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第二章概率与概率分布


第二节 几种常见的概率分布律
distribution) 一、二项分布(binomial distribution) 二项分布( 二项分布是一种离散型随机变量的概率分 布。如,哺乳动物是雄性还是雌性、种子 的发芽与不发芽、穗子有芒与无芒、后代 的成活与死亡等。由对立事件构成的结果, 这种非此即彼事件所构成的总体,称为二 项总体,其分布称为二项分布。

二项总体进行重复抽样试验,有以下特征:
每次试验只有两个对立结果,如大麦种子的发芽 每次试验只有两个对立结果 或不发芽,记作 A与A ,它们出现的概率分别 为?与1 ? ? 。 试验具有重复性和独立性。 试验具有重复性和独立性。重复性指每次试验条

? 件不变,在每次试验中事件A出现的概率皆为 。
独立性指任何一次试验中事件A的出现与其余各次 试验中出现何种结果无关。如从雌雄各半的100只 动物中抽取1只,记性别后放回,那么第一次和第 二次抽到雄性动物的概率不变(0.5)。只发生在 放回式抽样试验中。

1、二项分布的概率函数 、 P40例3.1 m-雄性,f-雌性,10次抽样中前3 次都抽到雄性动物,若抽到雄性动物的概率 为? ,抽到雌性动物的概率为1 ? ? 。 P(mmmfffffff)= ? 3 (1 ? ? )7 p(3)= C ? (1 ? ? )
3 10 3 7

概率函数通式: 概率函数通式:

p( y ) = C ? (1 ? ? )
y n y

n? y

, y = 0,1,2..., n

n! 0 n C = ;0! = 1; C n = C n = 1 y!( n ? y )!
y n

二项分布满足离散型概率分布两个基本性质: 二项分布满足离散型概率分布两个基本性质:

(1) P( y ) = C ? (1 ? ? )
y n y n y =0

n? y

≥0
n

(2)∑ P( y ) =[? + (1 ? ? )] = 1

2、二项分布概率累积函数: 、二项分布概率累积函数:
F ( y ) = P(Y ≤ y ) = ∑ Cny? y (1 ? ? ) n ? y ( y = 0,1,2,3..., n)
y =0 n

P41-42例3.1 雄性 y=1,2,3只的概率p(y) ; y=1, 41只和3 3只和3只以下雄性动物的概率F(y)

例:据报道,有10%的人对某药有肠道反应, 据报道, 10%的人对某药有肠道反应, 的人对某药有肠道反应 为考察此药的质量,现随机选5人服用此药, 为考察此药的质量,现随机选5人服用此药, 试求: 试求: 其中k个人( =0, (1)其中k个人( k =0,1,2,3, 4,5) 有反应的概率; 有反应的概率; 不多于2人有反应的概率; (2)不多于2人有反应的概率; 有人有反应的概率。 (3)有人有反应的概率。

解:(1)y个人( y =0,1,2,3,4,5)有 反应概率
P (0 ) = C 50 0 . 10 0 . 9 5 = 0 . 9 5 = 0 . 59049 5! P (1) = C 0 . 1 0 . 9 = × 0 . 9 4 = 0 . 32805 1! ( 5 ? 1)! P (2 ) = 0 . 07290 ; P (3 ) = 0 . 00810 ; P (4 ) = 0 . 00045 ; P (5 ) = 0 . 00001 .
1 5 1 4

(2)不多于2人有反应的概率 不多于2
F (2) = P(Y ≤ 2) = ∑ P( y )
y =0 2

= 0.59049 + 0.32805 + 0.07290 = 0.99144 = 99.144%

(3)有人有反应的概率

P(Y ≥ 1) = 1 ? P (Y = 0) = 1 ? 0.59049 = 0.40951

P45-46

解:棕色短毛兔的概率为1/16,非棕色短毛 概率为15/16,零只棕色短毛家兔的概率:
P( y ) = Cny? y (1 ? ? ) n ? y 1 n P(0 ) = C ? (1 ? ? ) = (1 ? ) = 1 ? 0.99 = 0.01 16 n(lg15 ? lg 16) = lg 0.01
0 n 0 n

? 0.02803n = ?2.00000 n = 71.4

在72个后代中,能够以99%的概率至少 获得一个棕色短毛兔。

3、二项分布的参数(P42-43): 二项分布的参数( 42若随机变量Y服从二项分布,则有:

? 二项分布的总体平均数:

= n?

σ 二项分布的总体方差:

2

= n? (1 ? ? )

P44例3.2 :
以杂合基因型Wvvv的小鼠为父本,与纯合 基因型wvvv的小鼠为母本杂交(Wv:正常 直毛;wv:波浪毛)。其后代得到wvvv基 因型的数目与Wvvv基因型的数目各占一半。 实验只选每窝8只,n=8。通过样本实际数 的计算,可看出其结果与总体参数很接近。

∑ fy = 139 = 4.34; ? = n? = 8 × 1 = 4.00 y=
N 32 2
s =
2



fy 2 ?

(∑ fy ) 2 N =

665 ?

N ?1

19321 32 = 1.97; σ 2 = n? (1 ? ? ) = 2 31

二、泊松分布(Possion distribution) 泊松分布(
生物学研究中,有许多事件出现的概率很小(稀有 事件),而样本容量或试验次数却往往很大 ( ? < 0.1; n? < 5 )。这时,二项分布就变成另外 一种特殊的分布,即泊松分布 泊松分布。 泊松分布 例如,显微镜视野内染色体有变异的细胞计数、 由突变而引起的遗传病患者的分布、田间小区内 出现变异植株的计数、作物种子内杂草的计数、 单位容积的水或牛奶中的细菌数目分布、家畜产 怪胎数、样方内少见植物的个体数等都属于泊松 分布。

泊松分布也是一种离散型随机变量的分布, 其分布的概率函数 概率函数: 概率函数

p( y ) =

?

y

y!

e =

-?

?

y

y!e

?

, y = 0,1,2,...

泊松分布的总体平均数 方差 平均数和方差 平均数 方差相等:

? = σ = n?
2

P47例 P47例3.5

已知某厂生产的针剂的废品率为0.01 0.01, 例:已知某厂生产的针剂的废品率为0.01, 400支针剂中 废品有5支以上的概率是多少? 支针剂中, 400支针剂中,废品有5支以上的概率是多少?

解:n = 400, ? = 0.01, n? = 4 < 5 4 ?4 P (Y ≥ 5) = 1 ? P (Y ≤ 4) = 1 ? ∑ e y = 0 y! 40 41 4 2 43 4 4 = 1 ? ( + + + + ) × 0.0183156 0! 1! 2! 3! 4! = 1 ? 0.628836 = 0.371164
4 y

例:某人在一次试验中遇到危险的概率是 1%, 1%,如果他在一年里每天都要独立重复做 一次这样的试验, 一次这样的试验,那么他在一年中至少遇 到一次危险的概率是多少? 到一次危险的概率是多少?

解:n = 365, ? = 0.01, n? = 3.65 < 5 P(365次试验中至少遇到一次危险) = 1 ? P(365次试验都未遇到危险) = 1?

? y e??
y!

3.650 ?3.65 = 1? ×e ≈ 0.97 0 !

例:我们调查了200个奶牛场,统计各场某10年内出 现的怪胎(如缺皮症,全身无毛等)的头数,然后以 怪胎头数把200个奶牛场分类,统计每类中奶牛场数 目,结果如下表,试研究10年内母牛怪胎数的概率分 布。 10年内母牛产怪胎次数 : (y) 奶牛场数(f) 0 1 2 3 4 总计 200

109 65 22 3 1

解:设母牛产怪胎数的概率分布为泊松分布。根据观察结果 计算奶牛场10年内母牛产怪胎的平均数

y:

∑ fy = 109×0 + 65×1+ 22×2 + 3×3+ 4×1 = 0.61 y=
0.61y ?0.61 ?? p( y) = e = e y! y!
怪胎数( 怪胎数(y) 实际数( 实际数(f) 理论) 概 率(理论) 理 论 数 0 109 1 65

n

?y

200

计算当y=0,1,2,3,4时的概率和理论数
2 22 3 3 4 1 总 计 200 0.9996 199.92

0.5434 0.3314 0.1011 0.0206 0.0031 108.68 66.28 20.22 4.12 0.62

下面证实我们所得的资料是否具有泊松分布的特征。 已经计算出 y =0.61,样本方差计算如下:
(∑ fy)2 fy2 ? ∑ 2 n S = n ?1 ( ×02 + 65×12 + 22× 22 + 3×32 +1× 42 ) ?1222 / 200 109 = = 0.611 199

S 与 y 很接近,这正是泊松分布所具有的特征。

2

三、正态分布(normal distribution) 正态分布(
正态分布是一种连续型随机变量的理论分布。 它的分布状态是多数变量都围绕在平均值左 右,由平均值到分布的两侧,变量数减少。 正态分布是一种在统计理论和应用上最重要 的分布。试验误差的分布一般服从正态分布, 许多生物现象的连续型变量均近似服从这种 分布。

一定条件下,正态分布还可作为离散型随机变量或 其他连续型随机变量的近似分布: (1)如当n相当大或?与1 ? ? 基本接近时,二项分布接 近于正态分布; (2)当 ? 较大时,泊松分布也接近正态分布。 (3) 如有些总体虽不服从正态分布,但从总体中随机 抽取的样本容量相当大时,样本平均数的分布也近 似于正态分布。 用正态分布代替其他分布进行概率计算和统计推断。

一、正态分布的定义及其特征
1、定义:若连续性随机变量Y的概率分布密度函数为 定义:若连续性随机变量Y

1 ? f ( y) = e σ 2π

( y??)2 2σ 2

,?∞ < y < +∞,σ > 0

其中, 为平均数 为平均数, 为方差,则称随机变量Y服从正 其中,?为平均数,σ2 为方差,则称随机变量 服从正 态分布,记为Y~ 相应的概率分布函数为: 态分布,记为 ~N(?,σ2)。相应的概率分布函数为:
y

F ( y ) = P (Y < y ) = ∫

?∞

1 f ( y ) dy = σ 2π



y

?∞

e

1 ? y?? ? ? 2? σ

?2 ? ?

dy

2、特征(下图) 特征( 正态分布密度曲线是以y=? 为对称轴的单峰、对 称的分布
1 f(y)在y=?处达到极大值,极大值为 f (?) = σ 2π

f(y)是非负数,以y轴为渐进线,分布从-∞至+∞ 曲线在?±σ处各有一个拐点 正态分布有两个参数,即平均数?和标准差σ。? 是位置参数,σ是变异度参数。 分布密度曲线与横轴所夹的面积为1,即:
1 P(?∞ < y < +∞) = ∫ e ?∞ σ 2π
+∞ ( y??)2 ? 2σ 2

dy =1

二、标准正态分布
1、定义 由于正态分布是依赖于参数 ?和(或σ)

的一簇分布,造成研究具体正态总体时的不便。因 =1的正态分布, 此将一般的Ν(μ,σ2)转换为?=0, σ2=1 =0, 则称?=0, σ2=1 =0, =1的正态分布为标准正态分布 标准正态分布。标准 标准正态分布 正态分布记为U~N(0,1)

将随机变量Y标准化,令:

u =

y??

σ

标准正态分布的概率密度函数为: 概率密度函数为: 标准 概率密度函数为

1 ? (u ) = e 2π

1 2 ? u 2

标准正态分布的累积分布函数为: 标准正态分布的累积分布函数为: 累积分布函数为

1 Φ (u ) = P(U < u ) = 2π



u

?∞

e

1 ? u2 2

du

2、标准正态分布的特征(P51-52) 标准正态分布的特征(P51标准正态分布的特征

三、正态分布的概率计算

P(Y < y) = P(U <

y??

σ

) = Φ(

y??

σ

)

P52-54例3.7P52-54例3.7-3.10

计算下列概率值: 计算下列概率值: (1) P( ? ? σ < y ≤ ? + σ ); (2) P( ? ? 2σ < y ≤ ? + 2σ ); (3) P( ? ? 3σ < y ≤ ? + 3σ ).

σ σ y ? ? (? + σ ) ? ? u2 = = =1 σ σ P( ? ? σ < y ≤ ? + σ ) = P(?1 < u ≤ 1)
= Φ (u = 1) ? Φ (u = ?1) = 0.8413 ? 0.1587 = 0.6826

(1)u1 =

y??

=

(? ? σ ) ? ?

= ?1

σ σ y ? ? ( ? + 2σ ) ? ? u2 = = =2 σ σ P ( ? ? 2σ < y ≤ ? + 2σ ) = P(?2 < u ≤ 2)
= Φ (u = 2) ? Φ (u = ?2) = 0.9773 ? 0.0228 = 0.9545 y ? ? ( ? ? 3σ ) ? ? = ?3 (3)u1 = = σ σ y ? ? ( ? + 3σ ) ? ? = =3 u2 = σ σ P( ? ? 3σ < y ≤ ? + 3σ ) = P (?3 < u ≤ 3)
= Φ (u = 3) ? Φ (u = ?3) = 0.9987 ? 0.00135 = 0.99735 正态分布的3σ法则。

(2)u1 =

y??

=

( ? ? 2σ ) ? ?

= ?2

四、正态分布的单侧分位数 附表3 附表3

作业: 1、某小麦品种在田间出现自然变异植株的概 率为0.0045,试计算: (1)调查100株,获得2株或2株以上变异植株 的概率是多少? (2)期望有0.99的概率获得1株或1株以上的变 异植株,至少应调查多少株?

2、某种原生动物消化一个单位的食物所需的 时间是一个服从N(31,25)的正态分布的随 机变量,问: (1)35分钟内消化一个单位食物的概率是多少? (2)如果通过观察知道,在30分钟内没有完 全消化一个单位食物,那么在35分钟内这一 食物完全被消化的概率是多少?

第三节

抽样分布

研究总体与样本间的关系: 研究总体与样本间的关系: 已知总体,研究样本分布规律,即总体→样本; (1)已知总体,研究样本分布规律,即总体→样本; 样本去推断未知总体,即样本→总体的研究过程。 (2)样本去推断未知总体,即样本→总体的研究过程。

从已知总体中,独立随机地抽取含量为 n的样本,研究样本的各种统计量的概 率分布,即所谓抽样分布(Sampling distribution) 。
包括y、t、χ 2、F分布。

一、从一个正态总体中抽取的样本统计量的分布 (一) 样本平均数的分布 1、标准差已知时的样本平均数的分布 (1)原始总体与样本平均数抽样总体 (1)原始总体与样本平均数抽样总体 设有一个总体 Y ~ N( ? , σ 2 ) ,称原总体 原总体。从原总体中 原总体 随机抽取含量为n的样本,样本平均数为Y 。

y 1 , y 2 ... y n ,
也构成一个样本, 样本平均数 Y 也 是一个随机变量, 其概率分布叫做 样本平均数的抽 样分布。 样分布。

样本平均数的抽样总体

Y ~ N(? ,σ )
v y 2 y

(2)原总体与抽样总体间参数关系:

?y = ?,σ = σ n ,σy = σ n 2 σ Y ~ N(?, )
2 y 2

n

平均数标准化:u = U ~ N(0,1)

σ

y ?? n

标准误差( (3)标准误差(standard error of mean) )
即平均数的标准误差 σ
y

(σ y = σ

n)

①意义:反映了 Y 抽样误差的大小,即精确度的高低,也 反映了 Y 代表μ的可靠性。 ②性质:和总体标准差σ成正比,而与样本含量n的平方根
n成反比。

某一总体σ 一定,所以只有增加样本含量才可以降低标 准误差。

设有6个变量组成的总体,它们是: 例:设有6个变量组成的总体,它们是:

y1 = 11, y2 y4
= 15,

= 16 , = 16 ,

y3 y6

= 12 , = 14。

y5

现从这个总体中每次抽取两个变量 组成一个样本,每抽一个数字, 组成一个样本,每抽一个数字,记 下后放回, 36个样本 结果下表。 个样本, 下后放回,共36个样本,结果下表。

从原总体计算得:

∑ yi
? =
i =1

N

N
N

11+16 +12 +15 +16 +14 = = 14 6 (


σ
2

yi2 ? i =1 N



N

yi ) 2

=

i =1

N

84 2 112 +16 2 +12 2 +15 2 +16 2 +14 2 ? 6 = = 113 6

σ = 113

样本平均数抽样分布总 体的平均数及其标准误 :

?y σ
2 y

∑ fy = 504 = 14 =
N

∑ fy =

2

?

36 ( ∑ fy ) 2 N N =

504 2 7122 ? 36

36 = 11 / 6

σ y = 11 / 6
比较两个总体得: ? = ? y = 14 ;

σy =

σ

11 / 3 = = 11 / 6 n 2

2、标准差未知时的样本平均数的分布 -t分布(t-distribution) 分布( distribution)

σ未知时,用s代σ,即sy = s

n 代σy = σ

n,

y ?? y ?? 标准化变量u = 变为u = σ n s n y ?? y ?? 不服从正态分布,令tdf = , s n s n t变量具有的分布称为t分布 自由度df = n ?1

(1)t分布的概率密度函数

f (t ) =

1 Γ [( df + 1) / 2 ] t (1 + ) Γ ( df / 2 ) df π df
2

?

df + 1 2

, ?∞ < t < +∞

(2)t分布的平均数和标准差: 分布的平均数和标准差:

?
σ
t

t

= 0 ( df
=

> 1)
> 2)

df ( df df ? 2

(3) t分布曲线的特点
(P70图4-3) t分布受自由度 自由度的制约,每一个 自由度 自由度都有一条t分布曲线。 t分布密度曲线以t=0为中心, 以 为中心, 两边对称,且在t=0时,分布密 两边对称 度函数取得最大值。 与标准正态分布曲线相比,t分布 与标准正态分布曲线相比 曲线顶部略低,两尾部稍高而平。df越小这种趋势越明显。 df越大,t分布越趋近于标准正态分布。当n>30时,t 分布 与标准正态分布的区别很小。 不同自由度的t 不同自由度的t分布

(4) t分布概率分布函数

Fα (df ) = P(t <tα ) = ∫ t


?tα

P(t ≥ tα ) = P(t ≤ ?tα ) = ∫
2 2

?∞

f (t)dt
f (t)dt =1? ∫
2



?∞

?∞

f (t)dt

P( t ≥ tα ) = P(?∞ < t ≤ ?t α ) + P(t α < t ≤ +∞) = 2P(?∞ < t ≤ ?t α )
2

= 2∫

?tα
2

?∞

f (t)dt
2

2倍左尾概率 2倍右尾概率

= 2P(t α < t ≤ +∞) = 2[1? ∫ 2 f (t)dt]
?∞ tα

= 2[1? Fα (df ) ] t
2



两尾概率

分布表(附表4 (5)查t分布表(附表4) 对于不同自由度下t分布的概率及其对应的临界ta 值已编制成附表4,即t分布的分位数表。该表第一 列为自由度df,表头为概率值 概率值,表中数字即为临界 概率值 ta值。 例如,当df=15时,查附表4得两尾概率 两尾概率等于0.05 两尾概率 的临界t值为=2.131,其意义是 其意义是: 其意义是 P(-∞<t<-2.131)=P(2.131<t<+∞)=0.025; P(-∞<t<-2.131)+P(2.131<t<+∞)=0.05。

样本方差的分布(二)样本方差的分布-χ2分布
设有一平均数为μ、方差为σ2的正态总体。现从此 总体中独立随机抽取n个随机变量y1、y2、...yn, 并求出其标准正态离差:

u1 =

y1 ? ?

σ

, u2 =

y2 ? ?

σ

,L, un =

yn ? ?

σ

个相互独立的标准正态离差的平方和为: 记这n个相互独立的标准正态离差的平方和为:
n n

χ = u + u2 +L+ un = ∑ui = ∑(
2 2 1 2 2 2 i=1 i=1

yi ? ?

σ

)2 =

(yi ? ?)2 ∑
i=1

n

σ2
2

分布,记为: 它服从自由度为n的χ2分布,记为:

(yi ? ?)2 ∑
i=1

n

σ

2



(n)

代替总体平均数μ 若用样本平均数 y代替总体平均数μ,则随机变量

χ2 = i=1

(yi ? ?)2 ∑

n

σ

2

=

(yi ? y)2 ∑
i=1

n

σ

2

=

(n ?1)s2

σ2

服从自由度为n-1的χ2分布,记为:

(n ?1)s2

σ

2

~

χ

2

(n?1)

S2分布的平均数和标准差: 分布的平均数和标准差:

?

s

2

= σ

2



s

2

= σ

2

2 df

χ2 分布密度曲线是随自由度不同而改变的一组曲线。随自 由度的增大,曲线由偏斜渐趋于对称;df≥30时,χ2 分布 接近正态分布。χ2≥0,即χ2 的取值范围是[0,+∞)。

附表6 附表6是 χ2 分布的上侧(右侧)临界值。 如: 查自由度为df=9,概率α=0.05的值 16.919。 含意就是df=9时大于16.919的概率为0.05, 写作P( χ2 ≥16.919)=0.05 ;但若求下侧临界值, 则查9自由度行与概率ɑ=1-0.05=0.95列,得 χ2 =3.325
2 , 临界值 为:χdf ,α 自由 df下 α的上侧 度

          下侧 界 临 值为 χdf ,1?α : 2

二、从两个正态总体中抽取的样本统计量的分布
假定有两个正态总体,从 第一个总体中随机抽取含 量为n1的样本,并独立地从 第二个总体中抽取含量为n2 的样本。求出 y1 ,s1和 y2,s2. 研究 y1 ± y2 和 s1 布情况。
2

μ, 1 1σ

?2 ,σ2

s

2 2

的分

y1, s1

y2 ,s2

标准差已知时, 1、标准差已知时,样本平均数差的分布
根据公式推导得: 根据公式推导得:

?( y ? y ) = ?1 ? ?2;σ ( y ? y ) =
1 2 1 2

σ

2 1

n1

+

σ

2 2

n2
σ 22
n2

如果两个总体都是正态分布,则( y1 ? y2 ) 的分布也是 如果两个总体都是正态分布, 正态,( 正态,(y1 ? y2)~ N [ ( ?1 ? ?),( n + 2 1 标准化得标准正态u: 标准化得标准正态 : ( y1 ? y2 ) ? (?1 ? ? 2 ) u= 2 2
σ1
n1 +

σ 12

)]

σ2
n2

U ~N( 0,1)分布。 分布。 ( , 分布

2、标准差未知但相等时,样本平均数差的分布 标准差未知但相等时, σ1与σ2未知,用两样本合并后的方差S2代替σ2:
( y1 ? ?1)2 ∑ n1 ?1 ( y2 ? ?2 )2 ∑ n2 ?1 ?∑( y1 ? ?1)2 = S12 (n1 ?1)
2 ?∑( y2 ? ?2 )2 = S2 (n2 ?1)

S12 =
2 S2 =

?1,σ 2

?2 ,σ 2

? S2 =

( y1 ? ?1)2 + ∑( y2 ? ?2 )2 ∑ n1 ?1+ n2 ?1

y1 = ?1

y2 = ?2

2 S12 (n1 ?1) + S2 (n2 ?1)     = n1 + n2 ? 2

σ2 s = n1
2 1

σ2 s = n2
2 2

tn1+n2 ?2 =

( y1 ? y2 ) ? (?1 ? ?2 )

(n1?1 s + (n2 ?1 s ) )
2

2 2

(n1 ?1) + (n2 ?1)

1

1 1 ×( + ) n1 n2

上式分母为平均数差的标准误,记为:S n1与n2都等于n时,简化为:

y1 ? y2

t2n?2 =

( y1 ? y2 ) ? (?1 ? ?2 )

s +s
2 1

2 2

n

两个样本方差比的分布3、两个样本方差比的分布-F分布
从两个平均数和方差分别为(μ1,σ12)( μ2,σ22)的两个正 态总体中,抽出含量分别为n1、n2 的样本,并分别求出它们 的样本方差s12和 s22。标准化的样本方差之比称为F。

Fdf1,df2 = s1 2
2

σ s σ
2

2

1 2 2

F分布不对称,它是向右倾斜的。F取值区间为 o, 分布不对称,它是向右倾斜的。 取值区间为[o ,F曲线的形状仅决定于 曲线的形状仅决定于df ∞),F曲线的形状仅决定于df1和df2。F分布在一定 区间的概率查附表7 区间的概率查附表7。 如查df =4, =20, =4的 如查df1=4,df2=20 和 df1=20,df2=4的F值。 =14.02。 得:F 4,20,0.01=4.43 ; F 20,4,0.01=14.02。 20, 20,

但若查F 20, 但若查F 4,20,0.99 ,即求下侧临界值 ),用下面公式求 用下面公式求: (F ≤ F1-ɑ),用下面公式求:

F

4,20,0.99 20,

= 1/14.02 = 0.07

y2 ? y1 ( x ? x1 ) + y1 线性内插法: 线性内插法: y = x2 ? x1

附表7 查F分布表(附表7) 自由度df1, df2下,α的上侧临界值为:Fdf1,df2 ,α

       下侧临 界值为:Fdf1,df2 ,1?α =1/ Fdf2 ,df1,α
一个df值没有) df值没有 直线内插法(一个df值没有) F ,17,0.05从 表 中 接 不 , 以 查 附 7 直 查 到 可 先 12

F ,15,0.05 = 2.475; F ,20,0.05 = 2.278 计 : , 算 12 12 17 ?15 F ,17,0.05 = (2.278 ? 2.475) + 2.475 = 2.396 12 20 ?15 两个df值都没有 两个df值都没有 df

F ,17,0.05从 表 中 接 不 , 以 查 附 7 直 查 到 可 先 14 F ,15,0.05, F ,20,0.05, 15,15,0.05, F ,20,0.05然 求 值 F 后 均 12 12 15


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