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三角函数变换图像ppt



春江潮水连海平, 海上明月共潮生 ——唐代 张若 虚

§1.5 函数 y ? A sin( ?x ? ? )

的图象 (一)

例1.试研究函数 y ? 2 sin 关系. 解:
x
y ? sin x y ? 2 sin x
1 y ? sin x 2
0

r />y? x、
?

1 sin x 与 y ? sin x 2
3? 2 2?

的图象

?
2

0 0
0

1 2
1 2

0 0
0

?1 ?2
? 1 2

0 0
0

y

2
1 o -1 -2
? 6

y ? 2 sin x
y ? sin x
1 y ? sin x 2
3? 2

想一想? 三个 图象 形状 之间 的关 系?

?
2

?

2?

x

上述变换可简记为:
y ? sin x 的图象
各点的纵坐标伸长到原来的2倍 (横坐标不变)

演示
y ? 2 sin x 的图象

y ? sin x 的图象

1 各点的纵坐标缩短到原来的 2 倍

(横坐标不变)

1 y ? sin x 的图象 2

结论: y=Asinx(其中A>0) 的图象可看成是由 y=sinx的图
象上的所有点的横坐标不变,纵坐标 伸长 (A>1时) 或

缩短(0<A<1时)到原来的A倍而得到.

注:A引起图象的纵向伸缩,它决定函数的最大 (最小)值,我们把A 叫做振幅.

针对练习:
y ? 4 sin x 的振幅分别是多少?它们 1.函数 y ? 1 sin x ,
3

的图象可以由 y ? sin x 的图象作怎样的变换而得到?
解: 它们的振幅分别是
1 和 4 3

把函数 y ? sin x 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来
1 1 y ? sin x 的图象. 的 倍,横坐标不变,即得到函数 3 3

把函数 y ? sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来 的4倍,横坐标不变,即得到的函数 y ? 4 sin x 图象.

变式训练

为得到函数 y ?

1 sin x 的图象,只需把函数 y ? 4 sin x 3

图像上所有点的(

D


1 12 倍,纵坐标不变

A.横坐标伸长为原来的12倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短为原来的

C.纵坐标伸长为原来的12倍,横坐标不变
1 D.纵坐标缩短为原来的 12 倍,横坐标不变

各点的纵坐标变为原来的 A2 倍
y ? A1 sin x 的图象
A1

(横坐标不变)

y ? A2 sin x的图象

1 y ? sin x 与y ? sin x 例2.试研究函数 y ? sin 2 x、 2 关系. 先作函数y=sin2x的图象。

的图象

解:

1 x 22x

0 0
0

x x
1 y ? sin 2 xx 2

2 2 ? ? 4

? ?

? ?
2? 2

?

3? 3? 2 2 3? 3? 4

2? 2?
4 ? ?

0

1

0

?1

0

y 1

y ? sin 2 x
y ? sin x
1 y ? sin x 2
4?

??

o -1

?
2

?

3? 2

2?

3?

x

想一想?

上述变换可简记为:
y ? sin x 的图象 y ? sin x 的图象

1 各点的横坐标缩短到原来的 2 倍

演示
y ? sin 2 x 的图象
1 y ? sin x 的图象 2

(纵坐标不变) 各点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标不变)

结论: 函数y=sinω x (其中ω >0) 的图象,可看作 把y=sinx图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸长 (当 0<ω <1)或缩短(当ω >1)到原来的1/ω 倍而 得到. 注: ω决定函数的周期 T ? 2? ,它引起横 |? | 向伸缩.

针对练习: 2.函数的 y ? sin 3x 周期是多少?它的图象可以由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换得到? 分析: T ? 2? ? 2?
?
3

y ? sin x 的图象

1 各点的横坐标缩短到原来的 3 倍

(纵坐标不变)

y ? sin 3x 的图象

变式训练

为得到函数 y ? sin 3x 的图象,只需把函数图像 1 上 y ? sin x 所有点的( A ) A.横坐标伸长为原来的15倍,纵坐标不变
5

B.纵坐标伸长为原来的15倍,横坐标不变
1 C.横坐标缩短为原来 15 的倍,纵坐标不变 D.纵坐标缩短为原来 1 的倍,横坐标不变 15 各点的横坐标变为原来的 w1 倍 w2 y ? sin w x
1

的图象

(纵坐标不变)

y ? sin w2 x 的图象

例3.画出 y ? sin( x ? ) 和 y ? sin( x ? ) 的简图 y=sinx的图象 y=sinx的图象
y

?

?

4 向左平移π/3个单位长度

3

演示
?
3 ) 的图象 ) 的图象

y ? sin( x ?

向右平移π/4个单位长度

y ? sin( x ?

?
4

1
?o ?
3 4
? 2

y ? sin( x ? ) y=sinx 3

?

y ? sin( x ? ) 4

?

?

3? 2

2?

x

-1

结论:y=sin(x+φ)的图象,可以看作把y=sinx 的图象向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平移|φ| 个单位长度而得到.(简记为:左加右减)
注:φ 引起图象的左右平移,它改变图象的位置,不改 变图象的形状.φ 叫做初相. 针对练习:

3.函数 y ? sin( x ? ) 的初相是_____,它的图象是 6 由y=sinx的图象____平移_____个单位长度而得 到.

?

课堂小结:
y ? A sin( ?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 中
A叫振幅,确定函数的最值, ω确定函数的周期, A 的变化引起_纵坐标的伸缩 ____ _变换, ω的变化引起 横坐标的伸缩 _ _ ___ 变换.

?的变化引起 左右的平移 _ _ ___ 变换.



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