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数学4第一章三角函数的图像与性质课件


三.【要点精讲】 .【要点精讲】 要点精讲
y = sin x
定义域 值域 周期性 R

y = cos x
R

y = A sin (ωx + ? ) (A、 ω >0)

R

[ ?1,1]

[ ?1,1]

[? A, A]



奇函数


偶函数

ω
当 ? ≠ 0, 非奇非偶, 当 ? = 0, 奇函数

奇偶性

[?

π
2

+ 2kπ ,

π
2

+ 2kπ ] [( 2k ? 1) π , 2kπ ]
上为增函数;

上为增函数; 单调性

上为减函数. (k∈Z )

π 3π [ + 2 kπ , + 2 kπ ] 2 2 [2kπ , ( 2k + 1) π ]
上为减函数. (k∈Z )

π 1 ? ? ? 2kπ ? 2 ?? 2kπ + 2 π ?? ? , ? ? 上增函数; ω ω ? ? ? ? π 3 ? ? ? 2kπ + 2 ?? 2kπ + 2 π ?? ? , ? ? 上 减 函 数 ω ω ? ? ? ?
(k∈Z )

y = tan x
定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性
1 ? ? ? x | x ∈ R且 x ≠ kπ + π , k ∈ Z ? 2 ? ?

y = cot x

{x | x ∈ R且 x ≠ k π , k ∈ Z }
R

R

π
奇函数 ? π
π ? ? ? + kπ , + kπ ? 上为增函数( k ∈ Z ) 2 ? 2 ?

π
奇函数 (kπ , (k + 1)π ) 上为减函数( k ∈ Z )

函数 y = A sin(ω x + ? ) 的图像和性质以函数 y = sin x 为基础,通过图像变换来把握.如 ① y = sin x
图例变化为 ???? ② y = Asin(ωx +?) (A>0, ω >0)相应地, →
变为 ??? →

①的单调增区间 ? ? π + 2 k π , π + 2 k π ? ? ? 2 2 ? ?

?

π
2

+ 2kπ ≤ ω x + ? ≤

π
2

+ 2 kπ 的解集是②的增区间.


注: ⑴ y = sin(ωx + ? ) 或 y = cos(ω x + ? ) ( ω ≠ 0 )的周期 T = 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
ω

;

y=sinx
-5π 2 -4π -7π -3π 2 -2π -3π -π 2 π 2

y 1 o -1 y
-5π 2 -2π -3π 2 -π π 2 π 2 π 3π 2 2π 5π 2 3π 7π 2 4π

x

y=cosx
-3π -4π -7π 2

1 o -1
π 2

π

3π 2 2π 5π 2



7π 2 4π

x

y

y

y=tanx

y=cotx

-

3π 2



-

π 2

o

π 2

π

3π 2

x



-

π 2

o

π 2

π

3π 2



x

2.三角函数的单调区间:

π π? ? y = sin x 的递增区间是 ?2kπ ? ,kπ + ? (k ∈ Z ) , 2 2 2? ?
递减区间是 ?2kπ +

? ?

π
2

,kπ + 2

3π ? (k ∈ Z ) ; 2? ?

y = cos x 的递增区间是 [2kπ ? π,kπ ] (k ∈ Z ) , 2
递减区间是 [2kπ,kπ + π ] ( k ∈ Z ) , 2

π π? ? y = tan x 的递增区间是 ? kπ ? ,kπ + ? (k ∈ Z ) , 2 2? ?
3.函数 y = A sin(ωx + ? ) + B (其中A > 0,ω > 0) 最大值是 A + B , 最小值是 B ? A , 周期是 T = 初相是 ? ;其图象的对称轴是直线 ωx + ? = kπ +



π
2

ω

, 频率是 f =

ω , 相位是 ωx + ? , 2π

(k ∈ Z ) ,凡是该图象与直线 y = B 的

交点都是该图象的对称中心 4.由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ωx+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开这两 个途径,才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现 无论哪种 变形,请切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是 “角变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位,再将图象上各点的
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新

横坐标变为原来的

1

ω

倍(ω>0),便得 y=sin(ωx+ ? )的图象

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 向右( ? <0=平移

1

|? |

ω

倍(ω>0),再沿 x 轴向左( ? >0)或

5.由 y=Asin(ωx+ ? )的图象求其函数式: 给出图象确定解析式 y=Asin(ωx+ ? )的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(- 0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 .. 6.对称轴与对称中心: y = sin x 的对称轴为 x = kπ + π ,对称中心为 (kπ , 0) k ∈ Z ; 2

ω

个单位,便得 y=sin(ωx+ ? )的图象。

? , ω

y = cos x 的对称轴为 x = kπ ,对称中心为 (kπ + π , 0) ; 2 对于 y = A sin(ω x + φ ) 和 y = A cos(ω x + φ ) 来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最
值点联系。 7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意 A、 ω 的正负 利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; 8.求三角函数的周期的常用方法: 经过恒等变形化成“ y = A sin(ω x + φ ) 、 y = A cos(ω x + φ ) ”的形式,在利用周期公 式,另外还有图像法和定义法 9.五点法作 y=Asin(ωx+ ? )的简图:
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新

五点取法是设 x=ωx+ ? ,由 x 取 0、 再描点作图。

π 3π 、π、 、2π来求相应的 x 值及对应的 y 值, 2 2

四.【典例解析】 .【典例解析】 典例解析
题型 1:三角函数的图象 例 1.(2009 浙江理)已知 a 是实数,则函数 f ( x ) = 1 + a sin ax 的图象不可能是 ( ...
)

解析 对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T = 求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2π . 答案:D

2π ,∵ a > 1,∴T < 2π ,而 D 不符合要 a

例 2.(2009 辽宁理,8)已知函数 f ( x ) =Acos( ω x + ? )的图象如图所示, f ( ) = ?

π

2

2 , 3

则 f (0) =(



A. ? 答案

2 3
C

B.

2 3

C.-

1 2

D.

1 2

题型 2:三角函数图象的变换 1 π 例 3.试述如何由 y= sin(2x+ )的图象得到 y=sinx 的图象 3 3
1 π 解析:y= sin(2x+ ) 3 3

1 π 倍 ?横坐标扩大为原来的2?→ y = sin x + ) ???????? ( 纵坐标不变 3 3
π 图象向右平移 个单位 1 ?? ? ? ? ?3 ? ?→ y = sin x ? 纵坐标不变 3

倍 ?纵坐标扩大到原来的3?→ y = sin x ???????? 横坐标不变

另法答案:
1 π π 1 (1)先将 y= sin(2x+ )的图象向右平移 个单位,得 y= sin2x 的图象; 3 3 6 3 1 1 (2)再将 y= sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得 y= sinx 的 3 3

图象;
1 (3) 再将 y= sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍 (横坐标不变) 即可得到 y=sinx , 3

的图象


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