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求函数解析式的常用方法



求函数解析式的常用方法有: 1、待定系数法 (1)已知二次函数 f ( x ) 满足 f (1) = 1 , f ( ?1) = 5 ,图象过原点,求 f ( x ) ; 例 1、 (2)已知二次函数 f ( x ) ,其图象的顶点是 ( ?1, 2) ,且经过原点, f ( x ) . (1)由题意设 f ( x) = ax 2 + bx + c , 解: ∵ f (1) = 1 , f ( ?1) = 5 ,且图象过原点,

?a + b + c = 1 ? ∴ ?a ? b + c = ?5 ?c = 0 ?
∴ f ( x) = 3x 2 ? 2 x .

?a = 3 ? ∴ ?b = ?2 ?c = 0 ?

(2)由题意设 f ( x) = a ( x + 1) 2 + 2 , 又∵图象经过原点, ∴ f (0) = 0 ,∴ a + 2 = 0 ∴ f ( x ) = ?2 x 2 ? 4 x . 说明: (1)已知函数类型,求函数解析式,常用“待定系数法” ; (2)基本步骤:设出函数的一般式(或顶点式或两根式等) ,代入已知条件,通过 解方程(组)确定未知系数。 2、代入法 例 2、根据已知条件,求函数表达式. (1)已知 f ( x) = x 2 ? 4 x + 3 ,求 f ( x + 1) . (2)已知 f ( x) = 3 x 2 + 1 , g ( x) = 2 x ? 1 ,求 f [ g ( x )] 和 g[ f ( x )] . (1)∵ f ( x) = x 2 ? 4 x + 3 解: ∴ f ( x + 1) = ( x + 1) 2 ? 4( x + 1) + 3 = x 2 ? 2 x . (2)∵ f ( x) = 3 x 2 + 1 , g ( x) = 2 x ? 1 ∵ ∴ f [ g ( x)] = 3[ g ( x)]2 + 1 = 3(2 x ? 1) 2 + 1 = 12 x 2 ? 12 x + 4 ∴ g[ f ( x)] = 2[ f ( x)] ? 1 = 2(3 x 2 + 1) ? 1 = 6 x 2 + 1 说明: 说明:已知 f ( x ) 求 f [ g ( x )] ,常用“代入法”. 基本方法:将函数 f(x)中的 x 用 g(x)来代替,化简得函数表达式. 3、配凑法与换元法: 配凑法与换元法: (1)已知 f ( x + 1) = x 2 ? 2 x ,求 f ( x ) . 例 3、 (2)已知 f ( x + 1) = x + 2 x ,求 f ( x + 1) . 解: (1)法一配凑法: ∵ f ( x + 1) = ( x + 1) 2 ? 2 x ? 1 ? 2 x = ( x + 1)2 ? 4 x ? 1 = ( x + 1) 2 ? 4( x + 1) + 3 ∴ f ( x) = x 2 ? 4 x + 3 . 得 a = ?2 ,

法二换元法: 令 x + 1 = t ,则 x = t ? 1 ,

f (t ) = (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) = t 2 ? 4t + 3 ∴ f ( x) = x 2 ? 4 x + 3 . (2)设 u = x + 1 ≥ 1 ,则 x = u ? 1 , x = (u ? 1) 2 于是 f (u ) = (u ? 1) 2 + 2(u ? 1) = u 2 ? 1(u ≥ 1) ∴ f ( x) = x 2 ? 1( x ≥ 1) ∴ f ( x + 1) = ( x + 1) 2 ? 1 = x 2 + 2 x( x + 1 ≥ 1) 即 f ( x + 1) = x 2 + 2 x( x ≥ 0) . 说明:已知 f [ g ( x )] 求 f (x ) 的解析式,常用配凑法、换元法;换元时,如果中间量涉 说明 及到定义域的问题,必须要确定中间量的取值范围. 4、构造方程法
1 例 3、已知 f(x)满足 2 f ( x ) + f ( ) = 3 x ,求 f ( x ) . x 1 解:∵ 2 f ( x ) + f ( ) = 3 x --------① x 1 将①中 x 换成 得 x 1 1 2 f ( ) + f ( x) = 3( ) -------② x x 3 ①×2-②得 3 f ( x ) = 6 x ? x 1 ∴ f ( x) = 2 x ? x 1 说明:已知 f (x ) 与 f (? x ) ,或 f (x ) 与 f ( ) 之间的关系式,求 f (x ) 的解析式,可通过 说明 x 1 “互换”关系构造方程的方法,消去 f (? x ) 或 f ( ) ,解出 f (x ) . x

反馈练习 ⒈填空: ⑴若 f(x)=2x+1,则 f[f(2)]=
2

;f(-x)= .

;f[f(x)]=

.⑵

若 f(x+1)=x -2x+5,则 f(x)= ⑶若 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)= ⑷若 3f(x)+2f(1/x)=4x,则 f(x)=
2

. .

⑸若 f(x)=x -mx+n,f(n)=m,f(1)=-1,则 f(-5)= . 2 2、已知函数 f(x)=4x+3,g(x)=x ,求 f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)].



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