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基本不等式应用



基本不等式应用 应用一:求最值 例 1:求下列函数的值域 1 (1)y=3x 2+ 2 2x 1 (2)y=x+ x

解题技巧: 技巧一:凑项 例 1:已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

技巧二:凑系数 例 1. 当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值

技巧三: 分离 例 3. 求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.

1

x 2 ? 3x ? 1 , ( x ? 0) (1) y ? x

(2) y

? 2x ?

1 ,x ?3 x ?3

(3)

y ? 2sin x ?

1 , x ? (0, ? ) sin x

2.已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ?

x(1? x) 的最大值.;

3. 0 ? x ?

2 ,求函数 y ? 3

x(2 ? 3x) 的最大值.

条件求最值

2

a b 1.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是

.

变式:若 log 4 x ? log 4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

2:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

变式: (1)若 x, y ? R 且 2 x ? (2)已知 a, b, x, y ? R
?

?

y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y

且 a ? b ? 1 ,求 x x y

? y 的最小值

应用二:利用基本不等式证明不等式

3

1.已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a

2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca

2.正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

3.已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?

?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

应用三:基本不等式与恒成立问题 例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

4

线性规划常见题型及解法 一、求线性目标函数的取值范围

?x ? 2 ? 例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 , 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 ?x ? y ? 2 ?
A、 [2,6] B、 [2,5] C、 [3,6] D、 ( 3,5]





y 2

B A

y =2 x x + y =2

O
二、求可行域的面积

2 x=2

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 例 2 、 不 等 式 组 ?x ? y ? 3 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ?y ? 2 ?
A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大

y

x+y – 3 = 0 M A
三、求可行域中整点个数 例 3、 满 足 |x|+ |y|≤ 2 的 点 ( x, y) 中 整 点 ( 横 纵 坐 标 都 是整数)有( ) A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个

B

y =2

O

C x 2x + y – 6= 0 =5

y

O
四、求线性目标函数中参数的取值范围

x

?x ? y ? 5 ? 例 4、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ?x ? y ? 5 ? 0 , 使 z=x+ay(a>0) ?x ? 3 ?
取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ,则 a 的 值 为 A、 - 3 B、 3 C、 - 1 D、 1
5

y x+y=5

x–y+5=0





O

x=3 x

五、求非线性目标函数的最值

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 例 5 、已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
最小值分别是( ) A、 13, 1 B、 13, 2 C、 13,

,则 z = x + y 的 最 大 值 和

2

2

y
2 5 5

4 5

D、

13 ,

A

O x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0
六、求约束条件中参数的取值范围 例 6、 已 知 |2x- y+ m|< 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 ( 0,0) 和 ( - 1,1) ,则 m 的取值范围是 ( ) y A、 ( -3,6) B、 ( 0,6) C、 ( 0,3) D、 ( -3,3)

x 2x + y - 2= 0 =5

2x – y + 3 = 0 2x – y = 0

O

七·比值问题

?x-y+2≤0, y ? 例 已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1, 则 的取值范围是( x ? ?x+y-7≤0,
9 (A)[ ,6] 5 (C) (-≦,3]∪[6,+≦) 9 (B) (-≦, ]∪[6,+≦) 5 (D)[3,6]

).

6



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