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3.1.3 概率的基本性质



3.1.3 概率的基本性质

集合知识回顾:
1.集合之间的包含关系:
A? B

B

A

2.集合之间的运算:
(1)交集:A∩B (2)并集:A∪B

B

A∩B

A

B

/>A∪B

A
U

(3)补集:?U A
? UA

A

比如掷一个骰子,可以按如下方式定义事件,例如: 事件A:出现1点 事件B:出现2点 事件C:出现3点 事件D:出现的点数小于或等于3 思考:事件D与事件A,B,C有什么关系? 这样我们把每一个结果可看作元素,而每一个事件 可看作一个集合. 因此,事件之间的关系及运算几乎等价于集合之间 的关系与运算.

在掷骰子的试验中,我们可以定义许多事件,如: C1={ 出现 1 点 }; C3={ 出现 3 点 }; C2={出现 2 点}; C4={ 出现 4 点 };

C5={出现 5 点};
D3={ 出现的点数小于 5 };

C6={ 出现 6 点 };
E={ 出现的点数小于 7 };

D1={ 出现的点数不大于 1 };D2={ 出现的点数大于3 }; F={ 出现的点数大于 6 }; G={ 出现的点数为偶数 }; H={ 出现的点数为奇数 }; ??

1.掌握事件的关系、运算与概率的性质.(重点) 2.正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事 件的区别与联系.(难点)

探究点1 事件的关系与运算
你能写出这个试验中出现的其他一些事件吗?

你能类比集合与集合的关系、运算,探讨它们之间的
关系与运算吗?

思考1

事件C1={出现1点}与事件H={出现的点数

为奇数}有什么关系?
事件C1发生,则事件H也一定会发生,这时我

们说事件H包含事件C1,记作H

? C1

【提升总结】 一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发
生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A

( 或 A ? B ). (或称事件A包含于事件B),记作 B ? A
与集合类比,如图:

注:(1)不可能事件记作 ?.
(2)任何事件都包含不可能事件.

B

A

例1 若90分以上记为优,某一学生数学测验成绩

记A={95分~100分},
B={优},

说出A,B之间的关系.
A? B

思考2

事件C1={出现1点},与事件D1={出现的点数不

大于1}有什么关系? 如果事件C1发生,那么事件D1一定发生,反过来也

对,这时我们说这两个事件相等,记作C1=D1.

【提升总结】

若事件A发生必有事件B发生;反之事件B发生必有
事件A发生,即若B ? A,且A ? B,那么称事件A与

事件B相等,记为A=B.

A

B

思考3

事件K={出现1点或5点},事件C1={出现1点}

与事件C5={出现5点}有什么关系? 若事件C1或C5发生,则事件K发生,反过来,也正确. 这时我们称事件K为事件C1与事件C5的并事件(或和事 件),记作K=C1∪C5.

【提升总结】 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发

生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和
事件),记为 A ? B ( 或 A ? B) .
A? B (或A ? B)

如图:

A

B

例2

抽查一批零件,

记事件

A={都是合格品}, B={恰有一件不合格品}, C={至多有一件不合格品}. 说出事件A,B,C之间的关系.

C ? A? B

思考4

事件D2={出现的点数大于3},
事件D3={出现的点数小于5}

与事件C4={出现4点}有什么关系?
当事件D2发生且事件D3也发生时,事件C4发生. 这时

我们称事件C4为事件D2与事件D3的交事件(或积事
件),记作C4=D2∩D3(或D2D3).

【提升总结】
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发

生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事
件),记作

A? B ( 或 AB) .
B A? B
A

如图:

例3

某项工作对视力的要求是两眼视力都在1.0以

上.记事件 A ={左眼视力在1.0以上} 事件 B ={右眼视力在1.0以上} 事件 C ={视力合格}

说出事件A,B,C的关系.

C ? A ? B.

思考5

事件I={ 出现的点数大于5 }与 事件D3={ 出现的点数小于5 } 有什么关系?

事件I和事件D3不会同时发生.

【提升总结】 事件的互斥

若A∩B为不可能事件( A ? B ? ? ),那么称事件A
与事件B互斥,其含义是:事件A与事件B在任何一次

试验中不会同时发生. 如图:
A
B

思考6

事件G ={出现的点数为偶数}与 事件H ={出现的点数为奇数}有什么关系?

G∩H= ? ,G∪H=必然事件,即事件G,H中必有一个发生. 互为对立事件.

【提升总结】 对立事件 若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件, 那么称事件A与事件B互为对立事件.其含义是: 事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个 发生. 如图: A B

例4

判断下面给出的每对事件是互斥事件还是对立

事件.从40张扑克牌(四种花色1~10 各10张)中任
取一张: ①“抽出红桃”和“抽出黑桃”;互斥事件 ②“抽出红色牌”和“抽出黑色牌”. 对立事件

【提升总结】 (1)对立事件是一种特殊的互斥事件,两个事件 对立,则两个事件必是互斥事件;反之,两事件 是互斥事件,未必是对立事件. (2)事件A的对立事件常记为 A.

探究点2 事件与集合之间有怎样的对应关系? 事件 必然事件 不可能事件 事件B包含于事件A 事件B与事件A相等 事件B与事件A的并 事件B与事件A的交 事件B与事件A互斥 事件A与事件 A 对立 集合 全集
?
B? A

B? A B? A B? A B? A?? A 集合是A的补集

探究点3 概率的几个基本性质 (1)任何事件的概率的范围:0 ? P( A) ? 1. 不可能事件的概率是P(A)=0; 必然事件的概率是P(A)=1.

(2)概率的加法公式 (互斥事件同时发生的概率)

当事件A与事件B互斥时,A∪B的频率
fn(A∪B)=fn(A)+fn(B) 由此得到概率的加法公式: 互斥 事件

如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)

(3)对立事件的概率 当事件A与B对立时,A发生的概率为 P(A)=1-P(B)

计算带 来方便

当一个事件的概率不容易直接求出,但其对立事件的 概率容易求时,可运用此公式.即“正难则反”.

例5

如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取
1 . 4
1 4

一张,那么取到红心(事件A)的概率是

,取到方片

(事件B)的概率是

问:(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?

解:()因为 1 C ? A ? B, A与B是互斥事件, 1 所以P(C ) ? P( A) ? P( B) ? . 2 1 ()因为 2 C与D是对立事件,所以P( D) ? 1 ? P(C ) ? . 2

【变式练习】 下列命题: ①将一枚硬币抛两次,设事件M:“两次出现正面”, 事件N:“只有一次出现反面”,则事件M与N互为对立 事件. ②若事件A与B互为对立事件,则事件A与B为互斥事件. ③若事件A与B为互斥事件,则事件A与B互为对立事件. ④若事件A与B互为对立事件,则事件A∪B为必然事件. 其中,真命题是( ) A.①②④ B.②④ C.③④ D.①②



选B.对①,将一枚硬币抛两次,共出现{正,正},

{正,反},{反,正},{反,反}四种结果,则事件M

与N是互斥事件,但不是对立事件,故①错.对②,对
立事件首先是互斥事件,故②正确.对③,互斥事件不

一定是对立事件,如①中两个事件,故③错.对④,事
件A,B为对立事件,则在一次试验中A,B一定有一个

要发生,故④正确.

1.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙均属于次 品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的 概率为0.01,则对成品抽查一件,恰好得正品的概

率为( D )
A.0.99 B.0.98 C.0.97 D.0.96

解 选D.记事件A={甲级品},B={乙级品},C={丙级品}.
事件A,B,C彼此互斥,且A与B∪C是对立事件.所以

P(A)=1-P(B∪C)=1-P(B)-P(C)=1-0.03-0.01=0.96.

2. 一人在打靶中,连续射击两次,事件“至少有一
次中靶”的对立事件是( D )

A.至多有一次中靶
C.只有一次中靶

B.两次都中靶
D.两次都不中靶

3.(2014·天津高一检测)一副混合后的扑克牌(52 张)中随机抽取 1 张,事件 A 为“抽得红桃 K” ,事件 B 为“抽得为黑桃” ,则概率 P(A∪B)=__________ (结果用最简分数表示).
【解析】由互斥事件概率公式得 1 13 7 p(A ? B)= ? ? .
52 答案: 7 26 52 26

4.某检查员从一批产品中抽取8件进行检查,记录 其中的次品数,记: A ={次品数少于5}; C ={次品数多于3}. 试写出下列事件的基本事件组成: A∪B,A∩C,B∩C; B ={次品数恰为2}

A ? B ? A, A ? C ? ?有4件次品 ?,
B ? C ? ?.

5.甲、乙两人下棋,若和棋的概率是0.5,乙获胜的 概率是0.3.求: (1)甲获胜的概率. (2)甲不输的概率. 解:(1)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件,

甲获胜的概率为:1-(0.5+0.3)=0.2.
(2)设事件A={甲不输},B={和棋},C={甲获胜}

则A=B∪C,因为B,C是互斥事件,
所以 P(A)=P(B)+P(C)=0.5+0.2=0.7.

1.概率的基本性质框架图

包含关系 相等关系

事件的关系与运算

并(和)事件 交(积)事件 互斥事件

事件的概率

对立事件 0≤P(A)≤1

必然事件的概率为1
概率的基本性质 不可能事件的概率为0 概率的加法公式 对立事件概率计算公式

2.概率的基本性质

(1)0≤P(A)≤1;
(2)当事件A,B互斥时,

P(A∪B)=P(A)+P(B);
(3)当事件A,B对立时,

P(A∪B)=P(A)+P(B)=1
或P(A)=1-P(B).

一寸光阴一寸金,寸金难买寸光阴. ——《增广贤文》



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