0,y0) ,请写出 x0 关于 k 的函数关系式 x0=f(k),并求出点 Q 在直线 x=1 上时 a 的取 值范围。



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