9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

不定积分



第四章 不定积分

已知物体运动的位置函数 s = s(t), 求时刻 t 的瞬时速度 v = v(t)。 —— 微分学解决的问题 已知物体运动的速度函数 v = v(t) 求运动的位置函数 s = s(t)。 —— 积分学解决的问题

一般,已知函数 f(x), 要找另一 个函数F(x), 使 F ’(x) = f (x)。 —— 积分

学的任务

一、原函数与不定积分的概念
定义1:

已知 f (x)是一个定义在区间I上的函数, 如果存在函数F (x), 使在 I 内的任一点都有 F ?( x ) ? f ( x ) 或 d F ( x ) ? f ( x ) d x , 则称 F (x) 为 f (x) 在 I 上的原函数。 如:( x 2 )? ? 2 x , ∴ x 2 是 2 x 的原函数; d sin x = cos x d x,∴ sin x 是 cos x 的原函数; s?( t ) ? v ( t ) , ∴ s (t) 是 v (t) 的原函数。

有关原函数的几个问题 1. 在什么条件下, f (x) 一定存在原函数? 原函数存在定理: 若 f (x) 在区间I 上连续, 则在 I 上必存在原函数。 2. 如果 f (x) 有原函数,那么共有几个? 设F (x) 为 f (x) 的原函数,则 F ?( x ) ? f ( x ), 且 ( F ( x ) ? C )? ? f ( x ), C 为任意常数。 ∴ f (x) 如有原函数,就有无穷多个。

3. 如果 f (x) 有一个原函数 F (x) , 那么F (x) + C 是否包含了 f (x) 的 所有原函数? 设 ? ( x )是 f ( x ) 的任一个原函数, 则 ? ?( x ) ? f ( x ) ? [? ( x ) ? F ( x )]? ? f ( x ) ? f ( x ) ? 0 ? ? ( x ) ? F ( x ) ? C (C是常数 )

? ? ( x) ? F ( x) ? C
∴F (x) + C 包含了 f (x) 的所有原函数。

其中

f (x) — 被积函数 ? f (x) d x — 被积表 x — 积分变量 达式 若F (x) 为 f (x) 的一个原函数,则 — 积分号

定义2:函数 f (x) 的全体原函数就称为 f (x) 的不定积分。 记作 ? f ( x ) d x .

例: ( x )? ? 2 x , ? ? 2 x d x ? x ? C . ? ? ( ? cos x )? ? sin x , ? ? sin x d x ? ? cos x ? C .
2
2

?

f ( x )d x ? F ( x ) ? C .

不定积分的几何意义:
f (x) 的一个原函数F (x) 的图形称为 f (x) 的一条积分曲线,方程为 y = F (x) . 则 ? f ( x) d x ? F ( x) ? C 就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C . 它们相互平行,即 在横坐标相同的点 处有相同的切线斜 率。
y
y ? F ( x)

0

x

x

由不定积分的定义,

?

则有 f ( x ) d x 是 f ( x ) 的原函数, [ f ( x ) d x ]? ? f ( x ) , 或

d [ ? f ( x)d x ] ? f ( x)d x ,
先积分后微分的作用相互抵消。 又 ? F ?( x )d x ? ? f ( x )d x ? F ( x ) ? C ,

?



, ? d F ( x ) ? F ( x ) ? C(? F ?( x )dx ? dF ( x ))

先微分后积分的作用抵消后加任意常数C。

例: 求通过点 ( 1, 2 ),且其上任一点处的 切线斜率等于该点横坐标6倍的一条曲线。 解:设所求曲线方程为 y = f (x) . 由题意,曲线上点(x, y)的切线斜率 dy ? 6x , dx ? y ? ? 6 xdx ? 3 x 2 ? C , 为一簇积分曲线。

? y | x ?1 ? 2, 即有2 ? 3 ? C ? C ? ? 1. ? 所求曲线为: y ? 3 x ? 1 .
2

二、 基本积分表
依基本导数公式与不定积分的定义,

即可得基本积分公式: 请同学们参见教材第217页13个公式。 ? ?1 x ? 注意:② ? x d x ? ? C ( ? ? ?1). ? ?1

( x )? ? ? x


?

? ?1

.

?

dx 1 ?? d x ? ln x ? C x x

例题讨论
求下列不定积分: 1 5 ? 2 1 2 x 3 d x ? ? x ? x 3d x ? ? x 3 d x 例1.? x 8

1? x dx ? ? x 例2.? x x
2

3 3 ? x ? C. 8 ?3
2

dx ? ? x dx
1 2
3 2

1 2

2 ? ? 2 x ? x ? C. 3 ? ?1 x ? ? x d x ? ? ? 1 ? C ( ? ? ?1).
?

三、 不定积分的性质
性质1. 函数和的不定积分等于 各个函数的不定积分的和。

? ? f ( x ) ? g( x )? dx ? ? f ( x )d x ? ? g( x )d x .
性质2. 被积函数中不为零的常 数因子可提到积分号外。 k f ( x ) d x ? k ? f ( x ) d x . ( k ? 0 为常数) ?

利用基本积分表和不定积分性质,可计算 一些简单函数的不定积分。注意3点: 1、在分项积分后,对每个不定积分的任意常数
不必一一写出。可在积分号全部不出现后简写为 一个常数。 看它的导数是否等于被积函数即可。 3、由于微分形式不变性,积分表中的每个公式 中的 x 可用其它变量 u 替代,公式仍正确。

2、检验积分结果是否正确,只要将其结果求导,

技巧:先将被积函数变形,化为表中所列 的类型,然后再积分。

例3.? (e ? 3 sin x )d x ? ? e d x ? 3 ? sin x d x
x x

? e ? 3 cos x ? C .
x

4? 2 ? 3 dx ? ? 例4. ? x 2
x x

( 3 2) ? C. ? 4x ? ln( 3 2)

x

? ? 3? ? ?4?? ? ?dx ? 2? ? ?
x

a a dx ? ? C . ? sin x d x ? ? cos x ? C , ? ln a 掌握被积函数的恒等变形。
x

x

例5. ? cot x d x ? ? (csc x ? 1) d x ? ? cot x ? x ? C . 2 2 同理,? tan x d x ? ? (sec x ? 1) d x
2 2

2 2 1 sin x ? cos x dx ? ? dx 例6.? 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x 2 2 ? ? ?sec x ? csc x ?d x ? tan x ? cot x ? C .

? tan x ? x ? C .

1 ? cos x 1 ? cos x dx ? ? dx 例7.? 2 1 ? cos 2 x 2 cos x 1 1 2 ? ? ? sec x ? 1 ? d x ? ? tan x ? x ? ? C . 2 2
2 2

(1 ? x ) dx 例8. ? 2 x (1 ? x ) 2 ? 1? x 2x ? ? ?? ? dx 2 2 ? ? x (1 ? x ) x (1 ? x ) ? 2 ? ?1 ??? ? d x ? ln x ? 2 arctan x ? C . 2? ? x 1 ? x ? (假分式=多项式+真分式) 4 4 x x ?1?1 dx ? ? dx 例9. ? 2 2 1? x 1? x 2 2 ? ( x ? 1) ( x ? 1) 1 ? ? ?? ? dx 2 2? x ?1 1? x ? ?
2

? x ? x ? arctan x ? C .
1 3 3

从理论上来讲,只需把积分结果 求导,就可检验积分是否正确。但由 于函数变形及原函数间可相差一个常 数等因素,一般不检验。 所以注重积分过程的正确性是至 关重要的。 即每一步运算都要看能否还原到 上一步。

§2. 换元积分法
y ? sin 2 x 是复合函数,
sin 2 xd x 如何积分? ?
一、第一类换元法 ( 凑微分法 )

( d 2 x ? 2dx ) 1 例1: sin 2 xd x ? ? sin 2 x d 2 x (2x = u) ? 2 1 1 1 ? ? sin u d u ? ? cos u ? C ? ? cos 2 x ? C . 2 2 2

1. 凑常数

例2:? 4 e ? e d ( 3 x? 5) [d ( 3 x ? 5 ) ? 3 d x ] 4 u 4 u ? ?e du ? e ?C ( 3 x ? 5 ? u) 3 3 4 3 x?5 ? e ? C. 3 1 dx ?? d x 例3: 2 2 ( +1) ? x ? 2 x ? 2 1 ? ( x ? 1) 1 (x + 1 = u) ? d u ? arctan u ? C ? 1 ? u2 ? arctan ( x ? 1) ? C .
1 dx ? ? 4 3
3 x?5

3 x?5

dx 例4:? 2 ( a ? 0) 2 a ?x a 1 d(x/a) x ? ? ? arcsin ? C . 2 a a ? x? 1? ? ? ?a? d(x -1) dx 如: ? 9 ? 2 x ? x 2 ? ? 10 ? ( x ? 1)2 x ?1 ( a ? 10 , u ? x ? 1) ? arcsin ? C. 10 dx 1 x 同理: ? a 2 ? x 2 ? a arctan a ? C .

dx 例5: 2 ? x ? a 2 ( a ? 0) 1 ? 1 1 ? ? ?? ? ? dx 2a ? x ? a x ? a? 1 ? d ( x ? a) d ( x ? a )? ? ?? ? ? ? 2a ? x?a x?a ? 1 ? ?ln x ? a ? ln x ? a ? ? C 2a 1 x?a ? ln ? C. 2a x?a dx 1 a? x 同理: 2 ? a ? x 2 ? 2a ln a ? x ? C . (a ? 0)

dx dx (a ? 2 , ?? 如: 2 ? x ? 2 x ? 1 ( x ? 1)2 ? 2 u ? x ? 1 )
x ?1? 2 ? ln ? C. 2 2 x ?1? 2 1

1 例6: sin 5t cos 3t d t ? ? (sin 8t ? sin 2t ) d t ? 2 1 1 ? ? cos 8 t ? cos 2t ? C . 16 4

2. 凑函数(变量)
定理1. 设 F(u) 是 f (u) 的一个原函数,且 u = φ(x)可导,则 F ?? ( x )?是 f ?? ( x )?? ?( x )的 原函数,且有换元公式:

??
f (u)

f ?? ( x )? ? ?( x ) d x ? [ ? f ( u ) d u]

?
du

u ?? ( x )

证明:? { F ?? ( x )? ? C }? ? F ??? ( x )? ? ?( x ) ? f ?? ( x )?? ?( x ), ? 得证。

? [ F ( u ) ? C ] u ?? ( x ) ? F ?? ( x )? ? C .

换元公式:
?? ?( x ) d x ? d ? ( x )

? ? f ?? ( x )? d ? ( x )

?

f ?? ( x )? ? ?( x ) d x

φ (x) = u

? ? f ( u) d u ? F ( u ) ? C

? F ?? ( x )? ? C .

1 前例: sin 2 xd x ? ? cos 2 x ? C . ? 2

sin 2 x d x ? 2 ? sin x cos x d x ? 2 ? sin x d sin x ?
(u = sin x)

? 2 ? u d u ? u ? C ? sin x ? C .
2 2

(sin x )? d x ? d sin x

?

1 1 dx d x ? d ln x 例1:? x ln x x 1 1 ?? d ln x ? ? d u ? ln u ? C ? ln ln x ? C . ln x u
题目做得熟练后,中间变量 u 可以不写出来。

1 1 1 1 d x ? d (? ) 例2:? 2 sin d x 2 x x x x 1 1 1 ? ? ? sin d ? cos ? C . x x x

sin x 例3: tan x d x ? ? dx ? cos x 1 ?? ? d cos x ? ? ln cos x ? C . cos x 同理: ? cot x d x ? ln sin x ? C . sec x (sec x + tan x) dx 例4: ? sec x d x ? ? (sec x + tan x) 2 sec x ? sec x tan x d (tan x ? sec x ) ?? d x? ? sec x ? tan x sec x ? tan x

? ln sec x ? tan x ? C

sec x d x ? ln sec x ? tan x ? C ?
同理:
1 1 例5: ? sin x ? cos x d x ? ? sin 2 xd ( 2 x )
? ? csc(2 x )d ( 2 x ) ? ln | csc 2 x ? cot 2 x | ? C 1 1 1 或 ? sin x ? cos x d x ? ? tan x ? cos 2 x d x

? csc x d x ? ln

csc x ? cot x ? C

1 ?? d tan x? ln tan x ? C tan x

例6: sin x d x ? ?
2

?

1 ? 2

?

1 ?dx ? 2

? cos 2 x d 2 x ?

1 ? cos 2 x dx 2

1 1 ? x ? sin 2 x ? C . 2 4
1 1 同理, cos x d x ? x ? sin 2 x ? C . 2 4

?

2

? 1 ? cos 2 x ? 例7: ? cos x d x ? ? ? ? dx 2 ? ?
4
2

1 ? cos 4 x 1 ? 2 cos 2 x ? 2 ?? dx 4 3 ? 4 cos 2 x ? cos 4 x ?? dx 8 3 1 1 ? x ? sin 2 x ? sin 4 x ? C . 8 4 32

例8: sin x d x ?
3
2

?

?

sin x ? sin x d x
2

? ? ? (1 ? cos x ) d cos x ? ? ? d cos x ? ? cos xd cos x
2

1 3 ? ? cos x ? cos x ? C . 3

例9:? cos x sin x d x
2 5

? ? cos x sin x d ( ? cos x )
2 4

? ? cos x (1 ? cos x ) d ( ? cos x )
2 2 2

? ? ? (cos x ? 2cos x ? cos x ) d cos x
2 4 6

2 1 1 3 5 7 ? ? ? cos x ? cos x ? cos x 5 7 3

? ? C.

一般:

? sin

m

x ? cos x d x 当 m ? 0 , n ? 0 时:
n

n是奇数 ,令 u ? sin x , cos x ? 1 ? sin x
2 2

m 是奇数 ,令 u ? cos x , sin x ? 1 ? cos x
2 2

m 且n是偶数 , 则降低m 或n的幂, 利用 1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x 2 2 sin x ? ,cos x ? 2 2

例10: sec x d x ? ? sec x d tan x 1 2 ? ? (tan x ? 1) d tan x ? tan 3 x ? tan x ? C . 3
4
2

?

例11:

? ? tan x ? sec x d sec x
4 2

?

tan x ?sec x d x
5 3
2 2 2

? ? (sec x ? 1) ? sec x d sec x
1 7 2 5 1 3 ? sec x ? sec x ? sec x ? C 7 5 3

一般:

? tan

m

x ? sec x d x 当 m ? 0 , n ? 0 时:
n

n是偶数 ,令 u ? tan x , sec x ? 1 ? tan x
2 2

m 是奇数 ,令 u ? sec x , tan x ? sec x ? 1
2 2

m 是偶, n是奇 , 则化为sec x的幂 利用 tan x ? sec x ? 1
2 2

sin 2 x dx 例12: 4 ? 1 ? sin x
d sin x 2 ?? ? arctan(sin x ) ? C 4 1 ? sin x
1 arctan x d x ? d (2 x ) dx 例13:? x x (1 ? x ) arctan x ? 2? x d arctan x 2 d x ? 2 ? arctan 1 ? ( x) 2 ? ( arctan x ) ? C .
2

其中 t ? ? ( x ) 是 x ? ? ( t ) 的反函数。 d 即对 f ( x ) d x 令 x = ψ (t), x ? ? ?( t ) d t ,

二、第二类换元法 (变量代换法) 定理2. 设 x = ψ (t) 是单调的可导函数, 且? ?( t ) ? 0, ? ( t ) 是 f ?? ( t )? ? ?( t ) 的原函数, 则 ? ? ? ( x ) ? 是 f ( x ) 的原函数,且有 换元公式:? f ( x ) d x ? ? f ?? ( t )? ? ?( t ) d t

? ? ? f ?? ( t )? ? ?( t ) d t ? ? ? ( t) d t ? ? ( t ) ? C ? ? ?
? (t )

? ? ?? ( x ) ? ? C .

1. 三角代换
例1:? a ? x d x ( a ? 0)
2 2

分析:目的:消去根式。

利用三角恒等式:sin 2 t ? cos 2 t ? 1. ? ? 若令 x = a sin t , 取 t ? ( ? , ), 则有反函数 2 2 x t ? arcsin , 且 cos t ? 0. a 被积函数 a 2 ? x 2 ? a 2 ? a 2 sin 2 t ? a cos t .

例1:? a ? x d x ( a ? 0)
2 2

解:令 x = a sin t , d x = a cos t d t , 2 a 2 2 ?原式 ? ? a cos t d t ? ? (1 ? cos 2t ) d t 2 2 a ? 1 ? x ? ? t ? sin 2 t ? ? C ? sin t ? a 2? 2 ? 2 x a ? t ? arcsin ? ?t ? sin t cos t ? ? C a 2 a 2 2 2 x a x a ?x ?? C t 2 2 ? ?arcsin x ? 2 a a a ?x

dx ( a ? 0) 例2: ? 2 2 x ?a 2 2 分析: 利用公式 tan t ? 1 ? sec t 化去根式。 ? ? 若令 x = a tan t , 取 t ? ( ? , )
则 解: x = a tan t , d x = a sec 2 t d t . 令
2

2 2 2 2 2 x ? a ? a tan t ? 1 ? a sec t .

a sec t ? 原式 ? ? d t ? ? sec t d t a sec t x ? ln sec t ? tan t ? C1 t 2 2 a x x ?a ? ln ? ? C1 ? ln x 2 ? a 2 ? x ? C . a a

x ? tan t ? a x2 ? a2

dx 对? ( a ? 0) 2 2 x ?a 也可令 x = a sh t ( t > 0 )

利用公式 ch t ? sh t ? 1 化去根式。
2 2

解: 令 x = a sh t , d x = a ch t d t ,

x ? a ? a sh t ? 1 ? a ch t . 1 ? 原式 ? ? a ch t d t ? ? d t ? t ? C a ch t x ? ar sh ? C . a
2 2 2

dx 例3: ? x 2 ? a 2 ( a ? 0) 2 2 分析: 利用公式 sec t ? 1 ? tan t 化去根式。 ? 若令 x = a sec t , 取 t ? (0, )

2 x 2 ? a 2 ? a sec 2 t ? 1 ? a tan t .

解:令 x = a sec t , d x = a sec t tan t d t , a a sec t tan t ? 原式 ? ? d t ? ? sec t d t ? cos t ? x a tan t x x2 ? a2 ? ln sec t ? tan t ? C1 t 2 2 a x x ?a ? ln ? ? C1 ? ln x ? x 2 ? a 2 ? C . a a

或令 x = a ch t ( t > 0 ) x dx 则? ? a r ch ? C . 2 2 a x ?a

dx 2 2 ? x 2 ? a 2 ? ln x ? x ? a ? C . (x ? 1 ) dx d 2 如:? ?? 2 x ? x?1 ? x ? 1 ? 2? 3 ? ? 2? 4 ? 1 2 ? ln x ? ? x ? x ? 1 ? C . 2

小结:

当被积函数含有因子:

a ? x , 令 x ? a sin t . 或 x ? a cos t .
2 2 2 2

a ? x , 令 x ? a tan t . 或 x ? a cot t . x ? a , 令 x ? a sec t . 或 x ? a csc t .
2 2

目的: 去根号。

例题讨论
dx 例1:? x 2 2 ? x 2 解:令 x ? 2 sin t , d x ? 2 cos t d t , 1 2 cos t d t 2 ? ? csc t d t ? 原式 ? ? 2 2 sin t ? 2 cos t 2 x 1 (sin t ? ) ? ? cot t ? C 2 2 2 x 2 t 1 2? x ?? ? C. 2 x 2 ? x2

例2: ?

dx
3 2 2

(1 ? x ) 解:令 x = tan t , d x = sec 2 t d t .

( 1 ? x ) ? ( sec t ) ? sec t , 2 sec t ? 原式 ? ? d t ? ? cos t d t 3 sec t 1 ? x2 ? sin t ? C x t x ? ? C. 1 2 1? x
2 3 2 3 3

2. 根式代换 x dx 例1:? 1? x 分析: 目的:化分数幂为整数幂。(去根号)

若令
解: 令

x ? t , 则 x ? t 2.
2

x ? t , 则 x ? t , d x ? 2 t d t. 3 2 t -1+1 t dt 2t d t ? ? 2 ? ?原式 ? ? t ?1 1? t 1 ? ? 2 ? ? 2? ?1 ? t ? t ? ?dt t ? 1? ?

1 ? ? 2 ? ? 2? ?1 ? t ? t ? ?dt t ? 1? ? ? 1 2 1 3 ? ? ?2 ? t ? t ? t ? ln t ? 1 ? ? C 3 ? 2 ?

x 回代 t ? x , ? ? dx 1? x 1 1 ? ? 3 ? ?2 ? x ? x ? ( x ) ? ln x ? 1 ? ? C . 2 3 ? ?

例2:?
3

3

x?1 dx 3x ? 1

1 3 解: 令 3 x ? 1 ? t , x ? ( t ? 1), d x ? t 2 d t . 3 1 ( t 3 ? 1) ? 1 1 4 2 3 ?原式 ? ? t d t ? ? (t ? 2 t ) d t 3 t 1? 1 5 2? ? ? t ?t ??C 3? 5 ?
1 1 ? ( 3 x ? 1) ? ( 3 x ? 1) ? C . 15 3
5 3 2 3

dx 例3:? 2 x x ?1

解一:令 x = sec t ,

d x = a sec t tan t d t , sec t tan t d t 1 ? ? d t ? t ? C ? arccos ? C . ?? sec t ? tan t x
2 2 解二: 令 x ? 1 ? t , ( x ? 0) 则 x ? t ? 1 ,

1 tdt dt dx ? x x2 ? 1 ? ? t 2 ? 1 ? t ? t 2 ? 1 ? ? t 2 ? 1

? arctan t ? C ? arctan x ? 1 ? C .
2

3. 倒代换
对形如: ?
1 x x ?a
2 2

dx ;
2

?x
2

1
2

x ?a
2

2

dx ; dx 等

?x

1 ax ? bx ? c
2

d x ;?

1 x ax ? bx ? c

1 可令 x ? , 称为倒代换。 t dx 1 dt 前例3: ? x x 2 ? 1 令x ? t ?t ? 0?, dx ? ? t 2 . ?1 1 原式 ? ? d t ? ? arcsin t ? C ?? arcsin ? C 2 1? t x

1? x ? x 原式 ? ? 4 dx 2 x (1 ? x ) 1 1 1 1 ? x2 1 ? ? arctan x ? C ?? dx?? dx ? ? 3 3x x x4 1 ? x2
4 4

dx 例4: 4 ? x (1 ? x 2 )

解一:

1 1 解二:令 x ? , dx ? ? 2 dt t t 4 t 1 3 原式 ? ? ? d t ? ? t ? t ? arctan t ? C 2 3 1? t 1 1 1 1 ?? ? ? arctan ? C 3 3x x x

熟记! 教材第 234 页积分公式:(14)-(21) 另外补充一个积分公式:

?

a x x 2 2 a ? x d x ? arcsin ? a ? x ? C. 2 a 2
2 2

2

杂 例
x 1 x3 例1: ? 4 ? x 6 d x ? 6 arctan 2 ? C .
2

5x ? 2 5 2x 2 例2: 2 ? x ? 4 d x ? 2 ? x2 ? 4 d x ?? x2 ? 4 d x 5 x 2 ? ln x ? 4 ? arctan ? C . 2 2 1 2 2 2 例3: x 1 ? x d x ? ? ? 1 ? x d (1 ? x ) ? 2 3

?

?

1 2 2 ? ? (1 ? x ) ? C . 3

1 2x ? 2 ? 2 例4: ? x 2 ? 2 x ? 5 d x ? 2 ? x 2 ? 2 x ? 5 dx 2 1 d ( x ? 2 x ? 5) dx ? ? dx ? ? 2 x2 ? 2x ? 5 ( x ? 1) 2 ? 4
x

? x ? 2 x ? 5 ? ln( x ? 1 ? x ? 2 x ? 5 ) ? C .
2 2

2 ?1 d x 令 x ? t , dx ? t 3 dt . 例5: ? a3 ? x3 3 1 3 3 1 t 2 ?3 2 x ?? t d t ? arcsin ? C. 3 3 2 3 3 a a ?t
x

2 3

例6:?

dx 3 x (1 ? x )
6

x?t6

?

t 6? 3 dt 2 t (1 ? t )

5

? 6( x ? arctan x ) ? C .
6

例7:?
? ln

dx 1? e
x
x

1? e x ? t

?

1 2t ? t ? t 2 ? 1 dt
x

1? e ?1 1? e ?1
x

? C ? 2 ln 1 ? e ? 1 ? x ? C .

例8:?
?
2

sin x cos x a sin x ? b cos x
2 2 2 2

dx

1 2(a ? b
2

2
2

? )

d (a 2 ? (a 2 ? b 2 ) cos2 x ) a 2 ? (a 2 ? b 2 ) cos2 x
2 2

a sin x ? b cos x ? ? C. 2 2 a ?b ln tan x ln tan x 例9: ? sin x ? cos x d x ? ? tan x ? cos 2 x d x t ? tan x ln t 1 2 ? ? t d t ? 2 (ln(tan x )) ? C .

cos x 例10: ? sin x ? cos x d x

1 cos x ? sin x ? sin x ? cos x ? ? dx 2 sin x ? cos x 1 d (sin x ? cos x ) 1 ? ? ? x 2 sin x ? cos x 2 1 1 ? ln sin x ? cos x ? x ? C . 2 2

cos x dx 例10:? sin x ? cos x cos x ? d x 令x ? ? t , 另解:原式 ? ? ? 4 2 sin( x ? ) 4 1 ? (cos t ? sin t ) cos(t ? ) 2 4 dt ? ?? dt ? 2 sin t 2 sin t 1 1 ? ? (cot t ? 1)d t ? (ln sin t ? t ) ? C 2 2 1 ? ? ? [ln sin( x ? ) ? x ? ] ? C 2 4 4

e (1 ? x ) 1? x dx dx ? ? x 例11: x ? x(1 ? xe x ) xe (1 ? xe ) x dt xe x ?? 令 t ? xe ? t (1 ? t ) ? ln 1 ? xe x ? C .
x

例12: 设 f ?(sin 2 x ) ? cos 2 x , 求 f ( x ) .
解: f ?( u ) ? 1 ? u ? f ( u) ? ? (1 ? u )du
2
2

u x ? f ( u) ? u ? ? C . ? f ( x) ? x ? ? C. 3 3

3

3



更多相关文章:
高等数学 不定积分例题、思路和答案(超全)
高等数学 不定积分例题、思路和答案(超全)_理学_高等教育_教育专区。高等数学 不定积分例题、思路和答案(超全),66页 第4章名称 不定积分的概念设 不定积分...
不定积分的基本公式
不定积分的基本公式_管理学_高等教育_教育专区。不定积分的基本公式 不定积分一. 求不定积分与求导数或微分互为逆运算 . ( F ' ( x) = f ( x) 或 ...
不定积分与定积分
第四章 不定积分与定积分 4.1 不定积分 一、学时: 学时: 二、教学要求: 教学要求: 不定积分的定义:原函数、不定积分、积分基本公式、不定积分加法与数乘...
最全不定积分表(高数老师那要来的)
最全不定积分表(高数老师那要来的)_研究生入学考试_高等教育_教育专区。最全不定积分表一. 含有 x n 的积分 1. n ∫ x dx = x n +1 + c , n ≠...
不定积分与定积分的运算
原函数的存在性: 原函数的存在性: 不定积分: 不定积分: 的带有任意常数项的原函数称为 的不定积分。记作 ∫ f ( x)dx 一个重要的原函数: 一个重要的...
不定积分换元法例题
不定积分换元法例题_历史学_高等教育_教育专区。对不定积分换元法的题型做了一个很全面的解读、讲解,希望能够对大家有所帮助。不定积分换元法例题 2009-12-18...
第四章:不定积分
第四章:不定积分学习要求: 1.理解原函数和不定积分的概念,掌握不定积分的基本公式和性质 2.掌握不定积分的换元积分法 3.掌握不定积分的分步积分法 4....
不定积分解法总结
不定积分解法总结_理学_高等教育_教育专区。高等数学中较为关键的一部分内容 不定积分解题方法总结摘要:在微分学中,已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题...
高等数学导数、微分、不定积分公式
高等数学导数、微分、不定积分公式_理学_高等教育_教育专区。高等数学导数、微分、不定积分公 高等数学导数、微分、不定积分公式一、基本导数公式: 基本导数公式: ...
不定积分求解方法及技巧小汇总
不定积分求解方法及技巧小汇总摘要:总结不定积分基本定义,性质和公式,求不定积分的几种基本方法和技巧,列举个别 典型例子,运用技巧解题。 一.不定积分的概念与...
更多相关标签:
不定积分∫    定积分    不定积分公式    积分    不定积分计算器    无限猴子定理    不定积分符号    缺8数    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图