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2013-2014学年第一学期期中高三年级



DBFQ SYY DYPT DFDF

2013-2014 学年第一学期期中高三年级 数学试卷讲评建议
(考试用时:120 分钟 满分 160 分)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
1.已知集合 M ? {?1,1,2} ,集合 N ? x 0 ? x ? 2 ,则 M ? N = 2

.设向量 a, b 满足: a ?

?

?

.? ? 1 .

3 , b ? 1, a ? b ?

3 , 则向量 a, b 的夹角为 2

? 6

3.若 a ? 0.6 0.6 , b ? 0.6 0.7 , c ? 1.2 0.7 ,试比较 a, b, c 大小

.c ? a ? b

4.已知函数 f (x) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 3 ? 2x ? 1 ,则当 x ? 0 时, f (x) 的 解析式为 5.计算: e ln 3 ? log . f ( x) ? x 3 ? 2x ? 1

9 ? ?0.125? 3 = 3
? 2

. 11 .

6. 在 ?ABC ,已知 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ? 0 ,则 ? A 的大小为

2π 3
7. 已知函数 f ( x) ? x ?

4 , x ? ?1,5? ,则函数 f ( x) 的值域为 x
2

. ? 4,

? 29 ? ? 5? ?

8. 已知函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ? a 在 x ? R 上有三个零点,则实数 a 的取值范围是
3

?4? a ?0
3 2 变题:已知函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ? a 在 [ , ] 上有三个零点,则实数 a 的取值范围是

1 7 2 2

?4? a ? ?

25 8

? 9. (理科)已知集合 A ? x 4 ? 2k ? x ? 2k ? 8 , B ? x ? k ? x ? k , 若 A ≠ B , 则实数

?

?

?

?

k 的取值范围是____________________ 解析:(0, 4]
(文科)集合 A ? x x ? 3n, n ? N ,0 ? n ? 10 , B ? y y ? 5m, m ? N ,0 ? m ? 6 , 则集合 A ? B 的所有元素之和为 解析:225
10. 曲线 y ?

?

?

?

?

1 3 2 和 y ? x 在它们的交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积是 . 4 x
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11. 在 ?ABC 中, AB ? BC ? 3, AC ? 4. 设 O 是 ?ABC 的内心,若 AO ? m AB ? n AC , 则 m: n ? .

4:3

法一: (坐标法) 建立以 AC 所在直线为 x 轴, 中垂线为 y 轴的坐标系,A ? ?2,0? ,C ? 2,0? ,

B 0, 5 . 直线 AB 的方程为 5x ? 2 y ? 2 5 ? 0 ,设 O ? 0, a ? ? a ? 0 ? ,由 O 到 AB 、AC ? 2 5 ???? ? 2 5 ? ??? . AO ? ? 2, ? , AB ? 2, 5 , ? 3 5 ? 5 ? ? ???? 2 3 AC ? ? 4,0 ? ,由 AO ? m AB ? n AC ,不难解出 m ? , n ? . 所以 m: n ? 4 : 3. 10 5 法 二 : 向 量 法 ) 考虑 内心 O 在 角 A 的 平 分 线 上 , 及角 平 分 线 的 性 质 , 作 单位 向 量 ( ???? 1 ??? ???? 1 ???? ? ? ???? ???? ???? ? ? AB? ? AB , AC ? ? AC ,且 AO? ? AB? ? AC? ,则四边形 AB?O?C ? 是菱形, AO? 平 3 4 ???? ???? ? ???? ???? ? ? ? ??? ? ???? ? ? 分角 A , AO ? ? AO? ? ? AB? ? AC ? ? AB ? AC ,所以 m : n ? : ? 4 : 3. 3 4 3 4 ? ? (此法在任意 ?ABC 中,只要 AB ? 3, AC ? 4 ,就有 m : n ? : ? 4 : 3. ) 3 4 ???? ??? ??? ? ? 法三: (向量法)考虑内心 O 在角 A 的平分线上,及角平分线的性质,将 AO 在 AB 、 AC
的距离相等,得

?

?

?2 a ? 2 5

? a ,解出 a ?

?

?

?

?

BO 3 ? ,又由平行线可得 OD 2 ???? 2 ??? 3 ???? ? B?O 3 C ?O 2 AC ? 3 AB? 2 ? , ? ,则 ? ? , 所 以 AO ? AB ? AC , 比例: , AD 5 AB 5 AC 10 AB 5 5 10 2 3 m : n ? : ? 4 : 3. 5 10
上分解,作菱形 AB?OC ? ,则 AO ? AB ? ? AC ? ,作高 BD ,则 变 式 : 1. 在 ?ABC 中 , AB ? BC ? 3, AC ? 4. 设 O 是 ?ABC 的 外 心 , 若

????

???? ???? ?

AO ? m AB ? n AC ,则 m: n ?



2.已知 I 为 ?ABC 的外心, AB ? AC ? 2 ,若 AI ? x AB ? y AC ( xy ? 0) 且 x ? 2 y ? 1 ,则 ?ABC 的面积为 链接:三角形有关内心性质: (1) O 是 ?ABC 的内心, ?A, ?B, ?C 所对的边分别为 a, b, c ,则 aOA ? bOB ? cOC ? 0. (2)已知 O 是 ?ABC 的内心,若 AB ? c , AC ? b ,则 AO ? ?bAB ? ?cAC. 12. (理科)已知函数 y ? log 1 ( x ? ax ? 3a) 在 ?2,??? 上为减函数,则实数 a 的取值范围
2 2

. 3.

??? ?

??? ?

??? ?

?

????

??? ?

??? ?

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. ?? 4,4?

变 题 : 已 知 函 数 y ? log 1 ( x 2 ? ax ? 3a) 在 (2,?? 上 为 减 函 数 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围
2



. [?4,4]

(文科)已知函数 f ( x) ?

3x , 正项等比数列 ?an ? 满足 a50 ? 1 ,则 f (ln a1 ) ? 3x ? 1


f (ln a2 ) ? f (ln a3 ) ? ? ? f (ln a99 ) ?
提示

99 2

f ( x) ? f ( ? x) ?

3x 3? x ? ?x ?1 3x ? 1 3 ? 1

? x ? y ? 2 ? 0, y2 ? x2 ? ? 8 3? 13.设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0, 则 u ? 的取值范围是 ?? , ? . xy ? 3 2? ? y ? 2 ? 0, ?
解 u?

y x ? x y

设t ?

y x

由线性规划先求得: t ? [ ,2]

1 3

而 u ? t ? 在 [ ,2] 上递增

1 t

1 3

所以 易得 u ? t ? ? ?? , ? t ? 3 2? 14. 已知 f ( x) ?

1

? 8 3?

x 4 ? kx 2 ? 1 则 (k , x ? R) , f (x) 的最大值与最小值的乘积为 x4 ? x2 ?1

k?2 3



解析: f ( x) ?

x 4 ? kx 2 ? 1 (k ? 1) x 2 ? 1? 4 , 而 x 4 ? 1 ? 2x 2 , 4 2 2 x ? x ?1 x ? x ?1

所以 0 ?

x2 1 ? . 4 2 x ? x ?1 3

k?2 , f ( x) min ? 1; 3 k?2 , f ( x) max ? 1. 当 k ? 1 时, f ( x) min ? 3 k?2 . 因此 f (x) min f ( x) max ? 3
当 k ? 1 时, f ( x) max ? 法二:当 x ? 0 时, f ( x) ? 1

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1 x2 当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 x2 ?1? 2 x t?k k ?1 ? 1? 则 设 g (t ) ? t ?1 t ?1 x2 ? k ?

设 t?x ?
2

1 ?2 x2

当 k ? 1 时, f ( x) max ? g (t ) max ? 当 k ? 1 时, f ( x) max ? g (t ) max

k?2 , f ( x) min ? g (t ) min ? 1; 3 k?2 ; ? 1, f ( x) min ? g (t ) min ? 3

二、解答题(本题共 6 小题,共 90 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15 . 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c . 已 知 (

? m ? 2 c o sA, 3 si nA , n ? ?cos A,?2 cos A? n ? (cos A, ?2cos A) , m ? n ? ?1 .
(1) 求 ? A 的大小; (2)若 a ? 2 3 , c ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 解析: (1)由 2cos A ? 2 3sin Acos A ? ?1 可知, sin ? 2 A ?
2

?

?

? ?

??

? ?1, 6?

???4 分

因为 0 ? A ? ? ,所以 2 A ?

?

? ? 11? ?? ? , 6 ? 6 6

? ? ? ? ? ,所以 2 A ? 6 ? 2 ,即 A ? 3 ?

??8 分

(2)由正弦定理可知: 所以 C ?

a c 1 ? 2? ? ? ,所以 sin C ? ,因为 C ? ? 0, ? sin A sin C 2 ? 3 ?

?
6

,所以 B ?

?
2

????????12 分

所以 S ?ABC ?

1 ? 2 ? 2 3 ? 2 3. 2

????????14 分

16. (本小题满分 14 分) (1)解不等式: log 2 ( x ?
2

1 ? 6) ? 3 ; x

(2)已知集合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | 0 ? ax ? 1 ? 3} . 若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值组成的集合. 解: (1) log 2 ( x ?

1 1 ? 6) ? 3 ? 0 ? x ? ? 6 ? 8 x x
2

??????2 分

当x ? 0时, ? x 2 ? 1 ? 6 x ? 8 x ? ? x ? 1? ? 0 ? x ? 1 0 当x ? 0时, x ? x ? 1 ? 6 x ? 0 ? ?3 ? 2 2 ? x ? ?3 ? 2 2 8
2

????6 分

综上: x ?3 ? 2 2 ? x ? ?3 ? 2 2或x ? 1

?

?

??????????7 分

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(2)? A ? B ? B ,? A ? B ,

?????????????9 分

??1 ? a ? 2 ?0 ? a ? 1 ? 3 1 ? ?? ,? ? 1 ,?? ? a ? 1 , 2 ?0 ? 2 a ? 1 ? 3 ? ? ? a ? 1 ? 2
所以实数 a 的取值组成的集合为 [ ?

?????13 分

1 ,1] . 2

???????14 分

17. (本小题满分 15 分)已知某公司生产品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产千件, 须另投入 2.7 万元。设该公司年内共生产品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件的销售收

1 2 ? ?10.8 ? 30 x , 入为 R (x) 万元,且 R( x) ? ? 108 1000 ? ? , 3x 2 ? x

0 ? x ? 10 x ? 10

(1)写出年利润 W (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?

x3 ? 10 ; 解 (1)当 0 ? x ? 10 时, W ? xR( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 8.1x ? 30
当 x ? 10 时, W ? xR ( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 98 ?

1000 ? 2.7 x , 3x
?????????????6 分

1 ? 8.1x ? x 3 ? 10, ? 30 W ?? 1000 ?98 ? ? 2.7 x, 3x ?

0 ? x ? 10 x ? 10
x2 ? 0 ,得 x ? 9 , 10
'

' (2)①当 0 ? x ? 10 时, W ? 8.1 ?

当 x ? ?0,9? 时, W ? 0 ;当 x ? ?9,10? 时, W ? 0 ,
'

所以当 x ? 9 时, W 取得最大值,且 Wmax ? 8.1 ? 9 ? ②当 x ? 10 时, W ? 98 ? ( 当且仅当 x ?

1 ? 9 3 ? 10 ? 38.6 ;???9 分 30

1000 1000 ? 2.7 x) ? 98 ? 2 ? 2.7 x ? 38 , 3x 3x
???12 分

100 100 时, W ? 38 ,故当 x ? 时, W 取最大值 38。 9 9

综合①②知,当 x ? 9 时, W 取得最大值. 所以当年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大???15 分 18. (本小题满分 15 分)

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设函数 f ( x) ?

? 2x ? a (a ? 0, b ? 0). 2 x ?1 ? b

(1) 当 a ? b ? 2 时,证明:函数 f (x) 不是奇函数; (2) 设函数 f (x) 是奇函数,求 a 与 b 的值; (3) 在(2)的条件下, 判断并证明函数 f (x) 的单调性,并求不等式 f ( x) ? ?

1 的解集。 6

? 2x ? 2 , 解析: (1)当 a ? b ? 2 时, f ( x) ? x ?1 2 ?2

1 ?2 ?2 ?2 1 2 ? 0 , f (?1) ? 所以 f (1) ? 2 ? , 2 ?2 1? 2 2 ?
所以 f (?1) ? ? f (1) ,从而 f (x) 不是奇函数。 (2)由函数 f (x) 是奇函数,得 f (? x) ? ? f ( x) , ?????????4 分

? 2?x ? a ? 2x ? a ? ? x ?1 即 ? x ?1 对定义域内任意实数 x 都成立,化简整理得 2 ?b 2 ?b

(2a ? b) ? 2 2 x ? (2ab ? 4) ? 2 x ? (2a ? b) ? 0 ,它对定义域内任意实数 x 都成立,
所以 ?

? 2a ? b ? 0, ?a ? ?1, ? a ? 1, 所以 ? 或? ?2ab ? 4 ? 0, ? b ? ?2 ?b ? 2. ? a ? 1, 符合题意. ?b ? 2,
?????????9 分

经检验 ?

注:1.若学生用 f (0) ? 0 求解,必须要有“经检验” 。 2.若去除已知条件: a ? 0, b ? 0 ,用 f (0) ? 0 求解时,就会出现漏解。因为函数在 0 处不一定有定义。 (3)由(2)可知 f ( x) ?

? 2x ?1 ? 2x ?1 1 2 ? (?1 ? x ) , 由 f ( x) ? x ?1 x ?1 2 ?2 2 2 ?1 2 ?2

易判断 f (x) 为 (??,??) 上的减函数。证明略(定义法或导数法) 由 f (1) ? ? 可得 x ? 1.

1 1 ,不等式 f ( x) ? ? 即为 f ( x) ? f (1) ,由 f (x) 为 (??,??) 上的减函数 6 6

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或者由 f ( x) ? ?

1 ? 2x ?1 1 ? ? ? ?3 ? 2 x ? 3 ? ?2 x ? 1 , 即 x ?1 6 2 ?2 6
?????????15 分

所以 2 ? 2 x ? 4 ? 2 x ? 2, 所以 x ? 1. 19. (本小题满分 16 分) (理科)已知函数 f ( x) ? x ln x

(1)若存在 x ? ? , e? ,使不等式 2 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 成立,求实数 a 的取值范围; e (2)设 0 ? a ? b ,证明: f (a) ? f (b) ? 2 f ( 解析:

?1 ? ? ?

a?b )?0 2

2 f ( x) ? x 2 ? 3 3 ? 2 ln x ? x ? . x x 2 3 ' 2 3 x ? 2 x ? 3 ( x ? 1)(x ? 3) ? 令 g ( x ) ? 2 ln x ? x ? . g ( x) ? ? 1 ? 2 ? , x x x x2 x2
(1)由 2 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 变形为 a ? 故当 x ? (

当 x ? (1, e) 时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 在 ?1, e? 上单调递增。 所以 g (x) 的最大值只能在或 x ?

1 ,1) 时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 在 ? 1 ,1? 上单调递减; ?e ? e ? ?

1 或 x ? e 处取得。 ?????????5 分 e 1 ?1 ? 下面来比较函数 g (x) 在区间 ? , e? 上,端点函数值 g ( ) 与 g (e) 的大小。 e ?e ? 1 1 1 1 而 g ( ) ? 3e ? ? 2 , g (e) ? e ? 2 ? , g ( ) ? g (e) , e e e e 1 1 1 所以 g ( x) max ? g ( ) ? 3e ? ? 2 ,从而 a ? 3e ? ? 2 。?????????10 分 e e e ' (2)∵ f ( x) ? x ln x. ∴ f ( x) ? ln x ? 1 a?x a?x a?x 设 F ( x) ? f (a) ? f ( x) ? 2 f ( ) 则 F ' ( x) ? f ' ( x) ? f ' ( ) ? ln x ? ln 2 2 2 ' 当 0 ? x ? a 时, F ( x) ? 0 , F (x) 在 ?0, a ? 上为减函数;
当 x ? a 时, F ( x) ? 0 , F (x) 在 ?a,??? 上为增函数。
'

从而当 x ? a 时 F ( x) min ? F (a) ? 0 , ∵ b ? a ,∴ f (a) ? f (b) ? 2 f ( 法二:

a?b )?0。 2

?????????16 分

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a?b a?b ) ? a ln a ? b ln b ? (a ? b) ln 2 2 2b 2a 2b 2 b ? a ln ? b ln ? a(ln ? ln a ) b a b a?b a?b 1? 1? a a f (a) ? f (b) ? 2 f (
设t ?

b a

∵ b ? a ? 0 ,∴ t ? 1

设函数 g (t ) ? ln 所以

2 2t 2t ? t ln g ?(t ) ? ln ? ln 2 ? 0 1? t 1? t 1? t a?b g (t ) ? g (1) ? 0 ∴ f (a) ? f (b) ? 2 f ( )?0 2
?

(文科) 已知数列 ?an ? 的前 n 项的和为 S n , Pn (n, S n ) n ? N ) 点 ( 在函数 f ( x) ? ? x 2 ? 7 x 的图象上. (1)求数列 ?an ? 的通项公式及 S n 的最大值; (2)令 bn ? (3)设 cn ?

2 an ( n ? N ? ) ,求数列 ?nbn ?的前 n 项的和;

k 1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项的和为 Rn ,求使不等式 Rn ? 对一切 57 (7 ? an )(9 ? an )

n ? N ? 都成立的最大正整数 k 的值。
解析: (1)因为点 Pn (n, S n ) ( n ? N )在函数 f ( x) ? ? x ? 7 x 的图象上.
2
?

所以 S n ? ?n 2 ? 7n , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 6 ;当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? ?2n ? 8 , 所以 an ? ?2n ? 8 . 令?

? a n ? ?2n ? 8 ? 0, 解得 3 ? n ? 4 , ?a n ?1 ? ?2n ? 6 ? 0,
?????????5 分

所以当 n ? 3 或 n ? 4 时, S n 取得最大值 12. (2)由题意得 b1 ? ∴

26 ? 8 , bn ? 2 ?2 n ?8 ? 2 ? n ? 4 ,

bn?1 1 1 ? , 即数列 ?bn ? 是以 8 为首项, 为公比的等比数列. 2 bn 2

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所以数列 ?nbn ?的前 n 项和

Tn ? 1? 23 ? 2 ? 22 ? ? ? (n ? 1) ? 2?n?5 ? n ? 2 ?n?4 ,



1 Tn ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 ? n ? 4 ? n ? 2 ? n ?3 , ② 2 1 3 2 ?n? 4 ? n ? 2 ? n ?3 , ①-②得 Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 1 16[1 ? ( ) n ] 2 ∴ Tn ? ? n ? 2 4?n ? 32 ? (n ? 2) ? 2 4?n (n ? N ? ) ?????????11 分 1 1? 2
(3)由(1)得 c n ? ∴ Rn ?

1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? (7 ? a n )(9 ? a n ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] ? (1 ? ) 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 1 1 ? Rn ? (1 ? ) 在 n ? N ? 上单调递增, 2 2n ? 1 1 ∴ Rn 的最小值为 R1 ? . 3 ? k 1 k ? ,即 k ? 19 . ∵不等式 Rn ? 对一切 n ? N 都成立,∴ 57 57 3
所以最大正整数 k 的值为 18. 20. (本小题满分 16 分)
3 2 2 2 设函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ? 1, g ( x) ? ax ? 2 x ? 1其中实数 a ? 0 .

?????????16 分

(1)若 a ? 0 ,求函数 f (x) 的单调区间; (2) 当函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 的图象只有一个公共点且 g (x) 存在最小值时, g (x) 的 记 最小值为 h(a) ,求 h(a) 的值域; (3)若 f (x) 与 g (x) 在区间 (a, a ? 2) 内均为增函数,求 a 的取值范围.

a )( x ? a ) ,又 a ? 0 , 3 ? 当 x ? ?a 或 x ? a 时, f ' ( x) ? 0 ;当 ? a ? x ? a 时, f ' ( x) ? 0 , 3 3
解: (1)? f ( x) ? 3 x ? 2ax ? a ? 3( x ?
' 2 2

? f (x) 在 ?? ?,?a ? 和 ? a ,?? ? 内是增函数,在 ? ? a, a ? 内是减函数.?????4 分 ? ? ? ? 3? ?3 ? ?

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(Ⅱ)由题意知 x ? ax ? a x ? 1 ? ax ? 2 x ? 1 ,
3 2 2 2

即 x x 2 ? a 2 ? 2 ? 0 恰有一根(含重根) ? a ? 2 ? 0 ,即 ? 2 ? a ? .
2

?

?

??

2,

又 a ? 0 ,? a ? ? 2 ,0 ? 0, 2 .当 a ? 0 时, g (x) 才存在最小值,

?

? ?

?

? a ? 0, 2 .? g ( x) ? a? x ? 1 ? ? a ? 1 ,? h( x ) ? a ? 1 , a ? 0, 2 . ? ? a a? a ?
? ? ? h(a) 的值域为 ? ? ?,1 ? 2 ? . ? 2 ? ?
(3) a ? 0 时, f (x) 在 ?? ?,?a ? 和 ? 当 ?????????10 分

?

?

2

?

?

?a ? ?1 ? ,?? ? 内是增函数,g (x) 在 ? ,?? ? 内是增函数. ?3 ? ?a ?

? ? a ? 0, ? a ? 由题意得 ?a ? , ,解得 a ? 1 ; 3 ? 1 ?a ? , ? a ?
当 a ? 0 时, f (x) 在 ? ? ?,

?????????13 分

? ?

a? 1? ? ? 和 ?? a,???内是增函数, g (x) 在 ? ? ?, ? 内是增函数. 3? a? ?

? ? a ? 0, ? a ? 由题意得 ?a ? 2 ? , 解得 a ? ?3 ; 3 ? 1 ?a ? 2 ? , ? a ?
综上可知,实数 a 的取值范围为 ?? ?,?3? ? ?1,??? . 法二: f ( x) ? 3x ? 2ax ? a
' 2 2

?????????16 分

g ' ( x) ? 2ax ? 2

因为 f (x) 与 g (x) 在区间 (a, a ? 2) 内均为增函数
' 2 所以 g (a) ? 2a ? 2 ? 0 解得: a ? 1 或 a ? ?1 ' 当 a ? 1 时,只需 f (a) ? 0

得 a ?1 得 a ? ?3 所以 a ? ?3

' 当 a ? ?1 时,只需 f (a ? 2) ? 0

综上,可得:实数 a 的取值范围为 ?? ?,?3? ? ?1,???

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