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第1部分 第2章 2.3 2.3.1 双曲线的标准方程


理解教材新知

第 2 章

考点一 2.3 2.3.1 把握热 点考向 考点二 考点三

应用创新演练

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在平面直角坐标系中 A(-3,0),B(3,0),C(0,-3), D(0,3). 问题 1:若动点 M 满足|MA-MB|=4,设 M 的坐标为 (x,y),则 x,y 满足什么关系? x2 y2 提示: - =1. 4 5

问题 2: 若动点 M 满足|MC-MD|=4, 设 M 的坐标为 (x,y),则 x,y 满足什么关系?
y2 x2 提示: - =1. 4 5
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双曲线的标准方程 焦点在x轴上 标准方程 -=1(a>0,b>0) (± c,0) c2=a2+b2 焦点在y轴上 -=1(a>0,b>0 (0,± c)

焦点坐标
a,b,c的 关系

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1.双曲线的标准方程与椭圆不同,左边是含x,y项的平 方差,右边是1. 2.在双曲线中,a>0且b>0,但a与b的大小关系不确定.

3.在双曲线中a、b、c满足c2=a2+b2,与椭圆不同.

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[例 1]

? 15 ? , 2 ? 两点, 已知双曲线过点 P(- 2, - 3), Q? ? 3 ?

求双曲线的标准方程. [思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程,

再构造关于 a、b、c 的方程组求解,从而得出双曲线的标准方 程. 也可以设双曲线方程为 mx2+ny2=1(mn<0)的形式, 将两点 代入,简化运算过程.

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[精解详析] 法一:当双曲线的焦点在 x 轴上时,设 x2 y2 双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b
? 15 ? , 2 ? 两点在双曲线上. ∵P(- 2,- 3),Q ? ? 3 ?

?(- 2)2 (- 3)2 ? - =1, 2 2 a b ? ∴? 15 2 ?( 3 ) ( 2)2 ? - =1, 2 2 a b ? ?1 ?a2=1, 解得? 即 a2=1,b2=3, ? 12=1, ?b 3

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2 y ∴所求双曲线的标准方程为 x2- =1. 3

当双曲线的焦点在 y 轴上时,设双曲线方程为 y2 x2 - =1(a>0,b>0), a2 b2
? 15 ? , 2 ? 两点在双曲线上, ∵P(- 2,- 3),Q ? ? 3 ?

?(- 3)2 (- 2)2 ? - =1, 2 2 a b ? ∴? 15 2 ?( 2)2 ( 3 ) ? - =1. 2 b2 ? a

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1 ?1 ?a2=-3, 解得? (不符合题意,舍去). 1 ? 2=-1, ?b
2 y 综上:所求双曲线的标准方程为 x2- =1. 3

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法二:设双曲线的方程为 mx2+ny2=1(mn<0), 15 因为双曲线过两点 P(- 2,- 3),Q( , 2), 3 ?m(- 2)2+n(- 3)2=1, m=1, ? ? ? 得? 解得? 1 15 2 2 n=- , m( ) +n( 2) =1, ? ? 3 ? 3 ?
2 y 所以所求双曲线的标准方程为 x2- =1. 3

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[一点通] 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为:

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x2 y2 1.已知双曲线与椭圆 + =1有共同的焦点,且过点 27 18 (2 2, 5),则双曲线的标准方程是________. x2 y2 解析:椭圆 + =1的焦点坐标为F1(-3,0), 27 18 x2 y2 F2(3,0),故可设双曲线的方程为 2- 2=1, a b

?a2+b2=9, 2 ? ? a =4, ? 2 2 由题意,知?(2 2) ( 5) 解得? 2 ? - =1, ?b =5. 2 2 ? a b ? x2 y2 故双曲线的方程为 - =1. 4 5 x2 y2 答案: - =1 4 5

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2.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)a=4,c=5,焦点在 y 轴上; (2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点 A(-5,6).
解:(1)由题设知,a=4,c=5, 由 c2=a2+b2,得 b2=c2-a2=52-42=9. 因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以所求双曲线的标准方程 y2 x2 为 - =1. 16 9

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(2)由已知得 c=6,且焦点在 y 轴上.因为点 A(-5,6)在 双曲线上,所以点 A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数 2a , 即 2a = | (-5-0)2+(6+6)2 -

(-5-0)2+(6-6)2|=|13-5|=8,则 a=4,b2=c2 -a2=62-42=20. y2 x2 因此,所求双曲线的标准方程是 - =1. 16 20

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[例 2]

x2 y2 若方程 + 2 =1 表示焦点在 y 轴 5-m m -2m-3

上的双曲线,求实数 m 的取值范围.

[思路点拨] 由双曲线的焦点在 y 轴上,得关于 m 的 不等式组,进而解不等式组求 m 的范围.

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x2 y2 [精解详析] 由方程 + 2 =1 表示焦点在 5-m m -2m-3 y
? ?5-m<0, 轴上的双曲线,得? 2 解得 ? ?m -2m-3>0.

m>5.

所以实数 m 的取值范围是(5,+∞).

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x2 y2 [一点通] 给出方程m+ n =1(mn≠0),当 mn<0 时,方
? ?m>0, 程表示双曲线,当? 时,表示焦点在 ? ?n<0 ? ?m<0, 当? 时,表示焦点在 ? ?n>0

x 轴上的双曲线;

y 轴上的双曲线.

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x2 y2 3.k>9 是方程 + =1 表示双曲线的____________条件. 9-k k-4 x2 y2 解析: + =1 表示双曲线的充要条件是 9-k k-4
(9-k)· (k-4)<0,即 k>9 或 k<4. 因为 k>9 是 k>9 或 k<4 的充分不必要条件. x2 y2 即 k>9 是方程 + =1 表示双曲线的充分不必 9- k k - 4 要条件.

答案:充分不必要
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x2 y2 4.若方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则实数 2-m |m|-3 m 的取值范围是________; 若该方程表示双曲线, 则 m 的取值 范围是________.
解析: ①若表示焦点在 x
? ?2-m>0 轴上的双曲线, 则? ?-3<m<2. ? ?|m|-3<0

②若该方程表示双曲线,则 (2-m)(|m|-3)<0. 解得-3<m<2 或 m>3.

答案:(-3,2)

(-3,2)∪(3,+∞)

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[例 3]

x2 y2 已知 F1,F2 是双曲线 - =1 的两个焦点, 9 16

P 是双曲线左支上的点,且 PF1·PF2=32,试求△F1PF2 的面积.
[思路点拨] 本题是有关双曲线的焦点三角形问题,

解答本题的关键是求得∠F1PF2 的大小.由余弦定理,根据 已知条件,结合双曲线的定义即可求得结果.

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[精解详析]

x2 y2 双曲线的标准方程为 - =1,可知 9 16

a=3,b=4,c= a2+b2=5.由双曲线的定义,
2 得|PF2-PF1|=2a=6,将此式两边平方,得 PF1 +PF2 2

-2PF1·PF2=36,
2 ∴PF2 + PF 1 2=36+2PF1·PF2=36+2×32=100.

在△F1PF2 中,由余弦定理,得
2 2 PF2 + PF - F F 100-100 1 2 1 2 Tcos∠F1PF2= = =0, 2PF1·PF2 2PF1·PF2

∴∠F1PF2=90°, 1 1 ∴S△F1PF2= PF1·PF2= ×32=16. 2 2

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[一点通]

在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题

时,首先要考虑定义|PF1-PF2|=2a,其次要利用余弦定 理(或勾股定理)建立关于PF1、PF2、F1F2的方程,解方程 组可求得PF1、PF2或PF1· PF2,再解决相关问题.

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2 y 5.设 P 为双曲线 x2- =1 上的一点,F1,F2 是该双曲线的两 12

个焦点,若 PF1∶PF2=3∶2,则△PF1F2 的面积为________.
解析:由双曲线定义知|PF1-PF2|=2, ∵PF1∶PF2=3∶2,∴PF1=6,PF2=4. 由双曲线方程知 a2=1,b2=12, ∴c2=13,∴F1F2=2c=2 13.
2 2 由 PF2 + PF = F F 1 2 1 2,得 PF1⊥PF2.

1 1 ∴S△PF1F2= PF1·PF2= ×6×4=12. 2 2

答案:12
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6.如图所示,已知定圆F1:x2+y2+10x +24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0, 动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.

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解:圆 F1:(x+5)2+y2=1,圆 F2:(x-5)2+y2=42, ∴F1(-5,0),半径 r1=1;F2(5,0),半径 r2=4. 设动圆 M 的半径为 R,则 MF1=R+1,MF2=R+4, ∴MF2-MF1=3<F1F2=10. ∴动圆圆心 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线左支, 3 且 a= ,c=5. 2 9 91 ∴b =25- = . 4 4
2

4x2 4y2 3? ? ∴动圆圆心 M 的轨迹方程为 - =1 ? x ≤ ? ? . 9 91 2? ?

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1.用定义法求双曲线的标准方程时,要注意是一支 还是两支. 2.用待定系数法求双曲线的标准方程时,要先判断 焦点所在的位置,设出标准方程后,由条件列出a,b,c 的方程组.

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