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中档大题保分练(一)



中档大题保分练
中档大题保分练(一)
(推荐时间:50 分钟) 1? 1. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, m=(cos(x-B), cos B), n=? ?cos x,-2?, π? 1 f(x)=m· n,f? ?3?=4. (1)求角 B 的值; → → (2)若 b= 14,BA· BC=6,求 a 和 c 的

值. 解 1 (1)f(x)=m· n=cos x· cos(x-B)- cos B 2

1 =cos2xcos B+cos xsin xsin B- cos B 2 1 1 = (cos 2x· cos B+sin 2x· sin B)= cos(2x-B), 2 2 π? 1 ?2π ? 1 ∵f? ?3?=4,∴cos? 3 -B?=2, 又∵B 为△ABC 的内角,∴ π → → (2)由BA· BC=6,及 B= , 3 π 得 ac· cos =6,即 ac=12, 3 在△ABC 中,由余弦定理:b2=a2+c2-2accos B 得 π 14=a2+c2-2accos , 3 a2+c2=26,从而(a+c)2-2ac=26,(a+c)2=50, ∴a+c=5 2. 2π π π -B= 即 B= . 3 3 3

?a=2 2 ?a=3 2 ?ac=12 解方程组? ,得? ,或? . ?a+c=5 2 ?c=3 2 ?c=2 2
Sn? * 2. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点? ?n, n ?(n∈N )均在函数 y=2x-1 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; 4 (2)设 bn= ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求证:Tn<1. anan+1

(1)解

Sn 由条件 =2n-1,即 Sn=2n2-n. n

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1
2 =(2n -n)-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3.

又 n=1 时,a1=S1=1 适合上式, 所以 an=4n-3(n∈N*). 4 4 1 1 (2)证明 bn= = = - . anan+1 ?4n-3??4n+1? 4n-3 4n+1 ∴Tn=b1+b2+b3+?+bn 1 1 ?? 1 1 1 1 1 - 1- ?+? - ?+? - ?+?+? =?? 4n-3 4n+1 ? 5? ?5 9? ?9 13?

?

?

??

1 =1- . 4n+1 ∵n∈N*,∴- 1 <0, 4n+1

1 ∴1- <1,即 Tn<1. 4n+1 3. M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生.这 20 名 毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分),公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部 门”工作;180 分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任 “助理工作”. (1)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取 8 人,再从这 8 人中选 3 人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少? (2)若从所有“甲部门”人选中随机选 3 人,用 X 表示所选人员中能担任“助理工作” 的人数,写出 X 的分布列,并求出 X 的数学期望.



(1)用分层抽样的方法,

8 2 每个人被抽中的概率是 = . 20 5 根据茎叶图,有“甲部门”人选 10 人,“乙部门”人选 10 人, 2 所以选中的“甲部门”人选有 10× =4 人, 5 2 “乙部门”人选有 10× =4 人. 5 用事件 A 表示“至少有一名甲部门人选被选中”,

则它的对立事件 A 表示“没有一名甲部门人选被选中”, C3 4 13 4 则 P(A)=1-P( A )=1- 3=1- = . C8 56 14 13 因此,至少有一人是“甲部门”人选的概率是 . 14 (2)依题意,所选毕业生中能担任“助理工作”的人数 X 的取值分别为 0,1,2,3.
3 C0 1 6C4 P(X=0)= 3 = , C10 30 2 C1 3 6C4 P(X=1)= 3 = , C10 10 1 C2 6C4 1 P(X=2)= 3 = , C10 2 0 C3 6C4 1 P(X=3)= 3 = , C10 6

因此,X 的分布列如下: X P 0 1 30 1 3 10 2 1 2 3 1 6

1 3 1 1 9 所以 X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 30 10 2 6 5 4. 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠ABC =90° ,AB=PB=PC=BC=2CD,平面 PBC⊥平面 ABCD. (1)求证:AB⊥平面 PBC; (2)求平面 ADP 与平面 BCP 所成的二面角(小于 90° )的大小; PM (3)在棱 PB 上是否存在点 M 使得 CM∥平面 PAD?若存在,求 的值;若不存在,请 PB 说明理由. (1)证明 因为∠ABC=90° , 所以 AB⊥BC. 因为平面 PBC⊥平面 ABCD, 平面 PBC∩平面 ABCD=BC, AB?平面 ABCD, 所以 AB⊥平面 PBC. (2)解 如图,取 BC 的中点 O,连接 PO.

因为 PB=PC,所以 PO⊥BC. 因为平面 PBC⊥平面 ABCD, 平面 PBC∩平面 ABCD=BC,PO?平面 PBC, 所以 PO⊥平面 ABCD.

以 O 为原点,OB 所在的直线为 x 轴,在平面 ABCD 内过 O 垂直 于 BC 的直线为 y 轴, OP 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz. 不妨设 BC=2. 由 AB=PB=PC=BC=2CD 可得, P(0,0, 3),D(-1,1,0),A(1,2,0). → → 所以DP=(1,-1, 3),DA=(2,1,0). 设平面 ADP 的法向量为 m=(x,y,z). → ? DP=0, ?m· ?x-y+ 3z=0, 因为? 所以? → ?2x+y=0. ? DA=0, ?m· 令 x=-1,则 y=2,z= 3. 所以 m=(-1,2, 3). 取平面 BCP 的一个法向量 n=(0,1,0). m· n 2 所以 cos〈m,n〉= = . |m|· |n| 2 π 所以平面 ADP 和平面 BCP 所成的二面角(小于 90° )的大小为 . 4 (3)解 PM 1 在棱 PB 上存在点 M 使得 CM∥平面 PAD,此时 = . PB 2

取 AB 的中点 N,连接 CM,CN,MN, 1 则 MN∥PA,AN= AB. 2 因为 AB=2CD, 所以 AN=CD. 因为 AB∥CD, 所以四边形 ANCD 是平行四边形, 所以 CN∥AD. 因为 MN∩CN=N,PA∩AD=A, 所以平面 MNC∥平面 PAD. 因为 CM?平面 MNC, 所以 CM∥平面 PAD.



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