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第四章 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数



第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

考纲要求 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.

第一节
2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正

任意角和弧度制及 任意角的三角函数

切)的定义.

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角

函数

1.角的有关概念

角的特点 从运动的角度看 从终边位置来看 α与β角的终边相同

角的分类
零角 正角 、负角 角可分为_____ ____和____

可分为_______ 象限角 和轴线角
α+k·2π,k∈Z β=______________

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

2.弧度的概念
半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. (1)长度等于_______ l r (2)角α的弧度数公式:|α|=___.

π 2π (3)角度与弧度的换算:360°=___rad,1 °=_____rad,1 180 ?180? ? ?° π rad=_______ ? ? ≈57°18′.

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

6.象限角与轴线角 (1)象限角:

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

(2)轴线角:

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

1.给出下列四个命题: 3π 4π ①- 4 是第二象限角;② 3 是第三象限角;③-400° 是第四象限 角;④-315° 是第一象限角.其中正确的命题有 A. 1 个 C. 3 个 B. 2 个 D. 4 个 ( )

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

角的集合表示及象限角的判定
[典例]
? ? ? k ?x?x= 4 ? ? ? ? ? ? k ? ? (1)设集合M= x x=2 ? ? ? ? ? · 180°+45°,k∈Z? ? ?

, N= ( )

? ? · 180°+45°,k∈Z?,那么 ? ?

A. M = N C. N ? M

B. M ? N D. M ∪ N= ?

α (2)已知α为第三象限角,则 2在________象限.

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

[解析]

(1)法一:由于

? ? ? k ? M= x?x=2 ? ? ?

? ? · 180°+45°,k∈Z?= ? ?

{…,-45°,45°,135°,225°,…},
? ? ? k ? ? N= x x=4 ? ? ? ? ? · 180°+45°,k∈Z?={…, -45°, 0° , 45°, ? ?

90°,135°,180°,225°,…}, 显然有 M?N. k 法二:由于集合 M 中,x=2· 180°+45° =k· 90°+45° =45°· (2k+1),2k+1 是奇数; k 而集合 N 中,x=4· 180° + 45° = k· 45° + 45° = (k + 1)· 45°,k+1 是整数,因此必有 M?N.

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

α [例 3] 若 α 是第二象限角,则 2α, 分别是第几象限 2 的角?
[ 解] (1)∵α 是第二象限角, ∴90° + k· 360° <α<180° +k· 360° (k∈Z), ∴180° +k· 720° <2α<360° +k· 720° , ∴2α 是第三或第四象限的角,或角的终边在 y 轴的非 正半轴上.

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

[方法指导]

利用终边相同的角判断角所在象限 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的 角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合, 然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需角. (2)利用终边相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z} 判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围 内的一个角α与2π的整数倍的和,然后判断角α的象限.

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

2.已知 α 与 150°角的终边相同,写出与 α 终边相同的角的集 α 合,并判断 3是第几象限角. 解:与 α 终边相同的角的集合为
{α|α=k· 360°+150°,k∈Z}, α ∴ 3=k· 120°+50°,k∈Z. α 若 k=3n(n∈Z), 3是第一象限角; α 若 k=3n+1(n∈Z), 3是第二象限角; α 若 k=3n+2(n∈Z), 3是第四象限角. α 故 3是第一、二、四象限角.

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

考点二

三角函数的定义 (题点多变型考点——全面发掘)

任意角的三角函数 (1)定义: 一般的,α 是一个任意角,它的终边上的任意一点

y y x P(x,y),则 sin α= ,cos α= ,tan α=x(x≠0). r ? x2 ? y 2 r r

2.三角函数值的符号

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

(3)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.
正弦线的起点都在 x 轴上,余弦线的起点都是原点, 正切线的起点都是(1 , 0).

如图中有向线段 MP,OM,AT 分别叫做角 α 的正弦线,余 弦线和正切线.

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

三角函数的定义
[变式训练] 1.终边在直线 y= 3x 上的角的集合是________.

π 解析:终边落在直线 y= 3x 上的角的表示为 2kπ+3(k∈ 4π Z)或 2kπ+ 3 (k∈Z),所以终边落在直线 y= 3x 上的角的
? ? ? π ? ? 集合为 α α=kπ+4 ? ? ? ? ? ? π ? ? 答案: α α=kπ+4 ? ? ? ? ? ,k∈Z?. ? ? ? ? ,k∈Z? ? ?

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

[典例] (1)已知角 θ 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的非 负半轴重合, 终边在直线 y= 3x 上, 则 cos 2θ= 1 A.-2 3 C. 2 3 B.- 2 1 D.2 ( )

[解析 ] (1)取终边上一点(a, 3a), a≠0,根据任意角的 (2)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 三角函数定义, 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,点 A 1 4 3,可得cos θ=± 由tan θ= , 2 的纵坐标为5,则 cos α=________. 1 2 故cos 2θ=2cos θ-1=-2. 4 (2)因为A点纵坐标yA= 5 ,且A点在第二象限,又因为圆O

3 C. 2 D.2 [(2) 解析 ] (1)取终边上一点(a, 3a), a≠0,根据任意角的 如图所示,在平面直角坐标系 xOy
三角函数定义, 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,点 A 1 由tan θ= , 4 3,可得cos θ=± 2 的纵坐标为5,则 cos α=________. 1 2 故cos 2θ=2cos θ-1=-2. 4 (2)因为A点纵坐标yA= 5 ,且A点在第二象限,又因为圆O 3 为单位圆,所以A点横坐标xA=- 5 ,由三角函数的定义可得 3 cos α=-5. 3 [答案] (1)A (2)-5

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数 1

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

[方法指导]

定义法求三角函数的3种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到 原点的距离r,然后用三角函数的定义求解. (2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终 边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角 函数的定义来求相关问题.若所给的终边是射线,三角 函数值只有一种情况;若所给的终边是直线,注意要讨 论两种情况,避免漏解.若直线的倾斜角为特殊角,也 可直接写出角α的三角函数值.

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

[方法指导]

(3)若角α终边上的点的坐标中含有参数,要讨论参 数的各种情况,以确定角α终边所在的象限,进一步正确 得出各个三角函数值. [提示] 认清角的终边所在的象限,以确定三角函 数值的符号,防止出现错误.三角函数的定义在解决问 题中应用广泛,并且有时可以简化解题过程.

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

cos α 1.若 sin αtan α<0,且 <0,则角 α 是( tan α A.第一象限角 C.第三象限角

C)

B.第二象限角 D.第四象限角

2.已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2), 且 cos α≤0,sin α>0,则实数 a 的取值范围是( A.(-2,3] C.[-2,3) B.(-2,3) D.[-2,3]

A)

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

[题点发散 1] 的值.

设角 α 终边上一点 P(-4a,3a) (a< ≠0),求 sin α

3 解:当 a<0 时,sin α=- ; 5 3 当 a>0 时, r=5a, sin α= . 5

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

[变式训练] 2m 已知角α的终边上一点P(- 3,m)(m≠0),且sin α= 4 , 求cos α,tan α的值.
解:设P(x,y).由题设知x=- 3,y=m, 所以r2=|OP|2=(- 3)2+m2(O为原点),r= 3+m2. m 2m m 所以sin α= r = 4 = , 2 2 所以r= 3+m2=2 2,3+m2=8, 解得m=± 5.

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

当m= 5时,r=2 2,x=- 3,y= 5, - 3 6 15 所以cos α= =- 4 ,tan α=- 3 ; 2 2 当m=- 5时,r=2 2,x=- 3,y=- 5, - 3 6 15 所以cos α= =- 4 ,tan α= 3 . 2 2

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

考点三

扇形的弧长及面积公式 (题点多变型考点——全面发掘)

[必备知识]
弧度的定义和公式
(1)定义: 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,
弧度记作 rad.

360° =2π 弧度; 180° =π 弧度; (2)公式:①弧度与角度的换算: 1 1 ②弧长公式:l=|α|r;③扇形面积公式:S 扇形= l r 和 |α| r2. 2 2

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

扇形的弧长及面积公式
[典例] 心角; (2)已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角分别取何 值时,扇形的面积最大? (1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

[解] (1)设圆心角是θ,半径是r, ? ?2r+rθ=10, 则 ?1 2 θ· r =4, ? ?2
? ?r=1, 解得? ? ?θ=8

? ?r=4, (舍去)或? 1 θ=2, ? ?

1 所以扇形的圆心角为2.

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

(2)设圆心角是θ,半径是r, 则2r+rθ=40. 1 1 又S=2θr2=2r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)2+100≤100. 当且仅当r=10时,Smax=100,此时2×10+10θ=40,θ=2. 所以当r=10,θ=2时,扇形的面积最大.

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

[方法指导] 有关弧长、扇形面积问题的解题策略

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单 位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的 最值问题,利用配方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用 圆心角所在的三角形.

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

[变式训练] 3 如果一个圆的半径变为原来的一半,而弧长变为原来的2倍,则 该弧所对的圆心角是原来的________倍.

l 解析:设圆的半径为 r,弧长为 l,其弧度数为r.将半径变为 3 2l 3 l 原来的一半,弧长变为原来的2倍,则弧度数变为1 =3· r,即 2r 弧度数变为原来的 3 倍. 答案:3

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

(3)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.
正弦线的起点都在 x 轴上,余弦线的起点都是原点, 正切线的起点都是(1 , 0).

如图中有向线段 MP,OM,AT 分别叫做角 α 的正弦线,余 弦线和正切线.

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

在(0,2π)内,使 sin x>cos x 成立的 x 的取值范围为_________
解析:如图所示,找出在(0,2π)内,使 sin x=cos x 的 x 值, π π 2 5π 5π 2 sin =cos = ,sin =cos =- . 4 4 2 4 4 2 ?π 5π? 根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角 x∈?4, 4 ?. ? ? ?π 5π? 答案:?4, 4 ? ? ?

第一节 任意角和弧度制及任意角 的三角函数

[例 3]

利用三角函数线,求满足下列条件的 α 的范围.

1 3 (1)sin α<- ;(2)cos α> . 2 2

[解]

? 1? ? (1)如图①,过点?0,-2? ?作 ? ?

x 轴的平行线交

单位圆于 P,P′两点,

1 11π 7π 则 sin∠xOP=sin∠xOP′=- ,∠xOP= ,∠xOP′= , 2 6 6 故α
? ? ? ? 7π 11π ? ? 的范围是?α? 6 +2kπ<α< 6 +2kπ,k∈Z? ? ? ? ? ?

.

结束

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