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【专题1】数形结合思想


【专题一】数形结合思想
【考情分析】
纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的 效果,数形结合的重点是研究“以形助数” 。 数形结合是每年高考必考的内容,预测 2011 年对本专题的考察为:选择题可采用的简易解法,还有函 数问题对应图形性质等,尤其关注三个“二次”的互相转化。

【知识交汇】
数形结合作为一种重要的数学思想方法历年来一直是高考考察的重点之一。数形结合是数学解题中常 用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与 形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以 形助数,以数解形” ,使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学 问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化: (1)集合的运算及韦恩图 (2)函数及其图象 (3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线 常见适用数形结合的两个着力点是: 以形助数常用的有:借助数轴;借助函数图象;借助单位圆;借助数式的结构特征;借助于解析几何 方法. 以数助形常用的有:借助于几何轨迹所遵循的数量关系;借助于运算结果与几何定理的结合。 这种思想方法体现在解题中,就是指在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有 机结合起来思索,促使抽象思维和形象思维的和谐复合,通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象 为直观,化直观为精确,从而使问题得到简捷解决。 1.数形结合的途径 (1)通过坐标系形题数解 借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分(在 高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的) ;值得强调的是,形题数解时,通过辅助角引入三角 函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用,可以大大缩短代数推理) 实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③ 曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所 给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4 。
2 2

常见方法有: (1)解析法:建立适当的坐标系(直角坐标系,极坐标系) ,引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。 (2)三角法:将几何问题与三角形沟通,运用三角代数知识获得探求结合的途径。 (3)向量法:将几何图形向量化,运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几 何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。 (2)通过转化构造数题形解 许多代数结构都有着对应的几何意义,据此,可以将数与形进行巧妙地转化.例如,将 a>0 与距离互

1

化,将 a2 与面积互化,将 a2+b2+ab=a2+b2-2 a b cos? (? ? 60?或? ? 120?) 与余弦定理沟通,将 a≥b≥c >0 且 b+c>a 中的 a、b、c 与三角形的三边沟通,将有序实数对(或复数)和点沟通,将二元一次方程与 直线、 将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图 形(平面的或立体的) 。另外,函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一,正是基于此,函数思想和 数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。 常见的转换途径为: (1)方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题,并借助函数的图象和性质解决相关 的问题。 (2)利用平面向量的数量关系及模 AB 的性质来寻求代数式性质。 (3)构造几何模型。通过代数式的结构分析,构造出符合代数式的几何图形,如将 a 与正方形的面积互 化,将 abc 与体积互化,将 a 2 ? c2 与勾股定理沟通等等。 (4)利用解析几何中的曲线与方程的关系,重要的公式(如两点间的距离 ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ,点到
2 2
2

??? ?

直线的距离 d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

,直线的斜率,直线的截距) 、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。

2.数形结合的原则 (1)等价性原则 在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于图形的 局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,但它同时也是抽象 而严格证明的诱导。 (2)双向性原则 在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探索,两方面相辅相成,仅对代数问 题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的。 例如,在解析几何中,我们主要是运用代数的方法来研究几何问题,但是在许多时候,若能充分地挖 掘利用图形的几何特征,将会使得复杂的问题简单化。 (3)简单性原则 就是找到解题思路之后,至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程,则取 决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法, 几何问题寻找代数 方法。

【思想方法】
题型 1:利用数轴、韦恩图解决集合与函数问题 例 1. (1) (2010 年天津卷文科) 设集合 A ? ?x||x-a|<1,x ? R? , B ? ?x |1 ? x ? 5, x ? R?.若A ? B ? ?, 则实数 a 的取值范围是( A. ?a | 0 ? a ? 6? B. a | a ? 2, 或a ? 4 )

?

?

C. a | a ? 0, 或a ? 6

?

?

D. ?a | 2 ? a ? 4?

(2) (2010 年辽宁卷)已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3}, C U B∩A={9},则 A=
2



) A.{1,3}

B.{3,7,9}

C.{3,5,9}

D.{3,9} 由图可知 a+1

解析: (1)由|x-a|<1 得-1<x-a<1,即 a-1<x<a+1。如图

≦1 或 a-1≧5,所以 a≦0 或 a≧6。 点评:不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行,解题时注意验证区间端点是否符合题意。 (2)D;因为 A∩B={3},所以 3∈A,又因为 C U B 以 9∈A,所以选 D。本题也可以用 Venn 图的方法帮助理 点评:本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和 系。 例 2. (1) (06 重庆卷)如图所示,单位圆中弧 AB 表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数 y=f(x)的图象是( ∩A={9}, 所 解。 集 合 的 关 的长为 x,f(x) )

(2) (2010 年天津卷)设函数 g ( x) ? x2 ? 2( x ? R) , 是( )

( x )? x?4, x? g ( x ), f ( x) ? {g g ( x )? x, x? g ( x ). 则 f ( x ) 的值域

A. ? ?

? 9 ? , 0 ? (1, ??) ? 4 ? ?

B. [0, ??)

C. [? , ??)

9 4

D. ? ? ,0? ? (2, ??) 4

? 9 ?

? ?

解析: (1)如图所示,单位圆中 ? AB 的长为 x , f ( x)表示弧 ? AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的 2 倍, 当? AB 的长小于半圆时,函数 y ? f ( x) 的值增加的越来越快,当 ? AB 的长大于半圆时,函数 y ? f ( x) 的 值增加的越来越慢,所以函数 y ? f ( x) 的图像是 D。
2 2 ? ? x ? 2 ? ( x ? 4), x ? x ? 2 ( 2 ) D ; 依 题 意 知 f ( x) ? 2 , 2 ? ? x ? 2 ? x, x ? x ? 2

2 ? ? x ? 2, x ? ?1或x f ( x) ? 2 ? ? x ? 2 ? x, ?1 ? x

点评:数学中考查创新思维,要求必须要有良好的数学素 定义函数的理解、解绝对值不等式,中档题,借形言数。 题型 2:解决方程、不等式问题
2 例 3. 若方程 lg ? x ? 3x ? m ? lg?3 ? x ? 在 x ? 0,3 内

养,考查新

?

?

?

?

有唯一解,

求实数 m 的取值范围。

3

解析: (1)原方程可化为 ?? x ? 2? ? 1 ? m?0 ? x ? 3?
2

设 y1 ? ?? x ? 2? ? 1 ?0 ? x ? 3?,y2 ? m
2

在同一坐标系中画出它们的图象(如图) 。由原方程在(0,3)内有唯一解,知 y1 与y 2 的图象只有一 个公共点,可见 m 的取值范围是 ?1 ? m ? 0 或 m ? 1。

例 4.已知 u ? 1,v ? 1 且 ?log a u? ? ?log a v ? ? log a au
2 2

? ? ? log ?av ? ?a ? 1? ,求 log ?uv? 的最
2 2 a

a

大值和最小值。 解析:令 x ? log a u,y ? log a v , 则已知式可化为
2 2

? x ? 1? 2 ? ? y ? 1? 2

弧 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4 x ? 0,y ? 0 相切时,截距 t 取最大值 t max ? 2 ? 2 2 (如图 3 中 CD 位置) ; 当线段端点是圆弧端点时, t 取最小值 t min ? 1 ? 3 (如图中 AB 位置) 。因此 log a (uv ) 的最大值是

再设 t ? log a ?uv? ? x ? y x ? 0,y ? 0 ,由图 3 可见,则当线段 y ? ? x ? t

?

?

? 4 ? x ? 0,y ? 0? ,

?

?

?x ? 0,y ? 0? 与圆

2 ? 2 2 ,最小值是 1 ? 3 。

点评:数形结合的思想方法,是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点,有利于提高我们 发现问题、分析问题和解决问题的能力。 题型 3:解决三角函数、平面向量问题 例 5. (1) (2010 年江西理)E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则

tan ?ECF ? (



16 A. 27

2 B. 3

C.

3 3

3 D. 4

(2) (2007 年陕西 15)如图,平面内有三个向量 OA 、 OB 、

4

OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为 120°, OA 与 OC 的夹角为 30°,且| OA |=| OB |=1,| OC |= 2 3 ,若 OC =

λ OA +μ OB (λ ,μ ∈R),则λ +μ 的值为 解析: (1)考查三角函数的计算、解析化应用意识。



解法 1: 约定 AB=6,AC=BC= 3 2 ,由余弦定理 CE=CF= 10 ,再由余 弦定理得 cos ?ECF ?

4 3 ,解得 tan ?ECF ? 5 4

解法 2: 坐标化。 约定 AB=6,AC=BC= 3 2 ,F(1,0),E(-1,0),C (0,3) 利用向量的夹角公式得: cos ?ECF ?

4 3 ,解得 tan ?ECF ? 。 5 4

(2)6;解析: ( OC )2=(λ OA +μ OB )2=λ 2OA2+μ 2OB2+2λ μ OA ? OB =12;注意 OA 与 OC 的 夹角为 30°, OA 与 OB 的夹角为 120°,结合图形容易得到 OB 与 OC 的夹角为 90°,得μ =0;这样就得 到答案。 点评:综合近几年的高考命题,平面向量单纯只靠运算解题是不够的,需要结合几何特征。 例 6. (2010 全国卷 1 文数) 已知圆 O 的半径为 1, PA、 PB 为该圆的两条切线, A、 B 为两切点, 那么 PA ? PB 的最小值为( A. ?4 ? 2 答案:D; 【解析 1】 如图所示: 设 PA=PB= x ( x ? 0) ,∠APO= ? , APB= 2? ,PO= 1 ? x2 , sin ? ? 则 ∠ ) B. ?3 ? 2 C. ?4 ? 2 2 D. ?3 ? 2 2

??? ? ??? ?

1 1 ? x2



??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? x 2 ( x 2 ? 1) x 4 ? x 2 x4 ? x2 y ? = , 令 , 则 , PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos 2? = x2 (1 ? 2sin 2 ? ) = P A ? P B y ? x2 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1
即 x ? (1 ? y) x ? y ? 0 ,由 x 是实数,所以
4 2
2

? ? [?(1 ? y)]2 ? 4 ?1? (? y) ? 0 , y 2 ? 6 y ? 1 ? 0 , 解 得 y ? ? 3

? 2

或 y ? ?3 ? 2 2 . 故 2

??? ? ??? ? (PA ? PB)min ? ?3 ? 2 2 .此时 x ?

2 ?1 .

5

2 ??? ? ??? ? ?? ? PA ? PB ? ? PA?? PB ? cos ? ? ?1/ tan ? cos ? 【解析 2】设 ?APB ? ? ,0 ? ? ? ? , 2? ?

? ?? ?? ? 1 ? sin 2 ??1 ? 2sin 2 ? ? 2 ?? 2? 2 ? ?1 ? 2sin 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? sin 2 sin 2 2 2
cos 2

?







x?s

2

?

i 2

? nx?

, ,0

??? ? ??? ? ?1 ? x ??1 ? 2 x ? 1 PA ? PB ? ? 2x ? ? 3 ? 2 2 ? 3 x x
【解析 3】建系:园的方程为 x 2 ? y 2 ? 1,设 A( x1 , y1 ), B( x1 , ? y1 ), P( x0 ,0) ,

??? ? ??? ? 2 PA ? PB ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? ? x1 ? x0 , ? y1 ? ? x12 ? 2x1x0 ? x0 ? y12
AO ? PA ? ? x1, y1 ? ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? 0 ? x12 ? x1x0 ? y12 ? 0 ? x1x0 ? 1
??? ? ??? ? 2 2 2 PA ? PB ? x12 ? 2 x1 x0 ? x0 ? y12 ? x12 ? 2 ? x0 ? ?1 ? x12 ? ? 2 x12 ? x0 ?3? 2 2 ?3
点评:本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法——判别式法,同时 也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 题型 4:解析几何问题

? x ? 1, ? 2 2 例 7. (1) (06 湖南卷)已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?



(2) (06 全国 II)过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小 时,直线 l 的斜率 k= 。

?x ? 1 ? 2 2 解析: (1)由 ? x ? y ? 1 ? 0 ,画出可行域,得交点 A(1,2),B(3,4),则 x ? y 的最小值是 5。 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
(2) (数形结合)由图形可知点 A (1, 2) 在圆 ( x ? 2) ? y ? 4 的内部, 圆心为 O(2,0)要使得劣弧所
2 2

对的圆心角最小,只能是直线 l ? OA ,所以 kl ? ? 1 ? ? 1 ? 2 。 kOA 2 ? 2 点评:线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式,最终借助图形的性质解决问题;对 于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问题,往往要转化为点到线的距离问题来解决。 例 8. (1) (06 上海卷)若曲线 y =| x |+1 与直线 y = kx 点,则 k 、 b 分别应满足的条件是 。 右图所示:所
2

+ b 没有公共

? x ?1, x ? 0 解析:作出函数 y 2 ?| x | ?1? ? 的图象,如 ?? x ?1, x ? 0 以, k ? 0, b?(?1,1) ;
6

(2) (2010 湖南理数)为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A,B 两点各建 一个考察基地。视冰川面为平面形,以过 A,B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的的垂直平分线为 y 轴建立平 面直角坐标系(如图所示)在直线 x=2 的右侧,考察范围为到点 B 的距离不超过

6 5 km 区域;在直线 5

x=2 的左侧,考察范围为到 A,B 两点的距离之和不超过 4 5 km 区域。 Ⅰ求考察区域边界曲线的方程; Ⅱ如图所示,设线段 P1P2、P2P3 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界线) ,当冰川融化时,边界线 沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动 0.2km,以后每年移动的距离为前一年的 2 倍,求冰川 边界线移动到考察区域所需的最短时间。 化
? 8 3 ? P2 ? 6? ?- 3 , ? ? ?





P3(8,6)







( ?5 3 ,-1)P1

A(-4,0)

B (4, 0)

x

7

8

题型 5:导数问题 例 9. (06 天津卷)函数 f ( x) 的定义域为 导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则 区间 ( a, b) 内有极小值点( A.1 个 ) C.3 个

y

y ? f ?( x)
开 区间 ( a, b) ,

b

a

O

函 数 f ( x) 在 开

x

B.2 个

D. 4 个

解析:函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,函数 f ( x) 在开 区间 ( a, b) 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有 1 个,选 A。 点评:通过函数图像分解导函数的正负,对应好原函数的单调递增、单调递减。
3 3

例 10. (06 浙江卷)已知函数 f(x)=x + x ,数列|x n | 项 x
n

(x

n

> 0) 的 第 一

= 1 , 以 后 各 项 按 如 下 方 式 取 定 : 曲 线 x=f(x) 在

( xn?1 , f ( xn?1 ))
图)

处的切线与经过(0,0)和(x n ,f (x n ))两点的直线平行(如

求证:当 n ? N 时,
*

n ?1 2 ? xn ? ( ) n?2 。 (Ⅰ)x 2 n ? xn ? 3xn?1 ? 2 xn?1 ; (Ⅱ) ( )

1 2

1 2

证明: (I) 因为 f ( x) ? 3x ? 2 x, 所以曲线 y ? f ( x) 在 ( xn?1 , f ( xn?1 )) 处的切线斜率 kn?1 ? 3xn?1 ? 2xn?1.
' 2

2

2 2 因为过 (0, 0) 和 ( xn , f ( xn )) 两点的直线斜率是 xn ? xn ? 3xn?12 ? 2xn?1 . ? xn , 所以 xn

(II)因为函数 h( x) ? x2 ? x 当 x ? 0 时单调递增,
2 而 xn ? xn ? 3xn?12 ? 2xn?1 ? 4xn?12 ? 2xn?1 ? (2xn?1 )2 ? 2xn?1 ,

所以 xn ? 2 xn?1 ,即

xn?1 1 x x x 1 ? , 因此 xn ? n ? n ?1 ????? 2 ? ( )n ?1. xn 2 xn ?1 xn ?2 x1 2
2

2 又因为 xn ? xn ? 2( xn?1 ? xn?1 ), 令 yn ? xn ? xn , 则

2

yn?1 1 ? . yn 2

1 2 1 n?2 1 n ?1 1 n?2 2 因此 xn ? xn ? xn ? ( ) , 故 ( ) ? xn ? ( ) . 2 2 2

2 因为 y1 ? x1 ? x1 ? 2, 所以 yn ? ( ) n ?1 ? y1 ? ( ) n ?2 .

1 2

点评:切线方程的斜率与函数的导数对应,建立了几何图形与函数值的对应。 题型 6:平面几何问题
9

例 11.已知 ?ABC 三顶点是 A(4,1), B(7,5), C (?4,7) ,求 ? A 的平分线 AD 的长。 解析:第一步,简单数形结合,在直角坐标系下,描出已知点 A, B, C ,画出 ?ABC 的边及其 ? A 的 平分线 AD 。 (如图) 第二步,观察图形,挖掘图形的特性(一般性或特殊性) ,通过数量关系证明(肯定或否定)观察、 挖掘出来的特性。特性有: (1) AB ? AC ; (2) ?BAD ? ?CAD ? 45? ; (3) CD ? 2DB , (4) ?ABC ? 2?ACB ? 60? 等等。 证明:∵ A(4,1), B(7,5), C (?4,7) ∴ AB ? (3, 4), AC ? (?8,6) , AB ? 5, AC ? 10 ∵ AB ? AC ? ?3? 8 ? 4 ? 6 ? 0 ∴(1) AB ? AC ,∵ AD 是 ? A 的平分线;

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

?BAD ? ?CAD ? 45? , ∴ (2) ∵


CD DB

?

AC AB

?

10 ? 2 (角 5

平分线定理 )

∴(3) CD ? 2DB ,∵ tan ?ABC ? tan ?60? ? 3 ? 2 , ∴(4) ?ABC ? 2?ACB ? 60? 不正确, 第三步,充分利用图形的属性,创造性地数形结合,完成解题。过点 D 作 DE ? AB ,交 AB 于点 E , 则有 ?BDE ∽ ?BCA 或 DE ?

??? ?

??? ?

1 10 AC ? 等等。又在 Rt ?ADE 中, (可以口答出) 3 3

AD ? 2 DE ?

10 2 。 3

点评:数形结合的基础是作图要基本准确,切忌随手作图!数形结合的关键是挖掘图形的几何属性, 切忌只重数量关系忽视位置关系!如果把本题的图形随手作成如下一般平面图形,则失去了数形结合的基 础,很难挖掘出图形的几何属性,是很失败的。 例 12.已知 A={(x,y)||x|≤1,|y|≤1},B= { (x,y)|(x – a )2+(y – a )2≤1 , a ∈R } , 若 A∩B≠ ? , 则 是 。 解析:如图,集合 A 所表示的点为正方 形 PQRS 的内部及其边界, 集合 B 所表示的 点为以 C( a , a )为圆心,以 1 为半径的圆的 内部及其边界.而圆心 C( a , a )在直线 y=x 上,故要使 A∩B≠ ? , 则 ?1 ?
2 2 ? a ? 1? 2 2

a

的 取 值 范 围

为所求。

10

点评:应用几何图象解决问题时,尤其要注意特殊点(或位置)的情况,本题就是按照这样的思路直 接求出实数 a 的取值范围。

【思维总结】
从目前高考“注重通法,淡化特技”的命题原则来看,对于数形结合的数学思想方法,我们在复习时, 应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分利用之上即可。 数形结合的思想方法应用广泛, 常见的如在解方程和解不等式问题中, 在求函数的值域, 最值问题中, 在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推 理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中 有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的 相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意 三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分 析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数 形转化;第三是正确确定参数的取值范围。

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