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3.1不等关系与不等式(一)



问题1.限速10km/h的路标,指示司机前 方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过 10km/h.写成不等式是 V≤10

用不等式(组)来表示不等关系

问题2 今天的天气预报说:明天早 晨最低温度为9℃,明天白天的最高 温度为16℃ ,那么明天白天的温度 t℃满足什么关系?

答案: 9≤t≤16

/> 用不等式(组)来表示不等关系
问题3、某种杂志原以每本2.5元的价格销售, 可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高 0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提 价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示 销售的总收入仍不低于20万元呢?

思考(1 )销售量减少了多少?
(2)现在销售量是多少? (3)销售总收入为多少?
x ? 2.5 (8 ? ? 0.2) x ? 20 0.1

x ? 2.5 ? 0.2万 本 0.1

x ? 2. 5 8? ? 0 .2 0.1
x ? 2.5 (8 ? ? 0.2)x万 元 0.1

解:若杂志的定价为x元,则销售量减少:
x ? 2.5 ? 0.2万 本 0.1

x ? 2.5 因此,销售总收入为: (8 ? ? 0.2)x万 元 0.1

x ? 2.5 ? 0.2) x ? 20 用不等式表示为: (8 ? 0.1

课堂练习1:用不等式表示下面的不等关系:
1.a与b的和是非负数;
a+b≥0

2.某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”
0<h≤4

3.在一个面积为350平方米的矩形地基 上建造一个仓库,四周是绿地.仓库的长L 大于宽W的4倍.写出L与W的关系
5m 5m 5m 5m

?( L ? 10)(W ? 10) ? 350, ? L ? 4W ? ? ?L ? 0 ? ?W ? 0

备用问题4.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢

管截成500mm和600mm的两种规格。按照 生产的要求,600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍 请思考:(1)找出两种规格 的钢管的数量满足的不等关系. (2)用不等式(组)表示上述不等关系. 分析:假设截得500mm的钢管x根,截得 600mm的钢管y根。根据题意,应当有什么 样的不等关系呢? (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm; (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负.

上面三个不等关系,是“且”的关系,要同 时满足的话,可以用下面的不等式组来表示:

?500x ? 600y ? 4000 ? 3x ? y ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ? x,y ∈ N ? ?
考虑到实际问题的意义,还应有x,y∈N

课堂练习2

1.有一个两位数大于50而小于60,其个位数字 比十位数字大2,试用不等式(组)表示上述关系
1.分析:设个位数字为

?50 ? 10b ? a ? 60 ?a ? b ? 2 ? ? ?0 ? a ? 9 ? ?0 ? b ? 9 ?a ? N ? ? ? ?b ? N

a

, 十位数字为

b

,则

判断两个实数大小的依据是: a ? b? a?b? 0

a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0

作差比较法

这既是比较大小 ( 或证明大小 ) 的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.

比较两个数(式)的大小的方法:
例1.比较x2-x与x-2的大小. 解:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2

=(x-1)2+1,
因为(x-1)2≥0, 所以(x2-x)-(x-2)>0, 因此x2-x>x-2.

作差,与零比较大小.

练习 1.比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.

解: ∵ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)
? (a 2 ? 2a ? 15) ? (a 2 ? 2a ? 8) ? ?7 ∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4) <0
∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)

4 2 练习2: 已知x ? 0,比较 x ? 1 与x ? x ? 1 的大小 . 2

?

?

2

想 一 想: 在 上 例 中 ,如 果 没 有 x ? 0这 个 条 件 ,       那 么 两 式 的 大关 小系 如 何 ?

小结:
1.不等关系是普遍存在的
2.用不等式(组)来表示不等关系 3.不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 4.作差比较法 步骤:作差,变形,定号

典例分析 :
a?m a ? . 练习已知 a, b, m都是正数,且a<b,求证: b?m b

问题 b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添 上m克糖(m>0),则糖水就变甜了,由此,你 得到了什么启发?
变式1:若a>b,结果会怎样? 变式2:若没有a<b这个条件呢?
练习

比较两数(式)的大小的最基本和首选的方法: 归纳逻辑过程:作差 ? 变形 ? 判断符号 例1

比较(a ? 3)(a ? 5)与(a ? 2)(a ? 4)的大小 .

解:

(a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)

? (a ? 2a ?15) ? (a ? 2a ? 8)
2 2

? ?7 ? 0.

?(a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4).
比较两个数(式)的大小的方法: 作差,与零比较大小.

练习1:某电脑用户计划使用不超过500 元的资金购买单价分别为60元、70元 的单片软件和盒装磁盘,根据需要, 软件至少买3片,磁盘至少买2盒,写 出满足上述所有不等关系的不等式.
练习2:学生若干人,住若干宿舍,如果

每间住4人,那么还余19人,如果每间 住6人,只有一间不满也不空,求宿舍 间数和学生人数.

不等式基本原理

a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b

a - b < 0 <=> a < b



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