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2016-2017学年第一学期高一数学期末考试试题(最终版 )



惠州市 2016—2017 学年第一学期期末考试 高一数学试题
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的 姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.已知全集 U ? {1,2,3,4} ,集合 A ? {1,2},集合 B ? {2,3} ,则 CU ( A ? B) =( A. {4} B. {3} C. {1,3,4} D. {3,4} ) )

2.已知函数 f ( x) ? a x ?1 ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象过定点 A ,则点 A 为( A. (0,?1) 3.函数 y ? B. (0,1) C. (?1,1) D. (1,1)

ln( 2 x ? 3) 的定义域是( ) x?2 ?3 ? ?3 ? ?3 ? A. ? ,?? ? B. ? ,2 ? ? ?2,??? C. ? ,2 ? ? ?2,??? ?2 ? ?2 ? ?2 ?
4.函数 y ? sin( A. 8?

D. (??, 2)∪(2, ? ?)

?

x ? ) ? 3 的最小正周期是( 4 2
B. 4? C. 4

?

) D. 8

5.如果函数 y ? sin(x ? ? ) 的图象经过点 ( A. 0 B.

?
3

,0) ,那么 ? 可以是(
D.



? 6

C.

? 3

2? 3
) D. 4

6.设向量 a ? (2m ?1,3) , b ? (1,?1) ,若 a ? b ? 2 ,则 m 的值是( A. 1 B. 2 C. 3

?

? ?

7.将函数 y ? sin x 的图象上所有的点向右平行移动

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸 10


长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式是(

高一数学试题

第 1 页,共 10 页

A. y ? sin( 2 x ?

?
10

) )

B. y ? sin( 2 x ? D. y ? sin(

?
5

)

C. y ? sin( x ?

1 2

?

10

1 ? x? ) 2 20

8.等边 ?ABC 的边长为 5 ,则 AB ? BC ? ( A.

??? ? ??? ?

) D. ?5 )

5 2

B. ?

5 2

C. 5

9.若函数 f ( x) ? e x ? e? x 与 g ( x) ? e x ? e? x 的定义域均为 R ,则( A. f ( x) 与 g ( x) 与均为偶函数 C. f ( x) 与 g ( x) 与均为奇函数

B. f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D. f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数

10.下列函数中,具有性质“对任意的 x ? 0, y ? 0 ,函数 f ( x) 满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ”的函 数是( A.幂函数 ) B.对数函数 C.指数函数 D.余弦函数

11. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且 f ( x) 在 [0,??) 是减函数,若 f (lg x) ? f (1) , 则 x 的取值范围是( A. ( ) C. (10,??) D. (0,

1 ,10) 10

B. (0,10)

1 ) ? (10,?? ) 10

12. 已知函数 f ( x) ? ?

?x ?x
2

? x ? a? ,若存在实数 b ,使函数 g ( x) ? ? x ? a?
) C. a ? 1

f ( x) ? b 有两个零点,

则 a 的取值范围是( A. a ? 0

B. a ? 0 且 a ? 1

D. a ? 1 且 a ? 0

第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13. tan(?

7? ) ? ______. 6


14.计算: ( 2 ? 3 3)6 ? log2 (log2 16) ? 15.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 16.若函数 f ( x ) ? ?

? ? ? ,那么 a ? 2b ? _____ . 3
f (a) 的实数 a 的值为


?? x 2 ? 1 ?x ?1

? x ? 1? ,则满足方程 f (a ? 1) ? ? x ? 1?
第 2 页,共 10 页

高一数学试题

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
3

).

(Ⅰ)当 x ? R 时,求 f ( x ) 的单调增区间; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
2

] 时,求 f ( x) 的值域.

18. (本小题满分 12 分) 设 e1 , e2 是两个相互垂直的单位向量,且 a ? ?2e1 ? e2 , b ? e1 ? ? e2 . (Ⅰ)若 a // b ,求 ? 的值; (Ⅱ)若 a ? b ,求 ? 的值.

??

?? ?

?

? ? ?? ?

?

? ?

? ? ?

? ? ?

?

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ) 图像的最高点 D 的坐标为 ( 与点 D 相邻的最低点坐标为 (

?
8

, 2) ,

5? , ?2) . 8

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求满足 f ( x) ? 1 的实数 x 的集合.

20 . (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

mx ? n 1 2 是定义在 (?1,1) 上的奇函数,且 f ( ) ? . 2 2 5 1? x

(Ⅰ)求实数 m, n 的值; (Ⅱ)用定义证明 f ( x) 在 (?1,1) 上是增函数.

高一数学试题

第 3 页,共 10 页

21. (本小题满分 12 分) 惠城某影院共有 100 个座位, 票价不分等次。 根据该影院的经营经验, 当每张标价不超过 10 元时,票可全部售出;当每张票价高于 10 元时,每提高 1 元,将有 3 张票不能售出。为了获得 更好的收益,需给影院定一个合适的票价,符合的基本条件是: ①为方便找零和算帐,票价定为 1 元的整数倍; ②影院放映一场电影的成本费用支出为 575 元,票房收入必须高于成本支出。 用 x (元)表示每张票价,用 y (元)表示该影院放映一场的净收入 (除去成本费用支出后的收 入). (Ⅰ)把 y 表示成 x 的函数, 并求其定义域; (Ⅱ)试问在符合基本条件的前提下,每张票价定为多少元时,放映一场的净收入最多?

22. (本小题满分 12 分) 已 知 集 合 M 是 满 足 下 列 性 质 的 函 数 f ( x) 的 全 体 : 在 定 义 域 内 存 在 x0 , 使 得

f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) 成立.
1 是否属于集合 M ?说明理由; x a ? M ,求实数 a 的取值范围. (Ⅱ)设函数 f ( x) ? lg 2 x ?1
(Ⅰ)函数 f ( x) ?

高一数学试题

第 4 页,共 10 页

惠州市 2016—2017 学年第一学期期末考试 高一数学试题参考答案与评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 D 5 D 6 C 7 C 8 B 9 D 10 B 11 A 12 D

1. 【解析】∵集合 A ? {1,2} , B ? {2,3} ,∴ A ? B ? {1,2,3}

? 全集 U ? {1,2,3,4},∴ CU ( A ? B) ? {4} ,故选 A.
2. 【解析】? f ( x) ? a x 过定点 (0,1) ,? f ( x) ? a x ?1 过定点 (1,1) ,故选 D.

?2 x ? 3 ? 0 3 , x ? 且 x ? 2 ,故选 B. 2 ?x ? 2 ? ? 2? 4. 【解析】函数 y ? sin( x ? ) 的最小正周期是 T ? ? 8 ,故选 D. ? 4 2 4 ? ? 5. 【解析】函数 y ? sin(x ? ? ) 的图象经过点 ( ,0) ,则 sin( ? ? ) ? 0 ,代入选项可得选 D. 3 3 ? ? 6. 【解析】 a ? b ? 2 ? 2m ? 1 ? 3 ? 2 ? m ? 3 ,故选 C.
3. 【解析】由题知 ? 7. 【解析】将函数 y ? sin x 的图象上所有的点向右平行移动 解析式为 y ? sin( x ?

?
10

? 个单位长度,所得函数图象的 10

) ,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得 1 2

图象的函数解析式是 y ? sin( x ?

?
10

) ,故选 C.

8. 【解析】? ?ABC 是等边三角形,? ?B ? 又? BC ? 5 ,

?
3

, ? ? AB , BC ??

2? , 3

AB ? BC ? 5 ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2? 5 ? AB ? BC ? AB ? BC cos ? AB, BC ?? 5 ? 5 cos ? ? ,故选 B. 3 2
9. 【解析】由于 f (? x) ? e? x ? e?( ? x ) ? e x ? e? x ? f ( x) ,故 f ( x) 是偶函数, 由于 g (? x) ? e? x ? e?( ? x) ? e? x ? ex ? ?(ex ? e? x ) ? ? g ( x) ,故 g ( x) 是奇函数, 故选 D. 10. 【解析】若 f ( x) ? loga x ,对任意的 x ? 0, y ? 0 ,
高一数学试题 第 5 页,共 10 页

f ( x ? y) ? loga xy ? loga x ? loga y ? f ( x) ? f ( y) ,故选 B.
11. 【解析】根据题意知 f ( x) 为偶函数,所以 f (lg x) ? f ( lg x ) , 又因为 x ?[0,??) 时, f ( x ) 在上减函数,且 f (lg x) ? f ( lg x ) ? f (1) , 可得所以 lg x ? 1 , ∴ ? 1 ? lg x ? 1 ,解得 12. 【解析】由函数 y ? x, y ? x 2 的图像知, 当 a ? 0 时,存在实数 b ,使 y ? b 与 y ? f ( x) ? x 2 , x ? a 有两个交点; 当 a ? 0 时, f ( x) 为单调增函数,不存在实数 b ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个零点; 当 0 ? a ? 1 时,存在实数 b ,使 y ? b 与 y ? f ( x) ? x 2 , x ? a 有两个交点; 所以 a ? 1 且 a ? 0 ,故选 D.

1 ? x ? 10 .故选 A. 10

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ?

3 3

14. 70

15.

3

16. ?

1 ?1? 5 或 2 2

13. 【解析】 tan( ?

7? 7? ? ? 3 . ) ? ? tan ? ? tan( ? ? ) ? ? tan ? ? 6 6 6 6 3

14. 【解析】 ( 2 ? 3 3)6 ? log2 (log2 16) ? ( 2)6 ? ( 3 3)6 ? log2 4 ? 8 ? 9 ? 2 ? 70 . 15. 【解析】由题可得: a ? 2b ? (a ? 2b)2 ? (a) 2 ? 4a ? b ? (2b) 2

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?2 ? ? ?2 ? 1 a ? 4 a b cos ? 4 b ? 1 ? 4 ?1?1? ? 4 ? 3 . 3 2

?? x 2 ? 1,0 ? x ? 1 16. 【解析】∵函数 f ( x) ? ? , f (a ? 1) ? f (a) ? x ? 1, x ? 1
当 a ? ?1 或 a ? 1 ,时 f (a ? 1) ? f (a) ; 当 ? 1 ? a ? 0 即 0 ? a ? 1 ? 1 时, 由 f (a ? 1) ? f (a) 得 ? (a ? 1)2 ? 1 ? ?a2 ? 1 ,

高一数学试题

第 6 页,共 10 页

解得 a ? ?

1 ; 2

当 0 ? a ? 1 即 1 ? a ? 1 ? 2 时,由 f (a ? 1) ? f (a) 得 (a ? 1) ? 1 ? ?a2 ? 1, 解得 a ?

1 ?1? 5 ?1? 5 ?1? 5 . (舍去) ;综上: a ? ? 或 a ? , a? 2 2 2 2

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)? f ( x ) ? sin( 2 x ? 由? 得?

?
3

), x? R ?

?
?
12 2

? 2k? ? 2 x ? ? k? ? x ?

?
3

?
2

? 2k? , k ? Z

---------3 分

5? ? k? , 12

所以 f ( x ) 的单调递增区间是 [? (Ⅱ)? x ? [0,

?
12 ?

? k? , 2? 3

?
2

]

? ?

?
3

? 2x ?

?
3

5? ? k? ] , k ? Z . 12

---------5 分

---------7 分

? 由三角函数图象可得 ?

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 3

----------9 分

? 3 ,1] . ? 当 x ? [0, ] , y ? g ( x) 的值域为 [? 2 2
18. (本小题满分 12 分)

---------------10 分

解: (Ⅰ) a / / b 则存在唯一的 ? 使 b ? ? a ,? e1 ? ? e2 ? ? ?2e1 ? e2 .

?

?

?

?

? ?

? ? ?

?

?? ?? ?

?

-----2 分

? 1 ? ?2? 1 -----------5 分 ?? ? ? ?? , ?? 2 ??? ? ?? ? ? 1 -----------------------------6 分 ? 当 ? ? ? 时, a / / b 2 ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? (Ⅱ) a ? b 则 a ? b ? 0 ,? ?2e1 ? e2 ? e1 ? ? e2 ? 0 ---------8 分

?

??
?? ?2

?

化简得 ?2e1 ? ? 2? ? 1? e1 ? e2 ? ? e2 ? 0 ,

?? 2

?? ?? ?

?? ?? ? ? e1 , e2 是两个相互垂直的单位向量
? ? 2 ? 2 解得 ? ? ? 2
高一数学试题

---------------------11 分
第 7 页,共 10 页

所以当 ? ? 2 或 ? ? ? 2 时, a ? b . 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题知 A ? 2 ,

?

?

------------------------12 分

?? ?
又?(

?

2? 2? ? ?2 T ?

T 5? ? ? ? ? ? ,则 T ? ? , 2 8 8 2

---------2 分 ---------3 分

8

,2) 在 函数 f ( x) 上,? 2 ? 2 sin( 2 ? ? ?) ? 1
--------4 分

?
8

? ?) ,

? sin( ?

?
4

?
4

?? ?

?
2

? 2k? , k ? Z , 即 ? ?

?
4

? 2k? , k ? Z

---------5 分 ---------6 分

又?

? ? ? ,? ? ?
?

?
4

, ? f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
4

).

(Ⅱ)由 f ( x) ? 2sin(2 x ?

? 1 ) ? 1 ,得 sin(2 x ? ) ? 4 4 2 ? ? ? 5? ? 2k? , k ? Z 所以 2 x ? ? ? 2k? 或 2 x ? ? -------------9 分 4 6 4 6 ? 7? ? k? 或 x ? ? k? , k ? Z 即x?? ----------------11 分 24 24 ? 7? ? k? 或 x ? ? k? , k ? Z ? ---------12 分 实数 x 的集合为 ? x | x ? ? 24 24
n ?0, 1

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? f ( x) 为定义在 (?1,1) 上的奇函数,? f (0) ? 0 ,即

? n ? 0 ,? f ( x) ?

mx 1? x2

-------------2 分

m 1 2 2 又? f ( ) ? ,? 2 ? ,解得 m ? 1 1 5 2 5 1? 4

? m ? 1, n ? 0 .
(Ⅱ)由(1)可知 f ( x) ?

-------------4 分

x , x ? (?1,1) 1 ? x2

设任意的 x1 , x2 ,且 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
高一数学试题

x1 x2 ? 2 2 1 ? x1 1 ? x2
第 8 页,共 10 页

------------6 分

x ?xx ?x ?x x x ?x ?xx ?x x ? 1 1 2 2 2 22 1 ? 1 2 2 1 2 22 1 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 )
? ( x1 ? x2 ) ? x1x2 ( x2 ? x1 ) ( x1 ? x2 )(1 ? x1x2 ) ? 2 2 2 2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 )

2

2

2

2

---------8 分

? ? 1 ? x1 ? x2 ? 1,
? ? 1 ? x1 x2 ? 1, 1 ? x1x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x) 在 (?1,1) 上是增函数.
21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知当 x ? 10 时, y ? 100x ? 575 , 当 x ? 10 时, y ? [100? 3( x ? 10)]x ? 575 ? ?3x 2 ? 130x ? 575 由? -------------12 分 --------10 分

?100 x ? 575 ? 0
2 ?? 3 x ? 130 x ? 575 ? 0

---------------3 分

解之得: 5.75 ? x ?

130? 1302 ? 12? 575 130? 10000 130 ? ? ? 38.3 6 6 3
---------------5 分

又? x ? N ,? 6 ? x ? 38 ∴所求表达式为 y ? ?

?100x ? 575,6 ? x ? 10, x ? N
2 ?? 3x ? 130x ? 575,10 ? x ? 38, x ? N

定义域为 x ? N 6 ? x ? 38?. (Ⅱ)当 y ? 100x ? 575, 6 ? x ? 10, x ? N 时, 故 x ? 10 时 ymax ? 425 当 y ? ?3x 2 ? 130x ? 575 ,10 ? x ? 38, x ? N 时

?

---------------6 分

---------------------------8 分

y ? ?3( x ?

65 2 2500 ) ? , 3 3

-------------10 分 -------------11 分 -------------12 分

故 x ? 22 时 ymax ? 833 所以每张票价定为 22 元时净收入最多.
高一数学试题 第 9 页,共 10 页

22.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 1 的定义域为 (??,0) ? (0,??) ,假设 f ( x ) ? ? M , x x 1 1 ? ? 1 ,整理得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,此方程无实数解 由 x ?1 x

--------3 分

所以不存在 x ? (??,0) ? (0,??) ,使得 f ( x ? 1) ? f ( x) ? f (1) 成立,-----4 分 所以 f ( x ) ? (Ⅱ) f ( x ) ? lg

1 ?M x

-----------------------5 分 ---------6 分

a a 的定义域为 R , f (1) ? lg ,所以 a ? 0 x ?1 2
2
2

若 f ( x ) ? lg

a a a a ? M ,则存在 x ? R 使得 f ( x) ? lg ? lg 2 ? lg , 2 x ?1 2 ( x ? 1) ? 1 x ?1
---------8 分

整理得存在 x ? R 使得 (a 2 ? 2a) x 2 ? 2a 2 x ? (2a 2 ? 2a) ? 0
2 ①当 a ? 2a ? 0 ,即 a ? 2 时,方程化为 8 x ? 4 ? 0 ,

解得 x ? ?
2

1 ,满足条件; 2

---------9 分

②当 a ? 2a ? 0 时,即 a ? (0,2) ? (2,??) 时,令 ? ? 0 , 解得 a ?[3 ? 5,2) ? (2,3 ? 5 ] 综上: a ?[3 ? 5,3 ? 5 ] . -------------------------11 分 ----------------------12 分

高一数学试题

第 10 页,共 10 页



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