郑州市2015年高中毕业年级第三次质量预测理数

2015 年高中毕业年级第三次质量预测 理科数学
一、选择题： BACBD DCDCA DA

参考答案

二、填空题 13. a ? ?1 14. C,D 15. ? , 7 ? 4

?3 ?

? ?

16. (?

1 , ??) 4

三、解答题： 17．解： （Ⅰ）∵ 3a ? 2c sin A ∴由正弦定理得 3 sin A ? 2 sin C sin A ???2 分

sin C ?
∴

3 2

∵0°﹤C﹤180°∴C=60°或 120°????6 分 （2） ∵ S ?ABC ?

1 3 3 ab sin C ? 2 2

∴ ab ? 6 ???8 分 若 C=60°，由余弦定理 c ? a ? b - 2ab cosC 可得 a ? b =5????10 分
2 2 2

若 C=120°，可得 a ? b ? 1 ，无解
2 2

综上， a ? b =5

???12 分

18、解:（Ⅰ）由直方图知： T ? [3,9] 时交通指数的中位数为 5+1 ?

0.2 35 = ......2 分 0.24 6

T ? [3,9] 时交通指数的平均数
3.5 ? 0.1 ? 4.5 ? 0.2 ? 5.5 ? 0.24 ? 6.5 ? 0.2 ? 7.5 ? 0.16 ? 8.5 ? 0.1 ? 5.92 …..4 分
（Ⅱ）设事件 A 为“一条路段严重拥堵” ，则 P ? A? ? 0.1 ......5 分

则 3 条路段中 至少有两条路段严重拥堵的概率为：

1? 7 ?1? ? 3 ? 1 ? P ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? C3 ?? ? ? ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? 250
2 3

2

3

......7 分

∴3 条路段中至少有两条路段严重拥堵的 概率为 （Ⅲ）由题意，所用时间 x 的分布列如下表： x P 35 0.1 40 0.44 50 0.36 60 0.1

7 250

......8 分

则 Ex ? 35 ? 0.1 ? 40 ? 0.44 ? 50 ? 0.36 ? 60 ? 0.1 ? 45.1 ......11 分 ∴此人经过该路段所用时间的数学期望是 45.1 分钟 ......12 分

19、 （12 分） （Ⅰ）因为 DP ? 平面 ABCD ，所以 DP ? AC ， 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 BD ? AC 又 BD

1分 2分

PD ? D,? AC ? 平面PBD.
5分

P E D
x

? AC ? DE. 因为 DE ? 平面PBD，
（Ⅱ）连接 OE, 在 ?PBD 中， EO // PD,

z

所以 EO ? 平面ABCD, 分别以 OA, OB, OE 所在直线 为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设 PD ? t , 则 A ?1,0,0 ? ，

C O B
y

A

t? ? B 0, 3,0 , C ? ?1,0,0 ? , E ? 0,0, ? , P 0, ? 3, t . 2? ?

?

?

?

?

6分

由 （Ⅰ） 知， 平面 PBD 的一个法向量为 n1（1,0,0） ， 设平面 PAB 的一个法向量为 n （ ， 2 x, y, z） 则?

? ?n1 ? AB ? 0 ? ?n2 ? AP ? 0

得?

? ?? x ? 3 y ? 0 ? ?? x ? 3 y ? tz ? 0

，令 y ? 1 ，得 n2 ? ? 3,1, ?

? ?

2 3? ?. t ? ?

8分

因为二面角 A ? PB ? D 的余弦值为

15 ，所以 cos n1 , n2 ? 5

3 15 ， ? 5 12 4? 2 t

解得 t ? 2 3 或 t ? ?2 3 （舍去） ，所以 P 0, ? 3, 2 3 设 EC 与平面 PAB 所成的角为 ? .因为 EC ? ?1,0, ? ∴ sin ? ?| cos EC, n2 |?

?

?

? 3?，n ? ?
2

10 分

3,1,1 ，

?

2 3 15 ? 5 2 5
15 . 5
12 分

所以 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值为

20.解：(Ⅰ)由已知: b ? c ?

2 ,? a 2 ? b2 ? c 2 ? 4 ,

x2 y2 ? ?1 . 所以椭圆方程为 4 2

............4 分

（Ⅱ）由（1）知， C (?2, 0), D(2, 0) . 由题意可设 CM : y ? k ( x ? 2), P( x1 , y1 ) .

MD ? CD,? M (2, 4k ).

? x2 y 2 2 2 2 2 ?1 ? ? 由? 4 消去 y ,整理得: (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 4 ? 0 , 2 ? y ? k ( x ? 2) ?

?△? (8k 2 )2 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 4) ? 0
由求根公式知两根之积为

8k 2 ? 4 1 ? 2k 2

8k 2 ? 4 2 ? 4k 2 4k ?? 2 x1 ? ,即x1 ? .? y1 ? k ( x1 ? 2) ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ?点P( 2 ? 4k 2 4k , ). 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ........6 分

设 Q( x0 ,0), 且x0

? ?2 .

若以 MP 为直径的圆恒过 DP, MQ 的交点, 则 MQ ? DP,?QM ? DP ? 0恒成立 .

?8k 2 4k , ). QM ? (2 ? x0 ,4k ) , DP ? ( 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ? QM ? DP ? (2 ? x0 ) ? ?8k 2 4k ? 4 k ? ? 0, 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
.......10 分

即

8k 2 x0 ? 0 恒成立, ? x0 ? 0. 1 ? 2k 2
.......12 分

∴存在 Q (0, 0) ，使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP 、 MQ 的交点.

21. 证明：(Ⅰ) 令, x ? 1

f '? x ? ?

1 k ? x 2 x ?1

?
令

2 x ? 1 ? kx 2x x ?1

...................................................1 分

x ?1 ? t, t ? 0, x ? t 2 ? 1

2 则 2 x ? 1 ? kx ? 2t ? k t ? 1

?

?

2 当 k ? 1 时, 2t ? k t ? 1 ? 2t ? 2kt ? 2t ?1 ? k ? ? 0

?

?

即 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 [1, ??) 上单调递减,

? f ? x ? ? f ?1? ? 0 ,即原不等式恒成立.
(Ⅱ) k ? 1 由(1)知, ln x ? 于是 an ?

...................................................6 分

x ? 1 对 x ? 1 恒成立.

2 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 1 ? ln ? ln ? 2n ? 1? ? ln ? 2n ? 1? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 .....................10 分

所以 Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an

? ln 3 ? ln1 ? ln 5 ? ln 3 ? ... ? ln ? 2n ? 1? ? ln ? 2 n ? 1? ? ln ? 2n ? 1?
.................................................12 分

22.证明： （Ⅰ）∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠D=∠CBE， ∵CB=C E，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；.....5 分 （Ⅱ）设 BC 的中点为 N，连接 MN， 则由 MB=MC 知 MN⊥BC， ∴O 在直线 MN 上， ∵AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为 M， ∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE， ∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE 为等边三角形 ......10 分

? x2 y2 ? x ? 2cos ? C : ? ? ?1 23.解 ：(Ⅰ) 曲线 1 ? 4 3 y ? 3 sin ? ? ?
曲线 C2 : ? ? sin?

? ? 2 ? ? sin? ? x2 ? y2 ? y ? 0

...... 5 分

(Ⅱ)设曲线 C1 上任意一点 P 的坐标为 2cos ? , 3 sin ? ,则点 P 到直线 l 的距离为

?

?

2cos ? ? 3 sin ? ? 8 12 ? 12 ? ?
其中 sin ? ?

7 sin ?? ? ? ? ? 8 2 8 ? 7 8 2 ? 14 ? 2 2

2 3 ,当 sin ?? ? ? ? ? 1 时等号成立. ,cos ? ? ......10 分 7 7

24 解： （Ⅰ）{x x ? 1或x ? 4 }（2）- 3 ? a ? 0 （1）当 a ? ?3 时， f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? 或? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ?1或 x ? 4
......5 分

（Ⅱ）原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立 ? ?3 ? a ? 0
......10 分