2013-2014学年第一学期期中高三年级

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2013-2014 学年第一学期期中高三年级 数学试卷讲评建议
(考试用时：120 分钟 满分 160 分)

一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）
1.已知集合 M ? {?1,1,2} ，集合 N ? x 0 ? x ? 2 ，则 M ? N = 2.设向量 a, b 满足： a ?

?

?

．? ? 1 ．

3 , b ? 1, a ? b ?

3 , 则向量 a, b 的夹角为 2

? 6

3.若 a ? 0.6 0.6 , b ? 0.6 0.7 , c ? 1.2 0.7 ，试比较 a, b, c 大小

．c ? a ? b

4.已知函数 f (x) 是奇函数，且当 x ? 0 时， f ( x) ? x 3 ? 2x ? 1 ，则当 x ? 0 时， f (x) 的 解析式为 5.计算： e ln 3 ? log ． f ( x) ? x 3 ? 2x ? 1

9 ? ?0.125? 3 = 3
? 2

． 11 ．

6. 在 ?ABC ，已知 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ? 0 ，则 ? A 的大小为

2π 3
7. 已知函数 f ( x) ? x ?

4 , x ? ?1,5? ,则函数 f ( x) 的值域为 x
2

. ? 4,

? 29 ? ? 5? ?

8. 已知函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ? a 在 x ? R 上有三个零点，则实数 a 的取值范围是
3

?4? a ?0
3 2 变题：已知函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ? a 在 [ , ] 上有三个零点，则实数 a 的取值范围是

1 7 2 2

?4? a ? ?

25 8

? 9. (理科)已知集合 A ? x 4 ? 2k ? x ? 2k ? 8 , B ? x ? k ? x ? k , 若 A ≠ B , 则实数

?

?

?

?

k 的取值范围是____________________ 解析:(0, 4]
（文科）集合 A ? x x ? 3n, n ? N ,0 ? n ? 10 ， B ? y y ? 5m, m ? N ,0 ? m ? 6 , 则集合 A ? B 的所有元素之和为 解析:225
10. 曲线 y ?

?

?

?

?

1 3 2 和 y ? x 在它们的交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积是 . 4 x
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11. 在 ?ABC 中， AB ? BC ? 3, AC ? 4. 设 O 是 ?ABC 的内心，若 AO ? m AB ? n AC ， 则 m: n ? ．

4:3

法一： （坐标法） 建立以 AC 所在直线为 x 轴， 中垂线为 y 轴的坐标系，A ? ?2,0? ，C ? 2,0? ，

B 0, 5 . 直线 AB 的方程为 5x ? 2 y ? 2 5 ? 0 ，设 O ? 0, a ? ? a ? 0 ? ，由 O 到 AB 、AC ? 2 5 ???? ? 2 5 ? ??? . AO ? ? 2, ? ， AB ? 2, 5 ， ? 3 5 ? 5 ? ? ???? 2 3 AC ? ? 4,0 ? ，由 AO ? m AB ? n AC ，不难解出 m ? ， n ? . 所以 m: n ? 4 : 3. 10 5 法 二 ： 向 量 法 ） 考虑 内心 O 在 角 A 的 平 分 线 上 ， 及角 平 分 线 的 性 质 ， 作 单位 向 量 （ ???? 1 ??? ???? 1 ???? ? ? ???? ???? ???? ? ? AB? ? AB ， AC ? ? AC ，且 AO? ? AB? ? AC? ，则四边形 AB?O?C ? 是菱形， AO? 平 3 4 ???? ???? ? ???? ???? ? ? ? ??? ? ???? ? ? 分角 A ， AO ? ? AO? ? ? AB? ? AC ? ? AB ? AC ，所以 m : n ? : ? 4 : 3. 3 4 3 4 ? ? （此法在任意 ?ABC 中，只要 AB ? 3, AC ? 4 ，就有 m : n ? : ? 4 : 3. ） 3 4 ???? ??? ??? ? ? 法三： （向量法）考虑内心 O 在角 A 的平分线上，及角平分线的性质，将 AO 在 AB 、 AC
的距离相等，得

?

?

?2 a ? 2 5

? a ，解出 a ?

?

?

?

?

BO 3 ? ，又由平行线可得 OD 2 ???? 2 ??? 3 ???? ? B?O 3 C ?O 2 AC ? 3 AB? 2 ? ， ? ，则 ? ? ， 所 以 AO ? AB ? AC ， 比例： ， AD 5 AB 5 AC 10 AB 5 5 10 2 3 m : n ? : ? 4 : 3. 5 10
上分解，作菱形 AB?OC ? ，则 AO ? AB ? ? AC ? ，作高 BD ，则 变 式 ： 1. 在 ?ABC 中 ， AB ? BC ? 3, AC ? 4. 设 O 是 ?ABC 的 外 心 ， 若

????

???? ???? ?

AO ? m AB ? n AC ，则 m: n ?

．

2.已知 I 为 ?ABC 的外心， AB ? AC ? 2 ，若 AI ? x AB ? y AC ( xy ? 0) 且 x ? 2 y ? 1 ，则 ?ABC 的面积为 链接：三角形有关内心性质： （1） O 是 ?ABC 的内心， ?A, ?B, ?C 所对的边分别为 a, b, c ，则 aOA ? bOB ? cOC ? 0. （2）已知 O 是 ?ABC 的内心，若 AB ? c ， AC ? b ，则 AO ? ?bAB ? ?cAC. 12. （理科）已知函数 y ? log 1 ( x ? ax ? 3a) 在 ?2,??? 上为减函数，则实数 a 的取值范围
2 2

. 3.

??? ?

??? ?

??? ?

?

????

??? ?

??? ?

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是

． ?? 4,4?

变 题 ： 已 知 函 数 y ? log 1 ( x 2 ? ax ? 3a) 在 (2,?? 上 为 减 函 数 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围
2

是

． [?4,4]

（文科）已知函数 f ( x) ?

3x , 正项等比数列 ?an ? 满足 a50 ? 1 ，则 f (ln a1 ) ? 3x ? 1
．

f (ln a2 ) ? f (ln a3 ) ? ? ? f (ln a99 ) ?
提示

99 2

f ( x) ? f ( ? x) ?

3x 3? x ? ?x ?1 3x ? 1 3 ? 1

? x ? y ? 2 ? 0, y2 ? x2 ? ? 8 3? 13.设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0, 则 u ? 的取值范围是 ?? , ? ． xy ? 3 2? ? y ? 2 ? 0, ?
解 u?

y x ? x y

设t ?

y x

由线性规划先求得： t ? [ ,2]

1 3

而 u ? t ? 在 [ ,2] 上递增

1 t

1 3

所以 易得 u ? t ? ? ?? , ? t ? 3 2? 14. 已知 f ( x) ?

1

? 8 3?

x 4 ? kx 2 ? 1 则 (k , x ? R) ， f (x) 的最大值与最小值的乘积为 x4 ? x2 ?1

k?2 3

。

解析： f ( x) ?

x 4 ? kx 2 ? 1 (k ? 1) x 2 ? 1? 4 , 而 x 4 ? 1 ? 2x 2 ， 4 2 2 x ? x ?1 x ? x ?1

所以 0 ?

x2 1 ? . 4 2 x ? x ?1 3

k?2 , f ( x) min ? 1; 3 k?2 , f ( x) max ? 1. 当 k ? 1 时， f ( x) min ? 3 k?2 . 因此 f (x) min f ( x) max ? 3
当 k ? 1 时， f ( x) max ? 法二：当 x ? 0 时， f ( x) ? 1

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1 x2 当 x ? 0 时， f ( x) ? 1 x2 ?1? 2 x t?k k ?1 ? 1? 则 设 g (t ) ? t ?1 t ?1 x2 ? k ?

设 t?x ?
2

1 ?2 x2

当 k ? 1 时， f ( x) max ? g (t ) max ? 当 k ? 1 时， f ( x) max ? g (t ) max

k?2 , f ( x) min ? g (t ) min ? 1; 3 k?2 ; ? 1, f ( x) min ? g (t ) min ? 3

二、解答题（本题共 6 小题，共 90 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15 ． 本 小 题 满 分 14 分 ） 在 ?ABC 中 ， 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c ． 已 知 （

? m ? 2 c o sA, 3 si nA ， n ? ?cos A,?2 cos A? n ? (cos A, ?2cos A) ， m ? n ? ?1 ．
(1) 求 ? A 的大小; （2）若 a ? 2 3 ， c ? 2 ，求 ?ABC 的面积. 解析： （1）由 2cos A ? 2 3sin Acos A ? ?1 可知， sin ? 2 A ?
2

?

?

? ?

??

? ?1， 6?

???4 分

因为 0 ? A ? ? ，所以 2 A ?

?

? ? 11? ?? ? , 6 ? 6 6

? ? ? ? ? ,所以 2 A ? 6 ? 2 ，即 A ? 3 ?

??8 分

(2)由正弦定理可知： 所以 C ?

a c 1 ? 2? ? ? ，所以 sin C ? ，因为 C ? ? 0, ? sin A sin C 2 ? 3 ?

?
6

，所以 B ?

?
2

????????12 分

所以 S ?ABC ?

1 ? 2 ? 2 3 ? 2 3. 2

????????14 分

16． （本小题满分 14 分） （1）解不等式： log 2 ( x ?
2

1 ? 6) ? 3 ； x

（2）已知集合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} ， B ? {x | 0 ? ax ? 1 ? 3} ． 若 A ? B ? B ，求实数 a 的取值组成的集合． 解： （1） log 2 ( x ?

1 1 ? 6) ? 3 ? 0 ? x ? ? 6 ? 8 x x
2

??????2 分

当x ? 0时, ? x 2 ? 1 ? 6 x ? 8 x ? ? x ? 1? ? 0 ? x ? 1 0 当x ? 0时, x ? x ? 1 ? 6 x ? 0 ? ?3 ? 2 2 ? x ? ?3 ? 2 2 8
2

????6 分

综上： x ?3 ? 2 2 ? x ? ?3 ? 2 2或x ? 1

?

?

??????????7 分

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（2）? A ? B ? B ，? A ? B ，

?????????????9 分

??1 ? a ? 2 ?0 ? a ? 1 ? 3 1 ? ?? ,? ? 1 ,?? ? a ? 1 ， 2 ?0 ? 2 a ? 1 ? 3 ? ? ? a ? 1 ? 2
所以实数 a 的取值组成的集合为 [ ?

?????13 分

1 ,1] ． 2

???????14 分

17． （本小题满分 15 分）已知某公司生产品牌服装的年固定成本为 10 万元，每生产千件， 须另投入 2.7 万元。设该公司年内共生产品牌服装 x 千件并全部销售完，每千件的销售收

1 2 ? ?10.8 ? 30 x , 入为 R (x) 万元，且 R( x) ? ? 108 1000 ? ? , 3x 2 ? x

0 ? x ? 10 x ? 10

（1）写出年利润 W （万元）关于年产量 x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？

x3 ? 10 ； 解 （1）当 0 ? x ? 10 时， W ? xR( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 8.1x ? 30
当 x ? 10 时， W ? xR ( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 98 ?

1000 ? 2.7 x ， 3x
?????????????6 分

1 ? 8.1x ? x 3 ? 10, ? 30 W ?? 1000 ?98 ? ? 2.7 x, 3x ?

0 ? x ? 10 x ? 10
x2 ? 0 ，得 x ? 9 ， 10
'

' （2）①当 0 ? x ? 10 时， W ? 8.1 ?

当 x ? ?0,9? 时， W ? 0 ；当 x ? ?9,10? 时， W ? 0 ，
'

所以当 x ? 9 时， W 取得最大值，且 Wmax ? 8.1 ? 9 ? ②当 x ? 10 时， W ? 98 ? ( 当且仅当 x ?

1 ? 9 3 ? 10 ? 38.6 ；???9 分 30

1000 1000 ? 2.7 x) ? 98 ? 2 ? 2.7 x ? 38 ， 3x 3x
???12 分

100 100 时， W ? 38 ，故当 x ? 时， W 取最大值 38。 9 9

综合①②知，当 x ? 9 时， W 取得最大值． 所以当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大???15 分 18． （本小题满分 15 分）

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设函数 f ( x) ?

? 2x ? a (a ? 0, b ? 0). 2 x ?1 ? b

（1） 当 a ? b ? 2 时，证明：函数 f (x) 不是奇函数； （2） 设函数 f (x) 是奇函数，求 a 与 b 的值； （3） 在（2）的条件下， 判断并证明函数 f (x) 的单调性，并求不等式 f ( x) ? ?

1 的解集。 6

? 2x ? 2 , 解析： （1）当 a ? b ? 2 时， f ( x) ? x ?1 2 ?2

1 ?2 ?2 ?2 1 2 ? 0 ， f (?1) ? 所以 f (1) ? 2 ? , 2 ?2 1? 2 2 ?
所以 f (?1) ? ? f (1) ，从而 f (x) 不是奇函数。 （2）由函数 f (x) 是奇函数，得 f (? x) ? ? f ( x) ， ?????????4 分

? 2?x ? a ? 2x ? a ? ? x ?1 即 ? x ?1 对定义域内任意实数 x 都成立，化简整理得 2 ?b 2 ?b

(2a ? b) ? 2 2 x ? (2ab ? 4) ? 2 x ? (2a ? b) ? 0 ，它对定义域内任意实数 x 都成立，
所以 ?

? 2a ? b ? 0, ?a ? ?1, ? a ? 1, 所以 ? 或? ?2ab ? 4 ? 0, ? b ? ?2 ?b ? 2. ? a ? 1, 符合题意． ?b ? 2,
?????????9 分

经检验 ?

注：1.若学生用 f (0) ? 0 求解，必须要有“经检验” 。 2.若去除已知条件： a ? 0, b ? 0 ，用 f (0) ? 0 求解时，就会出现漏解。因为函数在 0 处不一定有定义。 （3）由（2）可知 f ( x) ?

? 2x ?1 ? 2x ?1 1 2 ? (?1 ? x ) , 由 f ( x) ? x ?1 x ?1 2 ?2 2 2 ?1 2 ?2

易判断 f (x) 为 (??,??) 上的减函数。证明略（定义法或导数法） 由 f (1) ? ? 可得 x ? 1.

1 1 ，不等式 f ( x) ? ? 即为 f ( x) ? f (1) ，由 f (x) 为 (??,??) 上的减函数 6 6

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或者由 f ( x) ? ?

1 ? 2x ?1 1 ? ? ? ?3 ? 2 x ? 3 ? ?2 x ? 1 ， 即 x ?1 6 2 ?2 6
?????????15 分

所以 2 ? 2 x ? 4 ? 2 x ? 2, 所以 x ? 1. 19． （本小题满分 16 分） (理科)已知函数 f ( x) ? x ln x

（1）若存在 x ? ? , e? ，使不等式 2 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 成立，求实数 a 的取值范围； e （2）设 0 ? a ? b ，证明: f (a) ? f (b) ? 2 f ( 解析：

?1 ? ? ?

a?b )?0 2

2 f ( x) ? x 2 ? 3 3 ? 2 ln x ? x ? . x x 2 3 ' 2 3 x ? 2 x ? 3 ( x ? 1)(x ? 3) ? 令 g ( x ) ? 2 ln x ? x ? . g ( x) ? ? 1 ? 2 ? ， x x x x2 x2
（1）由 2 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 变形为 a ? 故当 x ? (

当 x ? (1, e) 时， g ' ( x) ? 0 ， g (x) 在 ?1, e? 上单调递增。 所以 g (x) 的最大值只能在或 x ?

1 ,1) 时， g ' ( x) ? 0 ， g (x) 在 ? 1 ,1? 上单调递减； ?e ? e ? ?

1 或 x ? e 处取得。 ?????????5 分 e 1 ?1 ? 下面来比较函数 g (x) 在区间 ? , e? 上，端点函数值 g ( ) 与 g (e) 的大小。 e ?e ? 1 1 1 1 而 g ( ) ? 3e ? ? 2 ， g (e) ? e ? 2 ? ， g ( ) ? g (e) ， e e e e 1 1 1 所以 g ( x) max ? g ( ) ? 3e ? ? 2 ，从而 a ? 3e ? ? 2 。?????????10 分 e e e ' （2）∵ f ( x) ? x ln x. ∴ f ( x) ? ln x ? 1 a?x a?x a?x 设 F ( x) ? f (a) ? f ( x) ? 2 f ( ) 则 F ' ( x) ? f ' ( x) ? f ' ( ) ? ln x ? ln 2 2 2 ' 当 0 ? x ? a 时， F ( x) ? 0 ， F (x) 在 ?0, a ? 上为减函数；
当 x ? a 时， F ( x) ? 0 ， F (x) 在 ?a,??? 上为增函数。
'

从而当 x ? a 时 F ( x) min ? F (a) ? 0 ， ∵ b ? a ，∴ f (a) ? f (b) ? 2 f ( 法二：

a?b )?0。 2

?????????16 分

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a?b a?b ) ? a ln a ? b ln b ? (a ? b) ln 2 2 2b 2a 2b 2 b ? a ln ? b ln ? a(ln ? ln a ) b a b a?b a?b 1? 1? a a f (a) ? f (b) ? 2 f (
设t ?

b a

∵ b ? a ? 0 ，∴ t ? 1

设函数 g (t ) ? ln 所以

2 2t 2t ? t ln g ?(t ) ? ln ? ln 2 ? 0 1? t 1? t 1? t a?b g (t ) ? g (1) ? 0 ∴ f (a) ? f (b) ? 2 f ( )?0 2
?

（文科） 已知数列 ?an ? 的前 n 项的和为 S n ， Pn (n, S n ) n ? N ） 点 （ 在函数 f ( x) ? ? x 2 ? 7 x 的图象上． （1）求数列 ?an ? 的通项公式及 S n 的最大值； （2）令 bn ? （3）设 cn ?

2 an ( n ? N ? ) ，求数列 ?nbn ?的前 n 项的和；

k 1 ，数列 ?cn ? 的前 n 项的和为 Rn ，求使不等式 Rn ? 对一切 57 (7 ? an )(9 ? an )

n ? N ? 都成立的最大正整数 k 的值。
解析： （1）因为点 Pn (n, S n ) （ n ? N ）在函数 f ( x) ? ? x ? 7 x 的图象上．
2
?

所以 S n ? ?n 2 ? 7n ， 当 n ? 1 时， a1 ? S1 ? 6 ；当 n ? 2 时， an ? S n ? S n?1 ? ?2n ? 8 , 所以 an ? ?2n ? 8 . 令?

? a n ? ?2n ? 8 ? 0, 解得 3 ? n ? 4 , ?a n ?1 ? ?2n ? 6 ? 0,
?????????5 分

所以当 n ? 3 或 n ? 4 时, S n 取得最大值 12. （2）由题意得 b1 ? ∴

26 ? 8 , bn ? 2 ?2 n ?8 ? 2 ? n ? 4 ,

bn?1 1 1 ? , 即数列 ?bn ? 是以 8 为首项, 为公比的等比数列. 2 bn 2

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所以数列 ?nbn ?的前 n 项和

Tn ? 1? 23 ? 2 ? 22 ? ? ? (n ? 1) ? 2?n?5 ? n ? 2 ?n?4 ,

①

1 Tn ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 ? n ? 4 ? n ? 2 ? n ?3 , ② 2 1 3 2 ?n? 4 ? n ? 2 ? n ?3 , ①-②得 Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 1 16[1 ? ( ) n ] 2 ∴ Tn ? ? n ? 2 4?n ? 32 ? (n ? 2) ? 2 4?n (n ? N ? ) ?????????11 分 1 1? 2
（3）由（1）得 c n ? ∴ Rn ?

1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? (7 ? a n )(9 ? a n ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] ? (1 ? ) 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 1 1 ? Rn ? (1 ? ) 在 n ? N ? 上单调递增, 2 2n ? 1 1 ∴ Rn 的最小值为 R1 ? . 3 ? k 1 k ? ,即 k ? 19 . ∵不等式 Rn ? 对一切 n ? N 都成立,∴ 57 57 3
所以最大正整数 k 的值为 18. 20． （本小题满分 16 分）
3 2 2 2 设函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ? 1, g ( x) ? ax ? 2 x ? 1其中实数 a ? 0 ．

?????????16 分

（1）若 a ? 0 ，求函数 f (x) 的单调区间； （2） 当函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 的图象只有一个公共点且 g (x) 存在最小值时， g (x) 的 记 最小值为 h(a) ，求 h(a) 的值域； （3）若 f (x) 与 g (x) 在区间 (a, a ? 2) 内均为增函数，求 a 的取值范围．

a )( x ? a ) ，又 a ? 0 ， 3 ? 当 x ? ?a 或 x ? a 时， f ' ( x) ? 0 ；当 ? a ? x ? a 时， f ' ( x) ? 0 ， 3 3
解： （1）? f ( x) ? 3 x ? 2ax ? a ? 3( x ?
' 2 2

? f (x) 在 ?? ?,?a ? 和 ? a ,?? ? 内是增函数，在 ? ? a, a ? 内是减函数．?????4 分 ? ? ? ? 3? ?3 ? ?

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（Ⅱ）由题意知 x ? ax ? a x ? 1 ? ax ? 2 x ? 1 ，
3 2 2 2

即 x x 2 ? a 2 ? 2 ? 0 恰有一根（含重根） ? a ? 2 ? 0 ，即 ? 2 ? a ? ．
2

?

?

??

2，

又 a ? 0 ，? a ? ? 2 ,0 ? 0, 2 ．当 a ? 0 时， g (x) 才存在最小值，

?

? ?

?

? a ? 0, 2 ．? g ( x) ? a? x ? 1 ? ? a ? 1 ，? h( x ) ? a ? 1 ， a ? 0, 2 ． ? ? a a? a ?
? ? ? h(a) 的值域为 ? ? ?,1 ? 2 ? ． ? 2 ? ?
（3） a ? 0 时， f (x) 在 ?? ?,?a ? 和 ? 当 ?????????10 分

?

?

2

?

?

?a ? ?1 ? ,?? ? 内是增函数，g (x) 在 ? ,?? ? 内是增函数． ?3 ? ?a ?

? ? a ? 0, ? a ? 由题意得 ?a ? , ，解得 a ? 1 ； 3 ? 1 ?a ? , ? a ?
当 a ? 0 时， f (x) 在 ? ? ?,

?????????13 分

? ?

a? 1? ? ? 和 ?? a,???内是增函数， g (x) 在 ? ? ?, ? 内是增函数． 3? a? ?

? ? a ? 0, ? a ? 由题意得 ?a ? 2 ? , 解得 a ? ?3 ； 3 ? 1 ?a ? 2 ? , ? a ?
综上可知，实数 a 的取值范围为 ?? ?,?3? ? ?1,??? ． 法二： f ( x) ? 3x ? 2ax ? a
' 2 2

?????????16 分

g ' ( x) ? 2ax ? 2

因为 f (x) 与 g (x) 在区间 (a, a ? 2) 内均为增函数
' 2 所以 g (a) ? 2a ? 2 ? 0 解得： a ? 1 或 a ? ?1 ' 当 a ? 1 时，只需 f (a) ? 0

得 a ?1 得 a ? ?3 所以 a ? ?3

' 当 a ? ?1 时，只需 f (a ? 2) ? 0

综上，可得：实数 a 的取值范围为 ?? ?,?3? ? ?1,???

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