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函数奥赛题通性训练



函数通性训练题
A级 选择题

1 ? )是 ( ) a ?1 2 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)奇偶性与 a 有关 ★★2.设 f(x)是定义在实数集上的周期为 2 的周期函数,且是偶函数。已知当 x∈[2,3] 时,f(x)=x,则当 x∈ [-2,0]时,f(x)的解析式是( )
★★1.若 a>0,a≠1,F

(x)是一奇函数,则 G(x) ? F(x)(
x

1

(A)f(x)=x+4 (C)f(x)=3-|x+1| 若 f(0)=0,但 f(x)不恒等于 0,则 (A)f(x),g(x)都是奇函数

(B)f(x)=2-x (D)f(x)=2+|x+1|

★★★3.设 f(x),g(x)是定义在(-∞,+∞)上的两个函数,对任意实数 x,y 满足 f(x+y)+(x-y)=2f(x)g(x), (B)f(x),g(x)都是偶函数 上是 ( )

(C)f(x)是偶函数,g(x)是奇函数 (D)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数。 ★★4. 奇函数 y=f(x)有反函数 y ? f -1 ( x) , 函数 y ? f -1 ( x) 在[0, +∞]上是减函数, 则 (A)是增函数 (B)是减函数 (C)有时是增函数,有时是减函数 (D)有时是增函数,有时是减函数,有时是常数函数。 ★★5.函数 y=f(x-a)与函数 y=f(a-x)的图象间的关系是 ( ) (A)关于 y 轴对称 (C)关于直线 x=2a 对称 填空题 (B)关于 x 轴对称 (D)关于直线 x=a 对称

1 1 ★★6.函数 f(x)对一切实数 x 都满足 f ( ? x) ? f ( ? x) ,并且方程 f(x)=0 有三个实根,这三个实根的和是 2 2 ________. ★★★★7.设奇函数 y=f(x)的定义域为 R,f(1)=2,且对任意 x1 , x 2 ? R ,都有 f(x 1 ? x 2 ) ? f(x 1 ) ? f(x 2 ), 当 x>0
时,f(x)是增函数,则函数 y ? -f 2 ( x) 在这间[-3,-2]上的最大值是______. ★★8.定义域是实数域的奇函数 f(x),对任意实数 x 都有 f(x)=f(x+2)则 f(2)+f(4)+f(6)+… +f(1992)+f(1994)=_____。

★★★★9.设函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且单调递增,满足 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y) (1)证明:f(1)=0 f(1)=0。 (2)求 f(4)。 (3)若 f(x)+f(x-3)≤2,求 x 的范围。 (4)举出一个符合上述要求的函数 f(x)。

B级 ★★★10.设函数 f(x)对任一实数 x 满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且 f(0)=0。求证:f(x)在[-30,30] 上至少有 13 个零点,且 f(x)是以 10 为周期的函数。

★★★★11. 函数 f1 (x) ? sinx和f 2 (x) ? sinπ x 的最小正周期分别为 2π 和 2。 证明 f(x)=sinx+sinπ x 不是周期函数。

★★★★12.证明:若函数 y=f(x)在 R 上的图解关于点 A(a, y 0 ) 和直线 x=b(b>a)皆对称,则 f(x)为周期函数。

★★★★13.设 f 是一个从实数集 R 映射到自身的函数,并且对任何 x∈R 均有|f(x)|≤1,以及 13 1 1 f(x ? ) ? f ( x) ? f ( x ? ) ? f ( x ? ). 42 6 7 证明:f 是周期函数,即存在一个非零实数 C,使得对任何 x∈R,成立 f(x+C)=f(x).

参考答案 A级 ★1.B。

,故 G(x)是偶数。 2.C。当 x∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3].f(x)=f(x+2·2)=f(x+4);当 x∈[-3,-2]时,由于 f(x)为偶函数∴f(x)= -x,∴当 x∈[-1,0]时,f(x)=f(x-2)= -(x-2)= -x+2. 3.D。令 x=0,f(-y)=-f(y) ;又将-y 代换成 y,f(x-y)+f(x+y)=2f(x)g(-y),∴ g(-y)=g(y) 4.A。如果一个函数存在反函数,那么它们的单调状况相同。 5.D。设 (x 0 , y 0 )是y ? f(x -a) 图 象上任意一点,则
y 0 ? f(x 0-a) ? f[a -(2a-x 0 )], ?点(2a ? x0 , y 0 )在y ? f (a ? x)的图象上; 反之也成立.

1 1 1 对称,其中一根必是 ,另两根之和是 2 ? ? 1 。故所有实根之和是 1.5。 2 2 2 7.令 x 1 ? x 2 ? 0, f(0) ? 0, 由 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,故在(-∞,0)上也为增函数,且
6.y=f(x)的图象关于 x ? f(2)=f(1+1)=2f(1)=4,用定义易知, y ? ? f 2 ( x)在(??,0) 上为增函数。故[-3,-2]上的最大值是 ? f 2 (?2) ? ?16. 8.f(x)为 R 上的奇函数, f(0)=0,且 f(0)=f(2)=f(4)=…=f(1994)=0,故原式为 0。 9. (1)取 x=1,y=2,得 f(2)=f(1·2)=f(1)+f(2).∴f(1)=0 (2)f(4)=f(2)+f(2)=2. (3)f(x)+f(x+3)=f[x(x-3)]≤2=f(4), 所以
x ? 3x ? 4,?1 ? x ? 4, 但x ? 3>0, 故3<x ? 4.
2

(4)可取 f(x) ? log2 x . B级 10.f(x)关于 x=2 和 x=7 对称。 f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0,f(10)=f(7+3)=f(7-3)=f(4)=0,于是(0,10]上至少有两个零点。 f(x+10)=f(7+3+x)=f(7-3-x)=f(4-x)=f(2+2-x)=f(2-2+x)=f(x),∴f(x)以 10 为周期。f(-30)=f(- 30+3×10)=f(0)=0.综上,f(x)在[-30,30]上至少有 13 个零点。 11.反证,若周期为 T,则 sin(x+T)+sin(π (x+T))=sinx+sinπ x

T 2x ? T πT 2 π x ?π T ?s i n ? c o s ? ?s i n ? c o s 2 2 2 2
存在 x 0 ? R, 使得 cos



2 π x 0 ?π T 2x ? T ? 0, 而 cos 0 ? 0, 将 2 2

代入①,? sin

T ? 0, 于是对每个 x∈R, 2

πT 2 π x ?π T ? sin ? cos ? 0, 由于 2 2

πT ,故 ? sin ? 0, , 2

? sin

T πT T πT ? 0, sin ? 0, ? kπ, ? mπ, k , m ? Z , 于是 kπ =m,矛盾。 2 2 2 2 12.提示 4(b-a)是它的一个周期,由已知有 f(a ? x)-y 0 ? y 0-f(a -x) ① f(b+x)=f(b-x)②,
反复利用①、②,可证 f[x+4(b-a)]=f(x) 13.

① 同样,有

② 由①、②

即 对所有π ∈N 成立。 又∵f(x)有界,故只有 f(x+1)-f(x)=0. ∴f(x+1)=f(x),f(x)为周期函数。



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