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2.1.2指数函数及其性质(一)



指数函数及其性质

学习目标:
1.记住指数函数的概念及表达式. 2.会用描点法画出简单指数函数的图象, 并会描述指数函数的图像特征. 3.会跟据指数函数的图象特征找出指数 函数的性质. 4.会跟据条件求指数函数的解析式. 5.会应用指数函数的性质解决有关问题.

一、引入及指数函数的概念:
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个, 2个分裂4个……,一个这样的细胞分 裂x次,得到的细胞的个数y与x的函 数关系式是: x

y?2

在这个函数里,自变量x出现在指数 的位置上,而底数2是一个大于零且 不等于1的常数.

再来看一个问题:《庄子.逍遥游》记载:一尺 之椎,日取其半,万世不竭.意思是一尺长的木 棒,一天截取一半,很长时间也截取不完.这样 的一个木棒截取 次,剩余长度 y 与的关系 x 是:

x

?1? y?? ? ?2?

在这个函数里,自变量 x 出现在指数的位置 1 上,而底数 是一个大于零且不等于1的常数.
2

1 ? ? x y ? ? ? 的函数是指 形如 y ? 2 , ?2? 数函数.那么,什么样的函数叫指数函数?
x y ? a 一般地,函数 (a>0且a≠1,

x

x∈R),叫做指数函数.
思考(1)为什么定义域为R? (2)为什么规定底数a >0且a ≠1呢?

x f x ? a ? a ? 0, a ? 1? 例1 已知指数函数 ? ? 的图像经过点 ? 3, ? ? , 求 f ? 0?、f ?1?、f ? ?3? 的值. 分析:指数函数的图象经过点 ?3, ? ? , 有 f ?3? ? ? , 1 3 a ? ? ,解得 a ? ? 3 即 想一想

于是有 f ? x ? ? ?

x 3

思考:确定一个指数函数 需要什么条件?

(二)指数函数 y ? a x 的图象和性质

试用描点法画出 y ? 2 的图像,并思考: 1.描点法的基本步骤是什么? 2.两个函数的图象有什么关系?
x

?1? , y ??2? ? ?

x

观察给出的各个指数函数的图象,指出他们的共 同特征:

想一想

思考:指数函数有那些性质?

0 ? a ?1
定义域 值域
特值
单调性

R (0, ??)
x ? 0, y ? 1
x ? 1, y ? a

x ? 0, y ? 1

a ?1 R (0, ??)

x ? 1, y ? a

性 质 奇偶性

在 R 上是减 在 R 上是增函 函数 数 非奇非偶 非奇非偶

x ? 0, 0 ? y ? 1 x ? 0, y ? 1 x ? 0, 0 ? y ? 1 x ? 0, y ? 1
x ? 0时,底数越大, 函数值越大;

x ? 0时,底数越大, 函数值越大;

函数x ? 0时,底数越大, 函数x ? 0时,底数越大, 函数值越小 函数值越小

例2 求下列函数的定义域和值域:

?1? y ? 3

4? x2

; ? 2? y ? 2

1 x2

分析:注意应用指数函数的定义域和单调性.

?1? x ? ?0, 2? , y ? ?1,9?; ? 2 ? x ? ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ? , y ? ?1, ?? ? .

例3 比较下列各题中两个值的大小:

?1?1.7 ,1.7 ; ? 2 ? 0.8 , 0.8 ; 1.6 1.6 0.3 3.1 ? 3?1.8 , 2.3 ? 4 ?1.7 , 0.9 ;
2.5 3 ?0.1 ?0.2

? 5 ?1.5

?0.2

,1.3

0.7

?2? ,? ? ?3?

1 3

分析:注意把握指数函数的单调性. (4)找中间量是关键. (5)化成同底的指数是关键.

例4 已知下列不等式,试求
m

m, n 的大小.
n

?1? 0.2 ? 0.2 ; m n ? 2 ?1.3 ? 1.3 .

三、总结
这节课我们从观察图象入手,运用自然语言描 述了函数的图象特征,最后抽象到运用数学语 言和符号刻画了相应的数量特征. 这是一个循 序渐进的过程,这也是数学学习和研究中经常 使用的方法, 课下同学们之间参考下面流程图 互相交流一下学习体会.
图象特征

数量特征

数学概念

?
数学性质

练习
1.下列函数中一定是指数函数的是( )

A. y ? 2
2.函数

x ?1

C. y ? 2? x

y? 5

1
x x ?1

B. y ? x 3 D. y ? 3 ? 2 x
的定义域为_______.

?1

3.已知 a ? 0.80.7 , b ? 0.80.9 , c ? 1.2 0.8 , 则 a, b, c 的大小关系是____________________.

4.下列各不等式中正确的是(


1 3 2 3 2 3

1 1 1 A.( ) ? ( ) ? ( ) 2 5 2
1 3 1 3 1 3 C.( ) ? ( ) ? ( ) 5 2 2
2 1 2

2 3

2 3

1 3

1 1 1 B.( ) ? ( ) ? ( ) 2 2 5
1 3 1 3 1 3 D.( ) ? ( ) ? ( ) 5 2 2
2 2 1

5.求下列函数的定义域和值域

1 x?2 y?( ) . 3

y ?5

3 x ?2

作业:

? 课本65页7、8.



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