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12.8公开课---双曲线定义与标准方程定稿12.7



一导学







标:

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.

2.会求双曲线的标准方程.

认真阅读课本P42—P46页,并思考下列问题:

1、若把椭圆定义中的“和”改写为“差”,则点的轨迹是什么

曲 线?
2、双曲线定义中为什么要规定0<2a<|F1F2|=2c?

当 2a =2c时,动点P的轨迹是
当2a>2c>0时,动点P的轨迹是 3、建立适当的坐标系求双曲线的方程有哪些步骤? 4、如何判断双曲线的焦点位置?

;
.

二导疑
1、若把椭圆定义中的“和”改写为“差”,则点的轨迹是什么曲 线?

椭圆的定义:平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.

平面内与两定点F1、F2的距离的 的点的轨迹是什么呢?

差 等于常数2a

(几何画板)数学课件-第一定义法画双曲线.gsp

数学实验:
[1]取一条拉链; [2]如图把它固定在板 上的两点F1、F2; [3]拉动拉链(M)。 思考:拉链运动的轨迹 是什么?

二导疑
分别作出满足|PF1|-|PF2|=2a和|PF2|-|PF1|=2a的点的轨迹

②如图(B)

①如图(A)

|MF2|-|MF1|=2a 由①②可得:|PF1|-|PF2| | = 2a | (差的绝对值)

|PF1|-|PF2|= 2a

拉链画双曲线

上面两条合起来叫做双曲线

二导疑
双曲线定义: 平面上到两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值 等于常数 (小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
①两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c——焦距.
P

若没有这个 条件,轨迹 为双曲线的 一支

F

1

o

F

2

定义式

||PF1|-|PF2||=2a ( 2a<2c)

二导疑
双曲线定义: 平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值 等于常数 (小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. ①两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c——焦距.
注意 ||PF1|-|PF2||=2a ,|F1F2|=2c 且

2a<2c
F
1

P

2、思考 (1)若2a=2c,则轨迹是什么?
(2)若2a>2c,则轨迹是什么?

2c

o

F

2

答:(1) 以F1、F2 为端点,方向指向F1F2外侧的两条射线 (2) 轨迹不存在

||PF1|-|PF2||=2a ;|F1F2|=2c 练习1:求适合下列条件的点P(x,y)的轨迹 已知两个定点F1 (3,0),F2 (-3,0) . (1)到F1、F2距离之差等于5的点P的轨迹. 双曲线的一支 (2)到F1、F2距离之差的绝对值等于4的点P的轨迹.

双曲线
在x轴上,分别以F1 (3,0),F2 (-3,0) 为端点, 方向指向F1 F2 外侧的两条射线。

(3)到F1、F2距离之差的绝对值等于6的点P的轨迹

二导疑
3、建立适当的坐标系,求双曲线的方程有那些步骤?

①建系:以F1,F2所在的直线为X轴,线段

y

(x , y)
(c,0)
?

P

F1F2的中点为原点建立直角坐标系 ? F1(-c,0) O ②设点:设P(x , y),双曲线的焦距为2c(c>0), F1(-c,0),F2(c,0),常数=2a ③列式:|PF1|-|PF2|=±2a

x F
2

④化简:

即 ? x ? c? ? y ?
2 2

? x ? c?

2

? y ? ?2a
2

( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?2a

y

?

( x ? c) ? y
2

2

? ? ? ?2a ?
2

( x ? c) ? y
2

2

?

M
2

cx ? a ? ? a ( x ? c ) ? y
2 2

2

F1

O

F2

x

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

2c ? 2a, c ? a, 即

b x ?a y ? a b ,
2 2 2 2
2

c 2 ?2a ? b
2 2

2

因此c ? a ? 0
2 2

x a2 b2 说明: 1.焦点F1(-c,0),F2(c,0);

?

y2

? 1(a ? 0, b ? 0)

此即为焦点在 x轴上的双曲 线的标准方程

2.a,b无大小关系;

3.c2=a2+b2 , c最大.

二导疑
焦点在 x轴上
y
M

双曲线的定义及标准方程
焦点在 y轴上
y
M F2

定义;| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)

F1

o

F2

x
F1

x

F ( ±c, 0)

F(0, ± c)

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

(a ? 0, b ? 0)

(c ? a ? b )
2 2 2

y x ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

2

2

二导疑
4、如何判断双曲线的焦点位置在哪个轴上? 看x 2 ,

y

2

前的系数,哪个为正,则在哪个轴上

练习2:求下列双曲线的焦点坐标。

x2 y 2 1、 ? ?1 9 16
y x 2、 ? ?1 9 16
2 2

(?5,0) (0,?5) (0,?3) (?5,0)

1、化为标准方程,

2、判断焦点位置。

x2 y2 3、 ? ? ?1 4 5
4、y 2 ? 16 x 2 ? ?144 9

二导疑
x2 y2 ? 1( mn ? 0)是否表示双曲线 练习3: ? m n

?m ? 0 ? ?n ? 0

表示焦点在 x 轴上的双曲线;

?m ? 0 表示焦点在 y轴上的双曲线。 ? ?n ? 0
结论:当无法判断焦点位置时,可设双曲线的
x2 y2 ? ? 1( mn ? 0) 标准方程为 m n

二导疑
x2 y2 变式1: 如果方程 2 ? m ? m ? 1 ? 1表示双曲线,

求m的取值范围.

分析: 由 (2 ? m)(m ? 1) ? 0
变式2:

得?1? m ? 2

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线时,则m的取值 方程 2?m m?1

m ? ?1 或 m ? 2 范围_________________.

由 ? m)(m ?1)? 0 (2

三.例 题
例1:已知双曲线的两个焦点坐标为F1(-4,0), F2(4,0),双曲线 上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于6.

3 4 7 则 (1) a=___ , c =____ , b2 =____;
x2 y2 ? ?1 (2) 双曲线的标准方程为______________; 9 7

4或16 (3)双曲线上一点P, |PF1|=10,则|PF2|=_______,

9 若|PF1|=3, 则|PF2|=_________. |PF1|-|PF2|=±2a=±6

三.例 题
例2:已知双曲线的两焦点坐标F1(-4,0),F2(4,0),且双曲 线经过点P(4,6),求双曲线的标准方程。 解:点P(4,6)到两焦点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之差为

||PF1|-|PF2||= ?4 ? ?? 4 ??2 ? ?6 ? 0 ?2 ? 6 =10-6=4

即2a=4 ,a=2. 又∵c=4,∴ b 2 ∴ a2=4, b2=12. ∵双曲线的焦点在

? c ?a
2

2

=16-4=12

x2 y2 ∴双曲线的标准方程具有形式 2 ? 2 ? 1 . a b x2 y2 ? ?1 ∴双曲线的标准方程为 4 12

x 轴上;

四.导 练
1、求适合下列条件的双曲线的标准方程。
1)a ? 4, c ? 5 焦点在y轴上 2)焦点为 (?5,0),(5,0) 且 b ? 3

y 2 x2 1) ? ? 1 16 9 x2 y 2 2) ? ?1 16 9
(0, 2、 ? 4 ? k )
3、 ?6

y2 x ? 2、求双曲线 ? 1 的焦点坐标? k 4
2

3、双曲线 2 x ? y ? k 的焦距是6,求k.
2 2

x2 y2 k 4、方程 ? ? 1表示双曲线,求k的范围. ?1或k ? 3 3? k k ?1

五、课堂小结
||PF 1、双曲线的定义: 1|-|PF2||=2a,|F1F2|=2c,2a<2c . 2、双曲线的标准方程中 a, b, c 的关系: a>0,b>0,c2=a2+b2,c最大 2、怎么设双曲线的标准方程?
x2 y2 若焦点在x轴上,可设 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b 2 y x2 若焦点在y轴上,可设 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b 2 x y2 若无法判断焦点位置,可设 ? ? 1(mn ? 0) m n

3、求双曲线的标准方程 1)定型:确定焦点位置;

2) 定量:求a,b,c 的值

常用c2=a2+b2求值

4、判断双曲线焦点位置方法:x2与y2的系数的正负

双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系? 双曲线 椭 圆 定 义 |MF1|+|MF2|=2a ?2a ? 2c ? ||MF1|-|MF2||=2a ?2a ? 2c ?
方程
x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b y 2 x2 y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 相同点 2 2 a b a b 1.焦点坐标相同 F(±c,0) F(±c,0)

焦点

F(0,±c)

a.b.c的 a>b>0,a2=b2+c2 关系

焦距相等. 2.a, b, c满足 a>0,b>0,但a不一 勾股定理. 定大于b,c2=a2+b2
F(0,±c)

1.椭圆方程中"? ", 双曲线中"? "; 椭圆看分母大小, 不同点 双曲线看系数正负 2.判断焦点位置方法不同。 2 2 2 3.椭圆中a最大,a 2 ? b2 ? c 2 ; 双曲线中c最大, c ? a ? b .

1、P51习题1,2,5 2、预习P46——55双曲线的简单几何性质



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