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2015-2016学年高中数学 3.2.1古典概型及其概率计算(一)练习案 新人教A版必修3



3.2 3.2.1

古典概型

古典概型及其概率计算(一)

通过实例, 理解古典概型及其概率计算公式, 会用列举法计算一些随机事件所含的基本 事件数及事件发生的概率.

基 础 梳 理 1.基本事件(要正确区分事件和基本事件). 一个事件如果不能再被分解为________的事件,称作_______

_. 答案: 两个或两个以上 基本事件 2.基本事件的两个特点. (1)任何两个基本事件是________. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成________. 例如:投掷一枚硬币的事件__________________是这个实验的二个基本事件. 答案: (1)互斥的 (2)基本事件的和 例:“正面向上”与“反面向上” 3.古典概型的两个特征. (1)试验中所有可能出现的基本事件________; (2)各基本事件的出现是________,即它们发生的概率相同. 我们把具有这两个特征的概率模型称为______,简称古典概型. 答案: (1)只有有限个 (2)等可能的 古典概率模型 注意:在“等可能性”概念的基础上,很多实际问题符合或近似符合这两个条件,可以

1

作为古典概型来看待. 4.掌握古典概型的概率计算公式:

A包含的基本事件个数 P(A)= .
总的基本事件个数 例如:掷一骰子正面向上点数是 3 的倍数的概率是________. 答案: 1 3

自 测 自 评

1.下列试验中是古典概型的是( ) A.任意抛掷两枚均匀的正方体骰子,所得点数之和作为基本事件 B.口袋里有 2 个白球和 2 个黑球,这 4 个球除颜色外完全相同,从中任取一球 C.向一圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点是等可能的 D.射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为命中 10 环,命中 9 环,?,命中 0 环 解析:A 中尽管点数之和只有有限个取值:2,3,?,12,但它们不是等可能的,则 A 1 不是;B 中摸到白球与黑球的概率相同, 均为 ,则 B 是;C 中的基本事件有无限个,则 C 2 不是;D 中命中 10 环,则 D 不是. 答案:B 2.有 100 张卡片(从 1 号到 100 号),从中任取 1 张,取到的卡号是 7 的倍数的概率为 ( A ) A. 7 7 7 15 B. C. D. 50 100 48 100

3.下列概率模型中,有几个是古典概型( A ) ①从 区间[1,10]内任意取出一个数,求取到 1 的概率; ②从 1~10 中任意取出一个整数,求取到 1 的概率; ③向一个正方形 ABCD 内投一点 P,求 P 刚好与点 A 重合的概率; ④向上抛掷一枚质地不均匀的旧硬币,求正面朝上的概率. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.一部三册的小说,任意排放在书架的同一层上,则各册自左到右或自右到左恰好为 第 1,2,3 册的概率为( B ) A. 1 1 1 B. C. 6 3 2 2 D. 3

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基 础 达 标 1.一枚硬币连掷 3 次,有且仅有 2 次出现正面向上的概率为( A. 3 2 1 B. C. 8 3 3 1 D. 4 )

解析:所有的基本事件是(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反), (反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反),共有 8 个,仅有 2 次出现正 3 面向上的有:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),共 3 个,则所求概率为 . 8 答案:A 2.从甲、乙、丙三人中,任选两名代表,甲被选中的概率为( D ) A. 1 1 1 B. C. 2 3 4 2 D. 3

3.(2014·江苏高考)从 1,2,3,6 这四个数中一次随机地取 2 个数,则所取两个数的 乘积为 6 的概率为______. 解析:从 1,2,3,6 这 4 个数中任取 2 个数共有 6 种取法,其中乘积为 6 的有 1,6 2 1 和 2,3 两种取法,因此所求概率为 P= = . 6 3 1 答案: 3 4.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6), 骰子朝上的面的点数分别为 X、Y,则 log2xY=1 的概率为( ) A. 1 5 B. 6 36 1 C. 12 1 D. 2

解析:要使 log2xY=1,必须满足 2X=Y,即其中一枚骰子向上的点数是另一枚骰子向 上的点数的 2 倍,抛掷两枚均匀的骰子,共有 36 种等可能的结果,其中构成倍数关系的数 3 1 字是 1 与 2、2 与 4、3 与 6,共三种不同情况,故所求概率为 P= = . 36 12 答案:C 5.甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布),求: (1)平局的概率; (2)甲赢的概率; (3)乙赢的概率. 解析:甲有 3 种不同的出拳方法,每一种出法是等可能的,乙同样有等可能的 3 种不同 出法. 一次出拳游戏共有 3×3=9 种不同的结果, 可以认为这 9 种结果是等可能的. 所以一次 游戏(试验)是古典概型.它的基本事件总数为 9. 平局的含义是两人出法相同,例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪,甲出剪且 乙出布,甲出布且乙出锤这 3 种情况.乙赢的含义是乙出锤且甲出剪,乙出剪且甲出布,乙 出布且甲出锤这 3 种情况.

3

设平局为事件 A,甲赢为事件 B,乙赢为事件 C. 容易得到:

(1)平局含 3 个基本事件(图中的△); (2)甲赢含 3 个基本事件(图中的⊙); (3)乙赢含 3 个基本事件(图中的※). 由古典概率的计算公式,可得:

P(A)= = ,P(B)= = ,P(C)= = .

3 1 9 3

3 1 9 3

3 1 9 3

巩 固 提 升 6. 某学校兴 趣小组有 2 名男生和 3 名女生, 现要从中任选 3 名学生代表学校参加比赛. 求: (1)3 名代表中恰好有 1 名男生的概率; (2)3 名代表中至少有 1 名男生的概率; (3)3 名代表中女生比男生多的概率. 解析:记 2 名男生分别为 a、b,3 名女生分别为 c、d、e.则从 5 名学生中任选 3 名的 可能选法是(a、b、c)、(a、b、d)、(a、b、e)、(a、c、d)、(a、c、e)、(a 、d、e)、(b、 c、d)、(b、c、e)、(b、d、e)、(c、d、e),共 10 种选法. 6 (1)设“3 名代表中恰好有 1 名男生”为事件 A, 则事件 A 共有 6 种情况, 所以 P(A)= 10 3 = . 5 (2)设“3 名代表中至少有 1 名男生”为事件 B,则事件 B 包含了“2 男 1 女”和“1 男 9 2 女”的选法,共有 9 种情况,所以 P(B)= . 10 (3)设“3 名代表中女生比男生多”为事件 C,则事件 C 包含了“3 名女生”和“2 女 1 7 男”的选法,共有 7 种情况,所以 P(C )= . 10 7.某射手在一次射击中命中 9 环的概率是 0.28,命中 8 环的概率是 0.19,不够 8 环的 概率是 0.29,计算这个射手在一次射击中 命中 9 环或 10 环的概率. 解析: 设“命中 9 环或 10 环”为事件 A, 则由题意得 P(A)=[1-(0.28+0.19+0.29)] +0.28=0.52.

4

8.为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某 校 6 名学生进行问卷调查.6 人得分情况为:5,6,7,8,9,10.把这 6 名学生的得分看成 一个总体. (1)求该总体的平均数; (2)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组成一个样本.求该样 本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 1 解析:(1)总体平均数为 ×(5+6+7+8+9+10)=7.5. 6 (2)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5”. 从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有:(5,6),(5,7),(5,8),(5 ,9), (5,10 ),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8, 10),(9,10),共 15 个基本结果. 事件 A 包括的基本结果有:(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7, 9),共有 7 个基本结果. 7 所以所求的概率为 P(A)= . 15

9.从 1,2,3,4,5,6,7 中任取一个数,求下列事件的概率: (1)取出的数大于 3; (2)取出的数能被 3 整除; (3)取出的数大于 3 或能被 3 整除. 解析:从 1,2,3,4,5,6,7 中随机取出一个数是等可能的,共有 7 种结果. 4 (1)取出数大于 3 有 4 种可能:4,5,6,7,故所求事件的概率为 . 7 2 (2)取出的数被 3 整除,有 2 种可能:3,6,故所求事件的概率为 . 7 (3)取出的数大于 3 或能被 3 整除,共有 5 种可能:3,4,5,6,7,故所求事件的概率 5 为 . 7

1.一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性 和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.只有同时具备这两个特点的才是古典概型. 2.解决古典概型的概率问题,需从不同的背景材料中抽象出两个问题: (1)所有基本事件的个数 n; (2)随机事件 A 包含的基本事件的个数 m;
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最后套用公式 P(A)= 求值. 3.注意以下几点: (1)求基本事件总数和事件 A 所包含的基本事件数,可采用一一列举或图表的形式来直 观描述. (2)熟练地应用互斥事件和对立事件概率公式,将所求事件分解为更易于计 算的彼此互 斥事件的和,化整为零,化难为易,也可采取逆向思维,求其对立事件的概率. (3)注意有无放回抽样问题的区别.

m n

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