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江苏省盐城市2014-2015学年高二下学期期末考试 数学



2014/2015 学年度第二学期高二年级期终考试 数 学 试 题
注意事项: 1.本试卷考试时间为 120 分钟,试卷满分 160 分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分. 3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答 题卡上. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70

分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.已知复数 z ? 1 ? 2i (i 为虚数单位) ,则 | z | = 2.命题“ ?x ? (??,0) ,使得 3x ? 4 x ”的否定是 ▲ .

▲ .

3.某学校高三有 1800 名学生,高二有 1500 名学生,高一有 1200 名学生,现采用分层抽 样的方法抽取一个容量为 150 的样本,则应在高一抽取 ▲ 人. ▲ .

4. 若在集合{1, 2, 3, 4}和集合{5, 6, 7}中各随机取一个数相加, 则和为奇数的概率为 5.下面是一个算法的伪代码,输出结果是 S←0 a←1 For I From 1 a←2×a S←S+a End For Print S 6.函数 f ( x) ? x ? ln x 的单调递增区间是 ▲ . To 3 ▲ .

?2 x ? y ? 0 ? 7.若变量 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值为 ?3x ? y ? 5 ? 0 ?
8.若双曲线 C 经过点(2,2),且与双曲线 程为 ▲ .





y2 2 ? x ? 1 具有相同渐近线,则双曲线 C 的标准方 4

9.在△ABC 中,若 D 为 BC 的中点,则有 AD ? ( AB ? AC ) ,将此结论类比到四面体中,

1 2

在四面体 A-BCD 中,若 G 为△BCD 的重心,则可得一个类比结论:





10 .( 理 科 学 生 做 ) 已 知 m ? 0 , 若 ( 1 ? m x6 ) ? 0a ? 1 a x ? 2 2a x? ? ? ?6 6, ? a且 x

a1 ? a 2? a ? 3 ??? ? a ?663 ,则实数 m=





(文科学生做)将函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) 的图像向右平移 关于 y 轴对称,则 ? 的最小正值为 ▲ .

?
6

个单位后,得到的函数图像

11. (理科学生做) 6 把椅子摆成一排, 3 人随机就座, 任何两人不相邻的坐法种数为





(文科学生做)设 U 为全集,A、B 是 U 的子集,则“存在集合 C 使得 A ? C,B ? ?U C” 是“A∩ B= ? ”的 也不必要”) 12.若 log4(3a+4b)=log2 ab ,则 a+b 的最小值是 ▲ . y P F1 o F2 x ▲ 条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分

13.中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆与双曲线有公共焦点, 左右焦点分别为 F1 、 F2 ,且它们在第一象限的交点为 P ,

△PF1F2 是以 PF2 为底边的等腰三角形.若 PF2 ? 10 ,双
曲线离心率的取值范围为 ?1,2 ? , 则椭圆离心率的取值范围 是 ▲ .
2

第 13 题图

14 .已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (2 ? 2a ) x ?

1 (a ? 0) ,若存在三个不相等的正实数 4a
▲ .

x1 , x2 , x3 ,使得

f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ? ? ? 3 成立,则 a 的取值范围是 x1 x2 x3

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) (理科学生做)如图, A, B 两点之间有 5 条网线并联,它们能通过的信息量分别为 2、 3、3、4、4.现从中随机任取 2 条网线. (1)设选取的 2 条网线由 A 到 B 通过的信息总量为 x ,当 x ? 6 时,则保证信息畅通. 求线路信息畅通的概率; (2)求选取的 2 条网线可通过信息总量的数学期望. A 2 3 3 4 4 第 15 题(理)图 (文科学生做)已知命题 p : x ? 1 ? 2 和命题 q : x ? Z .若“ p 且q ”与“非 q ”同时为假命 题,求实数 x 的值. B

16. (本小题满分 14 分) ( 理 科 学 生 做 ) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 矩 形 , 侧 棱

PA ? 底面ABCD , PA ? AB ? 2 , AD ? 4 , M 为侧棱 PC 的中点. P
(1)求异面直线 AM 与 PD 所成角的余弦值; (2)求二面角 B ? PC ? D 的余弦值.

M
A

D
B
第 16 题(理)图
C

(文科学生做)已知函数 f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 3sin x cos x ? 1 , x ? R . (1)求 f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 的最小值;

?? ? ? (2)若 f (? ) ? 2 ,且 ? ? ? , ? ,求 ? 的值. ?4 2?
17. (本小题满分 14 分) (理科学生做)若 n 为正整数,试比较 3 ? 2n?1 与 n 2 ? 3 的大小,分别取 n ? 1, 2,3, 4,5 加 以试验,根据试验结果猜测一个一般性结论,并用数学归纳法证明. (文科学生做)设 x, y 都是正数,且 x ? y ? 2 ,试用反证法证明: 中至少有一个成立. 18. (本小题满分16分) 某仓库为了保持库内温度, 四周墙上装有如图所示的通风设施, 该设施的下部是等边三 角形 ABC,其中 AB=2 米,上部是半圆,点 E 为 AB 的中点.△EMN 是通风窗, (其余部 分不通风)MN 是可以沿设施的边框上下滑动且保持与 AB 平行的伸缩杆(MN 和 AB 不 重合) . (1)设 MN 与 C 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S 表示成 x 的函数 S ? f ( x) ; (2)当 MN 与 C 之间的距离为多少时,△EMN 面积最大?并求出最大值. M A M C (图 1) 第 18 题图 E B N C (图 2) A E N B

1? x 1? y ?2和 ?2 y x

19. (本小题满分 16 分) 已知点 P( x0 , y0 ) 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的任意一点 (长轴的端点除外) ,F1 、F2 a 2 b2

分别为左、右焦点,其中 a,b 为常数. (1)若点 P 在椭圆的短轴端点位置时, ?PF1 F2 为直角三角形,求椭圆的离心率. (2)求证:直线

x0 y0 x? 2 y ? 1 为椭圆在点 P 处的切线方程; 2 a b

(3)过椭圆的右准线上任意一点 R 作椭圆的两条切线,切点分别为 S、T.请判断直线 ST 是否经过定点?若经过定点,求出定点坐标,若不经过定点,请说明理由. y P T F1 O F2 x O S (图 1) 第 19 题图 (图 2) x y R

20. (本小题满分 16 分)设函数 f ( x) ? x3 ? (1)若 t ? 2 ,求函数 f ( x) 的极大值;

3(t ? 1) 2 . x ? 3tx ? 1 ( t ? 0 ) 2

(2)若存在 x0 ? (0, 2) ,使得 f ( x0 )是f ( x) 在区间[0,2]上的最小值,求实数 t 的取值范 围; (3)若 f ( x) ? xe x ? m (e ? 2.718 )对任意的 x ?[0, ??) 恒成立时 m 的最大值为 - 1, 求实数 t 的取值范围.

2014/2015 学年度第二学期高二年级期终考试 数 学 答 案

一、填空题: 1. 5 3. 40 5. 14 7. 4 9. AG ? ( AB ? AC ? AD) 11. (理科)24 (文科)充要 2. ?x ? (??,0), 都有3x ? 4x

1 2 6. ?1, ?? ?
4. 8.

x2 y2 ? ?1 3 12

1 3

10. (理科)1(文科) ? 12. 7 ? 4 3 14. (

5 6

?2 ? 13. ? , 1 ? ?3 ?

1 2 ?1 , ) 2e 2

二、解答题: 15. (理科)解: (1)随机任取 2 条网线共有 10 种不同的情况.

2 ? 4 ? 3 ? 3 ? 6,? P( x ? 6) ?
........2'

2 ?1 3 ? , ........................................................................... 10 10

3 ? 4 ? 7,? P( x ? 7) ?
.........4'

4 ,................................................................................................... 10 1 ,................................................................................................... 10

4 ? 4 ? 8,? P( x ? 8) ?
.........6'

? P( x ? 6) ?
..........8' (

3 4 1 8 4 ? ? ? ? . ..................................................................................... 10 10 10 10 5
2 )

2 ? 3 ? 5, P( x ? 5) ?
0'

2 1 ? ,..............................................................................................1 10 5

∴线路通过信息量的数学期望是

1 3 4 1 E( x) ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 8 ? ? 6.4 . ......................................................................... 5 10 10 10
.........13' 答: (1)线路信息畅通的概率是
6.4 ...................14'

4 ; 5

(2)线路通过信息量的数学期望是

15 . ( 文 科 ) 解 : 非 q 为 假 命 题;...................................................................................3'







q







p且q 为 假 命 题 , 则 p 题,......................................................................................................6' 即 x ? 1 ? 2, 且x ? Z ,得 ?2 ? x ? 1 ? 2 ,







解 得 ?1 x ? , ..................................................................................................................... 12' ? x ? 0,1, 或2 . .............................................................................................................................14' 16. (理科)解: (1)如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,
z

3x

P

M
A
x B
C

D y

则 A(0,0,0) , B(2,0,0) , D(0, 4,0) , P(0,0, 2) , C (2, 4,0) M (1, 2,1) ,......................................................................................................................2'



AM ? (1,2,1), PD ? (0,4, ?2) ,
? cos ? AM , PD ??
∴ 异 面 直

AM ? PD AM PD
线

?

0?8?2 6?2 5


?

30 , 10
所 成 角 的 余 弦 值 为

AM

PD

30 . .........................................................................7' 10 (2)设 平面BPC 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

BC ? (0,4,0), BP ? (?2,0,2) ,并且 m ? BC, m ? BP ,
?4 y ? 0 ,令 x ? 1 得 z ?1, y ? 0 , ?? ??2 x ? 2 z ? 0 平面MBD 的 一 个 法 向 ? m ? (1,0,1) .......................................................................................9' 设 平面DPC 的法向量为 n ? (a, b, c) ,





DC ? (2,0,0), DP ? (0, ?4,2) ,并且 n ? DC, n ? DP ,
? 2a ? 0 ,令 b ? 1 得 c ? 2 , a ? 0 , ?? ??4b ? 2c ? 0 平面MBD 的 一 个 法 向 量 为 ? n ? (0,1, 2) . .....................................................................................11' ∴ m?n 2 10 , .............................................................................. cos ? m, n ?? ? ? | m |? n 5 2? 5 .........13' B ? PC ? D ∴ 二 面 角 的 余 弦 值 为

10 ..........................................................................................14' 5 16. (文科)解: (1) f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 3sin x cos x ? 1 ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 1 ?
= 2sin(2 x ?

?
6

) ?1 .

..........................................................................................5'

f ( x) 的 最 小 正 周 期 为 因 此 ?1...................................................................................7'
( 2 ) 由

?
?







值 ,

为 即

f (? ? )

得2

1 . ( ......................................................9' 2 ) 6 2 ? ?2 7 ? ?? ? ? 而由 ? ? ? , ? 得 2? ? ? ? ? , ? ? . 6 ?3 6 ? ?4 2? ? 5 2? ? ? ? 故 , 6 6 s

? i?

?

2sin(2? ? ) ? 1 6

=2

n?





??

?

3

.....................................................................................................14'

17. (理科)解:当 n ? 1 时, 3 ? 2n?1 < n 2 ? 3 ; 当 n ? 2 时, 3 ? 2n?1 < n 2 ? 3 ; 当 n ? 3 时, 3 ? 2n?1 = n 2 ? 3 ; 当 n ? 4 时, 3 ? 2n?1 > n 2 ? 3 ; 当
n?5
n ?1
2

时 当
n?4

, 时 ,

3? 2


> n ? 3 ;..............................................................................................................5' 想 : > n ? 3 ..................................................................................................7'
2

3? 2

n ?1

证明:当 n ? 4 时, 3 ? 2n?1 > n 2 ? 3 成立;

) 假设当 n ? k (k ? 4 时, 3 ? 2k ?1 > k 2 ? 3 成立,
2 (k 2 ? 3 ) (k ? 1 ) ? 3, 则 n ? k ? 1 时,左式= 3 ? 2k = 2 ? 3 ? 2k-1 > 2 ,右式=

2 (k 2 ? 3 ) (k-) 1 2 ? 1 >0, 因为 2 -[ ( k ? 1) ? 3]= k 2 ? 2k ? 2 =

所以,左式>右式,即当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 综 上 所 述 : 当
n?4





3 ? 2n?1 > n 2 ? 3 ...........................................................................................14'
17 .( 文 科 ) 证 明 : 假 设

1? x 1? x 1? y ?2 和 ?2 , ?2 都 不 成 立 , 即 y y x

1? y ? 2 ..............................2' x 又 x, y 都是正数,? 1 ? x ? 2 y , 1 ? y ? 2 x
两 式 相 加 得 2 ? ( x ? y ) ? 2( x ? y ) ,. ............................................................................................8' ?x ? y ? 2 . 到







x? y?2



















立,...........................................................................................12' 即

1? x ?2 y



1? y ?2 x















立.......................................................................................14' 18.解(1)①当 MN 在三角形区域内滑动时 即 x ? (0, 3) MN / / AB, ?ABC 是等腰三角形, ?MNC ? 600 连接 EC 交 MN 于 P 点,则 PC=x,PN=
?ABC 的面积 S ? f ( x) ?

3 2 3 x , MN ? x 3 3

1 | MN | ( 3 ? x) 2 3 2 ?? x ? x ......................................................................... 3

............4' ②当 MN 在半圆形区域滑动即 x ? ( 3, 3 ? 1) 时

MN ? 2 1 ? ( x ? 3) 2 ..............................................................................................................
............6' 所 以

? 3 2 x ?x ?? S ? f ( x) ? ? 3 ? 2 ?( x ? 3) 1 ? ( x ? 3)
....8' (2) x ? (0, 3) 时, S ? f ( x) ? ? 所

x?( x ? ( 3, 3 ? 1)

..................................................

3 2 x ?x 3

的对称轴为 x ?

3 ? (0, 3) 2


f(
...11'

m

?

3 2

2

x) ............................................................................. ( x ? 3) 2 ? (1 ? ( x ? 3) 2 ) 1 ? 2 2
取 等

a

?

3 3

x ? ( 3, 3 ? 1) 时, f ( x) ? ( x ? 3) 1 ? ( x ? 3) 2 ?
当 且 仅 当

2 ? 3 ? ( 3, 3 ? 1) 2 号,..................................................................................15' x?


1 3 ? 2 4











EMN















1 ...............................................................................16' 2

19.解:记 c ? a2 ? b2 . (1)当点 P 在椭圆的短轴端点位置时, ?PF1 F2 为直角三角形, y P

2 则有 a ? 2c ,得 e ? . 2
所以,此时椭圆的离心率为 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 把 ( x0 , y0 ) 代入方程 所 以 点

2 .......................4' 2

F1

O

F2

x

2 2 x0 y0 x2 y2 ? ? 1 ? ?1. 上,得 a2 b2 a2 b2

2 2 x0 y0 x0 y0 ? ?1, ,得 x ? 2 y ?1 a2 b2 a2 b

(图 1)

P( x0 , y0 )





线

x0 y0 x? 2 y ?1 2 a b

上,...............................................................................6'

? x2 y 2 ? ?1 ? ? 2 b2 2 联列方程组 ? a ,消去 y 可得 a2 x2 ? 2a2 x0 x ? a2 x0 ? 0, x y ? 0 x ? 0 y ?1 ? b2 ? a2
解得 x ? x0 ,即方程组只有唯一解. 所 以 , 直 线

x0 y0 x? 2 y ?1 为 椭 圆 在 点 2 a b
a2 , y3 ) . c

P

处 的 切 线 方

程.......................................................10' (3)由题可设 S ( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) 、 R (

由(2)结论可知,切线 SR 的方程为 切 ②.....................................................12' 把 R( 线 TR

x1 y1 x? 2 y ?1 ① 2 a b
的 方 程 为

x2 y2 x? 2 y ?1 2 a b
y T O S (图 2)

R

a2 x y1 , y3 ) 分别代入方程①、②,可得 1 ? 2 y3 ? 1 ③ c c b


x2 y2 ④ ? y3 ? 1 c b2 x1 ? c) y2 ? ( x2 ? c) y1 , 由③、④两式,消去 y3 ,可得 (
x1 ? c) ( y2 ? 0) ? ( x2 ? c) ( y1 ? 0) , 即有 (
所以,点 S ( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) 、 F2 (c,0) 三点共线, 所 以 , 直 线 ST 经 过 定 点 , 定 点

x







F2 ( a2 ? b2 ,0) ...........................................................16'
20.解: (1)若 t ? 2 ,则 f ( x) ? x3 ?

9 2 x ? 6x ? 1 , 2

所以, f '( x) ? 3x2 ? 9 x ? 6 ,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 1, 2 ; 令 f '( x) ? 0 ,得 1 ? x ? 2 , 所以, f ( x) 在区间(1,2)内递减,在区间(-∞,1),(2,+∞)内递增, f ( x) 得 的 极 大 值



7 .............................................................................................................4' 2 3(t ? 1) 2 (2)函数 f ( x) ? x3 ? x ? 3tx ? 1 . 2 f (1) ?
得 f '( x) ? 3x2 ? 3(t ? 1) x ? 3t ? 3( x ? 1)( x ? t ) , t ? 0 .

f '( x) ? 0 令 , x ? 1, t ;....................................................................................................................6' ①当 t ? 2 时,可以判定 f ( x) 在区间(0,1)内递增,在区间(1,2)内递减,
此时,不存在 x0 ? (0,2) 使得 f ( x0 )是f ( x) 在[0,2]上的最小值;



②当 1 ? t ? 2 时,可以判定 f ( x) 在区间(0,1) 、 (t,2)内递增,在区间(1,t)内递 减, 欲存在 x0 ? (0, 2) 使得 f ( x0 )是f ( x) 在[0,2]上的最小值, 则必须有 f (t ) ? f (0) ,即 t 3 ?

3(t ? 1) 2 t ? 3t 2 ? 1 ? 1 ,解得 t ? 3 ,不合题意,舍去. 2

③当 0 ? t ? 1 时,可以判定 f ( x) 在区间(0, t) 、 (1,2)内递增,在区间(t,1)内 递减, 欲存在 x0 ? (0, 2) 使得 f ( x0 )是f ( x) 在[0,2]上的最小值, 则必须有 f (1) ? f (0) ,即

1 3t ? 1 1 ? 1 ,解得 t ? ,所以, 0 ? t ? . 3 2 3

④当 t ? 1 时,可以判定 f ( x) 在区间(0,2)内递增, 不存在 x0 ? (0, 2) 使得 f ( x0 )是f ( x) 在[0,2]上的最小值. 综 上 所 述 , 得 t 的 取 值 范 围 为

1 (0, ] ............................................................................................10' 3
x (3)若 f ( x) ? xe ? m (e 为自然对数的底数)对任意的 x ?[0, ??) 恒成立,

即 m ? xe x ? x3 ? 立,.....11' 令 g ( x) ? ex ? x2 ? 所 以

3(t ? 1) 2 3(t ? 1) x ? 3tx ? 1 ? x[e x ? x2 ? x ? 3t ] ? 1 对 任意 的 x ? 0 恒 成 2 2 3(t ? 1) x ? 3t ,由于 m 的最大值为 - 1, 2 3(t ? 1) g ( x) ? e x ? x2 ? x ? 3t ? 0 2





立................................................................................12'

由 g (0) ? 1 ? 3t ? 0 可得 0 ? t ? ,

1 3

3(t ? 1) , 2 3(t ? 1) 再设 h( x) ? g '( x) ? ex ? 2x ? ,得 h '( x) ? e x ? 2 ? 0 ,解得 x ? ln 2 . 2 h( x) 在区间(0, ln 2 )内递减,在区间( ln 2 ,+∞)内递增, 3(t ? 1) h( x) 的最小值为 h(ln 2) ? 2 ? ? 2ln 2 ,可以判定 h(ln 2) ? 0 , 2 即 g '( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在区间[0,+∞)内递增,
当 0 ? t ? 时, g '( x) ? e x ? 2 x ?

1 3

则有 g ( x) 在区间[0,+∞)内的最小值 g (0) ? 1 ? 3t ? 0 ,得 t ? . 所 以 , t 的 取 值 范 围 是

1 3

1 (0, ] ......................................................................................................16' 3



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