函数的基本性质(单调性)

函数的基本性质（单调性） 知识点与例题讲解
【基础知识回顾】
一、函数的单调性 判断函数单调性的常用方法： ①定义法： f ( x) 在区间 M 上是增（减）函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x 2 时

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0(? 0) ? ( x1 ? x 2 )[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? 0(? 0) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0(? 0) ； x1 ? x2

注意： （单调性的判定定义法） 一般要将式子 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 化为几个因式作积或作商的形式， 以利于判断符号； ②导数法：区间内可导，如果 f ?( x) ? 0 ，则 f ( x) 为增函数；如果 f ?( x) ? 0 ，则 f ( x) 为减函数. 注意：证明单调性主要用定义法和导数法。 ③复合函数法 ; ④图像法。 【课前小测】 1．函数 f ?x ? 在R上是减函数，则有( A、 f ?3? ? f ?5? 2．函数 y ? 2 x ? 2 在R上( A、是增函数 3．函数 y ? A、R
2

) C、 f ?3? ? f ?5? D、无法确定

B、 f ?3? ? f ?5? ) B、是减函数 )

C、是增函数又是减函数

D、不具有单调性

?1 的单调增区间是( x

B、 ?? ?,0? ? ?0,??? )

C、 ?? ?,0? ? ?0,???

D、 ?? ?,0?, ?0,???

4．函数 y ? x 在区间 ?? 1,2? 上( A、是增函数

B、是减函数

C、是增函数又是减函数

D、不具有单调性

5．设 f ?x ? 是定义在 R 上的函数,则： ①若存在 x1 , x2 ? R ， x1 ? x 2 ，使 f ?x1 ? ? f ?x2 ? 成立，则函数 f ?x ? 在 R 上单调递增； ②若存在 x1 , x2 ? R ， x1 ? x2 ，使 f ?x1 ? ? f ?x2 ?成立，则函数 f ?x ? 在 R 上不可能单调递减； ③若存在 x2 ? 0 ，对于任意 x1 ? R ，都有 f ?x1 ? ? f ?x1 ? x2 ? 成立，则函数 f ?x ? 在 R 上单调递增； ④对任意 x1 , x2 ? R ， x1 ? x2 ，都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ?成立，则函数 f ?x ? 在 R 上单调递减。 以上命题正确的序号是( A、①③ ) C、②④ D、②

B、②③

考点二：函数单调性的判定及应用
1．函数的单调性的判断

例 1、讨论函数 f ( x) ?

ax (a ? 0) 在 x ? (?1,1) 上的单调性。 x ?1
2

【思路点拨】判断和证明函数的单调性，最基本的方法是利用定义或利用导数。 【解析】方法一（定义法） ：设 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1 ， 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
2 2 ax1 ax2 ax1 ( x2 ? 1) ? ax2 ( x12 ? 1) ax1 x2 ? ax1 ? ax2 x12 ? ax2 ? ? ? 2 2 2 x12 ? 1 x2 ?1 ( x12 ? 1)(x2 ? 1) ( x12 ? 1)(x2 ? 1)

?

ax1 x2 ( x2 ? x1 ) ? a( x2 ? x1 ) a( x1 x2 ? 1)(x2 ? x1 ) ? 2 2 ( x12 ? 1)(x2 ? 1) ( x12 ? 1)(x2 ? 1)

2 ? ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ，? x2 ? x1 ? 0 ， x1 x2 ? 1 ? 0 ， ( x12 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 ，

又因为 a ? 0 ，所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ， f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，所以函数 f ( x) 在 x ? (?1,1) 上为减函数。 方法二（导数法） ： f ?( x) ?

(ax)?( x 2 ? 1) ? ax( x 2 ? 1)? a( x 2 ? 1) ? ax(2 x) ? a( x 2 ? 1) ， ? ? ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2

又因为 a ? 0 ， x ? (?1,1) ，? f ?( x) ? 0 ，所以函数 f ( x) 在 x ? (?1,1) 上为减函数。 例 2、求函数 f ( x) ?

x 2 ? x ? 6 的单调区间。

2 2 【解析】设 u ? x ? x ? 6 ， y ? u ，由 x ? x ? 6 ? 0 ，得 x ? ?3 或 x ? 2 ，

结合二次函数的图像可知，函数 u ? x ? x ? 6 在 (??,?3] 上是递减的，在 [2,??) 上是递增的。
2

又因为函数 y ? u 是递增的， 所以函数 f ( x) ?

在 [2,??) 上是递增的。 x 2 ? x ? 6 在 (??,?3] 上是递减的，

例 3、已知函数 f ( x) 是奇函数，且在 (0,??) 上是增函数， f ( x) 在 (??,0) 上是增函数还是减函数？并证明你的 结论。 【解析】设 x1 ， x2 ∈ (??,0) 且 x1 ? x 2 ，则 ? x1 ? 0 ， ? x2 ? 0 ，且 ? x1 ? ? x2 ， 又 ∵ f ( x) 在 (0,??) 上是增函数， ∵ f ( x) 是奇函数 ∴ ∴ f (? x1 ) ? f (? x2 )

f (? x1 ) ? ? f ( x1 ) ， f (? x2 ) ? ? f ( x2 )
∴

由 f (? x1 ) ? f (? x2 ) ， 可得 ? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ∴ 函数 f ( x) 在 (??,0) 上是增函数。 变式 1：1．已知函数 f ? x ? ?

f ( x1 ) ? f ( x2 )

x ?1 , x ? ?3,5? . 2? x

（1）判断函数的单调性,并证明； （2）求函数和最大值和最小值.

2． （09 佛山）函数 y ? 2．函数单调性的应用

x2 ? 2 x ? 6 的单调递增区间是_____ ___，单调递减区间是_____ ____.

⑴ 比较两个函数值或两个自变量的大小 例 1、若二次函数 y ? x 2 ? bx ? c 的图象的对称轴是 x ? 2 ，则有（ A、 f ?1? ? f ?2? ? f ?4? 【答案】B 变式 2： 1．设 f ( x) 为偶函数，且在 (0, ? ) 上为增函数，则 f (?2) 、 f (? 2 ) 、 f (? B、 f ?2? ? f ?1? ? f ?4? ） D、 f ?4? ? f ?2? ? f ?1?

C、 f ?2? ? f ?4? ? f ?1?

?
2

) 从小到大排列为

。

2．设偶函数 f ( x) 的定义域为 R ，当 x ? [0,??) 时， f ( x) 是减函数，则 f (?2) 、 f (? ) 、 f (?3) 的大小关系是 （ ） A、 f (? ) ? f (?3) ? f (?2) C、 f (?2) ? f (?3) ? f (? ) ⑵ 利用函数单调性解函数不等式 例 1、 已知定义域为 ?? 1,1? 的奇函数 y ? f ?x ? 又是减函数， 且 f ?a ? 3? ? f 9 ? a 2 ? 0 ， 则 a 的取值范围是( A、 2 2,3 B、 f (? ) ? f (?2) ? f (?3) D、 f (?2) ? f (? ) ? f (?3)

?

?

)

?

?

B、 3, 10

?

?

C、 2 2 ,4

?

?
? ?
2

D、 ?? 2,3? ，
2

【解析】因为 f ?a ? 3? ? f 9 ? a 2 ? 0 ，则 f ?a ? 3? ? ? f 9 ? a 2 因为 y ? f ?x ? 是奇函数，所以 f ?a ? 3? ? ? f 9 ? a

?

?

?

? ? f ?a

?9 ，
2

?

又因为 y ? f ?x ? 是定义域为 ?? 1,1? 的减函数，所以 ? 1 ? a ? 3 ? a ? 9 ? 1 ，解得： 2 2 ? a ? 3 ，选 A 【答案】A 例 2、已知 f ( x) 是定义在 (0,??) 上的增函数，且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ， f (2) ? 1 。 ⑴ 求证： f (8) ? 3 ； ⑵ 求不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 3 的解。 【解析】⑴ 证明： f (8) ? f (2) ? f (4) ? f (2) ? f (2) ? f (2) ? 3 f (2) ? 3 ⑵ 因为 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 3 ? f (8) ， f ( x) ? f (8) ? f ( x ? 2) ? f [8( x ? 2)] 因为 f ( x) 是定义在 (0,??) 上的增函数

? ?x ? 0 ?x ? 0 ? 16 ? 所以 ? x ? 2 ? 0 ，即 ? x ? 2 ，解得 2 ? x ? 7 ? x ? 8( x ? 2) ? 16 ? ?x ? 7 ?
⑶ 利用函数单调性求参数的取值范围

?(a ? 2) x, x ? 2, ? 例1、1． 【2010·北京市东城区二模】若函数 f ( x) ? ? 1 x 是 R 上的单调递减函数，则实数 a 的取值 ( ) ? 1 , x ? 2 ? ? 2
范围是（ ） B、 ( ?? , A、 (??,2)

13 ] 8

C、 (0,2)

D、 [

13 , 2) 8

?a ? 2 ? 0 13 ? 【解析】依题意， ? 1 2 ，解得 a ? ，选择 B. 8 ( ) ? 1 ? 2(a ? 2) ? ? 2
【答案】Ｂ 2． 【2010·郑州市三模】已知关于 x 的函数 y ? loga (2 ? ax) 在 [0,1] 上是减函数，则 a 的取值范围是( ) A、 (0,1) B、 (1,2) C、 (0,2) D、 [2,??)

【解析】依题意， a ? 0 且 a ? 1 ，所以 2 ? ax 在 [0,1] 上是减函数，因此 ? 【答案】Ｂ

?a ? 1 ，解得 1 ? a ? 2 选择 B. ?2 ? a ? 0

高考检阅
1． 【2010·黄岗中学八月月考】 设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，且在 (??,0) 上是增函数，已知 x1 ? 0, x2 ? 0 ， 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，那么一定有（ A、 x1 ? x2 ? 0 ） C、 f (? x1 ) ? f (? x2 ) D、 f (? x1 ) ? f (? x2 ) ? 0

B、 x1 ? x2 ? 0

2． 【2010·重庆四月模拟试卷】函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的偶函数，且在 ?0, ??? 上是减函数，若

f (a) ? f (3) ，则实数 a 的取值范围是（
A、 ? 0,3?

） C、 R D、 ? ?3,3?

B、 ? ??, ?3? ? ?3, ???

3． 【 2009 陕 西 卷 】 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x ) 满 足 ： 对 任 意 的 x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) ， 有

( x2 ? x1 ) ( f ( x ) 2 ?

f (1x ? ) ).则当 0 n ? N * 时,有（

） B、 f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1) D、 f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (?n)

A、 f (?n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) C、 f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1)

4． 【2010·云南省第一次复习统一检测】已知减函数 f ( x ) 的定义域是实数集 R ， m 、 n 都是实数.如果不等式

f (m) ? f (n) ? f (?m) ? f (?n) 成立，那么下列不等式成立的是（
A、 m ? n ? 0 B、 m ? n ? 0 C、 m ? n ? 0

） D、 m ? n ? 0

5． 【2010·重庆八中第一次月考】 设奇函数 f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 上为增函数， 且 f ? 2? ? 0 ， 则不等式 的解集为（ ） B、 ? ??, ?2? ? ? 0, 2? C、 ? ??, ?2? ? ? 2, ?? ?
2

f ? x? ? f ??x? x

?0

A、 ? ?2, 0? ? ? 2, ?? ?

D、 ? ?2, 0? ? ? 0, 2?

6． 【2010 黄冈中学 5 月第一模拟考试】若函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 在其定义域内的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不 是 ． 单调函数，则实数 k 的取值范围是（ ）

A、 [1 , ? ?)

B、 [1 ,

3 ) 2

C、 [1, 2)

D、 [

3 , 2) 2

随堂巩固
1．在区间 (??,0) 上为增函数的是 A、 y ? （ ） D、 y ? 1 ? x 2 ）

x

B、 y ? 1 ?

1 x

C、 y ? ? x 2 ? 2x ? 1

2．已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ?1? x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ A 、 a ? ?3 B、 a ? ? 3 C、 a ? 5 D、 a ? 3

3．若奇函数 f ( x) 在区间[3，7]上是增函数且最小值为 5，那么它在区间[-7，-3]上是（ ） A、增函数且最小值为 ? 5 C、减函数且最小值为 ? 5 B、增函数且最大值为 ? 5 D、减函数且最大值为 ? 5 ） D、 f (4) ? f (?1) ? 0

4．若函数 f ( x) 是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上单调递减，则（ A、 f (3) ? f (4) ? 0
2

B、 f (?3) ? f (?2) ? 0 ）

C、 f (?2) ? f (?5) ? 0

5．函数 y ? log 1 (2 x ? 3x ? 1) 的递减区间为 （
2

A、 (1,??)

B、 (?? , ]

3 4

C、 ( ,?? )

1 2

D、 [ ,?? )

3 4

??a ? 3?x ? 5, x ? 1 ? 6．已知函数 f ?x ? ? ? 2a 是 (??,??) 上的减函数，那么 a 的取值范围是( , x ? 1 ? ?x
A、 (0,3) B、 (0,3] C、 (0,2) D、 (0,2]

)

7．已知单调函数 f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ，且 f (1) ? 2 ，其定义域为 R 。 （1）求 f (0) 、 f ( 2) 、 f ( 4) 的值； （2）解不等式 f ( x 2 ? 3x) ? 8 。

8．已知函数 f ( x) 的定义域为 (?1,1) ，对任意实数 x ， y 都有： f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 且 f ( x) 在定义域上单 调递减. （1）求证： f (0) ? 0 ； （2）求证： f ( x) 为奇函数； （3）解不等式 f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0 。
2

第六节 函数的基本性质（单调性）答案
【课前小测】 1． C 2．A 3．D 4．D 5．B

x ?1 , x ? ?3,5? 为增函数， 变式 1：1． 【解析】 （1）函数 f ? x ? ? 2? x
又因为 f ? x ? ?

x ?1 x ?1 x?2?3 3 ?? ?? ? ?1 ? ， 2? x x?2 x?2 x?2

设 3 ? x1 ? x2 ? 5 ，所以 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ?1 ?

3( x1 ? x2 ) 3 3 3 3 ? (?1 ? )? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 ( x2 ? 2)(x1 ? 2)

又因为 3 ? x1 ? x2 ? 5 ，所以 x1 ? x2 ? 0 ， x2 ? 2 ? 0 ， x1 ? 2 ? 0 ， 所以 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ， f ?x1 ? ? f ?x2 ? 所以函数 f ?x ? 在函数 ?3,5? 为增函数。 （2）因为函数 f ?x ? 在函数 ?3,5? 为增函数，? f ? x ?min ? f (3) ? 2． [ 7 ? 1,??) ， (??,? 7 ? 1] 2. 函数单调性的应用 ⑴ 比较两个函数值或两个自变量的大小 变式 2： 1． 【答案】 f (? 2 ) ＜ f (? 2． 【答案】C

3 ?1 5 ?1 ? ?4 ， f ? x ?max ? f (5) ? ? ?2 2?3 2?5

?
2

) ＜ f (?2)

高考检阅
1． 【解析】 由已知得 f ( x1 ) ? f (? x1 ), 且 ? x1 ? 0, x2 ? 0 ， 而函数 f ( x) 在 (??,0) 上是增函数， 因此由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ， 则 f (? x1 ) ? f ( x2 ) 得 ? x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 0 .故选 B. 【答案】 B. 2． 【解析】根据数形结合，可求得 a 的范围是 ? ?3,3? 。 【答案】D 3 ． 【解析】因为对任意的 x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) ，有 ( x2 ? x1 )( f ( x2 )? f ( x ，即当 x2 ? x1 ? 0 时， 1 ))? 0

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ，所以 f ( x) 在 (??,0] 为增函数，又因为 f ( x) 为偶函数，所以 f ( x) 在 [0,??) 为减函数，而
n ?1 ? n ? n ?1 ? 0 ， ? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ? 1) ， ? f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1) 。 又因为 f (n) ? f (?n) ，
【答案】C 4． 【解析】因为 f ( x ) 是定义域为 R 的减函数，所以- f (? x) 也是定义域为 R 的减函数，则 f ( x ) - f (? x) 是定义

m) ?f ( ? m) ? 域为 R 的减函数， 由于 f (m) ? f (n) ? f (?m) ? f (?n) ， 即 f(

f (n) ?f ( ? n) ， 所以，m ? n ，

选择 A. 【答案】A

5． 【解析】依题意，

f ? x? ? f ??x? x

? 0 化为

f ? x? x

? 0 ，作出函数 f ? x ? 的

示意图（如图） ，由图知，不等式解集为 ? ?2, 0? ? ? 0, 2? ，选择 D. 【答案】D 6． 【解析】因为 f ( x ) 定义域为 (0, ??) ， f ?( x ) ? 4 x ? -2 2

1 1 ，由 f ?( x) ? 0 ，得 x ? ． x 2

1 ? 3 ?k ? 1 ? ? k ? 1 据题意， ? ，解得 1 ? k ? . 2 2 ? ?k ? 1 ? 0
【答案】B

随堂巩固
1．C 2．A 3．B 4．D 5．A 6．D 7． 【解析】 （1）令 x ? 1 ， y ? 0 ，得 f (0) ? 0

x ? 1 ， y ? 1 ，得 f (2) ? 4 x ? 2 ， y ? 2 ，得 f (4) ? 8
（2）∵函数 f ( x) 为单调函数，且 f (4) ? f (2) ，∴ f ( x) 为单调递增函数， ∴只有一个 x ? 4 使得 f ( x) ? 8 。 ∴ f ( x ? 3x) ? 8 ? f (4)
2

而 f ( x) 为单调递增函数，∴ x ? 3x ? 4
2

∴? 4 ? x ?1 8． 【解析】 （1）证明：令 x ? y ? 0 得： f (0) ? 2 f (0) ，∴ f (0) ? 0 （2）证明：定义域 (?1,1) 关于原点对称， 令 y ? ? x 得： f (0) ? f ( x) ? f (? x) ，∴ f (? x) ? ? f ( x) （3）解：由题意可得： f (1 ? a) ? ? f (1 ? a 2 ) ∵ f ( x) 定义域为 (?1,1) 且为单调递减 ∴ ?1 ? a ?1 ? 1? a ? 1
2

∴ f ( x) 为奇函数 ∴ f (1 ? a) ? f (a 2 ? 1)

∵ f ( x) 为奇函数

解之得： 0 ? a ? 1 .