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2015高考复习椭圆的定义与标准方程



椭圆的定义与标准方程

1.若椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1 过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点, 且与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 有相同的焦 2 a b


点,则该椭圆的方程是( A.

x2 y2 ? ?1 4 2

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y2 ? ?1 2 4

D. x ?
2

y2 ?1 3

2.设 P 是椭圆 为( A. ) B.

上的一点,F1、F2 是焦点,若∠F1PF2=30°,则△PF1F2 的面积

C.

D.16

3.已知椭圆方程

,椭圆上点 M 到该椭圆一个焦点 F1 的距离是 2,N 是 MF1 的 )

中点,O 是椭圆的中心,那么线段 ON 的长是( A.2 B.4 C.8 D.

4.F1,F2 是椭圆 AF1F2 的面积为( ) A.7 B.
2

的两个焦点,A 为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则三角形

C.
2

D.

5.若方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 6 .已知 F1 ?? 1,0?, F2 ?1,0? 是椭圆的两个焦点,过 F1 的直线 l 交椭圆于 M , N 两点,若

?MF2 N 的周长为 8,则椭圆方程为(
A.



x2 y2 ? ?1 16 15

B.

y 2 x2 ? ?1 16 15

C.

y 2 x2 ? ?1 4 3

D.

x2 y2 ? ?1 4 3

7.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 其两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为( )

3 ,且椭圆 G 上一点到 2

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 B. ? ?1 A.. 4 9 9 4
8.已知 F1 , F2 是椭圆

x2 y 2 ? ?1 C. 36 9

x2 y 2 ? ?1 D. 9 36

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线与椭圆交于M、N两点, 16 9
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则 ?MNF2 的周长为 A. 16 B. 8 C. 25 D. 32

9.已知椭圆的两个焦点为 F 1 (? 5,0) , F 2 ( 5,0) , P 是 此 椭 圆 上 的 一 点 , 且

PF1 ? PF2 , | PF1 | ? | PF2 |? 2 ,则该椭圆的方程是
x2 ? y2 ?1 6
B.

x2 ? y2 ? 1 4

C. x ?
2

y2 ?1 6

D. x ?
2

y2 ?1 4

x2 y 2 ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分 10.已知椭圆 C: ? 4 3
别为 A, B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |? ( A.4 B.8
2



C.12

D.16

11.已知椭圆 C: x 2 ?

a

y2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 3 .双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的渐近线 2 2 b

与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为 ( )
2 y A. x ? ?1 2

8

2

2 y B. x ? ?1

2

12

6

C. x ?

2

16

y2 ?1 4

2 y D. x ? ?1

2

20

5

12.已知椭圆的一个焦点为 F(0,1),离心率 e ? A.

1 ,则该椭圆的标准方程为 2

x2 y 2 x2 y 2 x2 y2 B. ? C. ? y 2 ? 1 D. x2 ? ? ?1 ?1 ?1 3 4 4 3 2 2 2 2 13.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( )
A.

1 4

B.

1 2

C.2

D.4

x2 y 2 3 14.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1,F2 离心率为 ,过 F2 的直 a b 3
线 l 交 C 与 A,B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为( )

A.

x2 y 2 ? ?1 3 2

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 12 8

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

x2 y2 x y ? ? 1 相交于 A,B 两点,该椭圆上存在点 P, 15.直线 L: ? ? 1 与椭圆 E: 4 3 16 9
使得 △ PAB 的面积等于 3,则这样的点 P 共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个

D.4 个

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16 . 设 P 是 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 上 一 点 , F1 , F2 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 , 25 5
) D. 9

PF1 ? PF2 ? 0, 则?F1PF2面积是 (
A. 5 B. 10 C. 8

17.已知 F1 、 F2 是椭圆 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点, b2

且 PF 1 F2 的面积为 9,则 b 的值为( ) 1 ? PF 2 ,若 ?PF A.1 B.2 C.3 D.4

18.已知两点 F1 (?1,0) 、 F (1,0) ,且 F1 F2 是 PF 1 与 PF2 的等差中项,则动点 P 的 轨迹方程是( A. ) B.

x2 y2 ? ?1 16 9

x2 y2 ? ?1 16 12

C.

x2 y2 ? ?1 4 3

D.

x2 y2 ? ?1 3 4

19.已知焦点在 x 轴的椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,直线 3 b2

0 AB 过右焦点 F2 ,和椭圆交于 A, B 两点,且满足 AF2 ? 3F2 B , ?F 1 AB ? 60 ,则椭

圆 C 的标准方程为( A.



x2 y 2 ? ?1 3 2

B.

x2 3 y 2 ? ?1 3 2

C.

x2 ? 2 y2 ? 1 3

D.

x2 ? y2 ? 1 3
)

20.已知中心在原点的椭圆的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于

1 ,则椭圆的方程是( 2

x2 y2 ? ?1 A. 3 4 x2 y2 ? ?1 C. 4 2
21.已知椭圆 E:

x2 y2 B. ? ?1 4 3
x2 y2 ? ?1 D. 4 3
的右焦点为 F(3,0) ,过点 F 的直线交椭圆 )

E 于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,﹣1) ,则 E 的方程为( A. B.

C.

D.

22.已知椭圆

的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、 )

B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为(
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A.

B.

C.

D.

23.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12,离心率为 方程是( A. ) C.

1 ,则椭圆的 3

x2 y2 x2 y 2 ?1 ? ? 1 B. ? 36 20 144 128

x2 y 2 ? ?1 32 36

D.

x2 y 2 ? ?1 36 32

2 (0, 2) 24.已知椭圆的一个焦点为 ,离心率为 2 ,则其标准方程为_____________.
25.已知中心在原点,对称轴为坐标轴,长半轴长与短半轴长的和为 9 2 ,离心率为 的椭圆的标准方程为________. 26.椭圆

3 5

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 6,则 m = 13 ? m m ? 2



27. M 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点, ?F1MF2 ? 60 ,则 25 9

?F1MF2 的面积等于______________.
28.以双曲线-3x +y =12 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆的方程是________. 29.已知椭圆 C:
2 2

x2 y 2 3 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,与过右焦点 F 且斜率为 k(k>0) 2 a b 2

的直线相交于 A、B 两点.若 AF =3 FB ,则 k=________.

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x2 y2 30.已知 F1、F2 分别是椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点,A、B 分别是此椭圆 a b
的右顶点和上顶点,P 是椭圆上一点,O 是坐标原点,OP∥AB,PF1⊥x 轴,F1A= 10 +

5 ,则此椭圆的方程是________________.
31.已知直线 2x+y-4=0 过椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F2,且与椭圆 E a 2 b2

在第一象限的交点为 M,与 y 轴交于点 N,F1 是椭圆 E 的左焦点,且|MN|=|MF1|, 则椭圆 E 的方程为 .

3 2 x2 y 2 32.已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F(3,0),且点(-3, )在椭圆 C 上, a b 2
则椭圆 C 的标准方程为 33.P 是椭圆 .

x2 y 2 + =1 上的任意一点,F1、F2 是它的两个焦点,O 为坐标原点,有一 a 2 b2

动点 Q 满足 OQ = PF1 + PF2 ,则动点 Q 的轨迹方程是________.

34.椭圆 C 的焦点在 x 轴上,焦距为 2,直线 n:x-y-1=0 与椭圆 C 交于 A、B 两点,F1 是左焦点,且 F1 A ? F1B ,则椭圆 C 的标准方程是 35.直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 过椭圆 为 .

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点 F1 和一个顶点 B ,则椭圆的方程 a 2 b2

36.已知椭圆的焦点在 x 轴上,一个顶点为 A(0, ?1) ,其右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3 ,则椭圆的方程为 37.已知点 A, D 分别是椭圆 C : .

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左顶点和上顶点,椭圆 a 2 b2

P 是线段 AD 上的动点,如果 PF1 PF2 的最大值是 2 , 的左右焦点分别是 F 1 和 F2 ,点
最小值是 ?

2 ,那么,椭圆的 C 的标准方程是 3

.

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38.一个顶点是 ? 0, 2 ? ,且离心率为

1 的椭圆的标准方程是________________。 2

x2 y 2 39. 若椭圆 2 ? 2 ? 1 过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,且与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1有相同的焦 a b
点,则该椭圆的方程为: .

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参考答案 1.A 【解析】 试题分析: 抛物线 y 2 ? 8x 的焦点坐标为 (2,0) , 双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的焦点坐标为 ( 2 ,0) ,

(? 2 ,0)
所以椭圆过点(2,0) ,且椭圆的焦距为 2c ? 2 2 ,即 c ?

2 ,则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? b 2 ? 2

x2 y2 4 ? 1 ,即 b 2 ? 2 ? 2 ? 1 ,将(2,0)代入得 2 所以,可设椭圆的方程为: 2 b ?2 b ?2 b
所以该椭圆的方程为:

x2 y2 ? ? 1. 4 2

考点:求椭圆方程. 2.B 【解析】 试题分析:根据椭圆方程算出椭圆的焦点坐标为 F1(﹣3,0) 、 F2 ( 3 , 0 ) .由椭圆的定义 2 2 |PF1|+|PF2|=10,△PF1F2 中用余弦定理得到|PF1| +|PF2| ﹣2|PF1|?|PF2|cos30°=36,两式联 解可得|PF1|?|PF2|=64(2﹣ ) ,最后根据三角形面积公式即可算出△PF1F2 的面积. 解:∵椭圆方程为
2 2

, =3,

∴a =25,b =16,得 a=5 且 b=4,c=

因此,椭圆的焦点坐标为 F1(﹣3,0) 、F2(3,0) . 根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a=10 ∵△PF1F2 中,∠F1PF2=30°, 2 2 2 2 ∴|F1F2| =|PF1| +|PF2| ﹣2|PF1|?|PF2|cos30°=4c =36, 2 可得(|PF1|+|PF2|) =36+(2+ )|PF1|?|PF2|=100 因此,|PF1|?|PF2|= =64(2﹣ ) ,

可得△PF1F2 的面积为 S= ?|PF1|?|PF2|sin30°= 故选:B 点评:本题给出椭圆上一点对两个焦点所张的角为 30 度,求焦点三角形的面积.着重考查 了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题. 3.B 【解析】 试题分析:根据椭圆的方程算出 a=5,再由椭圆的定义,可以算出|MF2|=10﹣|MF1|=8.因此, 在△MF1F2 中利用中位线定理,得到|ON|= |MF2|=4.

答案第 1 页,总 13 页

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解:∵椭圆方程为
2



∴a =25,可得 a=5 ∵△MF1F2 中,N、O 分别为 MF1 和 MF1F2 的中点 ∴|ON|= |MF2|

∵点 M 在椭圆 ∴|MF2|=10﹣|MF1|=8, 由此可得|ON|= |MF2|= 故选:B

上,可得|MF1|+|MF2|=2a=10

=4

点评:本题给出椭圆一条焦半径长为 2,求它的中点到原点的距离,着重考查了三角形中位 线定理、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题. 4.C 【解析】 试题分析:求出 F1F2 的 长度,由椭圆的定义可得 AF2=6﹣AF1,由余弦定理求得 AF1= ,从而 求得三角形 AF1F2 的面积. 解:由题意可得 a=3,b=
2 2 2

,c=

,故
2

,AF1+AF2=6,AF2=6﹣AF1,

∵AF2 =AF1 +F1F2 ﹣2AF1?F1F2cos45°=AF1 ﹣4AF1+8, ∴(6﹣AF1) =AF1 ﹣4AF1+8,AF1= ,故三角形 AF1F2 的面积 S= × ×
2 2

×

= .

点评:本题考查椭圆的定义、标准方程,简单性质,以及余弦定理的应用,求出 AF1 的值, 是解题的关键. 5.D 【解析】 试题分析:先把椭圆方程整理成标准方程,进而根据椭圆的定义可建立关于 k 的不等式,求 得 k 的范围. 解:∵方程 x +ky =2,即
2 2

表示焦点在 y 轴上的椭圆

答案第 2 页,总 13 页

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故 0<k<1

故选 D. 点评:本题主要考查了椭圆的定义,属基础题. 6.D 【解析】 试题分析:本题是根据椭圆的性质来解答的,由 F1 ?? 1,0?, F2 ?1,0? ,知椭圆的焦点在 x 轴上, 且 c=1,又 ?MF2 N 的周长为 8,知 4a=8,得 a=2, 所以得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 1 ? 3 ,

所以得椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 .故选 D. 4 3

考点:椭圆标准方程的性质. 7.A 【解析】

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 ? x2 y2 3 ?c ?a ? 36 试题分析: 设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 , 所以由题意可得: , ? ? ? ? 2 a b a 2 ? b ? 9 ? ? ?2a ? 12 ?
所以椭圆 G 的方程为 考点:函 数 的 性 质 . 8.A 【解析】

x2 y 2 ? ?1. 36 9

? 4a ? 16 . 试题分析:由题意可知: ?MNF2 的周长为 MF 1 ? MF 2 ? NF 1 ? NF2
考点:椭圆的定义即应用. 9.A 【解析】 试题分析:设椭圆的方程为:

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? ,由题意可得: c ? 5 ,又因为 a 2 b2

PF1 ? PF2
2 2


2

| PF1 | ? | PF2 |? 2
2







F1 F2 ? PF ? ? PF 1 ? PF 2 1 ? PF 2 ? ? 2 PF 1 PF 2 ,即
4c 2 ? ? PF1 ? PF2 ? ? 4 ,所以 PF 1 ? PF 2 ? 2 6 ,即 a ? 6 ,所以椭圆的方程为:
2

答案第 3 页,总 13 页

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x2 ? y2 ? 1 . 6
考点:椭圆的定义及性质. 10.B. 【解析】 试题分析:如图,设 MN 的中点为 P ,由题意可知, PF1 , PF2 分别为 ?AMN ,?BMN 的 中位线, ∴ | AN | ? | BN |? 2(| PF 1 | ? | PF 2 |) ? 2 ? 4 ? 8 .

考点:椭圆的性质. 11.D 【解析】
2 y 试题分析:由椭圆 C: x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2

a

b

3 ,得 c ? 3 ? c 2 ? 3 a 2 , 2 a 2 4

从而 b ? a ? c ?
2 2 2

x2 4 y2 1 2 a ,所以椭圆C的方程可写为: 2 ? 2 ? 1(a ? 0) ,又因为双曲线 4 a a

x2 ? y 2 ? 1 的 渐 近 线 方 程 为 : y ? ? x 与 椭 圆 C 的 四 个 交 点 坐 标 分 别 为 :
( a a a a ,? ), (? ,? ) ,从而以这四个交点为顶点的四边形的面积为 5 5 5 5
2 2a 2 y2 ) ? 16 ? a 2 ? 20 ,从而 b 2 ? 5 ,所以椭圆 C 的方程为 x ? ? 1 ,故选D. 20 5 5

(

考点:椭圆的方程. 12.A 【解析】 试题分析:由题意得,椭圆的焦点在 y 轴上,标准方程为

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,且 a2 b2

答案第 4 页,总 13 页

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c ? 1, e ?

y2 x2 c 1 ? ,? a ? 2, b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,即椭圆的标准方程为 ? ?1. a 2 4 3

考点:椭圆的标准方程. 13.A 【解析】将原方程变形为 x +
2

y2 =1, 1 m

由题意知 a =

2

1 2 ,b =1, m

∴a=

1 ,b=1. m



1 1 =2,∴m= .故应选 A. 4 m

14.A 【解析】 试题分析:由椭圆的定义可得,AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a,又因为 F1+AF2+ BF1+BF2= 4 3 ,所以 4a= 4 3 ,解得 a= 3 ,又因为 e ?

c 3 ,所以 c=1, b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ,所以椭圆方程 ? a 3



x2 y 2 ? ? 1 ,故选 A. 3 2

【考点】椭圆的性质. 15.B 【解析】 试题分析:设 P 1 ( 4 cos ? ,3 sin ? )( 0 ? ? ?

?
2

) ,即点 P1 在第一象限的椭圆上,考虑四边形

P 1 AOB 的面积 S ,
S ? S ?OAP1 ? S ?OBP1 ?
, 所以 SMax ? 6 2 ,因为 S ?OAB ?

1 1 ? ? 4 ? 3 ? sin ? ? ? 3 ? 4 ? cos ? ? 6(sin ? ? cos ? ) ? 6 2 sin(? ? ) 2 2 4
1 ? 4 ? 3 ? 6 为定值, 2

所以 S ?P1 AB 的最大值为 6 2 ? 6 ? 3 , 所以点 P 不可能在直线 AB 的上方,显然在直线 AB 的下方有两个点 P . 故选 B.

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考点:直 线 与 圆 锥 曲 线 的 关 系 . 16.A 【解析】 试 题 分 析 : 由 椭 圆 方 程 可 知 a ? 5, c ? 25 ? 5 ? 2 5 , 即 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? 10 ,

F1F2 ? 2c ? 4 5
PF1 ? PF
2 2 2




2



PF1 ? PF2 ? 0,






2

PF1 ? PF2
2







? FF

1

2 ? 80 ? 2 PF1 PF2 ,解得 2 ,因为 ( PF 1 ? PF2 ) ? PF 1 ? PF2

PF1 PF2 ? 10 。因为 PF1 ? PF2 ,所以 S?F PF ?
1 2

1 PF1 PF2 ? 5 。故 A 正确。 2

考点:1 椭圆的定义;2 向量的数量积与向量垂直间的关系。 17. C 【解析】 试题分析:根据椭圆定义知 PF 1 F2 , 知 9 ? 1 ? PF 2 ? 2a ① , 根据 Rt?PF ② , PF1
2

1 PF 1 ? PF 2 2

? PF2

2

2 ? (2c) 2 ③ , 所以 (PF1 ? PF2 ) ? PF1 ? PF2

2

2

? 2 PF 1 ? PF 2 ,可

2 得b ? 9.

考点:椭圆定义,直角三角形的面积及勾股定理. 18.C 【解析】 试 题 分 析 : 设 P ? x, y ? , 由 题 可 知 F1 F2
2

? PF1 ? PF2 , 根 据 两 点 间 距 离 公 式 得

4?

? x ?1? ? y ?
2 2

? x ? 1? ? y ,化简可得
2 2

x2 y2 ? ? 1. 4 3

考点:曲线与方程. 19.A 【解析】如图所示,设 BF2 ? x, 则 AF2 ? 3x ,由椭圆的定义,得 AF1 ? 2 3 ? 3x ,

BF1 ? 2 3 ? x





?A

1

F

中 B

















(2 3 ? x)2 ? (2 3 ? 3x)2 ? (4x)2 ? 2 ? (2 3 ? 3x) ? (4x)cos600 , 解 得 x ?

4 3 , 在 9

答案第 6 页,总 13 页

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?AF1F2 中,由余弦定理得, 4c 2 ? (
故 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ,故椭圆方程为

2 3 2 4 3 2 2 3 4 3 ) ?( ) ? 2? ? cos 600 ,解得 c ? 1 , 3 3 3 3

x2 y 2 ? ? 1. 3 2

y A 3x F2 F1 O x B x

【命题意图】 本题考查椭圆的标准方程、 向量共线、 余弦定理等基础知识, 试题综合性较高, 意在考查学生逻辑思维能力、综合解决问题的能力. 20.D 【解析】 试题分析:由题意设椭圆的方程为 2

x

2

a

?

y b

2 2

=1(a>0,b>0) .因为椭圆 C 的右焦点为 F

(1,0) ,所以 c=1,又离心率等于
2 2

1 c 1 2 2 2 ,即 = ,所以 a=2,则 b ? a ? c ? 3 .所以 2 a 2

x y ? =1 .故选 D. 椭圆的方程为 4 3
考点:椭圆的标准方程. 21.D

【解析】设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,代入椭圆方程得



相减得

,∴



∵x1+x2=2,y1+y2=﹣2,

=

= .

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化为 a =2b ,又 c=3=

2

2

,解得 a =18,b =9.

2

2

∴椭圆 E 的方程为 故选 D. 22.D 【解析】设 ①



,则 ②



①-②得







,∴

,又



解得 23.D 【解析】

,∴椭圆方程为

,故选 D.

试题分析:依题意可设

c 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,其中 2a ? 12 即 a ? 6 ,且 e ? ? ,所 2 a 3 a b

1 x2 y 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 ,故 以 c ? a ? 2 ,从而 b ? a ? c ? 6 ? 2 ? 32 ,所以椭圆的标准方程为 3 36 32
选D 考点:椭圆的标准方程及其几何意义.

y 2 x2 ? ?1 4 24. 8 .
【解析】 试题分析: 依题意可知:c ? 2 , 又

e?

c 2 2 ? ? 2 2 2 a a 2 , 得 a ? 2 2 ,b ? a ? c ? 8 ? 4 ? 4 ,

y 2 x2 ? ?1 4 因为焦点在 y 轴上,所以其标准方程为 8 .
考点:由椭圆的几何性质求标准方程.
答案第 8 页,总 13 页

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25.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 50 32 32 50

【解析】

?a ? b ? 9 2 ? 2 ? c 3 ?a ? 50 ? 试题分析:由题意得 ?e ? ? 解得 ? 2 a 5 ? ?b ? 32 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 所以,椭圆的标准方程为 50 32 32 50
考点:椭圆的标准方程及性质 26.3 或 12 【解析】 试题分析:椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 的焦距为 6 即 c ? 3 ,椭圆 ? ? 1 的焦点可 13 ? m m ? 2 13 ? m m ? 2

能在 x 轴上或在 y 轴上,当焦点在 x 轴上时 c 2 ? 13 ? m ? (m ? 2) ? 9 解得 m ? 3 ;当焦点 在 y 轴上时 c 2 ? (m ? 2) ? (13 ? m) ? 9 ,解得 m ? 12 ,综上 m ? 3或 - 12 考点:椭圆的性质 27. 3 3 【解析】 试题分析:根据焦点三角形的面积公式 s= b 2 tan 考点:椭圆焦点三角形的面积公式. 28.

?
2

=9 ?

3 =3 3 . 3

x2 y 2 + =1 4 16 y 2 x2 ? =1,焦点为(0,±4),顶点为(0,±2 3 ).∴椭圆 12 4 x2 y 2 + =1. 4 16

【解析】双曲线方程可化为

的焦点在 y 轴上,且 a=4,c=2 3 ,此时 b=2,∴椭圆方程为

29.k= 2 【解析】定点 F 分线段 AB 成比例,从而分别可以得出 A、B 两点横坐标之间关系式、纵坐标 之间关系式,再把 A、B 点的坐标代入椭圆方程

x2 y 2 + =1,四个方程联立方程组,解出根, a 2 b2

答案第 9 页,总 13 页

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得出 A、B 两点的坐标,进而求出直线 AB 的方程.

c b2 3 由已知 e= = 1 - 2 = ,所以 a=2b, a a 2
所以 a=

x2 y 2 2 C 3 2 2 2 c,b= .椭圆方程 2 + 2 =1 变为 x +3y =c . 4 a b 3 3

设 A(x1,y1),B(x2,y2),又 AF =3 FB , 所以(c-x1,-y1)=3(x2-c,y2),所以 ?

3 x2-c), ? x1+3 x2=4c, ?c-x1=( 所以 ? ? y1+3 y2=0, ?- y1=3 y2,

3 2 3 2 2 2 +3 y2 =c ,② x1 +3 y12 =c2,① x2 4 4 3 3 2 ①-9×②,得 (x1+3x2)(x1-3x2)+3(y1+3y2)(y1-3y2)=-8c ,所以 ×4c(x1-3x2)= 4 4
-8c , 所以 x1-3x2=-
2

8 2 10 2 2 c,所以 x1= c,x2= c.从而 y1=- c,y2= c, 3 3 9 3 9

所以 A ?

?2 ? 10 2 ? 2 ? ? 3 c, ? 3 c ? ? ,B ? ? 9 c, 9 c ? ? ,故 k= 2 . ? ? ? ?

30.

x2 y2 + =1 10 5
b b b , 故直线 OP 的斜率为- , 直线 OP 的方程为 y=- x. a a a

【解析】 由于直线 AB 的斜率为-

与椭圆方程联立得

x2 y2 2 2 + 2 =1,解得 x=± a.根据 PF1⊥x 轴,取 x=- a,从而- 2 a b 2 2

2 a=-c,即 a= 2 c.又 F1A=a+c= 10 + 5 ,故 2 c+c= 10 + 5 ,解得 c= 2

5 ,从而 a= 10 .所以所求的椭圆方程为
x2 ? y2 ? 1 5

x2 y2 + =1 10 5

31.

【解析】 试题分析:直线 2x+y-4=0 与 x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,4),则 c=2,|F2N| =2,

答案第 10 页,总 13 页

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∵|MN|=|MF1|,∴|MF2|+|MF1|=|F2N|=2a,即 a=,∴椭圆 E 的方程为 考点:椭圆的标准方程. 32.

x2 ? y 2 ? 1. 5

x2 y 2 + =1 18 9 2
2

【解析】左焦点为(-3,0),

? 3 2? ∴2a= ? ?3 ? 3? ? ? 0 ? ? + ? 2 ? ? ?
2

? 3 2? ?3 ? 3? ? ? ?0 ? 2 ? ? ? ?
2

2

=6 2 , ∴a=3 2 ,b =18-9=9. ∴椭圆标准方程为
2

x2 y 2 + =1. 18 9 2

x2 y2 33. 2 + 2 =1 4a 4b
【解析】由 OQ = PF1 + PF2 ,设 Q(x,y), 又 PF1 + PF2 = PM =2 PO =-2 OP ,∴ OP =-

1 ? x y? OQ = ? ? , ? ? . 2 ? 2 2?

x2 y 2 x2 y2 ? x y? 又点 P ? ? , ? ? 在椭圆 2 + 2 =1 上,∴ 2 + 2 =1. a b 4a 4b ? 2 2?
34. 【解析】 试题分析:这题考查标准方程,实质上是直线与椭圆相交问题,解决问题的方法是高椭圆方 程为

x2 y2 ? ? 1 (因为由已知 c ? 1 ),同时高 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , F1 A ? F1B 告诉我们 a2 a2 ?1

y1 y ? 2 ? ?1 , x1 ? 1 x2 ? 1


( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? ?1 ,化简为 x1 x2 ? ?1 , x1 , x2 又在哪里出现呢?把直线 y ? x ? 1 代入 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

椭圆方程并化简得 (2a2 ? 1)x2 ? 2a2 x ? 2a2 ? a4 ? 0, x1 , x2 就是这个方程的两根,故
答案第 11 页,总 13 页

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x1 x2 ?

2a 2 ? a 4 2a 2 ? a 4 ? ?1 ,解得 a2 ? 2 ? 3 (a 2 ? c2 ? 1) ,故得椭 ,由此我们可得 2 2 2a ? 1 2a ? 1

圆方程. 考点:椭圆标准方程,直线与椭圆相交. 35.

x2 ? y2 ? 1 5

【解析】 试题分析: 直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 与 x 轴交点为 (?2, 0) , 此即为椭圆左焦点, 说明 c ? 2 , 与y 轴交点为 (0,1) ,此为顶点,说明 b ? 1 ,故 a ? b ? c ? 5 ,椭圆方程为
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1. 5

考点:椭圆的标准方程. 36.

x2 ? y2 ? 1 3

【解析】 试题分析:据题意,椭圆方程是标准方程, b ? 1 ,右焦点为 (c, 0) ,它到已知直线的距离



c?2 2 2

x2 ? 3 , c ? 2 ,所以 a ? b ? c ? 3 ,椭圆方程为 ? y 2 ? 1. 3
2 2 2

考点:椭圆的标准方程. 37.

x2 y 2 ? ?1 4 2

【解析】
2 2 2 试题分析:当 P 在 A 点时 PF 1 PF 2 最大,此时 PF 1 PF 2 ? a ? c ? b ? 2 ,设直线 AD 与

? OC ? AB , AB 直线为 圆交于 M,N 两点, P 在 MN 中点时 PF 1 PF 2 最小,设中点为 C

a ? ab2 a 2b ? bx ? ay ? ? ab?OC 直线为 y ? ? x ,联立方程的 C ? ? 2 , ? PF1 PF2 最 2 2 2 ? b ? a ?b a ?b ?
小值为

x2 y 2 a 2b 2 2 2 2 2 C ? c ? ? ? ?1 ? a ? 4, c ? 2 ,椭圆的 的标准方程 a 2 ? b2 3 4 2

考点:直线和椭圆的位置关系 点评:本题关键是找到取得最大值最小值的点的位置 38.

x2 y 2 3x 2 y 2 ? ?1 ? ? 1或 16 4 3 4

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【解析】 试题分析:若 ? 0, 2 ? 为长轴顶点,则 a ? 2, c ? 1, 所以椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1; 3 4

2 若 ? 0, 2 ? 为短轴顶点,则 b ? 2, a ?

3x 2 y 2 16 ? ? 1. ,所以椭圆的标准方程为 3 16 4

所以椭圆的标准方程为

x2 y 2 3x 2 y 2 ? ? 1. ? ? 1或 16 4 3 4

考点:本小题主要考查已知椭圆的顶点和离心率求椭圆的标准方程,考查学生分类讨论思想 的应用. 点评:椭圆有四个顶点,只知道其中的一个并不能确定焦点在哪个坐标轴上,所以要分情况 讨论. 39 .

x2 y 2 ? ?1 4 2

【 解 析 】 因 为 椭 圆 过 抛 物 线 焦 点 为 (2,0), 并 且 焦 点 为 F 1 (? 2,0), F 2 ( 2,0),

x2 y 2 ?1. 所 以 a=2, c ? 2,? b ? a ? c ? 2,? ? 4 2
2 2 2

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