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人教版高中数学必修一课件:2-2-2对数函数及其性质2



第2课时 对数函数及其性质的应用

对数函数模型(一)
火箭的最大速度v和燃料质量M、 火箭质量m的函数关系是:

M v ? 2 000 ln(1 ? ) m

对数函数模型(二)

生物学家研究发现:洄游鱼类的游速v和
鱼的耗氧量O之间的函数关系:

1

O v ? log 3 2 100

对数函数模型(三)
溶液的酸碱度是通过

pH值来刻画的,pH值的
计算公式为:

? ? pH ? ? lg ? H ? ?

1.进一步理解对数函数的图象与性质;(重点) 2.熟练应用对数函数的图象和性质,解决一些综合 问题;(难点) 3.了解指数函数与对数函数的依赖关系,了解反函 数的概念,加深对函数的模型化思想的理解.

1.温故知新 (1)对数函数的定义: y=logax >0,且a≠1)叫做对数函数,定 函数________(a

义域为(0,+∞),值域为R.

对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质
a > 1 0 < a < 1 y (1,0) x (1,0) y O

图 象

O

x

性 质

定义域: (0,+∞) 值 域: R 过点(1,0), 即当x=1时,y=0 在(0,+∞)上是增函数 当x>1时,y>0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y<0 在(0,+∞)上是减函数

当x>1时,y<0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y>0

2.图象和性质的应用
例1. 函数y=lgx的图象向____ 上 平移____ 1 个单位得

到函数y=lg(10x)的图象.
【解析】∵y=lg(10x)=lgx+1,∴y=lgx的图象向上 平移一个单位可得到函数y=lg(10x)的图象.

【变式练习】 已知函数f(x)=|lgx|,若a≠b,且f(a)=f(b),则ab

的值为 1

.
y

【解析】如图,由f(a)=f(b),

得|lga|=|lgb|.
不妨设0<a<b,则lgb=-lga,
O

∴lga+lgb=0,
∴ab=1.

a 1 b

x

例2:比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log67与log76 (3)log27与log37 (2)log3π 与log20.8 (4)log0.20.8 与log0.30.8

解:(1)∵log67>log66=1, 且log76<log77=1, ∴log67 >log76. (2)∵log3π>log31=0, 且log20.8<log21=0, ∴log3π>log20.8.

(3) ? log7 3 ? log7 2 ? 0 ?

1 1 ? . log 7 2 log 7 3

1 1 ? log 2 7 ? ,log3 7 ? , log 7 2 log 7 3

? log 2 7 ? log3 7
(4) ? log0.8 0.2 ? log0.8 0.3 ? 0, ?
? log 0.2 0.8 ? 1 log 0.8 0.2
1 log 0.8 0.2 ? 1 log 0.8 0.3 .

, log 0.3 0.8 ?

1 log 0.8 0.3

,

? log 0.2 0.8 ? log 0.3 0.8.

【提升总结】

两个对数比较大小
1.同底数对数比较大小: 一底二真三单调 2.不同底数的对数比较大小(数的比较大小) 一看符号(与0比较)

二看与中间量“1”
三连(用“>”,“<”连接起来)

【变式练习】 若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小 关系为__________. b> a>c 【解析】因为f(x)=log0.2x为减函数,且0.2<0.3< 1<4, 则log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24,

即1>a>0>c.同理log26>log22=1,可知结果.

3.溶液酸碱度的测量.

溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH的计算公式为
pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单

位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶 液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系; (2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7 摩尔/升,计算纯净水的pH.

解:(1)根据对数函数的性质,在(0,+∞)上,随 着[H+]的增大, lg[H+]增大,从而-lg[H+]减小, 于是由pH=-lg[H+]知,pH随着[H+]的增大而减小, 所以,溶液中氢离子的浓度越大,pH就越小,即溶

液的酸性越强。
(2)当[H+]=10-7时,pH=-lg10-7=7,所以,纯净 水的pH是7.

4.探究:对数函数与指数函数之间的关系

函数y=2x,x是自变量,y是x的函数,定义域为R,
值域为 (0, +∞). 函数x=log2y,y是自变量,x是y的函数,定义域为(0, +∞),值域为R. 这时称函数x=log2y是函数y=2x的反函数. 在函数x=log2y中,y是自变量,x是函数.

但是习惯上,通常用x表示自变量,y表示函数. 为此,常常对调函数x=log2y中的字母x与y 把它写成函数y=log2x.
定义域与 值域对换

这样对数函数y=log2x与指数函数y=2x互为反函数.

推广

对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数.

1.函数y=x+a与y=logax的图象可能是( C )
y 1 · y 1 · 1 x

A.

O

B.

O

1

x

y
1

y

C.

D.
1 x

1 O

·
1 x

O

2. 下列四个数中最大的是( A )
A.lg2 B.lg
2

C.(lg2)2

D.lg(lg2)

【解析】由对数函数的增减性可知:lg 2 <lg2<1, ∴(lg2)2<lg2,lg(lg2)<lg1=0, lg2>lg1=0,∴lg2最大.

3.比较下列各题中两个值的大小:

() 1 log0.5 6______ < log0.5 4;
(2) log1.5 1.6 ______ > log1.5 1.4;

(3)若log3 m ? log3 n, 则m___n; <
(4)若log0.7 m ? log0.7 n, 则m___n. >

4.若函数f(x)=logax (a>0且a≠1)在区间[a, 2a]
上的最大值是最小值的3倍,求a的值. 解:当a>1时,f(x)=logax在区间[a,2a]上是增函数,

? f max ( x) ? f (2a) ? log a (2a),

f min ( x) ? f (a) ? log a a ? 1,
? log a (2a ) ? 3 ? 1, ? a ? 2.

当0<a<1时,f(x)=logax在区间[a,2a]上是减函数,
? f max ( x) ? f (a) ? log a a ? 1, f min ( x) ? f (2a) ? log a (2a),

2 ? 3log a (2a) ? 1 ? a ? . 4

综上所述, a ? 2 或

2 a? . 4

5.画出函数 y ? log 2 | x ? 1| 的图象,并由图象写出它的 单调区间。 解:先作出函数 y ? log2 的图象.
x

的图象,然后把函数

y ? log 2 x

的图象向左平移1个单位就得到函数

y ? l o g2 x ? 1

y

2 1 -2 -1 O 1 2 3

x

由图象可知函数 y ? log2 x ? 1 . 的递增区间为(-1,+∞),

递减区间为(-∞,-1).

1.掌握利用对数函数的性质比较数的大小的方法; 2.对数函数单调性的灵活应用; 3.对数函数与指数函数互为反函数.

在学业的峰峦上,有汗水的溪流飞淌;在

智慧的珍珠里,有勤奋的心血闪光。



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