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5.1角的概念的推广



5.1角的概念的推广

在初中角是如何定义的?

定义:

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
顶点 B


O 边 A

实例 用活络扳手旋松螺母,当扳手按逆
时针方向由OA旋转到OB位置时,就形 成一个角
AOB

r />;
360°的角.

在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中,就形成了0°到360° 之间的角;扳手继续旋转下去,就形成大于 时所形成的角应该怎样表示呢? 通过上面的两个实例,发现仅用0°到-360°范围的角,已 经不能反映生产、生活中的一些实际问题,需要对角的概念 进行推广. 如果用扳手旋紧螺母,就需将扳手按顺时针方向旋转,这

想想用什么办法才能推广?

旋转

实例
假如你的钟表快了30分钟,你将怎样把它 调整准确? 快了2小时呢?
逆时针旋转 180?

逆时针旋转720?

α=180° γ=720°

假如你的钟表慢了30分钟,你又将怎样把 它调整准确?
顺时针旋转 180?
β= -180°

新课内容

角的概念的推广

⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O 按逆时针(或顺时针)方向旋转到另一位置OB形 成的图形叫做角. 旋转开始时的射线OA叫做角的始边,旋转终 止的射线OB叫做角的终边,射线的端点O叫做角 的顶点.
B O
α

A

新课内容
⑶意义
角的概念推广以后,它包括任意大小的正角、负角和零角. 要注意,正角和负角是表示具有相反意义的旋转量,它的 正负规定纯系习惯,就好象与正数、负数的规定一样,零 角无正负,就好象数零无正负一样.

练习1:请在直角坐标系中,画出下列各角,要求顶点与 原点重合,始边与x轴非负半轴重合:
⑴ 60°; ⑵ -210°; ⑶ 225°; ⑷ -300°.

新课内容

象限角

在直角坐标系中讨论角时,通常使角的顶点和坐 标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合.这样角的 大小和方向可确定终边在坐标系中的位置.这样放置 的角,我们说它在坐标系中处于标准位置. 处于标准位置的角的终边落在第几象限,就把这个 角叫做第几象限的角.如果角的终边落在坐标轴上,就

认为这个角不属于任何象限.称为非象限角。 90 ?
y

?

180 ?

?

?

O

x 0?

270 ?

例 ? 是第一象限角,? 是第二象限角,? 不属于任何象限.

练一练
在直角坐标系中,下列各角分别是第几象 限的角?
(1)30° (4)120° (2)–100° (5)390° (3)-390° (6)–330°

第一象限角: 第二象限角: 第三象限角: 第四象限角:

新课内容

终边相同的角

在直角坐标系中所作出的390°、-330°和30°角, 问题1:判断这些角的终边位置有什么关系? 问题2:这些角的度数与300度数有什么关系?能否用一 个式子来表达? 问题3:你能举出更多与300终边相同的角吗?有多少个 所有这些角的终边都相同,叫做终边相同的角

问题3:这些角能不能统一用一个集合来表示呢? 寻找规律:

30? ? 30? ? 0 ? 360?;

?330? ? 30? ? (?1) ? 360?; 390? ? 30? ? 1? 360?;
750? ? 30? ? 2 ? 360?; ?690? ? 30?+(? 2) ? 360?;
都可以表示成角30o与360o的整数倍的和: 30o+k· 360o ,k∈z
王新敞
奎屯 新疆

推广:所有与角 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,可构成一 个集合

S ? {? ? ? 30 ? k

360 , k ? Z}

S ? {? ? ?? ? k

360 , k ? Z}

即:任何一个与角?终边相同的角,都可以表示 成角?与整数个周角的和

终边相同的角
注意以下四点:
(2) ?是任意角; (4)终边相同的角不一定相等,但相等的角, 终边一定相同,终边相同的角有无数多个, 它们相差360°的整数倍.

练一练
下列哪些角与60 °的终边会相同? 300 ° ; 360 ° ; 420 °; 780 °;





–300 °; –360 °; –660 °.





概念巩固练习
1.终边相同的角一定相等.(×)

2.相等的角终边一定相同.( √ ) 3.锐角都是第一象限的角.
4.第一象限的角都是锐角. 5.小于90°的角都是锐角.

√ ) (
(×) (×)

例题
在0°~ 360°之间,找出与下列各角终边相同 的角,并分别判定各是哪个象限的角: (1)-120°;(2)640 ° ;(3) – 950°

新课内容

课堂小结:
正角:射线按逆时针方向旋转 形成的角 负角:射线按顺时针方向旋转 形成的角 零角:射线不作旋转形成的角

1.任意角 的概念

2.象限角

1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角 终边相同的角:相差360°的整数倍

课后作业

试在坐标系中,画出下列大小的角: (1)120° (2)-60° (3)-420°

并判断是第几象限角?



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