2015 年高中毕业年级第三次质量预测 理科数学
一、选择题: BACBD DCDCA DA
参考答案
二、填空题 13. a ? ?1 14. C,D 15. ? , 7 ? 4
?3 ?
? ?
16. (?
1 , ??) 4
三、解答题: 17.解: (Ⅰ)∵ 3a ? 2c sin A ∴由正弦定理得 3 sin A ? 2 sin C sin A ???2 分
sin C ?
∴
3 2
∵0°﹤C﹤180°∴C=60°或 120°????6 分 (2) ∵ S ?ABC ?
1 3 3 ab sin C ? 2 2
∴ ab ? 6 ???8 分 若 C=60°,由余弦定理 c ? a ? b - 2ab cosC 可得 a ? b =5????10 分
2 2 2
若 C=120°,可得 a ? b ? 1 ,无解
2 2
综上, a ? b =5
???12 分
18、解:(Ⅰ)由直方图知: T ? [3,9] 时交通指数的中位数为 5+1 ?
0.2 35 = ......2 分 0.24 6
T ? [3,9] 时交通指数的平均数
3.5 ? 0.1 ? 4.5 ? 0.2 ? 5.5 ? 0.24 ? 6.5 ? 0.2 ? 7.5 ? 0.16 ? 8.5 ? 0.1 ? 5.92 …..4 分
(Ⅱ)设事件 A 为“一条路段严重拥堵” ,则 P ? A? ? 0.1 ......5 分
则 3 条路段中 至少有两条路段严重拥堵的概率为:
1? 7 ?1? ? 3 ? 1 ? P ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? C3 ?? ? ? ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? 250
2 3
2
3
......7 分
∴3 条路段中至少有两条路段严重拥堵的 概率为 (Ⅲ)由题意,所用时间 x 的分布列如下表: x P 35 0.1 40 0.44 50 0.36 60 0.1
7 250
......8 分
则 Ex ? 35 ? 0.1 ? 40 ? 0.44 ? 50 ? 0.36 ? 60 ? 0.1 ? 45.1 ......11 分 ∴此人经过该路段所用时间的数学期望是 45.1 分钟 ......12 分
19、 (12 分) (Ⅰ)因为 DP ? 平面 ABCD ,所以 DP ? AC , 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 BD ? AC 又 BD
1分 2分
PD ? D,? AC ? 平面PBD.
5分
P E D
x
? AC ? DE. 因为 DE ? 平面PBD,
(Ⅱ)连接 OE, 在 ?PBD 中, EO // PD,
z
所以 EO ? 平面ABCD, 分别以 OA, OB, OE 所在直线 为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设 PD ? t , 则 A ?1,0,0 ? ,
C O B
y
A
t? ? B 0, 3,0 , C ? ?1,0,0 ? , E ? 0,0, ? , P 0, ? 3, t . 2? ?
?
?
?
?
6分
由 (Ⅰ) 知, 平面 PBD 的一个法向量为 n1(1,0,0) , 设平面 PAB 的一个法向量为 n ( , 2 x, y, z) 则?
? ?n1 ? AB ? 0 ? ?n2 ? AP ? 0
得?
? ?? x ? 3 y ? 0 ? ?? x ? 3 y ? tz ? 0
,令 y ? 1 ,得 n2 ? ? 3,1, ?
? ?
2 3? ?. t ? ?
8分
因为二面角 A ? PB ? D 的余弦值为
15 ,所以 cos n1 , n2 ? 5
3 15 , ? 5 12 4? 2 t
解得 t ? 2 3 或 t ? ?2 3 (舍去) ,所以 P 0, ? 3, 2 3 设 EC 与平面 PAB 所成的角为 ? .因为 EC ? ?1,0, ? ∴ sin ? ?| cos EC, n2 |?
?
?
? 3?,n ? ?
2
10 分
3,1,1 ,
?
2 3 15 ? 5 2 5
15 . 5
12 分
所以 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值为
20.解:(Ⅰ)由已知: b ? c ?
2 ,? a 2 ? b2 ? c 2 ? 4 ,
x2 y2 ? ?1 . 所以椭圆方程为 4 2
............4 分
(Ⅱ)由(1)知, C (?2, 0), D(2, 0) . 由题意可设 CM : y ? k ( x ? 2), P( x1 , y1 ) .
MD ? CD,? M (2, 4k ).
? x2 y 2 2 2 2 2 ?1 ? ? 由? 4 消去 y ,整理得: (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 4 ? 0 , 2 ? y ? k ( x ? 2) ?
?△? (8k 2 )2 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 4) ? 0
由求根公式知两根之积为
8k 2 ? 4 1 ? 2k 2
8k 2 ? 4 2 ? 4k 2 4k ?? 2 x1 ? ,即x1 ? .? y1 ? k ( x1 ? 2) ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ?点P( 2 ? 4k 2 4k , ). 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ........6 分
设 Q( x0 ,0), 且x0
? ?2 .
若以 MP 为直径的圆恒过 DP, MQ 的交点, 则 MQ ? DP,?QM ? DP ? 0恒成立 .
?8k 2 4k , ). QM ? (2 ? x0 ,4k ) , DP ? ( 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ? QM ? DP ? (2 ? x0 ) ? ?8k 2 4k ? 4 k ? ? 0, 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
.......10 分
即
8k 2 x0 ? 0 恒成立, ? x0 ? 0. 1 ? 2k 2
.......12 分
∴存在 Q (0, 0) ,使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP 、 MQ 的交点.
21. 证明:(Ⅰ) 令, x ? 1
f '? x ? ?
1 k ? x 2 x ?1
?
令
2 x ? 1 ? kx 2x x ?1
...................................................1 分
x ?1 ? t, t ? 0, x ? t 2 ? 1
2 则 2 x ? 1 ? kx ? 2t ? k t ? 1
?
?
2 当 k ? 1 时, 2t ? k t ? 1 ? 2t ? 2kt ? 2t ?1 ? k ? ? 0
?
?
即 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 [1, ??) 上单调递减,
? f ? x ? ? f ?1? ? 0 ,即原不等式恒成立.
(Ⅱ) k ? 1 由(1)知, ln x ? 于是 an ?
...................................................6 分
x ? 1 对 x ? 1 恒成立.
2 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 1 ? ln ? ln ? 2n ? 1? ? ln ? 2n ? 1? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 .....................10 分
所以 Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an
? ln 3 ? ln1 ? ln 5 ? ln 3 ? ... ? ln ? 2n ? 1? ? ln ? 2 n ? 1? ? ln ? 2n ? 1?
.................................................12 分
22.证明: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,∴∠D=∠CBE, ∵CB=C E,∴∠E=∠CBE,∴∠D=∠E;.....5 分 (Ⅱ)设 BC 的中点为 N,连接 MN, 则由 MB=MC 知 MN⊥BC, ∴O 在直线 MN 上, ∵AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M, ∴OM⊥AD,∴AD∥BC,∴∠A=∠CBE, ∵∠CBE=∠E,∴∠A=∠E,由(Ⅰ)知,∠D=∠E,∴△ADE 为等边三角形 ......10 分
? x2 y2 ? x ? 2cos ? C : ? ? ?1 23.解 :(Ⅰ) 曲线 1 ? 4 3 y ? 3 sin ? ? ?
曲线 C2 : ? ? sin?
? ? 2 ? ? sin? ? x2 ? y2 ? y ? 0
...... 5 分
(Ⅱ)设曲线 C1 上任意一点 P 的坐标为 2cos ? , 3 sin ? ,则点 P 到直线 l 的距离为
?
?
2cos ? ? 3 sin ? ? 8 12 ? 12 ? ?
其中 sin ? ?
7 sin ?? ? ? ? ? 8 2 8 ? 7 8 2 ? 14 ? 2 2
2 3 ,当 sin ?? ? ? ? ? 1 时等号成立. ,cos ? ? ......10 分 7 7
24 解: (Ⅰ){x x ? 1或x ? 4 }(2)- 3 ? a ? 0 (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3
x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? 或? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ?1或 x ? 4
......5 分
(Ⅱ)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立
? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立 ? ?3 ? a ? 0
......10 分