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简单线性规划(maomqo)(2)



y

o

x

第二节

可行域上的最优解

作出不等式组
? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

表示的平面区域

y
A: (5.00, 2.00) B: (1.0

0, 1.00) C: (1.00, 4.40)

5

C

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?
x-4y+3=0

A

B
O
1 x=1 5

3x+5y-25=0

x

问题1:x 有无最大(小)值? 问题2:y 有无最大(小)值? 问题3:2x+y 有无最大(小)值?

答案

有关概念
由x,y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x, y 的约束条件。关于x,y 的一次不等式或方程组 成的不等式组称为x,y 的线性约束条件。欲达到 最大值或最小值所涉及的变量x,y 的解析式称为 目标函数。关于x,y 的一次目标函数称为线性目 标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值问题称为线性规划问题。满足线性 约束条件的解(x,y)称为可行解。所有可行解 组成的集合称为可行域。使目标函数取得最大值 或最小值的可行解称为最优解。

例3:某工厂生产甲、乙两种产品。已知生产甲种产品1t需 耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t、生产乙种产品1t需耗A 种矿石4t、B种矿石4t、煤9t、每1t甲种产品的利润是600 元,每1t乙种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产 品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超 过200t、煤不超过360t。甲、乙两种产品应各生产多少 (精确到0。1t)能使利润总额达到最大?
分析:将已知数据列成下表: 消 耗 产品 资源 量 A种矿石(t) B种矿石(t) 煤(t) 利润(元) 甲产品
(1t)

乙产品
(1t)

资源限额
(t)

10
5 4 600

4
4 9 1000

300
200 360

消 耗 资源

产品 量

甲产品(1t) 10 5 4

乙产品(1t) 4 4 9

资源限额(t) 300 200 360

A种矿石(t) B种矿石(t) 煤(t)

利润(元)

600

1000

解:设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt,利润总额为z元,那么: 10x+4y≤ 300 5x+4y≤ 200 4x+y≤ 360

x≥ 0
y≥ 0

目标函数为: Z=600x+1000y

作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域, 寻找目标函数最优解。

解线性规划问题的步骤:
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域; (2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中,利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线; (3)求:通过解方程组求出最优解; (4)答:作出答案。

几个结论:
1、线性目标函数的最大(小)值一般 在可行域的顶点处取得,也可能在边界 处取得。 2、求线性目标函数的最优解,要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数。

例4:要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢 板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下所示:
规格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板

A规格 2

B规格 1

C规格 1

1 2 3 今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块,问各截这 两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少。 解:设需截第一种钢板 x张,第二种钢板y张, 则: 目标函数为:z=x+y 作出可行域,寻找最优解。 2x+y≥ 15 X+2y≥ 18 X+3y≥ 27 x≥ 0

y≥ 0

[练习]解下列线性规划问题:
1、求z=2x+y的最大值,使式中的x、y满足约束条件:

?y ? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?

2、求z=3x+5y 的最大值和最小值,使式中的x、y满 足约束条件:

?5 x ? 3 y ? 15 ? ?y ? x ?1 ?x ? 5 y ? 3 ?

小结:
解线性规划问题的步骤:
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域;
(2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中,利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线;

(3)求:通过解方程组求出最优解;
(4)答:作出答案。

几个结论:
1、线性目标函数的最大(小)值一般 在可行域的顶点处取得,也可能在边界 处取得。 2、求线性目标函数的最优解,要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数。



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