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线性规划期末试题及答案



《线性规划》试题 一.单项选择题(每小题 2 分,共 20 分) 1.在有两个变量的线性规划问题中,若问题有唯一最优解,则( ) A.此最优解一定在可行域的一个顶点上达到。 B.此最优解一定在可行域的内部达到。 C.此最优解一定在可行域的一条直线段边界上达到。D.此时可行域只有一个点。 2.设有两个变量的线性规划模型的可行域的图如下,若目标函数只在点处达到最优值,则 此目标函数可

能是( ) A. z ? 2 x1 ? x2 B. z ? x2 C. z ? 5x1 ? x2 D. z ? x1 ? 8x2

3.若线性规划模型有可行解,则此线性规划( ) 基可行解必唯一。基可行解有无穷多个。基可行解个数必有限。基可行解都是最优解。 4.任何一个线性规划模型的可行解是( ) A. 一个无界集合。B.是一个闭多面凸集。C.是一个空集。D.是一个无边界的集合 5.设有下面线性规划问题有最优解,则( )

min f ? CX s.t. AX ? b X ?0
A. 此目标函数在可行域上必有下界 C. 此目标函数在可行域上必有上界和下界 6.设有线性规划模型 B.此目标函数在可行域上必有上界 D.此目标函数在可行域上必无下界

min f ? 3x1 ? x2 ? x3

x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? 6
s.t.

2 x1 ? 3x 2 ? x3 ? 6 3x1 ? 4 x 2 ? 7 xi ? 0, i ? 1,2,3,4
)是一组对应于基的基变量 B. x1 , x2 , x3 C. x1 , x3 D. x2 , x3 , x4

则( A. x1 , x 2

7.设有线性规划模型

max f ? CX s.t. AX ? b X ?0
则它的对偶线性规划的目标函数是( A. max g ? CX B. min g ? Cb ) C. min g ? Ub D. max g ? CX

8.设有两个对偶的线性规划问题的模型,下面说法正确的是( ) A.一个模型有可行解且目标函数在可行集上无界,另一个模型有可行解。 B.一个问题有可行解且目标函数在可行集上有界,但另一个问题无可行解。 C.一个问题有可行解且目标函数在可行集上无界,另一个模型无可行解。

D.两个问题都有可行集,但目标函数在可行集上都无界。 9.下列有关运输问题的陈述不正确的有( ) A.对平衡的运输问题来说,一定存在可行解。 B.对不平衡的运输问题来说,可能不存在最优解 C.若对一外运输问题来说存在最优解,则可断定此运输问题一定是平衡运输问题 D.若地一个运输问题来说存在可行解,则可断定此运输问题一定是平衡运输问题 10.下列图形不存在闭回路的有( )

B1 A1
A2

B2

B3

A3
二.填空题(每小题 2 分,共 20 分) 11. 对于线性规划模型, 为问题的最优解。 12.下列线性规划模型

的可行解称

min f ? ? x1 ? x2

? 2 x1 ? x 2 ? 2
s.t.

x1 ? x 2 ? 0 x1 ? 0, x 2 ? 0

的标准型是

。 13.设有线性规划模型

min f ? CX
s.t.

AX ? ? x j p j (其中 p j 为矩阵 A 的第 j 列)
j ?1

n

X ?0
则 称为基(阵) 。 14.设有线性规划模型

(秩(A)=m=A 的行数)

min f ? CX

s.t. AX ? ? x j p j ? b, ( p1 , p2 ,? ? ?, pm ) 为矩阵 A 的基阵。
j ?1

n

X ?0
称为基可行解。 15 . 设 标 准 线 性 规 划 模 型 非 基 变 量 的 下 标 集 是 R , 典 式 中 的 目 标 函 数 为

min f ? f 0 ? ? ? j x j ,则当所有检验数
j?R

时,对应的基可行解 X 为

0

最优解。 16. X 是线性规划模型
0

min f ? CX s.t. AX ? b X ?0
的最优基可行解,对应的基阵为 B,则 U 的最优解。 17.设 X 是线性规划模型
0

0

?

是其对偶线性规划模型

min f ? CX s.t. AX ? b X ?0
的最优基可行解, U 是其对偶线性规划模型的最优解,则 X 与 U 的关系是 。 18.对于运输问题的一个基可行解,设 xkl 为一非基变量,并设从 xkl 出发基变量为其 余顶点的闭回路为:
0
0

0

xkl , xkq1 , x p1q1 , x p1q2 ,? ? ?, x pl ql , x pl l
还知,该闭回路上偶序顶点对应运价及奇序顶点对应的运价,则 xkl 的对应的检验数 为 。 19.设运输问题的数据如下表:

用左上角法求得初始方案为
0 0 20.已知: x 0 ? ( x1 ,? ? ?, xn ) 是 Ax ? b,0 ? x ? d 的基可行解,若

。 ,

则称 x j 为相应的第一类非基变量,若 非基变量。 三.计算题(一) (每小题 10 分,共 20 分) 21.设有两个变量的线性规划模型

,则称 x j 为相应的第二类

max f ? x1 ? x 2
s.t.

2 x1 ? 7 x 2 ? 21 7 x1 ? 2 x 2 ? 21 x1 ? 0, x 2 ? 0

用图解法求其最优解。 22.用单纯形方法求解下列线性规划问题。

m i nf ? ?3x1 ? 4 x2

x1
x2

? x3
? x4

=5 =2

3x1 ? 4 x2

? x5 =12

xi ? 0, (i ? 1,2,3,4,5)
其中可选 x3 , x4 , x5 为一组初始基变量。 四.计算题(二) (15 分) 23.利用西北角法求下列运输问题的初始方案

B1 A1
A2 x11
2 1 8

B2

B3
9 3 4

B4
10 4 2

x12 x 22

x13 x 23 x33
4

x14 x 24
34

7 2 5

9 5 7

x 21

A3

x31
3

x32
8

6

五.应用题(15 分) 24.建立下面问题的线性规划模型(不要求求解) 有两个水果生产基地 A,B,往三个城市 X,Y,Z 调运水果,设 A 基地需要调运的水 果有 20 吨,B 基地需要调运的水果有 11 吨,设 X,Y,Z 三城需要水果的数量分别是 17 吨, 11 吨,3 吨,已知每吨运费如下表:

问如何安排调运,使得运费最少?

六.证明题(10 分) 25.应用对偶理论证明下面线性规划问题有最优解。

max Z ? 5x1 ? 9 x2

x1 ? 2 x2 ? 16
s.t.

5 x1 ? 3x2 ? 25 x1 ? 0, x2 ? 0

参考答案 一.单项选择题。 1.A 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B,D 7.C 8.C 9.B 10。 注:6。有两个答案, 7。题中 min 应改为 max 10 题有误,没有正确答案 二.填空题: 11.在可行域上使目标函数达到最优值(最大值或最小值)

12. S.t.

? m i nf ? ? x1 ? x 2 ? ? x3 ? 2 ? 2 x1 ? x 2 ? ? x4 ? 0 x1 ? x 2 ? ? ? x 2 ? 0, x3 ? 0, x 4 ? 0 x1 ? 0, x2

13.矩阵 A 的任意一个 m 阶非奇异子方阵 14 . 因 ( p1 , p2 ,? ? ?, pm ) 为 A 的 一 个 基 阵 , 则 方 程

?x
j ?1

m

j

pj ? b 有唯一解

0 0 0 0 0 0 x10 , x 2 ,? ? ? x m , 故 X ? x1 , x 2 ? ? ? x m ,0,? ? ?,0 为原(LP)的一个解, 称之为基解,

若进一步还有 X ? 0 ,则称 X 为(LP)的基可行解
0
0

15. ? 0或非正 16. C B B 17. CX
0

?1

? U 0b

18. ?kl ? u k ? vl ? ckl 其中 cij 为顶点 xij 处对应的运价,且有

uk ? vq1 ? ckq1 , u p1 ? vq1 ? c p1q1 , u p1 ? vq2 ? c p1q2 ,? ? ?, u pl ? vql ? c pl ql , u pl ? vl ? c pl l

注:可令 u k =0 解之 19.
0 20. x 0 j ? 0, ( j ? R1 ), x j ? d j ( j ? R2 )

21.



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