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高一年级数学寒假作业(含答案)



高 一 年 级

巴东一中高一年级数学寒假作业(一)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},N={2,3},则( CU M)∩N=( A. ?2,3,4? B. ?2? C. ?3? D. ?0,1,2,3,4? ) C )

2.

已知函数 y ? f ( x) ,则该函数与直线 x ? a 的交点个数有( D A.1 个 B.2 个 C.无数个 D.至多一个

3. 如果奇函数 f ( x) 在区间 ?3,7? 上是增函数,最小值为 5,那么 f ( x) 在 ?? 7,?3? 上是( A ) A.增函数且有最大值-5 C.减函数且有最大值-5 B.增函数且有最小值-5 D.减函数且有最小值-5

4. f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数且单调递减,若 f (2 ? a) ? f (4 ? a) ? 0 ,则 a 的取值范围是( B ) A. a ? 1 B. a ? 3 C. a ? 1 D. a ? 3 ( B )

5.要得到函数 y=cos ( A.向左平移 C.向左平移

?
2

x ? x ? )的图象,只需将 y=sin 的图象 2 2 4
B.同右平移 D.向右平移

个单位 个单位

?

?
4

2

个单位 个单位 ( D )

?
4

6.若 sin ? ? cos? ?

1 , 则下列结论中一定成立的是 2
B. sin ? ? ? 2
2

A. sin ? ? 2 2 C. sin ? ? cos ? ? 1

D. sin ? ? cos ? ? 0

7.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1 ? ? x2 ? 21x 和 L2 ? 2x ,其 中 x 为销售量(单位:辆).若该公司这两地共销售 15 辆车,则能获得最大利润为( B ) A.120.25 万元 B.120 万元 C. 90.25 万元 D.132 万元 8.下列说法正确的个数是( C ) ①空集是任何集合的真子集;②函数 f ( x) ? 3 多个;④若 A A.0 个
x ?1

是指数函数;③既是奇函数又是偶函数的函数有无数

B ? B ,则 A B ? A
B.1 个 C. 2 个 D. 3 个

9.如图,在△ABC 中,设 AB =a, AC =b,AP 的中点为 Q,BQ 的中 点为 R,CR 的中点为 P,若 AP =ma+nb,则 m+n=( D ). A.1 B.

1 2

C.

2 3

D.

6 7

10.已知函数 f ( x ) 的定义域为 x x ? R, x ? 1 ,且 f ( x ? 1) 为奇函数,
2 当 x ? 1 时, f ( x) ? 2 x ? x ? 1 ,那么当 x ? 1 时, f ( x ) 的递减区间是

?

?



B



A. [ , ??)

5 4

B. [ , ??)

7 4

C. (1, ]

5 4

D. (1, ]

7 4

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 2 ? 5 ? 10 ,则
x y

1 1 ? ? _______1_____________. x y

12. 与 ? 2002 0 终边相同的最小正角是______1580_________. 13.用 a=(-1,2),b=(1,-1)来表示 c=(3,- 2)为___ a+4b _______. 14.已知 a ? ? x ( ) x ? x ? 0? ,则 f ( x) ? a( x

? ?

1 2

? ?

2

?2 x ?3)

的增区间为 _____ ( ??,1) __________.

15. 已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 ( x ? 1)( x ? 0) 2 ? ? x ? 2 x( x ? 0)

若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 3 个零点,则实数 m 的取值范围

是_________ (0,1) ______. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分. ) 16. (本题 12 分) (1)计算: 2
1 ? 1 2

1 log 2 4

? 8 ? ?? ? ? 27 ?

?

2 3

? lg

1 ? ( 2 ? 1)lg1 100

(2)已知 x 2 ? x

? 3 ,求

x 2 ? x ?2 ? 2 的值. x ? x ?1 ? 3

解: (1)原式= 2

log 2 2?2

2 ?2 ? [( )3 ] 3 ? log10?2 ? ( 2 ? 1)0 3

?

1 9 ? ? 2 ? 1 ? ?3 4 4
1 2 ? 1 2 2 ?1

(2) ( x ? x ) ? x ? x

? 2 ? 9 得 x ? x ?1 ? 7

( x ? x ?1 )2 ? x2 ? x ?2 ? 2 ? 49 得 x 2 ? x ?2 ? 47
原式=

47 ? 2 45 ? 7?3 4

17. (本题 12 分)已知 sin x ? cos x ?

1 ,且 0 ? x ? ? . 5

(1)求 sin x 、 cos x 、 tan x 的值. (2)求 sin x ? cos x 的值.
3 3

解: (1) (sin x ? cos x) ? 1 ? 2 sin x cos x ?
2

1 12 即sin x cos x ? ? , 又 ? 0 ? x ? ? , 25 25

? sin x ?

4 3 4 , cos x ? ? , tan x ? ? 5 5 3

(2) sin x ? cos x =
3 3

91 。 125

x?4 x ?1 18. (本题 12 分) 已知集合 A ? (2 ? 1)(2 ? 16) ? 0 与 B ? x m ? 1 ? x ? 3m ? 1 分别是函数 f ( x ) 的

?

?

?

?

定义域与值域. (1)求集合 A ; (2)当 A B ? B 时,求实数 m 的取值范围. 解: (1)由 (2x?4 ?1)(2x?1 ?16) ? 0 可化为

1 ? 2 x ?1 ? 16 8 则 ?3 ? x ? 1 ? 4 得 ?4 ? x ? 3
故集合 A ? x ?4 ? x ? 3

?

?

(2)

集合 B 为函数的值域? B ? ?

A B ? B?B ? A

? m ? 1 ? 3m ? 1 4 ? ? ? m ? 1 ? ?4 得1 ? m ? 3 ? 3m ? 1 ? 3 ?
4 3

故实数 m 的取值范围为 [1, ] 19. (本题 12 分)湖北省第十四届运动会纪念章委托某专营店销售,每枚进价 5 元,同时每销售一枚这 种纪念章需向荆州筹委会交特许经营管理费 2 元,预计这种纪念章以每枚 20 元的价格销售时该店一年 可销售 2000 枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚 20 元的基础上每减少一元则增加销售 400 枚,而每增加一元则减少销售 100 枚,现设每枚纪念章的销售价格为 x 元, x 为整数. (1)写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润 y (元)与每枚纪念章的销售价格 x (元)的函数关 系式(并写出这个函数的定义域 ); ... (2)当每枚纪念章销售价格 x 为多少元时,该特许专营店一年内利润 y (元)最大,并求出最大值. 解:(1)依题意 y ? ?

?[2000 ? 400 (20 ? x)]( x ? 7), 7 ? x ? 20, x ? N ? ?[2000 ? 100 ( x ? 20 )]( x ? 7), 20 ? x ? 40, x ? N ?

?? 400 [(x ? 16) 2 ? 81], 7 ? x ? 20, x ? N ? ? ∴y?? , 47 2 1089 ? 100 [( x ? ) ? ], 20 ? x ? 40 , x ? N ? ? 2 4 ?
定义域为 x ? N ? 7 ? x ? 40

?

?

?? 400 [(x ? 16) 2 ? 81], 7 ? x ? 20, x ? N ? ? (2) ∵ y ? ? , 47 2 1089 ? 100 [( x ? ) ? ], 20 ? x ? 40 , x ? N ? ? 2 4 ?
∴ 当 7 ? x ? 20 时,则 x ? 16 , ymax ? 32400 (元) 当 20 ? x ? 40 时,则 x ? 23 或 24, ymax ? 27200 (元) 综上:当 x ? 16 时,该特许专营店获得的利润最大为 32400 元.

20. (本题 13 分)已知函数 f ( x ) ? x ?
n

4 ,且 f (4) ? 3 . x

(1)判断 f ( x ) 的奇偶性并说明理由; (2)判断 f ( x ) 在区间 ? 0, ??? 上的单调性,并证明你的结论; (3)若对任意实数 x1 , x2 ?[1,3] ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? t 成立,求 t 的最小值. 解: (1) f (4) ? 4n ? 1 ? 3 即 4n ? 4,? n ? 1 ? f ( x ) ? x ? 函数定义域为 ( ??,0)

4 x

(0, ??) 关于原点对称

f (? x) ? ? x ?

4 ? ? f ( x) x

? f ( x ) 是奇函数
(2)任取 0 ? x1 ? x2 则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?

4 4 4 ? ? x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) x2 x1 x1 ? x2

0 ? x1 ? x2

? x2 ? x1 ? 0 , x1 ? x2 ? 0

? f ( x2 ) ? f ( x1 )

? f ( x ) 在区间 (0, ??) 上单调递增
(3)依题意只需 t ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) max 又 f ( x1 ) ? f ( x2 ) max ? f ( x ) max ? f ( x ) min ?

14 3

?t ?

14 3

? tm i n?

14 3

21. (本题 14 分)若非零函数 f ( x ) 对任意实数 x, y 均有 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ,且当 x ? 0 时 f ( x) ? 1. (1)求证: f ( x) ? 0 ; (2)求证: f ( x ) 为 R 上的减函数; (3)当 f (4) ?

1 1 2 时, 对 a ?[?1,1] 时恒有 f ( x ? 2ax ? 2) ? ,求实数 x 的取值范围. 16 4

解 (1)证法一: f (0) ? f ( x) ? f ( x) 即 f ( x)[ f (0) ? 1] ? 0 又 f ( x) ? 0

? f (0) ? 1
当 x ? 0 时, f ( x) ? 1, ? x ? 0

f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 1
故对于 x ? R 恒有 f ( x ) ? 0

则 f (? x) ?

1 ? (0,1) f ( x)

证法二: f ( x) ? f ( ? ) ? [ f ( )] ? 0
2

x 2

x 2

x 2

f ( x) 为非零函数

? f ( x) ? 0

(2)令 x1 ? x2 且 x1 , x2 ? R 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) , 又 x2 ? x1 ? 0 即 f ( x2 ? x1 ) ? 1 故

f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 又 f ( x ) ? 0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 )

故 f ( x ) 为 R 上的减函数 (3) f (4) ?

1 1 ? f (2 ? 2) ? f 2 (2) ? 故 f (2) ? , 16 4

则原不等式可变形为 f ( x 2 ? 2ax ? 2) ? f (2) 依题意有

x 2 ? 2ax ? 0 对 a ? [?1,1] 恒成立

? x2 ? 2 x ? 0 ?? 2 ? x ? 2 或 x ? ?2 或 x ? 0 ?x ? 2x ? 0
故实数 x 的取值范围为 (??, ?2]

?0?

[2, ??)

巴东一中高一年级数学寒假作业(二)
一、选择题 1.函数 f (x) ?

2 x2 ?lg(3 x 1 ? ) 1? x
B.( ? ,1)

的定义域为( B )

A.? ? ,1? 3

? 1 ? ? ?

1 3

C.(? , ??) D.( ?? , ? )

1 3

1 3

2.已知向量a, b 不共线, 且 AB ? ? a ? b , AC ?a ? ? b , 则点A、B、C 三点共线应满足( D ) A.? ? ? ? 2
x

B.? ? ? ? 1
x

C.?? ? ?1

D.?? ? 1 ( D)
x

1 ? , 0.2 ? 之间的大小关系 3.若0 ? x ? 1 ,则2 ,? 为 ? ? ?
x

?2?

x x x x x 1? x x ?1? x x ?1? ?1? A. 2 < ? 0.2 ? < ? ? ? B. 2 < ? ? < ? 0.2 ? C. ? ? < ? 0.2 ? < 2 D. ? 0.2 ? < ? ? < 2 ?2? ?2? ?2? ?2?

x

x

4.函数 f (x) ? 3 x? lo g ( 2? )x 的零点所在区间是( B ) A.( ? , ?2)

5 2

B.(-2, -1)

C.( ?1, ? )

1 2

D.(1, 2)

5.已知函数 f ( x) ? log a (2 x ? b ? 1)( a ? 0,a ? 1) 的图象如图所 示, 则a,b 满足的关系是( A ) y A.0 ? a C.0 ? b
?1

? b ?1 ? a ?1

B.0 ? b ? a D.0 ? a
?1

?1

?1
?1

?1

? b ?1

O

x

6.已知奇函数 f ( x ) 在[-1, 0]上单调 递减, 又? , ? 为锐角三角的两内角, 则 有( D )

?1

A. f (sin ? ? sin ? ) ? f (cos? ? cos ? ) B. f (sin ? ? cos ? ) ? f (cos ? ? sin ? ) C. f (sin ? ? cos ? ) ? f (cos ? ? sin ? ) D. f (sin ? ? cos ? ) ? f (cos ? ? sin ? ) 7.已知函数y= log 1 ( x ? 2 x ? 3) , 则函数的最值情 况为
2 2

( D)

A.有最小值-1,无最大值;B. 无最 小值,有最大值2 ;C.有最小值2,无最大值 ;D. 无最小值,有最大 值? 1 8.函数 y ? lg x 是( B ) A.偶函数,在区间(??, 0) 上单调递增 C.奇函数,在区间(0, ??) 上单调递增 9.已知函数 f ( x) ? x ? B.偶函数,在区 间(??, 0) 上单调递减 D.奇函数,在 区间(0, ??) 上单调递减

a 25 在 (a ? 0) 在(0 , a ] 上是减函数,在[ a , ? ?) 上是增函数,若函数 f ( x) ? x ? x x

[m , ? ?) (m ? 0) 上的最小值为10,则m 的取值范围是( A )

A.(0 , 5]

B.(0 , 5)

C.[5 , ? ?)

D.(5 , ? ?)

] 都成立, 则实数a 的 10. 已知定义在R 上的偶函数 f ( x ) 在[0, ??) 上是增函数, 且 f (ax ? 1) ? f ( x ? 2) 对任意x ? [ ,1
取值范围为(A ) A.?? 2,0? 二、填空题 11.得到 y ? cos(3 x ? ) B.?? 3,?1? C.?? 5,1? D.?? 2,1?

1 2

?
4

的图象, 则要将 y ? sin(3 x ? )

?
4

的图象 向左平移的最短距离 为

? 6

.

n x 与 y ? sin x 都为增函数的x 的范围是 12.当0≤x≤2 时,使得函数 y ? ta

? ?? ?0, 2 ? ? ?

og ( 9 x 8 ? ?) 13.已知函数 f (x) ?l

a 在[1, ??) 上为增函数, 则实数a 的取值范围为 x

?? 1,9?
1 3

. .

) 时 f ( x) ? 2x ?1 , 则 f (log 2 12) 的值为 14.已知偶函数 f ( x ) 是以2 为周期, 且当 x ? (0,1

15. 设函数 f ( x ) 的定义域为D, 若存在 非零实数t, 使得对于任意x ? M (M ? D) 有x ? t ? D 且 f ( x ? t ) ? f ( x) , 则称

f ( x) 在M 上的t 给力函数, 若定义域为[?1, ??) 的函数 f ( x) ? x2 为[?1, ??) 上的m 给力函数, 则m 的取值范围为

?2,???
三、解答题.

.

16.若集合M ? x | x 2 ? x ? 6 ? 0 , N ? ?x | ( x ? 2)( x ? a) ? 0? ,且 N ? M ,求实数a 的值; .解:M ? ?? 3,2? ①当a ? 2 时,N ? ?2? ,满足题意; ②当a ? 2 时,N ? ?2, a?,因为 N ? M ,则a ? ?3 . 综上所述:a ? 2或 - 3

?

?

(a 3 b ?1 ) 2 a 2 b 3 1 17.求值:1)lg 5(lg 8 ? lg1000) ? (lg 2 3 ) 2 ? lg ? lg 0.06 ;2) 6 6 a ? b5
.解: 1)原式= lg 5?3 lg 2 ? 3? ?

2

?

1

1

1

?

3 lg 2 ? lg 0.01
2

?

2

= 3?1 ? lg 2??1 ? lg 2? ? 3 lg 2 ? 2 = 3 ? 3 lg 2 ? 3 lg 2 ? 2
2 2

=1

2)原式=

a 3b 2 a 2b 3 a b
1 6 5 6

?

1

1

1

1

1

5

?

a 6b6 a b
1 6 5 6

?1

18.设函数 f ( x) 对于 x, y ? R 都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ,且x ? 0 时, f ( x) ? 0 , f (1) ? ?2 . (1)说明函数 f ( x) 是奇函数还是偶 函数? (2)探究 f ( x) 在[-3,3]上是否有最值 ?若有,请求出最值 ,若没有, 说明理由; (3)若 f ( x) 的定义域是[-2,2],解不等式: f (log 2 x) ? f (log 4 x ?4 ) ? 2 品…中&高* 解: (1)设 y ? x ? 0 ,有 f (0) ? 0 , 取 y ? ? x ,则有 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 0 ? f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x) 是奇函数 (2)设 x1 ? x 2 ,则 x 2 ? x1 ? 0 ,由条件得 f ( x 2 ? x1 ) ? 0

? f ( x 2 ) ? f ( x 2 ? x1 ? x1 ) ? f ( x 2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 )
? f ( x) 在R 上是减函数,在[-3,3]上也是减函数。

? f ( x) 当x=-3 时有最大值 f (?3) ;当x=3 时有最小值 f (3) ,由 f (1) ? ?2 ,? f (3) ? f (1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ? 3 f (1) ? ?6 ,
? f (?3) ? ? f (3) ? 6

? f ( x) 当 x ? ?3 时有最大值6 ;当 x ? 3 时有最小值? 6 .
(3)由 f ?1? ? ?2 , f ?x ? 是奇函数,所以 f ?? 1? ? ? f ?1? ? 2 原不等式就是 f ?log 所以 f ?? log
2

2

x? ? f log 4 x ?4 ? f ?? 1? ,

?

?

x? ? f ?? 1? ,由(2)知, f ?x ? 在?? 2,2?上是减函数

?? 2 ? log2 x ? 2 1 ? ?? 2 ? ?2 log2 x ? 2 ,解得 ? x ? 2 2 ?? log x ? ?1 2 ?
19.已知定义在?? ?,??? 的函数 f ( x) ,对任意x ? R ,恒有

f (x ?

?
2

) ? ? f ( x) 成立.

(1)求证:函数 f ( x) 是周期函数, 并求出它的最小正周 期T; (2) 若函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (A>0,? >0) 在一个周期内的图象如图所 示,求出 f ( x) 的解析式,写出它的对 称轴方程. 解: (1)证明:因为 f ? x ?

? ?

??

? ? ? f ?x ? ,所以 2?

?? ? f ?x ? ? ? ? ? f ? x ? ? ? f ?x ? ,即函数 f ?x ? 是周期函数,最小正周期T ? ? 2? ?
(2)T ?

2?

?

? ? ,所以? ? 2

由图象知, A ? 2 ,所以 f ?x ? ? 2 s in ?2x ? ? ? 又2 ?

?
3

? ? ? ? ,所以? ?

?
3

,所以 f ?x ? ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

??

?, 3?

由2 x ?

?
3

?

?
2

? k? , k ? Z ,解得 x ?

即对称轴方程是x ?

k ? ? (k ? Z ) 12 2

?

k ? ? ,k ? Z 12 2

?

20. 为了预防甲 型H1N1 流感, 某学校对教室用药薰 消毒法进行 消毒, 已知药物释 放 过程中,室内每立方 米空气中的 含药量y(毫克)与t 时间(小时)成正比,药物释 放完毕后, y 与t 之间的函数关 系 式为 y ? (

1 t ?a 根据 图中 ) (a 为常数)如下图所示, 16

提供的信息,回答下 列问题. (Ⅰ)从药物释放开始 ,求每 立方米空气中的含药 量y(毫克)与时间t(小时) 之间的函数关系式. (Ⅱ)据测定,当空气 中每立 方米的含药量降低 到0.25 毫克以 下时,学生方可进教 室,那么从 药物释放开始至少需 要经过多少 小时后,学生才可能 回到教室. 解: (Ⅰ)当0 ? t ? 0.1 时,设 y ? kt ,图象过点(0.1, 1) , 从而1 ? 0.1k,k ? 10. ? y ? 10t.

1 t ?a 1 ) 的图象过点(0.1, ? 0.1 ? a ? 0,a ? 0.1. 1) ,得1 ? ( ) 0.1? a , 16 16 1 所以,当t ? 0.1 时, y ? ( ) t ?0.1 . 16
又y ? ( 故每立方米空气中的 含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的 函数关系式为

(0 ? t ? 0.1) ?10t, ? y ? ? 1 t ?0.1 . ( ) , (t ? 0.1) ? ? 16
(Ⅱ)由 y ? (

1 t ?0.1 1 1 ? 2t ? 0.2 ? 1,t ? 0.6. ) ? 0.25 得( ) 2t ?0.2 ? , 16 4 4

故从药物释放开始至 少需要经 过0.6 小时后,学生才可能 回到教室 .

b ? 2x 21.已知定义在R 上函数 f ( x) ? 是奇函 数. a ? 2 x?1
(1)对于任意t ? R 不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立, 求k 的取值范围.
2 2

5 恒成立, 求t 的取值范围. 2 x ,求g ( x) ?0 的所有解 (3)若 g ( x) 是定义在R 上 周期为2 的奇 函数,且当x ? ( ?1,1) 时,g (x) ? f (x) ?
(2)若对于任意实数,m, x , f ( x) ? m2 ? 2tm ? t ? 解:(1)∵ f ( x) 为奇函数,即 f ?x ? ? 0 ∴b ? 1, f (? x) ? f ( x) ? 0 ,则a ? 2 ∴ f ( x) ?

1 ? 2x 1 1 ? x ? , 易证 f ( x) 在R 上单 调递减 x ?1 2 ? 2 2 ?1 2

由 f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 ) 得

t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 即k ? 3t 2 ? 2t 恒成立 1 1 1 1 又3t 2 ? 2t ? 3(t ? )2 ? ? ? ∴k ? ? 3 3 3 3 1 1 1 1 (2)由 f ( x) ? x ? 单减可知 f ( x) ? (? , ) 2 ?1 2 2 2 5 又 f ( x) ? m2 ? 2mt ? t ? 恒成立 2 1 5 ∴只需 ? m2 ? 2mt ? t ? 2 2
即m2 ? 2mt ? t ? 2 ? 0(m ? R) 恒成立 ∴4t 2 ? 4(t ? 2) ? 0 ,即t 2 ? t ? 2 ? 0 ∴t ? [?1, 2]

(3)∵ g ( x) 为奇函数 g (? 1) ? g (1)? 0 又g ( x) 的周期为2 ,∴ g (?1) ? g (?1 ? 2) ? g (1) ,∴g (?1) ? g (1) ? 0 当 x ? ( ?1,1) 时 g ( x) ? f ( x) ? x ?

1 1 ? ? x 为单调递减 2 ?1 2
x

∴g (0) ? 0 由g(x)的周期为2,?所有解为 x ? n(n ? Z )

巴东一中高一年级数学寒假作业(三) 一.选择题(共 13 小题) 1. (2011?重庆)设 U=R,M={a|a2﹣2a>0},则 CUM=( ) A.[0,2] B.(0,2) C.(﹣∞,0)∪ (2,+∞) D.(﹣∞,0]∪ [2,+∞) 考点: 补集及其运算.1444254 专题: 计算题. 分析: 根据已知中 M={a|a2﹣2a>0},我们易求出 M,再根据集合补集运算即可得到答案. 解答: 解:∵ M={a|a2﹣2a>0}={a|a<0,或 a>2}, ∴ CUM={a|0≤a≤2}, 即 CUM=[0,2] 故选 A 点评: 本题考查的知识点是集合的补集及其运算,在求连续数集的补集时,若子集不包括端点,则补集一 定要包括端点. 2. (2013?天津)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数 a 满足 ,则 a 的取值范围是( A.[1,2] B. C. ) D.(0,2]

考点: 奇偶性与单调性的综合.1444254 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 分析: 根据偶函数的定义将所给的式子化为:f(|log2a|)≤f(1) ,再利用偶函数的单调性列出关于 a 的不 等式求解. 解答: 解:∵ f(x)是定义在 R 上的偶函数,∴ , ∴ 可变为 f(log2a)≤f(1) ,即 f(|log2a|)≤f(1) ,

又∵ 在区间[0,+∞)上单调递增,且 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴ ,即 ,解得 ≤a≤2,故选 C.

点评: 本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用,易错处是忽略定义域内的单调性不同,即对称区间 单调性相反,注意自变量的取值范围,考查了学生的转化能力.

3. (2011?山东)函数 A. B.

的图象大致是(

) C. D.

考点: 函数的图象.1444254 专题: 作图题.

分析:

根据函数

的解析式,我们根据定义在 R 上的奇函数图象必要原点可以排除 A,再求

出其导函数,根据函数的单调区间呈周期性变化,分析四个答案,即可找到满足条件的结论. 解答: 解:当 x=0 时,y=0﹣2sin0=0 故函数图象过原点,可排除 A 又∵ y'= 故函数的单调区间呈周期性变化

分析四个答案,只有 C 满足要求 故选 C 点评: 本题考查的知识点是函数的图象,在分析非基本函数图象的形状时,特殊点、单调性、奇偶性是我 们经常用的方法. 4. (2011?广东)函数 f(x)= +lg(1+x)的定义域是( )

A.(﹣∞,﹣1) B.(1,+∞) C.(﹣1,1)∪ (1,+∞) D.(﹣∞,+∞) 考点: 函数的定义域及其求法.1444254 专题: 计算题. 分析: 根据题意,结合分式与对数函数的定义域,可得 ,解可得答案. 解答: 解:根据题意,使 f(x)=

+lg(1+x)有意义,

应满足

,解可得(﹣1,1)∪ (1,+∞) ;故选 C.

点评: 本题考查函数的定义域,首先牢记常见的基本函数的定义域,如果涉及多个基本函数,取它们的交 集即可. 5. (2013?山东)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(﹣1)=(



A.2 B.1 C.0 D.﹣2 考点: 函数奇偶性的性质;函数的值.1444254 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得 f(﹣1)=﹣f(1) ,运算求得结果. 解答: 解:∵ 已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(1+1)= ﹣2,故选 D. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性的应用,属于基础题. 6. (2013?福建)函数 f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( A. B. C. ) D.

考点: 函数的图象.1444254 专题: 作图题.

分析: 由题意可判函数为偶函数,可排除 C,再由 f(0)=0,可排除 B、D,进而可得答案. 解答: 解:由题意可知函数的定义域为 R, ∵ f(﹣x)=ln(x2+1)=f(x) ,∴ 函数为偶函数, 故可排除 C,由 f(0)=ln1=0,可排除 B、D 故选 A 点评: 本题考查函数的图象,涉及函数的奇偶性和函数值,属基础题. 7. (2013?安徽)已知 A={x|x+1>0},B={﹣2,﹣1,0,1},则(?RA)∩B=( ) A.{﹣2,﹣1} B.{﹣2} C.{﹣2,0,1} D.{0,1} 考点: 交、并、补集的混合运算.1444254 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 先利用一元一次不等式的解法化简集合 A,再求其在实数集中的补集,最后求集合 B 与 A 的补集 的交集即可. 解答: 解:∵ A={x|x+1>0}={x|x>﹣1},∴ CUA={x|x≤﹣1}, ∴ (?RA)∩B={x|x≤﹣1}∩{﹣2,﹣1,0,1}={﹣2,﹣1} 故选 A. 点评: 本题主要考查了集合的补集与交集运算,属于集合运算的常规题. 8. (2005?山东)下列大小关系正确的是( ) 3 0.4 A.0.4 <3 <log40.3 B. 0.43<log40.3<30.4 C. log40.3<0.43<30.4 D.log40.3<30.4<0.43 考点: 指数函数单调性的应用.1444254 专题: 常规题型. 分析: 结合函数 y=0.4x,y=3x,y=log4x 的单调性判断各函数值与 0 和 1 的大小,从而比较大小. 解答: 解:∵ 0<0.43<0.40=1,30.4>30=1,log40.3<log0.41=0 ∴ log40.3<0.43<30.4 故选 C 点评: 本题是指数函数与对数函数的单调性的简单应用,在比较指数(对数)式的大小时,若是同底的, 一般直接借助于指数(对数)函数的单调性,若不同底数,也不同指(真)数,一般与 1(0)比 较大小. 9. (2007?山东) 设 a∈ A.1,3 B.﹣1,1 , 则使函数 y=xa 的定义域是 R, 且为奇函数的所有 a 的值是 ( C.﹣1,3 D.﹣1,1,3



考点: 指数函数的定义、解析式、定义域和值域;函数奇偶性的判断.1444254 专题: 计算题. 分析: 分别验证 a=﹣1,1, ,3 知当 a=1 或 a=3 时,函数 y=xa 的定义域是 R 且为奇函数. 解答: 解:当 a=﹣1 时,y=x 1 的定义域是 x|x≠0,且为奇函数; 当 a=1 时,函数 y=x 的定义域是 R 且为奇函数;


当 a= 时,函数 y=

的定义域是 x|x≥0 且为非奇非偶函数.

当 a=3 时,函数 y=x 的定义域是 R 且为奇函数. 故选 A. 点评: 本题考查幂函数的性质和应用,解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质. 10. (2012?广东)下列函数,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )

A.y=ln(x+2)

B.

C.

D.

考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的判断与证明.1444254 专题: 计算题. 分析: 利用对数函数的图象和性质可判断 A 正确;利用幂函数的图象和性质可判断 B 错误;利用指数函 数的图象和性质可判断 C 正确;利用“对勾”函数的图象和性质可判断 D 的单调性 解答: 解:A,y=ln(x+2)在(﹣2,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上为增函数,A 正确; B, C, D, 在[﹣1,+∞)上为减函数;排除 B 在 R 上为减函数;排除 C 在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,排除 D

故选 A 点评: 本题主要考查了常见函数的图象和性质,特别是它们的单调性的判断,简单复合函数的单调性,属 基础题 11. (2013?重庆)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b)+(x﹣b) (x﹣c)+(x﹣c) (x﹣a)的两 个零点分别位于区间( ) A.(a,b)和(b,c)内B.(﹣∞,a)和(a,b) C.(b,c)和(c,+∞) D.(﹣∞,a)和(c,+∞) 内 内 内 考点: 函数零点的判定定理.1444254 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数零点存在判定定理可知:在区间(a,b) , (b,c)内分别存在一个零点;又函数 f(x)是二 次函数,最多有两个零点,即可判断出. 解答: 解:∵ a<b<c,∴ f(a)=(a﹣b) (a﹣c)>0,f(b)=(b﹣c) (b﹣a)<0,f(c)=(c﹣a) (c ﹣b)>0, 由函数零点存在判定定理可知:在区间(a,b) , (b,c)内分别存在一个零点; 又函数 f(x)是二次函数,最多有两个零点, 因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a,b) , (b,c)内. 故选 A. 点评: 熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键.

12. (2013?四川)函数 象如图所示,则 ω,φ 的值分别是( A. B. ) C.

的部分图

D.

考点: y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义.1444254 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的 x 值,求出函数的周期 T= 函数当 x= 时取得最大值 2,得到 +φ= +kπ(k∈Z) ,取 k=0 得到 φ=﹣

=π,解得 ω=2.由 .由此即可得到

本题的答案. 解答: 解:∵ 在同一周期内,函数在 x= ∴ 函数的周期 T 满足 = 由此可得 T= 又∵ 当 x= ∴ 2sin(2? ∵ ﹣ 时取得最大值,x= = , 时取得最小值,

=π,解得 ω=2,得函数表达式为 f(x)=2sin(2x+φ) 时取得最大值 2, +φ)=2,可得 +φ= +2kπ(k∈Z) 故选:A

,∴ 取 k=0,得 φ=﹣

点评: 本题给出 y=Asin(ωx+φ)的部分图象,求函数的表达式.着重考查了三角函数的图象与性质、函 数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换等知识,属于基础题.

13. (2012?辽宁)已知两个非零向量 , 满足| + |=| ﹣ |,则下面结论正确的是( A. ∥ B. ⊥ C.| |=| | D.



+ = ﹣

考点: 平面向量数量积的运算.1444254 专题: 计算题. 分析: 由于| |和| |表示以 、 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度,再由| + |=| ﹣ | 可得此平行四边形的对角戏相等,故此平行四边形为矩形,从而得出结论. 解答: 解:由两个两个向量的加减法的法则,以及其几何意义可得, | |和| |表示以 、 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度.再由| + |=| ﹣ |可得此

平行四边形的对角戏相等,故此平行四边形为矩形,故有 ⊥ .故选 B. 点评: 本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,属于中档题. 二.填空题(共 6 小题) 14. (2013?上海)方程 + =3x
﹣1

的实数解为

log34 .

考点: 函数的零点.1444254 专题: 函数的性质及应用. 分析: ﹣ 化简方程 + =3x 1 为 解答: 解:方程 + =3x 1,即


=3x 1,即(3x﹣4) (3x+2)=0,解得 3x=4,可得 x 的值.


=3x 1,即 8+3x=3x 1( 3x+1﹣3) ,
﹣ ﹣

化简可得 32x﹣2?3x﹣8=0,即(3x﹣4) (3x+2)=0. 解得 3x=4,或 3x=﹣2(舍去) ,∴ x=log34,故答案为 log34.

点评: 本题主要考查指数方程的解法,指数函数的值域,一元二次方程的解法,属于基础题. 15. (2011?辽宁)已知函数 f(x)=ex﹣2x+a 有零点,则 a 的取值范围是 (﹣∞,2ln2﹣2] . 考点: 函数零点的判定定理.1444254 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先讨论函数的单调性,得出函数的最值,由函数的最大值大于或等于零(或函数的最小值小于或等 于零)得出 a 的取值范围. 解答: 解:f′(x)=ex﹣2,可得 f′(x)=0 的根为 x0=ln2 当 x<ln2 时,f′(x)<0,可得函数在区间(﹣∞,ln2)上为减函数; 当 x>ln2 时,f′(x)>0,可得函数在区间(ln2,+∞)上为增函数, ∴ 函数 y=f(x)在 x=ln2 处取得极小值 f(ln2)=2﹣2ln2+a, 并且这个极小值也是函数的最小值, 由题设知函数 y=f(x)的最小值要小于或等于零,即 2﹣2ln2+a≤0,可得 a≤2ln2﹣2, 故答案为: (﹣∞,2ln2﹣2]. 点评: 利用导数工具讨论函数的单调性,是求函数的值域和最值的常用方法,本题可以根据单调性,结合 函数的图象与 x 轴交点,来帮助对题意的理解. 16. (2013?郑州二模)已知函数 f(x)= x﹣cosx 则方程 f(x)= 所有根的和为 .

考点: 函数的零点与方程根的关系.1444254 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 利用导数研究函数 y=f(x)的单调性,可得 f(x)= x﹣cosx 在(﹣ 合 f( )= 得到在(﹣ , )上有且只有一个实数 x= 时,有 f(x) ,且 x≥



)上是增函数,结 .再由 cosx 的有 .因此当 x? ,

满足 f(x)=

界性和不等式的性质,证出当 x≤﹣ (﹣ , )时,方程 f(x)=

时,f(x)>

没有实数根,由此即可得到方程 f(x)=

只有一实数根 x=

得到本题答案. 解答: 解:∵ f(x)= x﹣cosx,∴ f'(x)= +sinx, 当 x∈(﹣ , )时,因为 sinx , ,所以 f'(x)= +sinx>0

∴ f(x)= x﹣cosx 在(﹣ ∵ f( )= ﹣cos , =

)上是增函数

∴ 在区间(﹣ 又∵ 当 x≤﹣

)上有且只有一个实数 x=

满足 f(x)=

. ,

时, x<﹣

,﹣cosx≤1,∴ 当 x≤﹣ 没有实数根

时,f(x)= x﹣cosx≤1﹣

由此可得:当 x≤﹣

时,方程 f(x)=

同理可证:当 x≥

时,方程 f(x)≥

﹣1>

,所以方程 f(x)= ,因此方程 f(x)=

也没有实数根 所有根的和为

综上所述,方程 f(x)= 故答案为: 点评:

只有一个实数根 x=

本题给出基本初等函数 f(x)= x﹣cosx,求方程 f(x)=

所有根的和.着重考查了利用导数研

究函数的单调性、函数的图象与性质、函数的零点和不等式的性质等知识,属于中档题.

17. (2006?辽宁)设函数

,则

=



考点: 函数的值域.1444254 分析: 分段函数的求值问题,要注意自变量范围不同函数解析式就不同. 解答: 解: 故答案为 : . 点评: 本题考查了分段函数的运算法则以及指对数式的运算.注意:自变量范围的不同所对的函数式也不 同. 18.下列几个命题,正确的有 ① . (填序号) 2 ① 方程 x +(a﹣3)x+a=0 有一个正实根,一个负实根,则 a<0; ② 若幂函数 的图象与坐标轴没有交点,则 m 的取值范围为(﹣3,1)

③ 若 f(x+1)为偶函数,则有 f(x+1)=f(﹣x﹣1) ; x ④ 函数 y=f(2 )的定义域为[1,2],则函数 y=f(x)的定义域为[0,1]. 考点: 函数的定义域及其求法; 函数奇偶性的性质; 幂函数的性质; 函数的零点与方程根的关系. 1444254 专题: 计算题;综合题. 分析: 根据韦达定理及一元二次方程根的个数与△ 的关系,可以判断① 的真假;根据幂函数的图象和性质, 可以判断② 的真假;根据函数的对称性及轴对称函数解析式与对称轴的关系,可以判断③ 的真假;根 据复数函数定义域的求法,根据已知求出函数 y=f(x)的定义域,即可得到答案. 解答: 解:若方程 x2+(a﹣3)x+a=0 有一个正实根,一个负实根,则△ >0,且 x1?x2=a<0,解得 a<0, 故① 正确; 若幂函数 的图象与坐标轴没有交点,则 m2+2m﹣3≤0,解得 m 的取值范围为[﹣3,1];

若 f(x+1)为偶函数,则表示函数若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,而 f(x+1)=f(﹣x﹣1) 表示 f(x)的图象关于直线 x=0(y 轴)对称,故③ 错误; x 若函数 y=f(2 )的定义域为[1,2],则函数 y=f(x)的定义域为[2,4],故④ 错误; 故答案为:① 点评: 本题考查的知识点是函数的定义域及其求法,函数奇偶性的性质,幂函数的性质,函数的零点与方 程的根的关键,熟练掌握函数与方程之间的辩证关系,掌握初等基本函数的性质是解答此类问题的 关键. 19. (2011?江苏)函数 f(x)=Asin(ωx+? ) , (A,ω,? 是常数,

A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则 f(0)=



考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.1444254 专题: 计算题;数形结合. 分析: 根据已知的函数图象,我们根据函数图象过(

,0) , (

,﹣

)点,我们易结合 A>0,w

>0 求出满足条件的 A、ω、φ 的值,进而求出满足条件的函数 f(x)的解析式,将 x=0 代入即可 得到 f(0)的值. 解答: 解:由的图象可得函数的周期 T 满足 = 解得 T=π= 又∵ ω>0,故 ω=2 又∵ 函数图象的最低点为( 且 sin(2× +φ)=﹣ ,﹣ 即 )点 +φ= sin = 故 A= 故 φ= 故答案为:

∴ f(x)=

sin(2x+

) ∴ f(0)=

点评: 本题考查的知识点是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,其中利用已知函数的图象求出满足条件的 A、ω、φ 的值,是解答本题的关键. 三.解答题(共 4 小题) 20. (2007?陕西)设函数 f(x)= ,其中 a 为实数.

(Ⅰ )若 f(x)的定义域为 R,求 a 的取值范围; (Ⅱ )当 f(x)的定义域为 R 时,求 f(x)的单减区间. 考点: 函数的定义域及其求法;利用导数研究函数的单调性.1444254 专题: 计算题;综合题;转化思想. 分析: (Ⅰ )f(x)的定义域为 R,说明分母不为零,利用判别式直接求 a 的取值范围; (Ⅱ )f(x)的定义域为 R 时,求导数,导数为 0 确定 x 的值,根据 a 的范围,确定导数的符合, 求 f(x)的单减区间. 解答: 解: (Ⅰ )f(x)的定义域为 R, 2 ∴ x +ax+a≠0 恒成立,∴ △ =a2﹣4a<0,∴ 0<a<4, 即当 0<a<4 时 f(x)的定义域为 R.

(Ⅱ )由题意可知:

,令 f'(x)≤0,得 x(x+a﹣2)≤0.

由 f'(x)=0,得 x=0 或 x=2﹣a, 又∵ 0<a<4,∴ 0<a<2 时,由 f'(x)<0 得 0<x<2﹣a;

当 a=2 时,f'(x)≥0;当 2<a<4 时,由 f'(x)<0 得 2﹣a<x<0, 即当 0<a<2 时,f(x)的单调减区间为(0,2﹣a) ; 当 2<a<4 时,f(x)的单调减区间为(2﹣a,0) . 点评: 本题考查函数的定义域及其求法,利用导数研究函数的单调性,考查转化思想,分类讨论思想,是 中档题. 21. (2004?上海)记函数 的定义域为 A,g(x)=lg[(x﹣a﹣1) (2a﹣x)], (a<1)的

定义域为 B.若 B?A,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数的定义域及其求法;集合的包含关系判断及应用;对数函数的定义域.1444254 专题: 计算题. 分析: 要使 f(x)有意义,则需由 ≥0 按分式不等式的解法求解,要使 g(x)有意义,则由真数 大于零求解,然后按照 B?A,求解. 解答: 解:由 ≥0 得: ≥0,解得 x<﹣1 或 x≥1,

即 A=(﹣∞,﹣1)∪ [1,+∞) 由(x﹣a﹣1) (2a﹣x)>0 得: (x﹣a﹣1) (x﹣2a)<0 由 a<1 得 a+1>2a,∴ B=(2a,a+1) ∵ B?A,∴ 2a≥1 或 a+1≤﹣1 即 a≥ 或 a≤﹣2,而 a<1,∴ ≤a<1 或 a≤﹣2 故当 B?A 时,实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪ [ )

点评: 本题通过求函数定义域来考查分式不等式,一元二次不等式的解法和集合的运算. 22. (2011?广州一模)已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足 f(0)=0,对于任意 x∈R 都有 f(x)≥x,且 ,令 g(x)=f(x)﹣|λx﹣1|(λ>0) . (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求函数 g(x)的单调区间; (3)研究函数 g(x)在区间(0,1)上的零点个数. 分析: (1)由∵ f(0)=0 可得 c=0 而函数对于任意 x∈R 都有

,可得函数 f

(x)的对称轴从而可得 a=b 结合 f(x)≥x,即 ax2+(b﹣1)x≥0 对于任意 x∈R 都成立,可转化为二次函数的图象可得 a>0, 且△ =(b﹣1)2≤0.

(2)由(1)可得 g(x)=f(x)﹣|λx﹣1|=

根据函数 g(x)需讨论: ① 当 时,函数 g(x)=x2+(1﹣λ)x+1 的对称轴为 ,则要比较对称轴与区间端点的

大小,为此产生讨论: ② 当

,与

分别求单调区间 ,

时,函数 g(x)=x2+(1+λ)x﹣1 的对称轴为

同① 的讨论思路 (3)结合(2)中的单调区间及零点存在定理进行判断函数 g(x)的零点 解答: (1)解:∵ f(0)=0,∴ c=0. (1 分) ∵ 对于任意 x∈R 都有 ∴ 函数 f(x)的对称轴为 ,即 , ,得 a=b. (2 分)

又 f(x)≥x,即 ax2+(b﹣1)x≥0 对于任意 x∈R 都成立, ∴ a>0,且△ =(b﹣1)2≤0. ∵ (b﹣1)2≥0,∴ b=1,a=1. 2 ∴ f(x)=x +x. (4 分)

(2)解:g(x)=f(x)﹣|λx﹣1|=

(5 分)

① 当 若 若

时,函数 g(x)=x2+(1﹣λ)x+1 的对称轴为 ,即 0<λ≤2,函数 g(x)在 ,即 λ>2,函数 g(x)在

, 上单调递增; (6 分) 上单调递增,在 上

单调递减. (7 分) ② 当 时,函数 g(x)=x2+(1+λ)x﹣1 的对称轴为 上单调递增,在 , 上单调递减. (8 分) ,单调递减区间为

则函数 g(x)在

综上所述,当 0<λ≤2 时,函数 g(x)单调递增区间为 ; (9 分) 当 λ>2 时,函数 g(x)单调递增区间为 为 和 . (10 分) 和

,单调递减区间

(3)解:① 当 0<λ≤2 时,由(2)知函数 g(x)在区间(0,1)上单调递增, 又 g(0)=﹣1<0,g(1)=2﹣|λ﹣1|>0, 故函数 g(x)在区间(0,1)上只有一个零点. (11 分) ② 当 λ>2 时,则 (ⅰ )若 2<λ≤3,由于 ,而 g(0)=﹣1<0, , ,g(1)=2﹣|λ﹣1|,



=



此时,函数 g(x)在区间(0,1)上只有一个零点; (12 分) (ⅱ )若 λ>3,由于 且 g(1)=2﹣|λ﹣1|<0,此时,函数 g(x)在区间(0,1)

上有两个不同的零点. (13 分) 综上所述,当 0<λ≤3 时,函数 g(x)在区间(0,1)上只有一个零点; 当 λ>3 时,函数 g(x)在区间(0,1)上有两个不同的零点. (14 分) 点评: 本题主要考查了函数的解析式的求解,函数的单调区间,零点存在的判定定理,考查了分类讨论思 想的在解题中的应用.属于综合性较强的试题. 23. (2013?南京一模)已知某品牌汽车的市场需求量 y1(万辆) ,市场供应量 y2(万辆) ,与市场价格 x(万 元∕辆)之间分别近似地满足下列的关系:y1=10﹣2log2(4x﹣32)和 y2=2x﹣12;当 y1=y2 时的市场价格称 为市场平衡价格,此时的需求量称为平衡需求量. (1)求平衡价格和平衡需求量; (2)科学研究表明,汽车尾气的排放不但污染环境,加速全球变暖,而且过多的私家车增加了城市交通 的压力,加大了能源的消耗;某政府为倡导低碳型生活方式,决定对该品牌汽车的销售征收附加税,每售 出一辆该产品的汽车征收 2 万元的附加税,试求新的市场平衡价格和平衡需求量. 考点: 根据实际问题选择函数类型.1444254 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)根据当 y1=y2 时的市场价格称为市场平衡价格,此时的需求量称为平衡需求量,可求平衡价格 和平衡需求量; (2)根据市场平衡价格的定义建立方程,可得结论. 解答: 解: (1)当 y1=y2 时,有 10﹣2log2(4x﹣32)=2x﹣12, 即 9﹣x=log2(x﹣8) ,令 x﹣8=t(t>0) , 则方程 9﹣x=log2(x﹣8)化为 1﹣t=log2t,解得 t=1. 则 x﹣8=1,所以 x=9(万元∕辆) . 此时 y1=y2=2× 9﹣12=6(万辆) . 答:平衡价格为 9 万元∕辆,平衡需求量为 6 万辆. (2)设每售出一辆该产品的汽车征收 2 万元的附加税时新的市场平衡价格为 x(万元∕辆) . 所以市场需求量 y1=10﹣2log2(4x﹣32) ,市场供应量 y2=2(x﹣2)﹣12. 由 10﹣2log2(4x﹣32)=2(x﹣2)﹣12,得 11﹣x=log2(x﹣8) . 令 x﹣8=s,则方程 11﹣x=log2(x﹣8)化为 3﹣s=log2s,解得 s=2. 则 x﹣8=2,所以 x=10(万元∕辆) . 此时的市场平衡需求量为 y1=y2=2× (10﹣2)﹣12=4(万辆) . 答:当每售出一辆该产品的汽车征收 2 万元的附加税时,新的市场平衡价格为 10 万元∕辆,平衡需 求量为 4 万辆. 点评: 本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,正确理解定义是关键.

巴东一中高一年级数学寒假作业(四)
姓名 一、选择题(本大题共10 小题,每小题5 分,共50 分) A.0 B.1 C.0 或1 班级 登分号

1.直线 x =100 与函数 y =f ? x ? 的图象的交点个 数是 ( C ) D.不能确定

2.某扇形的面积为1,它的周长 为4,那么该扇形圆 心角的大小为 ( A ) A.2 B. 2° C.4° D.4 3.点 A(?1,1), B (2, y ) ,向量a ? (1, 2) ,若 AB∥a ,则实数 y 的值为( C ) A.5 B.6 C.7 D.8 4. 下列各函数中,表 示同一函 数的是( A ) 2 A. y ? x 与 y ? loga a x (a ? 0 且a ? 1 ) B. y ? x ? 1 与 y ? x ? 1 x ?1 2 C. y ? x ? 1 与 y ? x ? 1 D. y ? lg x 与 y ? 1 lg x 2 2 0.7 6 5.三个数a ? 6 , b ? 0.7 , c ? log 0.7 6 之间的大小关系是( A ) A. a ? b ? c 6.已知函数 f ? x ? ? B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a 的定义域是R ,则实数m 的取值范围是( C ) mx +mx +2 A.0<m<8 B.0 ? m ? 8 C.0 ? m<8 D.m ? 8 x , b ?0 且ab ? 1 ,则函数 f ( x) ? a 与函数 g ( x) ? ? logb x 的图象可能是( B ) 7..已知a ? 0
2

e

x

8.函数 y ?

f ( x) ? x ? R? 的图象如右图所示,则函数 g ( x) ? f (log a x) ? 0 ? a ? 1? 的单调减区间是(
A.[0,1 ]

B )

2

B.[ a , 1]

1 D.[ a , a ? 1] [ , ??) 2 a ? ? 2 ? a ? x ? , ? x ? 1? 是R 上的增函数,实数a 的取值范围是( C ) 9. 已知函数 f ? x ? ? ? 2 ? ? log x , ? x ≥ 1? ? a ? A.? 1 , 2 ? B.? 1, 4 ? C.? 4 , 2 ? D.? 0 ,1? ? 3? ?3 ? ? ? ?
C.(??, 0) 则以下关系成立的是 ( D)

10. 已知定义在R 上的偶函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ? f ? x ? , 且在? ?3 , ?2? 上递增, 若? 、? 是锐角三角形的两內角, A. f ? sin ? ? ? f ? cos ? ? C. f ? sin ? ? ? f ? sin ? ? 11.函数 y ? 3 ?l o g B. f ? cos ? ? ? f ? cos ? ? D. f ? sin ? ? ? f ? cos ? ?

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
2

x 的定义域为__(0,8]________.

? ? x ? 2 ≥ 0? ? ,B ? x p ? 1 ≤ x ≤ 2 p ? 1 ,若 A 12.已知集合 A ? ? ?x ? ? ? ?5 ? x ≥ 0 ? ? ?

?

?

B ? B ,B ? ? ,则实数 p 的取值范围



. ? 2 , 3?

13.已知定义在R 上的奇函数 f ? x ? 在? 0 , ?? ? 上是增函数, 且 f ? ax ? 1? ≤ f ? x ? 2 ? 对任意 x ? ? 实数a 的取值范围是 . ? ?? , ?5?

?1 ? ,1? 都成立,则 ?2 ?

14. 如 图 , 在

?ABC

中 ,

G

是重心, 3 2,4

PQ




G

点 ,

A P? m A ,B

A ?Q

n C ,A 若

1 1 1 AG ? ( AQ ? AP) ,则 ? ? 2 m n
15. 给出下列四个命题:其中真 命题的序号是

. (请 写出所有真命题的序 号)

①对于向量 a 、 b 、 c ,若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;②若角的集合 k? ? ? 则A ? B ; ③函数 y ? 2 x 的图象与函数 y ? x 2 的图象有且仅有2 A ? {? | ? ? ? , k ? Z}, B ? {? | ? ? k? ? , k ? Z} , 2 4 4 个公共点;④将函数 f ( ? x ) 的图象向右 平移2 个单位,得到 f (? x ?2) 的图象. 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 75 分,写出必要的文字说明和演算步骤) 16.(本题满分12 分)记函数 f ( x) ? log 2 (2 x ? 3) 的定义域为集合 A ,函数

g ( x) ? ( x ? 3)( x ? 1) 的定义域为集合B ,集合C ? {x ?2a ? x ? a ? 1} .
(Ⅰ)求集合 A (Ⅱ)若( A

B ,A

?R B ;
(2 分) B ? (??,1] [3, ??) ,

B)

C ? ? ,求实数a 的取值范围.

解.(1) A ? ( , ??) , (1 分)

3 2

A

A

3 B ? (??,1] ( , ??) ,(4 分) 2 3 (6 分) 评分的时候注意区 间的开闭 ?R B ? ( ,3) 2
??2a ≥ 1 , (10 分) 3 , 得a ?? ?a ? 1 ≤ 2 ? ? 2 a ? a ?1 ? ?

1 (2)当C ? ? 时,应有?2a ≥ a ? 1,? a ≤ ? , (8 分) 3
当C ? ? 时,应有? ?

所以a 的取值范围为a ≤ ? 1

3

(12 分) .

Asin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? ) 2 的一段图象过点(0, 1 (1)求函数 y ? f1 ( x) 的表达式 ) . ? (2)将函数 y ? f1 ( x) 的图象向右平移 个单位,得函数 y ? f 2 ( x) 的图象, 4 求函数 y ? f 2 ( x) 的最大值,并 求此时自变 量 x 的取值集合.
17.如图所示, 函数 f1 ( x) ? 解: (1) 由题图知,T 于是? ? 2 ?

?

??,

于是? ?

?
12

?

?
6

,将(0,

1 )

? 2? ? 2, 将 y ? A sin2 x 的图象向左平移 , 得 y ? A sin 2 ? x ? ? ? 的图象, T 12 ?? ?? ? ? 2 x ? ? 得 A ? 2 ,故 f1 (x) ?2sin 2? x ? ? .…………………( 6 分) 代入y ? A sin ?
? 6?

?

6?

) (2)依题意, f 2 (x) ?2sin[2( x ?

?
4

? ]

?
6

2cos ?? 2

当 2x ?

?
6

? ? ? …………(9 分) ? x ? ?, 6 ? ?

? 2k? ? ? , 即
? ?

x ? k? ?

5? 12

?k ? Z ?

时 ,

ym a ? x 2

, 此 时

x

的 取 值 集 合 为

? 5? ? x x ? k? ? 12 ?

? k ? Z ?? .…………………(12 分)

18. 某公司试销一种新产 品, 试 销时销售单价不低于 成本单价500 元/件, 又不高于800 元/件 . 经试销调查, 发现销售 量y(件) 与销售单价x(元/件) , 可近似 看做一次函数y=kx+b 的关系(图 象如图所示) . (1)根据图象,求一次函 数y=kx+b 的表达式; (2)设公司获得的毛利润 (毛 利润=销售总价-成本总价)为S 元,求该公司可获得 的最大毛利 润,并求出此时相应 的销售单价 . 解: (1)因为一次函 数 y ? kx ? b 过点(600,400)和(700,300)

?600k ? b ? 400 ?k ? ?1 ,故? ?700k ? b ? 300 ?b ? 1000 ? y ? ? x ? 1000  ,500 ? x ? 1000 (2)由题意有:s ? ( x ? 500)(? x ? 1000) 所以当 x ? 750 时,smax ? 62500
所以?

B CD 顶点 A 开始,顺次经C 、D 绕边界一周,当x 表示点P 的行 19、如图,动点P 从单位正方形 A
程, y 表示PA 之长时,求 y 关于x 的解析式,并求 f ( ) 的值. 解:当P 在 AB 上运动时, y ? x (0 ? x ? 1) ;

5 2

1 ? x ?2 ) 当P 在BC 上运动时, y ? 1 ? ( x ? 1) 2 (
当P 在CD 上运动时, y ?
? x ? 2 ? 1 ? ( x ? 1) ? ? 1 ? (3 ? x) 2 ? ?4 ? x

) 1 ? (3 ? x ) 2 (2 ? x ?3 当P 在DA 上运动时, y ? 4- x (3 ? x ? 4)
(0 ? x ? 1) (1 ? x ? 2) (2 ? x ? 3) (3 ? x ? 4)

∴y ?

5 5 ∴ f ( )= 2 2

1? x , x1 、 x2 ? ? ?1 ,1? . 1? x ? x ? x2 ? (1)求证: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? 1 ?; ? 1 ? x1 x2 ?
20.已知函数 f ? x ? ? log 2 (2)若 f ?

1 ? x1 ?? 1 ? x2 ? 20(1) 【证】∵1 ? x1 ? x2 ? 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? ? , 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2
1? x1 ? x2 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? x1 ?? 1 ? x2 ? , ? ? 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2
1 ? x1 x2 ? ? 1 ? x1 x2 ?

1 ? a?b ? ? 1 , f ? ? b ? ? ,求 f ? a ? 的值 ? 2 ? 1 ? ab ?

x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? x1 ?? 1 ? x2 ? ∴? ?1? ? ? ?1? ?? ?

(2) 【解】当 x ? ? ?1 ,1? 时,
f ? ? x ? ? log2

? x ? x2 ? ? 1 ? x1 ?? 1 ? x2 ? ? log 1 ? x1 ? log 1 ? x2 ? f x ? f x 6 f? 1 ? 1? ? 2? ? ? log2 2 2 1 ? x1 1 ? x2 ? 1 ? x1 ?? 1 ? x2 ? ? 1 ? x1 x2 ?
1-x ? 1? x ? ? log2 ? ? 1? x ? 1? x ?
-1

? 1 ? x1 ?? 1 ? x2 ?

? ? log2

∴ f ? x ? 是奇函数。………9′ ∴ f ? ? b ? ? ? f ? b ? ? ? 1 ………10′ 2

1? x ? ? f ? x? 1? x

又 f ? a ? ? f ? ?b ? ? f ? a ? ? f ? b ? ? f ? a ? b ? ? 1 ? ab ? ? ? 1 3 ∴ f ? a ? ? f ? ? b ? ? 1 ? 1 ? ? .………12′ 2 2 21、已知定义域 为R 的函数 f ( x) ?

?2x ? b 是奇 函数. 2x?1 ? a

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)用定义证明 f ( x) 为R 上的减函数;

1 ,1 ] , 不等式 f (2 k ? (3)若对任意的t ? [? 4)t ? ( 3 f 2 ? t ?k 1 ) ? 0 ? 恒成立, 求k 的取值范围. 0 得b ? 1 ,由 f (? 1 ) ??( f 1 ) 得a ? 2 。 解: (1)由 f (0) ?

?2x ? 1 ………………(4 分) 2x?1 ? 2 ?2 x ? 1 ?2 x ? 1 ? (2)设x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x ?1 2 ? 2 2 x ?1 ? 2 1 1 2x ? 2x 1 1 1 1 ? x ? x ?0 =( x ? )?( x ? )= x 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 x ? 1) 2 ?1 2 2 ?1 2 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) 为R 上的减 函数 ……… ………(8 分)
∴ f ( x) ?
1 2 1 2

2

1

1

2

1

2

1

2

(3) f (2k ? 4t ) ? f (3 ? 2t ? k ?1) ? 0

? f (2k ? 4t ) ? f (k ? 1 ? 3 ? 2t ) ∵ f ( x) 为R 上的减函 数
∴2k ? 4t ? k ? 1 ? 3 ? 2t ∴k ? 4t ? 3 ? 2t ? 1 ? (2t ? )2 ?

3 2

5 4

……………………(12 分 )

∵t ? [?1,1] ∴2t ?[ ,2] ∴4t ? 3 ? 2t ? 1 ? (2t ? )2 ? ∴k ? ?

1 2

3 2

1 5 的最大值为? 4 4

1 ……………………(14 分) 4



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