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1-10--例17-直线与椭圆位置关系-典型题-两根之和两根之积(代数法)-有答案



类型一:标准方程的求解 例 1 已知椭圆 mx2 ? 3 y 2 ? 6m ? 0 的一个焦点为(0,2)求 m 的值.

分析:把椭圆的方程化为标准方程,由 c ? 2 ,根据关系 a ? b ? c 可求出 m 的值.
2 2 2

解:方程变形为

x2 y2 ? ? 1 .因为焦点在 y 轴上,所以 2

m ? 6 ,解得 m ? 3 . 6 2m
2

又 c ? 2 ,所以 2m ? 6 ? 2 , m ? 5 适合.故 m ? 5 .

例 2 已知椭圆的中心在原点,且经过点 P?3, , a ? 3b ,求椭圆的标准方程. 0?

分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法, 求出参数 a 和 b (或 a 和 b )的值,即可求得椭圆的标准方程.
2 2

解:当焦点在 x 轴上时,设其方程为

x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0? . a 2 b2

由椭圆过点 P?3, ,知 0?

9 0 x2 ? 2 ? 1 .又 a ? 3b ,代入得 b 2 ? 1 , a 2 ? 9 ,故椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 . a2 b 9

当焦点在 y 轴上时,设其方程为

y 2 x2 ? ? 1?a ? b ? 0? . a 2 b2

由椭圆过点 P?3, ,知 0?

9 0 y2 x2 ? 2 ? 1 .又 a ? 3b ,联立解得 a 2 ? 81 ,b 2 ? 9 ,故椭圆的方程为 ? ?1. a2 b 81 9

例3 已知方程

x2 y2 ? ? ?1表示椭圆,求 k 的取值范围. k ?5 3? k

?k ? 5 ? 0, ? 解:由 ?3 ? k ? 0, 得 3 ? k ? 5 ,且 k ? 4 . ?k ? 5 ? 3 ? k , ?
∴满足条件的 k 的取值范围是 3 ? k ? 5 ,且 k ? 4 .

说明:本题易出现如下错解:由 ?

?k ? 5 ? 0, 得 3 ? k ? 5 ,故 k 的取值范围是 3 ? k ? 5 . 3 ? k ? 0, ?

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a ? b ? 0 这个条件,当 a ? b 时,并不表示椭圆.
1

例4 已知 x 2 sin ? ? y 2 cos? ? 1 (0 ? ? ? ? ) 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求 ? 的取值范围.

分析:依据已知条件确定 ? 的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出 ? 的取值范围.

x2 y2 1 1 ? ? 0. ? ? 1 .因为焦点在 y 轴上,所以 ? 解:方程可化为 1 1 cos ? sin ? sin ? cos?
因此 sin ? ? 0 且 tan ? ? ?1 从而 ? ? (

? 3

, ?). 2 4

1 1 ? 0,? ? 0 ,这是容易忽视的地方. sin ? cos ? 1 1 2 2 (2)由焦点在 y 轴上,知 a ? ? ,b ? . (3)求 ? 的取值范围时,应注意题目中的条件 0 ? ? ? ? . cos ? sin ?
说明:(1)由椭圆的标准方程知

例 5 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过 A( 3 , ? 2) 和 B(?2 3 , 1) 两点的椭圆方程.

分析:由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见,
2 2 可设其方程为 mx ? ny ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 ),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程.

解:设所求椭圆方程为 mx2 ? ny2 ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 ).由 A( 3 , ? 2) 和 B(?2 3 , 1) 两点在椭圆上可得

?m ? ( 3 ) 2 ? n ? (?2) 2 ? 1, ?3m ? 4n ? 1, 1 1 x2 y2 ? ? ?1. 即? 所以 m ? , n ? .故所求的椭圆方程为 ? 15 5 15 5 12m ? n ? 1, ?m ? (?2 3 ) 2 ? n ?12 ? 1, ? ?
例 6 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.

4 5 2 5 和 ,过 P 点作焦点所在轴 3 3

2

解:设两焦点为 F1 、 F2 ,且 PF ? 1

4 5 2 5 , PF2 ? .从椭圆定义知 2a ? PF ? PF2 ? 2 5 .即 a ? 5 . 1 3 3

从 PF ? PF2 知 PF2 垂直焦点所在的对称轴,所以在 Rt?PF2 F1 中, sin ?PF F2 ? 1 1

PF2

1 ? , PF1 2

可求出 ?PF1 F2 ?

?
6

, 2c ? PF ? cos 1

?
6

?

10 2 5 2 2 2 ,从而 b ? a ? c ? . 3 3

∴所求椭圆方程为

x2 3y2 3x 2 y 2 ? ? 1或 ? ? 1. 5 10 10 5

例 7 已知动圆 P 过定点 A?? 3, , 求动圆圆心 P 的轨迹方程. 0? 且在定圆 B: ? 3? ? y 2 ? 64的内部与其相内切, ?x
2

分析:关键是根据题意,列出点 P 满足的关系式. 解:如图所示,设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M .动点 P 到两定点, 即定点 A?? 3, 和定圆圆心 B?3, 距离之和恰好等于定圆半径, 0? 0? 即 PA ? PB ? PM ? PB ? BM ? 8 .∴点 P 的轨迹是以 A , B 为两焦点, 半长轴为 4,半短轴长为 b ? 42 ? 32 ? 7 的椭圆的方程:

x2 y2 ? ?1. 16 7

说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程 的一种重要思想方法.

类型二:直线与椭圆的位置关系(代数法-两根之和-积-判别式) 一、公共点问题 通过方程判别式来判断直线与椭圆的位置关系,几何的交点问题与代数的方程根问题完美结合于此

x2 y2 ? ? 1 的位置关系 例 8 判断直线 kx ? y ? 3 ? 0 与椭圆 16 4
? y ? kx ? 3 ? 2 2 解:由 ? x 2 可得 (4k ? 1) x ? 24kx ? 20 ? 0 y2 ? ?1 ? 16 4 ?
(1)当 ? ? 16(16k ? 5) ? 0即k ?
2

? ? ? 16(16k 2 ? 5)

x2 y2 5 5 ? ? 1 相交 或k ? ? 时,直线 kx ? y ? 3 ? 0 与椭圆 16 4 4 4 x2 y2 5 5 ? ? 1 相切 或k ? ? 时,直线 kx ? y ? 3 ? 0 与椭圆 16 4 4 4
3

(2)当 ? ? 16(16k ? 5) ? 0即k ?
2

(3)当 ? ? 16(16k ? 5) ? 0即 ?
2

x2 y2 5 5 ? ? 1 相离 时,直线 kx ? y ? 3 ? 0 与椭圆 ?k? 16 4 4 4 x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,求实数 m 的取值范围 5 m

例 9 若直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆 解法一:

? y ? kx ? 1 ? 2 2 由 ? x2 可得 (5k 2 ? m) x 2 ? 10kx ? 5 ? 5m ? 0 ,? ? ? m ? 5k ? 1 ? 0 即 m ? 5k ? 1 ? 1 y2 ? ?1 ?5 m ?
? m ? 1且m ? 5
解法二:直线恒过一定点 (0,1) 当 m ? 5 时,椭圆焦点在 x 轴上,短半轴长 b ? 当 m ? 5 时,椭圆焦点在 y 轴上,长半轴长 a ? 综述: m ? 1且m ? 5 解法三:直线恒过一定点 (0,1)

m ,要使直线与椭圆恒有交点则 m ? 1 即 1 ? m ? 5 5 可保证直线与椭圆恒有交点即 m ? 5

要使直线与椭圆恒有交点,即要保证定点 (0,1) 在椭圆内部

0 2 12 ? ? 1即 m ? 1 5 m

? m ? 1且m ? 5
[评述]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况,而方程解的情况由判别式来决 定,直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系,直线方程与椭圆方程联立,消去 y 或 x 得到关于 x 或 y 的一元二 次方程,则(1)直线与椭圆相交 ? ? ? 0 (2)直线与椭圆相切 ? ? ? 0 (3)直线与椭圆相离 ? ? ? 0 ,所 以判定直线与椭圆的位置关系,方程及其判别式是最基本的工具。或者可首先判断直线是否过定点,并且初定定 点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上,然后借助曲线特征判断:如例 2 中法二是根据两曲线的特征观察所至;法 三则紧抓定点在椭圆内部这一特征:点 M ( xo , yo ) 在椭圆内部或在椭圆上则 类型三:弦长问题 例 10 已知长轴为 12,短轴长为 6,焦点在 x 轴上的椭圆,过它的左焦点 F1 作倾斜角为

xo y ? o2 ? 1 2 a b

2

2

? 的直线交椭圆于 A , 3

B 两点,求弦 AB 的长.

分析:可以利用弦长公式 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ?
2

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 求得,

也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求. 解:(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.
4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] .因为 a ? 6 , b ? 3 ,所以 c ? 3 3 .因为焦点在 x 轴上,
所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,左焦点 F (?3 3 , 0) ,从而直线方程为 y ? 3x ? 9 . 36 9

由直线方程与椭圆方程联立得: 13x 2 ? 72 3x ? 36? 8 ? 0 .设 x1 , x2 为方程两根,所以 x1 ?x2 ? ?

72 3 , 13

x1 x2 ?

36 ? 8 ,k ? 3, 13

从而 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ?
2

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ?

48 . 13

(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解. 由题意可知椭圆方程为 在 ?AF F2 中, AF2 1 所以 m ?
2

x2 y2 ? ? 1 ,设 AF ? m , BF ? n ,则 AF2 ?12 ? m , BF2 ?12 ? n . 1 1 36 9
2 2

? AF1 ? F1 F2 ? 2 AF1 F1 F2 cos

?
3

,即 (12 ? m) ? m ? 36 ? 3 ? 2 ? m ? 6 3 ?
2 2

1 ; 2

48 6 6 .同理在 ?BF F2 中,用余弦定理得 n ? ,所以 AB ? m ? n ? . 1 13 4? 3 4? 3

(法 3)利用焦半径求解. 先根据直线与椭圆联立的方程 13x ? 72 3x ? 36? 8 ? 0 求出方程的两根 x1 , x2 ,它们分别是 A , B 的横坐标.
2

再根据焦半径 AF ? a ? ex1 , BF ? a ? ex2 ,从而求出 AB ? AF ? BF .时,应结合韦达定理解决问题。 1 1 1 1

例 11 已知椭圆 ABF2 的面积

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1,F2,若过点 P(0,-2)及 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,求⊿ 2 1

解法一:由题可知:直线 l AB 方程为 2 x ? y ? 2 ? 0

由 ? x2

? y ? ?2 x ? 2 4 10 ? 2 可得 9 y 2 ? 4 y ? 4 ? 0 , y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ? y2 9 ? 2 ? 1 ?1 ?

? S? ?

1 4 10 F1 F2 y1 ? y 2 ? 2 9 4 5 5

解法二: F2 到直线 AB 的距离 h ?

5

? y ? ?2 x ? 2 10 2 ? 2 由 ? x2 可得 9 x ? 16x ? 6 ? 0 ,又 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? y2 9 ? 2 ? 1 ?1 ?

? S? ?

1 4 10 AB h ? 2 9 2, e ? 2 2

解法三:令 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则 AF ? a ? ex1 , BF ? a ? ex2 其中 a ? 1 1

F2 到直线 AB 的距离 h ?

4 5 5

由 ? x2

? y ? ?2 x ? 2 10 2 ? 2 可得 9 x ? 16x ? 6 ? 0 , AB ? a ? ex1 ? a ? ex2 ? 2a ? 2e( x1 ? x2 ) ? y2 ? ?1 9 ?2 1 ?

? S? ?

1 4 10 AB h ? 2 9
2

[评 述 ]在 利 用 弦 长 公 式 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ?

1 y1 ? y 2 ( k 为 直 线 斜 率) 或 焦( 左 ) 半 径 公式 k2

AB ? PF ? PF2 ? a ? ex1 ? a ? ex2 ? 2a ? 2e( x1 ? x2 ) 1

2 2 例 12 已知椭圆 4 x ? y ? 1 及直线 y ? x ? m .

(1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

2 2 解: (1)把直线方程 y ? x ? m 代入椭圆方程 4 x ? y ? 1 得

4x2 ? ?x ? m? ? 1 ,
2

即 5x ? 2mx? m ? 1 ? 0 . ? ? ?2m? ? 4 ? 5 ? m2 ?1 ? ?16m2 ? 20 ? 0 ,解得 ?
2 2

2

?

?

5 5 ?m? . 2 2

2m m2 ? 1 (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 x1 , x2 ,由(1)得 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 5 5
6

根据弦长公式得 : 1 ? 1 ? ? ?
2

m 2 ? 1 2 10 ? 2m ? ? .解得 m ? 0 .方程为 y ? x . ? ? 4? 5 5 ? 5 ?
2

说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别. 这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式 ? ;解决弦长问题,一般应用弦长公式. 用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系) ,可大大简化运算过程.

类型四:中点弦问题(点差法—代数法)

x2 y2 ? ? 1 所截得的线段的中点,求直线 l 的方程. 例 13 已知 P(4 , 2) 是直线 l 被椭圆 36 9
分析:本题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方程与椭圆方程联立消去 y (或 x ),得到关于 x (或 y ) 的一元二次方程,再由根与系数的关系,直接求出 x1 ? x2 , x1 x2 (或 y1 ? y2 , y1 y2 )的值代入计算即得. 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求”的方法,在解析几何中是经常采用的. 解:方法一:设所求直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 4) .代入椭圆方程,整理得

(4k 2 ? 1) x 2 ? 8k (4k ? 2) x ? 4(4k ? 2)2 ? 36 ? 0



设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 、 x2 是①的两根,∴ x1 ? x2 ? ∵ P(4 , 2) 为 AB 中点,∴ 4 ?

x1 ? x2 4k (4k ? 2) 1 ? , k ? ? .∴所求直线方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 . 2 2 4k ? 1 2

8k (4k ? 2) 4k 2 ? 1

方法二:设直线与椭圆交点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .∵ P(4 , 2) 为 AB 中点,∴ x1 ? x2 ? 8 , y1 ? y2 ? 4 . 又∵ A , B 在椭圆上,∴ x1 ? 4 y1 ? 36, x2 ? 4 y2 ? 36 两式相减得 ( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 2 2

即 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 .∴

y1 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) 1 ? ? ? .∴直线方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 . x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 2

方法三:设所求直线与椭圆的一个交点为 A( x , y) ,另一个交点 B(8 ? x , 4 ? y) . ∵ A 、 B 在椭圆上,∴ x ? 4 y ? 36
2 2

①。

(8 ? x)2 ? 4(4 ? y)2 ? 36



从而 A , B 在方程①-②的图形 x ? 2 y ? 8 ? 0 上,而过 A 、 B 的直线只有一条,∴直线方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 . 说明:直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题, “设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法.
7

若已知焦点是 (3 3 , 0) 、 3 3 , 0) 的椭圆截直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 所得弦中点的横坐标是 4, 则如何求椭圆方程? (?

x2 y 2 ? ? 1 内的点 A(2, ?1) 为中点的弦所在直线方程. 8 5 解: (法一)当直线斜率不存在时, A 点不可能是弦的中点,故可设直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) , 它与椭圆的交点分别为 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , ? y ? 1 ? k ( x ? 2) ? 则 ? x2 y 2 ,消去 y 得 (8k 2 ? 5) x2 ?16k (2k ? 1) x ? 8[(2k ? 1)2 ? 5] ? 0 , ?1 ? ? ?8 5 16k (2k ? 1) ∴ x1 ? x2 ? , 8k 2 ? 5 16k (2k ? 1) ? 4, 又∵ A(2, ?1) 为弦 MN 的中点,∴ x1 ? x2 ? 4 ,即 8k 2 ? 5 5 ∴ k ? ,从而直线方程为 5x ? 4 y ? 14 ? 0 . 4 (法二)当直线斜率不存在时, A 点不可能上弦的中点,故可设直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) , 它与椭圆的交点分别为 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,
例 14 求以椭圆

?5 x12 ? 8 y12 ? 40 ? 则? 2 2 ?5 x2 ? 8 y2 ? 40 ?
2 2

(1) (2)


2 2

(2) ? (1) 得: 5( x2 ? x1 ) ? 8( y2 ? y1 ) ? 0 , ∵ A(2, ?1) 为 MN 中点,∴ x1 ? x2 ? 4 , y1 ? y2 ? ?2 , 5 y ? y 20 5 ∴ 2 1? ? ,即 k ? , 4 x2 ? x1 16 4

所以,直线方程为 5x ? 4 y ? 14 ? 0 . 说明:1.法一中求中点弦的方法叫做“代点法” ,该方法常用来处理中点弦问题. 2.法二用“设而不求”法求中点弦方程,充分利用了弦中点坐标和弦两端点坐标间的关系; x2 ? y 2 ? 1, 例 15 已知椭圆 (1)求斜率为 2 的平行弦的中点的轨迹方程; 2 (2)过点 A(2,1) 的直线 l 与椭圆相交,求 l 被截得的弦的中点的轨迹方程. 解: (1) (法一)设弦所在直线方程为 y ? 2 x ? b , ? y ? 2x ? b ? 由 ? x2 消去 y 得: 9 x2 ? 8bx ? 2b2 ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2 ? ? (8b)2 ? 4 ? 9 ? (2b2 ? 2) ? 0 ,
8

即 b2 ? 9 ,∴ ?3 ? b ? 3 , 设弦的两个端点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,弦中点为 M ( x, y) , 8b x ?x 4b 则 x1 ? x2 ? ? ,∴ x ? 1 2 ? ? , 9 2 9 4b ? ?x ? ? ∴弦中点坐标满足 ? 9 , ? y ? 2x ? b ? 1 4 4 消去 b 得中点轨迹方程为 y ? ? x ( ? ? x ? ) . 4 3 3 (法二)设弦的两个端点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,弦中点为 M ( x, y) ,

? x12 2 ? ? y1 ? 1 (1) 1 ? 则 ? 22 , (1) ? (2) 得: ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 , 2 ? x2 ? y 2 ? 1 (2) 2 ? 2 ? 1 ( x1 ? x2 ) y2 ? y1 1 1 2x ??2 ∴ ,∴ 2 ? ? ? ,即 y ? ? x , 4 x2 ? x1 y1 ? y2 2 2y 1 所以,中点轨迹方程为 y ? ? x (椭圆内部) . 4
(2) (法一)当 l 的斜率不存在时,不合题意,故设直线 l 斜率为 k ,则 l 方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) , 设弦两端点为 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,中点为 M ( x, y) , 则把 l 方程代入椭圆方程消去 y 得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k (1 ? 2k ) x ? 2(1 ? 2k )2 ? 2 ? 0 , ? ? 16k 2 (1 ? 2k )2 ? 8(1 ? 2k 2 )[(1 ? 2k )2 ?1] ? 0 得 ?2k 2 ? 4k ? 0 ,∴ 0 ? k ? 2 , x ?x 2k (1 ? 2k ) x? 1 2 ?? , 2 1 ? 2k 2 ? y ? 1 ? k ( x ? 2) ? 2 2 ∴中点满足 ? 2k (2k ? 1) ,消去 k 得轨迹方程 x ? 2 y ? 2x ? 2 y ? 0 , ? x ? 1 ? 2k 2 ? 所以,弦的中点的轨迹方程为 x2 ? 2 y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 (椭圆内部). (法二)设弦两端点为 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,中点为 M ( x, y) ,

? x12 2 ? ? y1 ? 1 (1) ( x ? x )( x ? x ) ?2 ,由 (1) ? (2) 得 1 2 1 2 ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 , ? 2 2 ? x2 ? y 2 ? 1 (2) 2 ? 2 ? y ?y 1 x ?x ∴ 1 2 ?? ? 1 2 , x2 ? x1 2 y1 ? y2 y ?1 1 x ?? ? , 又∵ kPQ ? k AM ,∴ x?2 2 y ∴ 2 y( y ? 1) ? ? x( x ? 2) ,即 x2 ? 2 y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 , 所以,弦的中点的轨迹方程为 x2 ? 2 y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 (椭圆内部).
9

例 16 已知椭圆

x2 ?1 1? (1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; ? y2 ? 1 , 2 ? 2 2?

(2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 A?2, 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; 1? (4)椭圆上有两点 P 、 Q , O 为原点,且有直线 OP 、 OQ 斜率满足 kOP ? kOQ ? ? 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.

1 , 2

分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.

x1 ? 2 y1 ? 2, ① 解:设弦两端点分别为 M ?x1,y1 ? , N ?x2,y2 ? ,线段 MN 的中点 R?x,y ? ,则 ③
①-②得 ?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? 2? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 . 由 题 意 知 x1 ? x2 , 则 上 式 两 端 同 除 以 x1 ? x2 , 有 ?x1 ? x2 ?2? y1 ? y2 ? y1 ? y2 y? ? , 0y ④ 2 x? 2 y 将③④代入得 x 1 ? x2 1 ? 0 .⑤

2 ? 2 ? 2 2 ? x2 ? 2 y 2 ? 2, ? ? x1 ? x2 ? 2 x, ? y ? y ? 2 y, ? 1 2



x1 ? x2

(1)将 x ?

1 1 y ? y2 1 , y ? 代入⑤,得 1 ? ? ,故所求直线方程为: 2 2 x1 ? x2 2
2

2x ? 4 y ? 3 ? 0 . ⑥

将⑥代入椭圆方程 x 2 ? 2 y 2 ? 2 得 6 y ? 6 y ? (2)将

1 1 ? 0 ,? ? 36 ? 4 ? 6 ? ? 0 符合题意,2 x ? 4 y ? 3 ? 0 为所求. 4 4

y1 ? y2 ? 2 代入⑤得所求轨迹方程为: x1 ? x2 y1 ? y2 y ? 1 代入⑤得所求轨迹方程为: ? x1 ? x2 x ? 2
2 x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 ? 2 , ⑦, 2

x ? 4y ? 0 . (椭圆内部分)

(3)将

(椭圆内部分) x2 ? 2 y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 .

(4)由①+②得 :

?

?

将③④平方并整理得

2 x12 ? x2 ? 4 x 2 ? 2x1 x2 ,

⑧,

2 y12 ? y2 ? 4 y 2 ? 2 y1 y2 ,



将⑧⑨代入⑦得:

4 x 2 ? 2 x1 x2 ? 4 y 2 ? 2 y1 y2 ? 2 , 4

?

?


10

再将 y1 y2 ? ?

1 x1 x2 代入⑩式得: 2

? 1 ? 2 x 2 ? x1 x2 ? 4 y 2 ? 2? ? x1 x2 ? ? 2 , ? 2 ?



x2 ?

y2 ?1. 1 2

此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.

11



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