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安徽省涡阳县第四中学2015届高三数学(文)周末加试试题



涡阳四中高三文科数学周末加试卷
命题:史学祥 审题: 魏秀川 梁丽

第 I 卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1) .若 A 为位全体正实数的集合, B ? ??2, ?1,1, 2? 则下列结论正确的是( A. A ? B

? ?2, ?1 ? C. A ? B ? (0, ??) )

?

B. (?R A) ? B ? (??,0) D. (?R A) ? B ? ?2, ?1 ?

?

(2) .若 AB ? (2,4) , AC ? (1,3) , 则 BC ? ( A. (1,1)

??? ?

??? ?

??? ?

) D. (-3,-7)

B. (-1,-1) C. (3,7)

(3) .已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? C. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n
2



B. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n D. 若m‖? , m ‖ ? , 则?‖ ? )

(4) . a ? 0 是方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负数根的( A.必要不充分条件 C.充分必要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

(5) .在三角形 ABC 中, AB ? 5, AC ? 3, BC ? 7 ,则 ?BAC 的大小为( A.

2? 3

B.

5? 6

C.

3? 4

D.

? 3

(6)已知 {an } 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,则 a20 等于 (A)-1 (B) 1 (C)3 (D 7

(7)下列曲线中离心率为

6 的是 2
x2 y 2 ? ?1 4 2
(C) .

(A) .

x2 y 2 ? ?1 2 4

(B) .

x2 y 2 ? ?1 4 6

(D) .

x2 y 2 ? ?1 4 10

(8)直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是 (A)3x+2y-1=0 (B)3x+2y+7=0 (C)2x-3y+5=0 (D) 2x-3y+8=0 (9)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方形四个顶点中任意选择 两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是

(A)

3 18

(B)

4 18

(C)

5 18

(D)

6 18

(10) .设函数 f ( x) ? 取值范围是( (A) . ? ?2 , )

sin ? 3 3 cos ? 2 ? 5? ? x ? x ? tan ? ,其中 ? ? ?0, ? ,则导数 f / (1) 的 3 2 ? 12 ?
(C) ? 3, 2 ? (D ? 2, 2 ?

?

(B). ? 2, 3 ?

?

?

?

?

?

?

第 II 卷(非选择题 共 100 分)
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置 (11)设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时, f ( x ) = 2 x ? x ,则 f (1) ?
2

.

(12)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 (13)函数 y ?

1 6 ? x ? x2

的定义域是

.

(14)已知向量 a , b 满足 (a ? ?b) ? (a ? b) ? ?? ,且 a ? 1 , b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为 .

? (15) 设 f ( x) ? a sin 2 x ? b cos 2 x, 其 中 a, b

R , ? a b0 , 若

f ( x) ?

x ? R 恒成立,则 f ( 对一切 ) 6
③ f ( x ) 既不是奇函数也不

?

① f(

11? ? 7? )?0② f( ) < f( ) 12 5 10

是偶函数 ④ f ( x ) 的单调递增区间是 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

⑤存在经过点 ( a, b) 的直线与函数 f ( x ) 的图像不相交 以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号). 三、解答题:本大题共 6 小题.共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答 写在答题卡上的指定区域内。 16、 (本小题满分 12 分)

?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ?
(Ⅰ)求 AB?AC ; (Ⅱ)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。

12 。 13

??? ? ??? ?

(17) (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆 2 a b 3

与直线 y ? x ? 2 相切, (1)求 a 与 b ; (2)设该椭圆的左,右焦点分别为 F 1 和 F2 ,直线 l1 过 F2 且与 x 轴垂直,动直线 l 2 与 y 轴垂 直, l2 交 l1 与点 P .求线段 PF1 垂直平分线与 l2 的交点 M 的轨迹方程,并指明曲线类型。

(18) (本小题满分 12 分) (13 分). 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中 3 个矩形随机涂色,

每个矩形只涂一种颜色,求: (18 题图) (1)3 个矩形颜色都相同的概率; (2)3 个矩形颜色都不同的概率. 19. (本小题满分 13 分)在直角梯形 ABCD 中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥平面 ABCD,AB=AD=a,S D= 2a ,在线段 SA 上取一点 E(不含端点)使 EC=AC,截面 CDE 与 SB 交于点 F。 (1)求证:四边形 EFCD 为直角梯形; (2)设 SB 的中点为 M,当 出证明.

S F M D B C

E

CD 的值是多少时,能使△DMC 为直角三角形?请给 AB

A
20(13 分) .设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x ,若当 x ? ?1 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值,并讨
2

论 f ( x ) 的单调性.

21 已知数列{ an } 的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? 2n ,数列{ bn }的前 n 项和 Tn ? 2 ? bn (1)求数列{ an }与{ bn }的通项公式;
2 (2)设 cn ? an ? bn ,证明:当且仅当 n≥3 时, cn ?1 < cn

答案
一、选择题 1-----5DBBBA 6—10B B A C D

二.填空题 (11) ?3 (12)15(13) ? ?3,2? (14) 三、解答题

? (15)①③ 3

17 解:本小题主要考查椭圆、抛物线的方程,点到直线的距离公式,直线和曲线的位置关系 等基础知识,考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力.

2 3 b2 2 ? 2 ,∴ b2 ? 2, a2 ? 3 ,∴ a ? 3, b ? 2 。 (1)由 e ? 得 2 ? ,又 b ? a 3 3 1?1
(2)(方法一)由 c ? a2 ? b2 ? 1得 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) .
2 2 2 2 设 M ( x, y ), 则 P(1, y ) .由 MF 1 ? MP ,得 ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? y ? ?4 x

此轨迹是抛物线.

M 到 F1 的距离等于 (方法二)因为点 M 在线段 PF1 的垂直平分线上,所以 MF 1 ? MP ,即 M 到 l1 的距离.此轨迹是以 F1 (?1,0) 为焦点、l1 : x ? 1 为准线的抛物线,轨迹方程为 y 2 ? ?4x
18(13 分分)解:所有可能的基本事件共有 27 个,如图所示.

红 红 红黄 红黄 蓝 蓝 红 红 红 黄黄 黄 黄黄 蓝 蓝 蓝 红 红 (1)记“3 个矩形都涂同一颜色”为事件 A,由图知,事件 A 的基本事件有 1×3=3 个,故 P 3 1 ? . 蓝黄 (A)= 蓝黄 27 9 (2)记“3 个矩形颜色都不同”为事件 B,由图可知,事件 B 的基本事件有 2×3=6 个,故 P 蓝 蓝

(B)=

19(13 分)解: (1)∵ CD∥AB,AB ? 平面 SAB ∴CD∥平面 SAB 面 EFCD∩面 SAB=EF, ∴CD∥EF ∵ ?D ? 900 ,?CD ? AD, 又 SD ? 面 ABCD ∴ SD ? CD ? CD ? 平面 SAD,∴ CD ? ED 又 EF ? AB ? CD ? EFCD 为直角梯形 (2)当

6 2 ? . 27 9

S F M D A B C

CD ? 2 时, ?DMC 为直角三角形 . AB

E

? AB ? a,? CD ? 2a, BD ? AB2 ? AD2 ? 2a, ?BDC ? 450 ? BC ? 2a, BC ? BD ,
? SD ? 平面 ABCD,? SD ? BC,? BC ? 平面 SBD . 在 ?SBD 中, SD ? DB, M 为 SB 中点,? MD ? SB .

? MD ? 平面 SBC, MC ? 平面 SBC , ? MD ? MC ??DMC 为直角三角形。

20(13 分)解: f ?( x) ? 从而 f ?( x) ?

1 3 ? 2 x ,依题意有 f ?(?1) ? 0 ,故 a ? . x?a 2

2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 3 ? ? . f ( x ) 的定义域为 ? ? , ? ∞? , 3 3 ? 2 ? x? x? 2 2

当?

3 1 1 ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 2

从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , ? 1?, ? ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 , ? ?? ,

? 3 ? 2

? ? 1 ? ? 2

? ?

? ?

1? ? 单调减少. 2?

21(13 分) 解:本小题主要考查等差数列、等比数列,不等式等有关知识,考查数列的通项与其前 n 项和 之间的关系,考查抽象概括和运算求解能力。 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 4 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n2 ? 2n) ? [2(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 4n

a1 ? 4 也适合上式,所以数列{ an }的通项公式 an ? 4n
当 n ? 1 时, b1 ? T1 ? 2 ? b1 ,∴ b1 ? 1 当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn?1 ? 2 ? bn ? (2 ? bn?1 ) ,∴ ∴数列 {bn } 是以 1 为首项,
2

bn 1 ? bn ?1 2

1 1 n ?1 为公比的等比数列,所以数列{ bn }的通项公式 bn ? ( ) 。 2 2
2

1 n ?1 cn?1 (n ? 1)2 1 1 bn ? 16n ( ) ,∴ (2)由(1)知 cn ? an ? ? ? (1 ? )2 2 2 cn 2n 2 n

当 n ? 1 时,

9 cn ?1 c ? 2 ? 1 ,当 n ? 2 时 n ?1 ? ? 1 , 8 cn cn

当 n ? 3 时,

cn?1 1 1 1 1 8 ? (1 ? )2 ? (1 ? )2 ? ? 1 , cn 2 n 2 3 9

因此,当且仅当 n≥3 时, cn ?1 < cn



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