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2014年高考数学文科分类汇编:函数与导数




B 单元 函数与导数



B1 函数及其表示 14. 、[2014· 安徽卷] 若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为
? ?x(1-x),0≤x≤1, 29? ?41? f(x)=? 则 f? 4 ?+f? 6 ?=______. ? ?sin π x,1<x≤2, ?

5 14. 16 5 . 16

29? ?41? ? 3? ? 7? π 3 ?3? ?7? [解析] 由题易知 f? ? 4 ?+f? 6 ?=f?-4?+f?-6?=-f?4?-f?6?=-16+sin 6 =

2. 、[2014· 北京卷] 下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( ) -x 3 A.y=e B.y=x C.y=ln x D.y=|x| 2.B [解析] 由定义域为 R,排除选项 C,由函数单调递增,排除选项 A,D. 21. 、 、[2014· 江西卷] 将连续正整数 1,2,?,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数 123? n,F(n)为这个数的位数(如 n=12 时,此数为 123456789101112,共有 15 个数字,F(12)= 15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到 0 的概率. (1)求 p(100); (2)当 n≤2014 时,求 F(n)的表达式; (3)令 g(n)为这个数中数字 0 的个数,f(n)为这个数中数字 9 的个数,h(n)=f(n)-g(n),S ={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当 n∈S 时 p(n)的最大值. 21.解:(1)当 n=100 时,这个数中总共有 192 个数字,其中数字 0 的个数为 11,所以 11 恰好取到 0 的概率为 p(100)= . 192 n,1≤n≤9,

? ?2n-9,10≤n≤99, (2)F(n)=? 3n-108,100≤n≤999, ? ?4n-1107,1000≤n≤2014.

(3)当 n=b(1≤b≤9,b∈N*),g(n)=0; 当 n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)时,g(n)=k; 当 n=100 时,g(n)=11,即 g(n)= ?0,1≤n≤9,

? ?k,n=10k+b,1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N, ? ?11,n=100.
同理有 f(n)= 0,1≤n≤8,

? ?k,n=10k+b-1,1≤k≤8,0≤b≤9,k∈N ,b∈N, ?n-80,89≤n≤98, ? ?20,n=99,100.
*

由 h(n)=f(n)-g(n)=1,可知 n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90, 所以当 n≤100 时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}. 当 n=9 时,p(9)=0.

g(90) 9 1 当 n=90 时,p(90)= = = . 171 19 F(90) g(n) k k k 当 n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)= = = ,由 y= 关于 k F(n) 2n-9 20k+9 20k+9 8 单调递增,故当 n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)的最大值为 p(89)= . 169 8 1 1 又 < ,所以当 n∈S 时,p(n)的最大值为 . 169 19 19 1 3.[2014· 山东卷] 函数 f(x)= 的定义域为( ) log2x-1 A.(0,2) B.(0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 3.C [解析] 若函数 f(x)有意义,则 log2x-1>0,∴log2x>1,∴x>2. B2 反函数 )

3 5.[2014· 全国卷] 函数 y=ln( x+1)(x>-1)的反函数是( A.y=(1-e ) (x>-1) B.y=(ex-1)3(x>-1) C.y=(1-ex)3(x∈R) D.y=(ex-1)3(x∈R) 5.D
x 3

3 [解析] 因为 y=ln( x+1),所以 x=(ey-1)3.因为 x>-1,所以 y∈R,所以函数

3 y=ln( x+1)(x>-1)的反函数是 y=(ex-1)3(x∈R). B3 函数的单调性与最值 2. 、[2014· 北京卷] 下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( ) -x 3 A.y=e B.y=x C.y=ln x D.y=|x| 2.B [解析] 由定义域为 R,排除选项 C,由函数单调递增,排除选项 A,D. 4. 、[2014· 湖南卷] 下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( ) 1 2 A.f(x)= 2 B.f(x)=x +1 x - C.f(x)=x3 D.f(x)=2 x 4.A [解析] 由偶函数的定义,可以排除 C,D,又根据单调性,可得 B 不对. - 19. 、 、 、[2014· 江苏卷] 已知函数 f(x)=ex+e x,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明:f(x)是 R 上的偶函数. - (2)若关于 x 的不等式 mf(x)≤e x +m-1 在(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围. - 3 (3)已知正数 a 满足:存在 x0∈[1,+∞),使得 f(x0)<a(-x0 +3x0)成立.试比较 ea 1 与 - ae 1 的大小,并证明你的结论. - - 19.解: (1)证明:因为对任意 x∈R,都有 f(-x)=e x+e -(-x)=e x+ex=f(x), 所以 f(x)是 R 上的偶函数. - - (2)由条件知 m(ex+e x-1)≤e x-1 在(0,+∞)上恒成立. t-1 令 t=ex(x>0),则 t>1,所以 m≤- 2 = t -t+1



1 对任意 t>1 成立. 1 t-1+ + 1 t-1 1 1 1 (t-1)· +1=3, 所以 - ≥- , 1 3 t - 1 t-1+ + 1 t-1

1 因为 t-1+ + 1≥2 t-1

当且仅当 t=2, 即 x = ln 2 时等号成立. 1? 因此实数 m 的取值范围是? ?-∞,-3?. 1 1 (3)令函数 g(x)=ex+ x- a(-x3+3x),则 g′ (x) =ex- x+3a(x2-1). e e 1 当 x≥1 时,ex- x>0,x2-1≥0.又 a>0,故 g′(x)>0,所以 g(x)是[1,+∞)上的单调 e 递增函数, 因此 g(x)在[1,+∞)上的最小值是 g(1)= e+e 1-2a. 由于存在 x0∈[1, +∞), 使 ex0+e-x0-a(-x3 0+ 3x0 )<0 成立,当且仅当最小值 g(1)<0,


e+e 1 - 故 e+e 1-2a<0, 即 a> . 2


e-1 令函数 h(x) = x -(e-1)ln x-1,则 h′(x)=1- . 令 h′(x)=0, 得 x=e-1. x 当 x∈(0,e-1)时,h′(x)<0,故 h(x)是(0,e-1)上的单调递减函数; 当 x∈(e-1,+∞)时,h′(x)>0,故 h(x)是(e-1,+∞)上的单调递增函数. 所以 h(x)在(0,+∞)上的最小值是 h(e-1). 注意到 h(1)=h(e)=0,所以当 x∈(1,e-1)?(0,e-1)时,h(e-1)≤h(x)<h(1)=0; 当 x∈(e-1,e)?(e-1,+∞)时, h(x)<h(e)=0. 所以 h(x)<0 对任意的 x∈(1,e)成立. 故①当 a∈? e+e 1 ? ? 2 ,e??(1,e)时, h(a)<0,
- - -

即 a-1<(e-1)ln a,从而 ea 1<ae 1; - - ②当 a=e 时,ea 1=ae 1; - - ③当 a∈(e,+∞)?(e-1,+∞)时,h(a)>h(e)=0,即 a-1>(e-1)ln a,故 ea 1>ae 1. 综上所述,当 a∈?
- -

e+e 1 ? a-1 e -1 a-1 e-1 ? 2 ,e?时,e <a ;当 a=e 时,e =a ;当 a∈(e,+∞)


时,ea 1>ae 1. 15. 、 、[2014· 四川卷] 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函 数 φ(x)组成的集合:对于函数 φ(x),存在一个正数 M,使得函数φ (x)的值域包含于区间[- M,M].例如,当φ 1(x)=x3,φ2(x)=sin x 时,φ 1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D, 则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R, ?a∈D, f(a)=b”; ②若函数 f(x)∈B,则 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)∈/B; x ④若函数 f(x)=aln(x+2)+ 2 (x>-2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B. x +1 其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号) 15.①③④ [解析] 若 f(x)∈A,则函数 f(x)的值域为 R,于是,对任意的 b∈R,一定 存在 a∈D,使得 f(a)=b,故①正确. 取函数 f(x)=x(-1<x<1),其值域为(-1,1),于是,存在 M=1,使得函数 f(x)的值

域包含于[-M,M]=[-1,1],但此时函数 f(x)没有最大值和最小值,故②错误. 当 f(x)∈A 时,由①可知,对任意的 b∈R,存在 a∈D,使得 f(a)=b,所以,当 g(x)∈B 时,对于函数 f(x)+g(x),如果存在一个正数 M,使得 f(x)+g(x)的值域包含于[-M,M],那 么对于该区间外的某一个 b0∈R,一定存在一个 a0∈D,使得 f(x)+f(a0)=b0-g(a0),即 f(a0) +g(a0)=b0?[-M,M],故③正确. x 对于 f(x)=aln(x+2)+ 2 (x>-2),当 a>0 或 a<0 时,函数 f(x)都没有最大值.要使 x +1 1 1? x 得函数 f(x)有最大值,只有 a=0,此时 f(x)= 2 (x>-2).易知 f(x)∈? ?-2,2?,所以存在 x +1 1 正数 M= ,使得 f(x)∈[-M,M],故④正确 2 21. 、[2014· 四川卷] 已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28?为自 然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2<a<1. 21.解:(1)由 f(x)=ex-ax2-bx-1,得 g(x)=f′(x)=ex-2ax-b,所以 g′(x)=ex-2a. 当 x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a]. 1 当 a≤ 时,g′(x)≥0,所以 g(x)在[0,1]上单调递增, 2 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; e 当 a≥ 时,g′(x)≤0,所以 g(x)在[0,1]上单调递减, 2 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b; 1 e 当 <a< 时,令 g′(x)=0,得 x=ln(2a)∈(0,1), 2 2 所以函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增, 于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b. 1 综上所述,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; 2 1 e 当 <a< 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b; 2 2 e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b. 2 (2)证明:设 x0 为 f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由 f(0)=f(x0)=0 可知, f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则 g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负. 故 g(x)在区间(0,x0)内存在零点 x1. 同理 g(x)在区间(x0,1)内存在零点 x2.故 g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点. 1 由(1)知,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上单调递增,故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点; 2 e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上单调递减,故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意. 2 1 e 所以 <a< . 2 2 此时 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增. 因此 x1∈(0,ln(2a)),x2∈(ln(2a),1),必有 g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0. 由 f(1)=0 有 a+b=e-1<2,有 g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0. 解得 e-2<a<1. 所以,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点时,e-2<a<1.

B4 函数的奇偶性与周期性 4.[2014· 重庆卷] 下列函数为偶函数的是( ) A.f(x)=x-1 B.f(x)=x2+x - - C.f(x)=2x-2 x D.f(x)=2x+2 x 4.D [解析] A 中,f(-x)=-x-1,f(x)为非奇非偶函数;B 中,f(-x)=(-x)2-x=x2 - - -x,f(x)为非奇非偶函数;C 中,f(-x)=2 x-2x=-(2x-2 x)=-f(x),f(x)为奇函数;D 中, - f(-x)=2 x+2x=f(x),f(x)为偶函数.故选 D. 14. 、[2014· 安徽卷] 若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为
? ?x(1-x),0≤x≤1, 29? ?41? f(x)=? 则 f? 4 ?+f? 6 ?=______. ? ?sin π x,1<x≤2, ?

5 14. 16 5 . 16

29? ?41? ? 3? ? 7? π 3 ?3? ?7? [解析] 由题易知 f? ? 4 ?+f? 6 ?=f?-4?+f?-6?=-f?4?-f?6?=-16+sin 6 =

5.[2014· 广东卷] 下列函数为奇函数的是( 1 A.2x- x 2 B.x3sin x

)

C.2cos x+1 D.x2+2x 5.A 1 - - [解析] 对于 A 选项,令 f(x)=2x- x=2x-2 x,其定义域是 R,f(-x)=2 x-2x 2

=-f(x), 所以 A 正确; 对于 B 选项, 根据奇函数乘奇函数是偶函数, 所以 x3sin x 是偶函数; C 显然也是偶函数;对于 D 选项,根据奇偶性的定义,该函数显然是非奇非偶函数. 9. 、[2014· 湖北卷] 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-3x,则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3} C.{2- 7,1,3} D.{-2- 7,1,3} 9.D [解析] 设 x<0,则-x>0,所以 f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-3(-x)]=-x2-3x . 求函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点等价于求方程 f(x)=-3+x 的解. 当 x≥0 时,x2-3x=-3+x,解得 x1=3,x2=1; 当 x<0 时,-x2-3x=-3+x,解得 x3=-2- 7.故选 D. 4. 、[2014· 湖南卷] 下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( ) 1 2 A.f(x)= 2 B.f(x)=x +1 x - C.f(x)=x3 D.f(x)=2 x 4.A [解析] 由偶函数的定义,可以排除 C,D,又根据单调性,可得 B 不对. 15.[2014· 湖南卷] 若 f(x)=ln(e3x+1)+ax 是偶函数,则 a=________. 3 - 15.- [解析] 由偶函数的定义可得 f(-x)=f(x),即 ln(e 3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax, 2 3 ∴2ax=-ln e3x=-3x,∴a=- . 2 - 19. 、 、 、[2014· 江苏卷] 已知函数 f(x)=ex+e x,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明:f(x)是 R 上的偶函数. - (2)若关于 x 的不等式 mf(x)≤e x +m-1 在(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围. - 3 (3)已知正数 a 满足:存在 x0∈[1,+∞),使得 f(x0)<a(-x0 +3x0)成立.试比较 ea 1 与 - ae 1 的大小,并证明你的结论. - - 19.解: (1)证明:因为对任意 x∈R,都有 f(-x)=e x+e -(-x)=e x+ex=f(x),

所以 f(x)是 R 上的偶函数. - - (2)由条件知 m(ex+e x-1)≤e x-1 在(0,+∞)上恒成立. t-1 令 t=ex(x>0),则 t>1,所以 m≤- 2 = t -t+1 - 1 对任意 t>1 成立. 1 t-1+ + 1 t-1 1 1 1 (t-1)· +1=3, 所以 - ≥- , 1 3 t - 1 t-1+ + 1 t-1

1 因为 t-1+ + 1≥2 t-1

当且仅当 t=2, 即 x = ln 2 时等号成立. 1? 因此实数 m 的取值范围是? ?-∞,-3?. 1 1 (3)令函数 g(x)=ex+ x- a(-x3+3x),则 g′ (x) =ex- x+3a(x2-1). e e 1 当 x≥1 时,ex- x>0,x2-1≥0.又 a>0,故 g′(x)>0,所以 g(x)是[1,+∞)上的单调 e 递增函数, 因此 g(x)在[1,+∞)上的最小值是 g(1)= e+e 1-2a. 由于存在 x0∈[1, +∞), 使 ex0+e-x0-a(-x3 0+ 3x0 )<0 成立,当且仅当最小值 g(1)<0,


e+e 1 故 e+e -2a<0, 即 a> . 2
- -1

e-1 令函数 h(x) = x -(e-1)ln x-1,则 h′(x)=1- . 令 h′(x)=0, 得 x=e-1. x 当 x∈(0,e-1)时,h′(x)<0,故 h(x)是(0,e-1)上的单调递减函数; 当 x∈(e-1,+∞)时,h′(x)>0,故 h(x)是(e-1,+∞)上的单调递增函数. 所以 h(x)在(0,+∞)上的最小值是 h(e-1). 注意到 h(1)=h(e)=0,所以当 x∈(1,e-1)?(0,e-1)时,h(e-1)≤h(x)<h(1)=0; 当 x∈(e-1,e)?(e-1,+∞)时, h(x)<h(e)=0. 所以 h(x)<0 对任意的 x∈(1,e)成立. e+e ? 故①当 a∈? ? 2 ,e??(1,e)时, h(a)<0, 即 a-1<(e-1)ln a,从而 ea 1<ae 1; - - ②当 a=e 时,ea 1=ae 1; - - ③当 a∈(e,+∞)?(e-1,+∞)时,h(a)>h(e)=0,即 a-1>(e-1)ln a,故 ea 1>ae 1.
- - -1

综上所述,当 a∈?
- -

e+e 1 ? a-1 e -1 a-1 e-1 ? 2 ,e?时,e <a ;当 a=e 时,e =a ;当 a∈(e,+∞)


时,ea 1>ae 1. 12.[2014· 全国卷] 奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+ f(9)=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 12.D [解析] 因为 f(x+2)为偶函数,所以其对称轴为直线 x=0,所以函数 f(x)的图像 的对称轴为直线 x=2.又因为函数 f(x)是奇函数, 其定义域为 R, 所以 f(0)=0, 所以 f(8)=f(-

4)=-f(4)=-f(0)=0,故 f(8)+f(9)=0+f(-5)=-f(5)=-f(-1)=f(1)=1. 15.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 偶函数 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称,f(3)=3,则 f(- 1)=________. 15.3 [解析] 因为函数图像关于直线 x=2 对称,所以 f(3)=f(1),又函数为偶函数, 所以 f(-1)=f(1),故 f(-1)=3. 5.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是 偶函数,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 5.C [解析] 因为 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 于是 f(-x)· g(-x)=-f(x)g(x),即 f(x)g(x)为奇函数,A 错; |f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),即|f(x)|g(x)为偶函数,B 错; f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,即 f(x)|g(x)|为奇函数,C 正确; |f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,即 f(x)g(x)为偶函数,所以 D 也错. 13.[2014· 四川卷] 设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时,f(x)= 2 ?-4x +2,-1≤x<0, ? 3? ? 则 f? ?2?=________. ?x, 0≤x<1, ? 3? ? 1? ? 1? 1 2 2- f - =-4?- ? +2=1. 13.1 [解析] 由题意可知,f? = f ?2? ? 2? ? 2? ? 2? B5 二次函数 10.[2014· 江苏卷] 已知函数 f(x)=x2+mx-1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值范围是________. 10.?-

?

2 ? 2 ,0 [解析] 因为 f(x)=x +mx-1 是开口向上的二次函数,所以函数的最大 2 ?

? ?f(m)<0, 值只能在区间端点处取到, 所以对于任意 x∈[m, m+1], 都有 f(x)<0, 只需? ?f(m+1)<0, ?

?- 22<m< 22, 2 解得? 即 m∈?- ,0?. 2 ? ? 3 ?-2<m<0,
14. 、[2014· 全国卷] 函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为________. 3 14. 2 1 2 3 sin x- ? + , [解析] 因为 y=cos 2x+2sin x=1-2sinx2+2sin x=-2? 2? 2 所以当 sin ?

1 3 x= 时函数 y=cos 2x+2sin x 取得最大值,最大值为 . 2 2 B6 指数与指数函数 5.[2014· 安徽卷] 设 a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则( A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b

)

5.B [解析] 因为 2>a=log37>1,b=21.1>2,c=0.83.1<1,所以 c<a<b. 8. , ,[2014· 福建卷] 若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像如图 12 所示,则下列函数图 像正确的是( )

图 12 A B

C D 图 13 8.B [解析] 由函数 y=logax 的图像过点(3,1),得 a=3. 1?x 3 选项 A 中的函数为 y=? ?3? ,其函数图像不正确;选项 B 中的函数为 y=x ,其函数图 像正确;选项 C 中的函数为 y=(-x)3,其函数图像不正确;选项 D 中的函数为 y=log3(- x),其函数图像不正确,故选 B. 1 1 11 3. 、[2014· 辽宁卷] 已知 a=2- ,b=log2 ,c=log ,则( ) 3 3 23 A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 1 1 3.D [解析] 因为 0<a=2- <1,b=log2 <0, 3 3 11 11 c=log >log =1,所以 c>a>b. 23 22 - ex 1,x<1, ? ? 15. 、 [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 设函数 f(x)=? 1 则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值 x ,x≥1, ? 3 ? 范围是________. 1 - 15. (-∞, 8] [解析] 当 x<1 时, 由 ex 1≤2, 得 x<1; 当 x≥1 时, 由 x ≤2, 解得 1≤x≤8, 3 综合可知 x 的取值范围为 x≤8. 5. ,[2014· 山东卷] 已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( A.x3>y3 B.sin x>sin y C.ln(x2+1)>ln(y2+1) 1 1 D. 2 > 2 x +1 y +1 5.A [解析] 因为 ax<ay(0<a<1),所以 x>y,所以 x3>y3 恒成立.故选 A. 7.[2014· 陕西卷] 下列函数中,满足“f(x+y)= f(x)f(y)”的单调递增函数是( ) )

A.f(x)=x3

B.f(x)=3x

1?x 1 C.f(x)=x D.f(x)=? ?2? 2 1?x 7.B [解析] 由于 f(x+y)=f(x)f(y),故排除选项 A,C.又 f(x)=? ?2? 为单调递减函数, 所以排除选项 D. 12.[2014· 陕西卷] 已知 4a=2,lg x=a,则 x=________. 12. 10 1 1 1 [解析] 4a=2,即 22a=2,可得 a= ,所以 lg x= ,所以 x=10 = 10. 2 2 2

7. 、 [2014· 四川卷] 已知 b>0, log5b=a, lg b=c, 5d=10, 则下列等式一定成立的是( ) A.d=ac B.a=cd C.c=ad D.d=a+c 7.B [解析] 因为 5d=10,所以 d=log510,所以 cd=lg b·log510=log5b=a,故选 B. 9. 、[2014· 四川卷] 设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y -m+3=0 交于点 P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是( ) A.[ 5,2 5 ] B.[ 10,2 5 ] C.[ 10,4 5 ] D.[2 5,4 5 ] 9.B [解析] 由题意可知,定点 A(0,0),B(1,3),且两条直线互相垂直, 则其交点 P(x,y)落在以 AB 为直径的圆周上, 所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,即|PA|+|PB|≥|AB|= 10. 又|PA|+|PB|= (|PA|+|PB|)2= |PA|2+2|PA||PB|+|PB|2≤ 2(|PA|2+|PB|2)=2 5, 所以|PA|+|PB|∈[ 10,2 5],故选 B. 1 - 4.[2014· 天津卷] 设 a=log2π ,b=log π ,c=π 2,则( ) 2 A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 1 1 4.C [解析] ∵a=log2π >1,b=log π <0,c= 2<1, 2 π ∴b<c<a. B7 对数与对数函数 12.[2014· 天津卷] 函数 f(x)=lg x2 的单调递减区间是________. 12.(-∞,0) [解析] 函数 f(x)=lg x2 的单调递减区间需满足 x2>0 且 y=x2 单调递减, 故 x∈(-∞,0). 16? 4 5 4 11.[2014· 安徽卷] ? ?81? +log34+log35=________. 5 4? ?2?-3 27 2 4 -4 27 11. [解析] 原式=??3? ? +log3? ?4×5?=?3? = 8 . 8 ?? ? ? 8. 、[2014· 浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=logax 的图像可能 是( )
3 - 3

A

B

C

D

图 12 8.D [解析] 只有选项 D 符合,此时 0<a<1,幂函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 当 x∈(0,1)时,f(x)的图像在直线 y=x 的上方,对数函数 g(x)在(0,+∞)上为减函数.故 选 D. 8. , ,[2014· 福建卷] 若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像如图 12 所示,则下列函数图 像正确的是( )

图 12 A B

C D 图 13 8.B [解析] 由函数 y=logax 的图像过点(3,1),得 a=3. 1?x 3 选项 A 中的函数为 y=? ?3? ,其函数图像不正确;选项 B 中的函数为 y=x ,其函数图 像正确;选项 C 中的函数为 y=(-x)3,其函数图像不正确;选项 D 中的函数为 y=log3(- x),其函数图像不正确,故选 B. 13. 、 [2014· 广东卷] 等比数列{an}的各项均为正数, 且 a1a5=4, 则 log2a1+log2a2+log2a3 +log2a4+log2a5=________. 13. 5 [解析] 在等比数列中, a1a5=a2a4=a2 所以 a3=2, 所以 a1a2a3a4a5 3=4.因为 an>0, 5 5 =(a1a5)(a2a4)a3=a3=2 , 所以 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5.

1 1 11 3. 、[2014· 辽宁卷] 已知 a=2- ,b=log2 ,c=log ,则( ) 3 3 23 A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 1 1 3.D [解析] 因为 0<a=2- <1,b=log2 <0, 3 3 11 11 c=log >log =1,所以 c>a>b. 23 22 6. ,[2014· 山东卷] 已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a>0,a≠1)的图像如图 11 所示,则下列结论成立的是( )

图 11 A.a>1,x>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 6.D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限,得该函数是减函数,∴0<a< 1.∵图像与 x 轴的交点在区间(0,1)之间,∴该函数的图像是由函数 y=logax 的图像向左平 移不到 1 个单位后得到的,∴0<c<1. 7. 、 [2014· 四川卷] 已知 b>0, log5b=a, lg b=c, 5d=10, 则下列等式一定成立的是( ) A.d=ac B.a=cd C.c=ad D.d=a+c 7.B [解析] 因为 5d=10,所以 d=log510,所以 cd=lg b·log510=log5b=a,故选 B. 9. 、[2014· 重庆卷] 若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是( ) A.6+2 3 B.7+2 3 C.6+4 3 D.7+4 3 4 3 9.D [解析] 由 log4(3a+4b)=log2 ab,得 3a+4b=ab,则 + =1,所以 a+b=(a a b 4 3 4b 3a 4b 3a 4b 3a ? +b)? · =7+4 3, 当且仅当 = , 即 a=4+2 3, ?a+b?=7+ a + b ≥7+2 a b a b b=2 3+3 时等号成立,故其最小值是 7+4 3. B8 幂函数与函数的图像 8. 、[2014· 浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=logax 的图像可能 是( )

A

B

C

D

图 12 8.D [解析] 只有选项 D 符合,此时 0<a<1,幂函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 当 x∈(0,1)时,f(x)的图像在直线 y=x 的上方,对数函数 g(x)在(0,+∞)上为减函数.故 选 D. 8. , ,[2014· 福建卷] 若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像如图 12 所示,则下列函数图 像正确的是( )

图 12 A B

C D 图 13 8.B [解析] 由函数 y=logax 的图像过点(3,1),得 a=3. 1?x 3 选项 A 中的函数为 y=? ?3? ,其函数图像不正确;选项 B 中的函数为 y=x ,其函数图 像正确;选项 C 中的函数为 y=(-x)3,其函数图像不正确;选项 D 中的函数为 y=log3(- x),其函数图像不正确,故选 B. 15.[2014· 湖北卷] 如图 14 所示,函数 y=f(x)的图像由两条射线和三条线段组成. 若?x∈R,f(x)>f(x-1),则正实数 a 的取值范围为________.

图 14 1 ? 15.? f(x)>f(x-1)”等价于“函数 y=f(x)的图像恒在函数 y=f(x ?0,6? [解析] “?x∈R, -1)的图像的上方”,函数 y=f(x-1)的图像是由函数 y=f(x)的图像向右平移一个单位得到 1? 的,如图所示.因为 a>0,由图知 6a<1,所以 a 的取值范围为? ?0,6?.

13. 、[2014· 江苏卷] 已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=

?x2-2x+1?.若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值 2? ?
范围是________. 1? 13.? ?0,2? 1 [解析] 先画出 y=x2-2x+ 在区间[0,3]上的图像,再将 x 轴下方的图像对 2

称到 x 轴上方,利用周期为 3,将图像平移至区间[-3,4]内,即得 f(x)在区间[-3,4]上的 图像如下图所示,其中 f(-3)=f(0)=f(3)=0.5,f(-2)=f(1)=f(4)=0.5. 函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同)等价于 y=f(x)的图像与直线 y 1? =a 有 10 个不同的交点,由图像可得 a∈? ?0,2?.

e ,x<1, ? ? 15. 、 [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 设函数 f(x)=? 1 则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值 x ,x≥1, ? ?3 范围是________. 1 - 15. (-∞, 8] [解析] 当 x<1 时, 由 ex 1≤2, 得 x<1; 当 x≥1 时, 由 x ≤2, 解得 1≤x≤8, 3 综合可知 x 的取值范围为 x≤8. 6. ,[2014· 山东卷] 已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a>0,a≠1)的图像如图 11 所示,则下列结论成立的是( )

x-1

图 11 A.a>1,x>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 6.D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限,得该函数是减函数,∴0<a< 1.∵图像与 x 轴的交点在区间(0,1)之间,∴该函数的图像是由函数 y=logax 的图像向左平 移不到 1 个单位后得到的,∴0<c<1.

B9

函数与方程

6 6.[2014· 北京卷] 已知函数 f(x)= -log2x,在下列区间中,包含 f(x)的零点的区间是 x ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 6 6.C [解析] 方法一:对于函数 f(x)= -log2x,因为 f(2)=2>0,f(4)=-0.5<0,根据 x 零点的存在性定理知选 C. 6 方法二:在同一坐标系中作出函数 h(x)= 与 g(x)=log2x 的大致图像,如图所示,可得 x f(x)的零点所在的区间为(2,4).

(

7.[2014· 浙江卷] 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,且 0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则 ) A.c≤3 B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9
? ?-1+a-b+c=-8+4a-2b+c, 7.C [解析] 由 f(-1)=f(-2)=f(-3)得? ? ?-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c ? ? ?-7+3a-b=0, ? ?a=6, ? ?? ?19-5a+b=0 ?b=11, ? ?

则 f(x)=x3+6x2+11x+c,而 0<f(-1)≤3,故 0<-6+c≤3,∴6<c≤9,故选 C. 1 ? ?x+1-3,x∈(-1,0], 10.[2014· 重庆卷] 已知函数 f(x)=? 且 g(x)=f(x)-mx-m 在 ? ?x,x∈(0,1], (-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是( ) 9 1 ? ? ? A.? ?-4,-2?∪?0,2? 11 1 - ,-2?∪?0, ? B.? ? 4 ? ? 2? 9 ? ? 2? C.? ?-4,-2?∪?0,3? 11 ? ? 2? D.? ?- 4 ,-2?∪?0,3? 10.A [解析] 作出函数 f(x)的图像,如图所示.函数 g(x)=f(x)-mx-m 的零点为方程 f(x)-mx-m=0 的根,即为函数 y=f(x)与函数 y=m(x+1)图像的交点.而函数 y=m(x+1)

1 的图像恒过定点 P(-1,0),由图易知有两交点的边界有四条,其中 kPO=0,kPA= ,kPB= 2 1 1 -2,第四条为过 P 点的曲线 y= -3 的切线 PC.将 y=m(x+1)(m≠0)代入 y= -3, x+1 x+1 9 得 mx2+(2m+3)x+m+2=0, 则由 Δ=(2m+3)2-4m(m+2)=4m+9=0, 得 m=- , 即 kPC 4 9 9 ? ? 1? =- ,所以由图可知满足条件的实数 m 的取值范围是? ?-4,-2?∪?0,2?. 4

2 ? ?x -2,x≤0, ? 15.[2014· 福建卷] 函数 f(x)= 的零点个数是________. ?2x-6+ln x,x>0 ?

15.2 [解析] 当 x≤0 时,f(x)=x2-2, 令 x2-2=0,得 x= 2(舍)或 x=- 2, 即在区间(-∞,0)上,函数只有一个零点. 当 x>0 时,f(x)=2x-6+ln x, 令 2x-6+ln x=0,得 ln x=6-2x. 作出函数 y=ln x 与 y=6-2x 在区间(0,+∞)上的图像, 则两函数图像只有一个交点,即函数 f(x)=2x-6+ln x(x>0)只有一个零点. 综上可知,函数 f(x)的零点的个数是 2. 9. 、[2014· 湖北卷] 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-3x,则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3} C.{2- 7,1,3} D.{-2- 7,1,3} 9.D [解析] 设 x<0,则-x>0,所以 f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-3(-x)]=-x2-3x . 求函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点等价于求方程 f(x)=-3+x 的解. 当 x≥0 时,x2-3x=-3+x,解得 x1=3,x2=1; 当 x<0 时,-x2-3x=-3+x,解得 x3=-2- 7.故选 D. 13. 、[2014· 江苏卷] 已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=

?x2-2x+1?.若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值 2? ?
范围是________. 1? 13.? ?0,2? 1 [解析] 先画出 y=x2-2x+ 在区间[0,3]上的图像,再将 x 轴下方的图像对 2

称到 x 轴上方,利用周期为 3,将图像平移至区间[-3,4]内,即得 f(x)在区间[-3,4]上的 图像如下图所示,其中 f(-3)=f(0)=f(3)=0.5,f(-2)=f(1)=f(4)=0.5. 函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同)等价于 y=f(x)的图像与直线 y 1? =a 有 10 个不同的交点,由图像可得 a∈? ?0,2?.

x ? ?a·2 ,x≥0, ? 4.[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)= -x (a∈R).若 f[f(-1)]=1,则 a=( ?2 ,x<0 ?

)

1 A. 4 4.A

1 B. C.1 D.2 2 1 [解析] 因为 f(-1)=21=2,f(2)=a· 22=4a=1,所以 a= . 4

?x2+2x+2,x≤0, ? 15.[2014· 浙江卷] 设函数 f(x)=? 2 若 f(f(a))=2,则 a=________. ?-x , x>0. ?

15. 2 [解析] 令 t=f(a),若 f(t)=2,则 t2+2t+2=2 满足条件,此时 t=0 或 t=-2, 所以 f(a)=0 或 f(a)=-2,只有-a2=-2 满足条件,故 a= 2. 21.[2014· 全国卷] 函数 f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)在区间(1,2)是增函数,求 a 的取值范围. 21.解:(1)f′(x)=3ax2+6x+3,f′(x)=0 的判别式Δ =36(1-a). (i)若 a≥1,则 f′(x)≥0,且 f′(x)=0 当且仅当 a=1,x=-1 时成立.故此时 f(x)在 R 上 是增函数. (ii)由于 a≠0,故当 a<1 时,f′(x)=0 有两个根; x1= -1+ 1-a -1- 1-a ,x2= . a a

若 0<a<1,则当 x∈(-∞,x2)或 x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)分别在(-∞,x2), (x1,+∞)是增函数; 当 x∈(x2,x1)时,f′(x)<0,故 f(x)在(x2,x1)是减函数. 若 a<0,则当 x∈(-∞,x1)或(x2,+∞)时,f′(x)<0,故 f(x)分别在(-∞,x1),(x2, +∞)是减函数; 当 x∈(x1,x2)时 f′(x)>0,故 f(x)在(x1,x2)是增函数. (2)当 a>0,x>0 时,f′(x)=3ax2+6x+3>0,故当 a>0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数. 5 当 a<0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当 f′(1)≥0 且 f′(2)≥0,解得- ≤a<0. 4 5 ? 综上,a 的取值范围是? ?-4,0?∪(0,+∞).
2 ? ?|x +5x+4|,x≤0, ? 14.[2014· 天津卷] 已知函数 f(x)= 若函数 y=f(x)-a|x|恰有 4 个零 ?2|x-2|,x>0. ?

点,则实数 a 的取值范围为________. 14.(1,2) [解析] 在同一坐标系内分别作出 y=f(x)与 y=a|x|的图像,如图所示,当 y =a|x|与 y=f(x)的图像

2 ? ?-ax=-x -5x-4, ? 相切时, 联立 整理得 x2+(5-a)x+4=0, 则 Δ=(5-a)2-4×1×4 ? ?a>0,

=0,解得 a=1 或 a=9(舍去),∴当 y=a|x|与 y=f(x)的图像有四个交点时,有 1<a<2.

B10 函数模型及其应用 8.[2014· 北京卷] 加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食 用率”. 在特定条件下, 可食用率 p 与加工时间 t(单位: 分钟)满足函数关系 p=at2+bt+c(a, b,c 是常数),图 12 记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最 佳加工时间为( )

图 12 A.3.50 分钟 B.3.75 分钟 C.4.00 分钟 D.4.25 分钟 0.7=9a+3b+c, a=-0.2, ? ? ? ? 8.B [解析] 由题意得?0.8=16a+4b+c,解之得?b=1.5, ? ? ?0.5=25a+5b+c, ?c=-2, ∴p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.8125,即当 t=3.75 时,p 有最大值. 10.[2014· 陕西卷] 如图 12 所示,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平 滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )

图 12 1 1 A.y= x3- x2-x 2 2 1 1 B.y= x3+ x2-3x 2 2 1 C.y= x3-x 4 1 1 D.y= x3+ x2-2x 4 2 10.A [解析] 由题意可知,该三次函数的图像过原点,则其常数项为 0,不妨设其解 析式为 y=f(x)=ax3+bx2+cx,则 f′(x)=3ax2+2bx+c,∴f′(0)=-1,f′(2)=3,可得 c=-1, 1 1 3a+b=1.又 y=ax3+bx2+cx 过点(2,0),∴4a+2b=1,∴a= ,b=- ,c=-1,∴y=f(x) 2 2 1 1 = x3- x2-x. 2 2 B11 导数及其运算 m 21. 、 、[2014· 陕西卷] 设函数 f(x)=ln x+ ,m∈R. x (1)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; x (2)讨论函数 g(x)=f′(x)- 零点的个数; 3 f(b)-f(a) (3)若对任意 b>a>0, <1 恒成立,求 m 的取值范围. b-a x-e e 21.解:(1)由题设,当 m=e 时,f(x)=ln x+ ,则 f′(x)= 2 , x x ∴当 x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减; 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增. e ∴x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=ln e+ =2, e ∴f(x)的极小值为 2. x 1 m x (2)由题设 g(x)=f′(x)- = - 2- (x>0), 3 x x 3 1 令 g(x)=0,得 m=- x3+x(x>0), 3 1 设 φ(x)=- x3+x(x≥0), 3 则 φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1), 当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减. ∴x=1 是 φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此 x=1 也是 φ(x)的最大值点, 2 ∴φ (x)的最大值为 φ(1)= . 3 又 φ(0)=0,结合 y=φ(x)的图像(如图所示),可知

2 ①当 m > 时,函数 g(x)无零点; 3 2 ②当 m= 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 3 2 ③当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点; 3 ④当 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点. 2 综上所述,当 m> 时,函数 g(x)无零点; 3 2 当 m= 或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 3 2 当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点. 3 f(b)-f(a) (3)对任意的 b>a>0, <1 恒成立, b-a 等价于 f(b)-b<f(a)-a 恒成立.(*) m 设 h(x)=f(x)-x=ln x+ -x(x>0), x ∴(*)等价于 h(x)在(0,+∞)上单调递减. 1 m 由 h′(x)= - 2-1≤0 在(0,+∞)上恒成立, x x 1 2 1 x- ? + (x>0)恒成立, 得 m≥-x2+x=-? ? 2? 4 1 1 1 对m= ,h′(x)=0仅在x= 时成立?, ∴m≥ ? 4 2 ? 4? 1 ? ∴m 的取值范围是? ?4,+∞?. 20. 、[2014· 安徽卷] 设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (2)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 20.解: (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=1+a-2x-3x2. -1- 4+3a 令 f′(x)=0,得 x1= , 3 x2= -1+ 4+3a ,且 x1<x2, 3

所以 f′(x)=-3(x-x1)(x-x2).

当 x<x1 或 x>x2 时,f′(x)<0; 当 x1<x<x2 时,f′(x)>0. -1- 4+3a? ? ?-1+ 4+3a ? 故 f(x)在?-∞, ?和 ? ,+∞?内单调递减, 3 3 ? ? ? ? 在?

?-1- 4+3a -1+ 4+3a?内单调递增. ? , 3 3 ? ?

(2)因为 a>0,所以 x1<0,x2>0, ①当 a≥4 时,x2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,所以 f(x)在 x=0 和 x=1 处分 别取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1,由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减, -1+ 4+3a 因此 f(x)在 x=x2= 处取得最大值.又 f(0)=1,f(1)=a, 3 所以当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 和 x=1 处同时取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值. 20. 、[2014· 北京卷] 已知函数 f(x)=2x3-3x. (1)求 f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围; (3)问过点 A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x)相切?(只需 写出结论) 20.解:(1)由 f(x)=2x3-3x 得 f′(x)=6x2-3. 令 f′(x)=0,得 x=- 2 2 或 x= . 2 2 2? 2 = 2,f? ?=- 2,f(1)=-1, 2? ?2?

因为 f(-2)=-10,f?-

?

所以 f(x)在区间[-2,1]上的最大值为 f?-

?

2? = 2. 2?

(2)设过点 P(1,t)的直线与曲线 y=f(x)相切于点(x0,y0), 3 则 y0=2x0 -3x0,且切线斜率为 k=6x2 0-3, 2 所以切线方程为 y-y0=(6x0-3)(x-x0), 因此 t-y0=(6x2 0-3)(1-x0), 3 2 整理得 4x0-6x0+t+3=0, 设 g(x)=4x3-6x2+t+3, 则“过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切”等价于“g(x)有 3 个不同零点”. g′(x)=12x2-12x=12x(x-1). 当 x 变化时,g(x)与 g′(x)的变化情况如下: x g′(x) g(x) (-∞,0) + 0 0 t+3 (0,1) - 1 0 t+1 (1,+∞) +

所以,g(0)=t+3 是 g(x)的极大值,g(1)=t+1 是 g(x)的极小值.
? ?g(0)=t+3>0, 结合图像知,当 g(x)有 3 个不同零点时,有? 解得-3<t<-1. ?g(1)=t+1-0, ?

故当过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切时,t 的取值范围是(-3,-1). (3)过点 A(-1,2)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切; 过点 B(2,10)存在 2 条直线与曲线 y=f(x)相切; 过点 C(0,2)存在 1 条直线与曲线 y=f(x)相切. 22. 、 [2014· 福建卷] 已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A, 曲线 y=f(x) 在点 A 处的切线斜率为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x2<ex; (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<cex. 22.解:方法一:(1)由 f(x)=ex-ax, 得 f′(x)=ex-a. 又 f′(0)=1-a=-1,得 a=2. 所以 f(x)=ex-2x,f′(x)=ex-2. 令 f′(x)=0,得 x=ln 2. 当 x<ln 2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln 2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=ln 2 时,f(x)有极小值, 且极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4, f(x)无极大值. (2)证明:令 g(x)=ex-x2,则 g′(x)=ex-2x. 由(1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0, 即 g′(x)>0. 所以 g(x)在 R 上单调递增,又 g(0)=1>0, 所以当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x2<ex. 1 (3)证明:对任意给定的正数 c,取 x0= , c 由(2)知,当 x>0 时,x2<ex. 1 所以当 x>x0 时,ex>x2> x,即 x<cex. c 因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<cex. 方法二:(1)同方法一. (2)同方法一. 1 (3)证明:令 k= (k>0),要使不等式 x<cex 成立,只要 ex>kx 成立. c 而要使 ex>kx 成立,则只需要 x>ln(kx), 即 x>ln x+ln k 成立. ①若 0<k≤1,则 ln k≤0,易知当 x>0 时,x>ln x≥ln x+ln k 成立. 即对任意 c∈[1,+∞),取 x0=0, 当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<cex. 1 x-1 ②若 k>1,令 h(x)=x-ln x-ln k,则 h′(x)=1- = , x x 所以当 x>1 时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上单调递增. 取 x0=4k,h(x0)=4k-ln(4k)-ln k=2(k-ln k)+2(k-ln 2), 易知 k>ln k,k>ln 2,所以 h(x0)>0.

4 因此对任意 c∈(0,1),取 x0= ,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<cex. c 综上,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<cex. 方法三:(1)同方法一. (2)同方法一. (3)证明:①若 c≥1,取 x0=0, 由(2)的证明过程知,ex>2x, 所以当 x∈(x0,+∞)时,有 cex≥ex>2x>x, 即 x<cex. ②若 0<c<1, 令 h(x)=cex-x,则 h′(x)=cex-1. 1 令 h′(x)=0 得 x=ln . c 1 当 x>ln 时,h′(x)>0,h(x)单调递增. c 2 取 x0=2ln , c 2 2? 2 2 则 h(x0)=ce2ln -2ln =2? ?c-lnc?, c c 2 2 易知 -ln >0,又 h(x)在(x0,+∞)内单调递增, c c 所以当 x∈(x0,+∞)时,恒有 h(x)>h(x0)>0, 即 x<cex. 综上,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<cex. 11. 、[2014· 广东卷] 曲线 y=-5ex+3 在点(0,-2)处的切线方程为________. 11.5x+y+2=0 [解析] ∵y′=-5ex,∴所求切线斜是 k=-5e0=-5,∴切线方程是 y-(-2)=-5(x-0),即 5x+y+2=0. b 11.[2014· 江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 P(2, x -5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是________.

11.-3

?-5=4a+2, ? ?a=-1, b [解析] 易知 y′=2ax- .根据题意有? 解得? x b 7 ? ?b=-2, ?4a-4=-2,
2

b

故 a+b=-3. sin x 23. 、[2014· 江苏卷] 已知函数 f0(x)= (x>0),设 fn(x)为 fn-1(x)的导数,n∈N*. x π π π (1)求 2f1? ?+ f2? ?的值; ?2? 2 ?2? π π π 2 (2)证明:对任意的 n∈N*,等式?nfn-1? ?+ fn? ??= 都成立. ? 4 ? 4 ? 4 ?? 2 ? sin x? cos x sin x 23.解: (1)由已知,得 f1(x)=f′0(x)=? ? x ?′= x - x2 ,

cos x? ?sin x? 于是 f2(x)=f1′(x)=? ? x ?′-? x2 ?′= - sin x 2cos x 2sin x - 2 + 3 , x x x

π π 4 2 16 所以 f1? ?=- 2,f2? ?=- + 3. 2 ?2? ? ? π π π π π π 故 2f1? ?+ f2? ?=-1. ?2? 2 ?2? (2)证明:由已知得,xf0(x)=sin x,等式两边分别对 x 求导,得 f0(x)+xf0′(x)=cos x, π 即 f0(x)+xf1(x)=cos x=sin?x+ ?. ? 2? 类似可得 2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π ), 3π 3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin?x+ ?, 2 ? ? 4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π ). nπ 下面用数学归纳法证明等式 nfn-1(x)+xfn(x)=sin?x+ ?对所有的 n∈N*都成立. 2 ? ? (i)当 n=1 时,由上可知等式成立. kπ (ii)假设当 n=k 时等式成立,即 kfk-1(x)+xfk(x)=sin?x+ ?. 2 ? ? 因为[kfk-1(x)+xfk(x)]′=kfk-1′(x)+fk(x)+xfk′(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),

?sin?x+kπ ??′=cos?x+kπ ?·?x+kπ ?′=sin?x+(k+1)π ?, 2 ?? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?
(k+1)π ? 所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin?x+ 2 ? ?, 因此当 n=k+1 时,等式也成立. nπ 综合(i)(ii)可知,等式 nfn-1(x)+xfn(x)=sin?x+ ?对所有的 n∈N*都成立. 2 ? ? π π π π π nπ 令 x= ,可得 nfn-1? ?+ fn? ?=sin? + ?(n∈N*), 4 2 ? ?4? 4 ?4? ?4 π π π 所以?nfn-1? ?+ fn? ??= ? 4 ? 4 ? 4 ?? ? (n∈N*).

1-a 2 21. 、 [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 设函数 f(x)=aln x+ x -bx(a≠1), 曲线 y=f(x)在点(1, 2 f(1))处的切线斜率为 0. (1)求 b; (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)< a ,求 a 的取值范围. a-1

a 21.解:(1)f′(x)= +(1-a)x-b. x 由题设知 f′(1)=0,解得 b=1, (2)f(x)的定义域为(0,+∞),

1-a 2 由(1)知,f(x)=aln x+ x -x, 2 a ? 1-a? a x- f′(x)= +(1-a)x-1= (x-1). x x ? 1-a? 1 a (i)若 a≤ ,则 ≤1,故当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增. 2 1-a 1-a a a a 所以, 存在 x0≥1, 使得 f(x0)< 的充要条件为 f(1)< , 即 -1< , 解得- 2 2 1-a a-1 a-1 -1<a< 2-1. 1 a (ii)若 <a<1,则 >1, 2 1-a a 故当 x∈?1,1-a?时,f′(x)<0;

?

?

a 当 x∈?1-a,+∞?时,f′(x)>0.

?

?

a a f(x)在?1,1-a?上单调递减,在?1-a,+∞?上单调递增.

?

?

?

?

a a a 所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)< 的充要条件为 f?1-a?< ? ? a-1. a-1 a a a a a 而 f?1-a?=aln + + > ,所以不合题意. ? ? 1-a 2(1-a) a-1 a-1 1-a -a-1 a (iii)若 a>1, 则 f(1)= -1= < ,符合题意. 2 2 a-1 综上,a 的取值范围是(- 2-1, 2-1)∪(1,+∞). x-1 20. ,[2014· 山东卷] 设函数 f(x)=aln x+ ,其中 a 为常数. x+1 (1)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数 f(x)的单调性. x-1 20.解:(1)由题意知,当 a=0 时,f(x)= ,x∈(0,+∞). x+1 此时 f′(x)= 2 1 ,所以 f′(1)= . 2 (x+1)2
2

又 f(1)=0,所以曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 x-2y-1=0. (2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). ax2+(2a+2)x+a a 2 f′(x)= + . 2= x (x+1) x(x+1)2 当 a≥0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当 a<0 时,令 g(x)=ax2+(2a+2)x+a, 由于 Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1), 1 ①当 a=- 时,Δ=0, 2 1 - (x-1)2 2 f′(x)= ≤0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减. x(x+1)2

1 ②当 a<- 时,Δ<0,g(x)<0, 2 f′(x)<0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减. 1 ③当- <a<0 时,Δ>0. 2 设 x1,x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个零点, -(a+1)+ 2a+1 则 x1= , a x2= -(a+1)- 2a+1 . a

a+1- 2a+1 因为 x1= -a a2+2a+1- 2a+1 = >0, -a 所以,x∈(0,x1)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减, x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增, x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. 1 综上可得,当 a≥0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增;当 a≤- 时,函数 f(x)在(0, 2 + ∞) 上 单 调 递 减 ; 当 - 1 ? -(a+1)+ 2a+1? , < a<0 时 , f(x) 在 ?0, ? 2 a ? ?

?-(a+1)- 2a+1 ? ? ,+∞?上单调递减, a ? ?
在?

?-(a+1)+ 2a+1 -(a+1)- 2a+1? ?上单调递增. , a a ? ?

19. 、 、[2014· 四川卷] 设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2x 的图像上 (n∈N*). (1)证明:数列{bn}为等比数列; 1 (2)若 a1=1, 函数 f(x)的图像在点(a2, b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2- , 求数列{anb2 n} ln 2 的前 n 项和 Sn. 19.解:(1)证明:由已知得,bn=2an>0, bn+1 当 n≥1 时, =2an+1-an=2d. bn 故数列{bn}是首项为 2a1,公比为 2d 的等比数列. (2)函数 f(x)=2x 在点(a2,b2)处的切线方程为 y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2), 1 其在 x 轴上的截距为 a2- . ln 2 1 1 由题意知,a2- =2- , ln 2 ln 2 解得 a2=2, 2 所以 d=a2-a1=1,an=n,bn=2n,anbn =n· 4n. - 于是,Sn=1×4+2×42+3×43+?+(n-1)×4n 1+n×4n, + 4Sn=1×42+2×43+?+(n-1)×4n+n×4n 1, + n+1 4 -4 (1-3n)4n 1-4 + + 因此,Sn-4Sn=4+42+?+4n-n· 4n 1= -n·4n 1= , 3 3 + (3n-1)4n 1+4 所以,Sn= . 9

2 19. 、[2014· 天津卷] 已知函数 f(x)=x2- ax3(a>0),x∈R. 3 (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)若对于任意的 x1∈(2,+∞),都存在 x2∈(1,+∞),使得 f(x1)· f(x2)=1,求 a 的取值 范围. 1 19.解:(1)由已知,有 f′(x)=2x-2ax2(a>0).令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x= . a 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 1 ?0,1? ?1,+∞? x 0 (-∞,0) a ? a? ?a ? 0 0 f′(x) - + - 1 f(x) 0 3a2 1 1 0, ?;单调递减区间是(-∞,0),? ,+∞?. 所以,f(x)的单调递增区间是? ? a? ?a ? 当 x=0 时,f(x)有极小值,且极小值 f(0)=0; 1? 1 1 当 x= 时,f(x)有极大值,且极大值 f? ?a?=3a2. a 3? 3? ? ?3 ? (2)由 f(0)=f? ?2a?=0 及(1)知,当 x∈?0,2a?时,f(x)>0;当 x∈?2a,+∞?时,f(x)<0. ? 1 ? 设集合 A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合 B=?f(x)x∈(1,+∞),f(x)≠0?,则“对 ? ? 于任意的 x1∈(2,+∞),都存在 x2∈(1,+∞),使得 f(x1)· f(x2)=1”等价于 A?B,显然 0? B.下面分三种情况讨论: 3? 3 3 (i)当 >2,即 0<a< 时,由 f? 2 ? a?=0 可知,0∈A,而 0?B,所以 A 不是 B 的子集. 2a 4 3 3 3 (ii)当 1≤ ≤2,即 ≤a≤ 时,有 f(2)≤0,且此时 f(x)在(2,+∞)上单调递减,故 A= 2a 4 2 (-∞,f(2)),因而 A?(-∞,0).由 f(1)≥0,有 f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(-∞, 0),则(-∞,0)?B,所以 A?B. 1 3 3 (iii)当 <1, 即 a> 时, 有 f(1)<0, 且此时 f(x)在(1, +∞)上单调递减, 故 B=?f(1),0?, 2a 2 ? ? A=(-∞,f(2)),所以 A 不是 B 的子集. 3 3? 综上,a 的取值范围是? ?4,2?.

B12 导数的应用 21. 、[2014· 四川卷] 已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28?为自 然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2<a<1. 21.解:(1)由 f(x)=ex-ax2-bx-1,得 g(x)=f′(x)=ex-2ax-b,所以 g′(x)=ex-2a. 当 x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a]. 1 当 a≤ 时,g′(x)≥0,所以 g(x)在[0,1]上单调递增, 2 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; e 当 a≥ 时,g′(x)≤0,所以 g(x)在[0,1]上单调递减, 2 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b;

1 e 当 <a< 时,令 g′(x)=0,得 x=ln(2a)∈(0,1), 2 2 所以函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增, 于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b. 1 综上所述,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; 2 1 e 当 <a< 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b; 2 2 e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b. 2 (2)证明:设 x0 为 f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由 f(0)=f(x0)=0 可知, f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则 g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负. 故 g(x)在区间(0,x0)内存在零点 x1. 同理 g(x)在区间(x0,1)内存在零点 x2.故 g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点. 1 由(1)知,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上单调递增,故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点; 2 e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上单调递减,故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意. 2 1 e 所以 <a< . 2 2 此时 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增. 因此 x1∈(0,ln(2a)),x2∈(ln(2a),1),必有 g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0. 由 f(1)=0 有 a+b=e-1<2,有 g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0. 解得 e-2<a<1. 所以,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点时,e-2<a<1. 15.[2014· 安徽卷] 若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: (i)直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切;(ii)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧.则 称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C. 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①直线 l:y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x3; ②直线 l:x=-1 在点 P(-1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1)2; ③直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sin x; ④直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tan x; ⑤直线 l:y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=ln x. 15.①③④ [解析] 对于①,因为 y′=3x2,y′x=0=0,所以 l:y=0 是曲线 C:y=x3 在 点 P(0,0)处的切线,画图可知曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,①正确; 对于②,因为 y′=2(x+1),y′x=-1=0,所以 l:x=-1 不是曲线 C:y=(x+1)2 在点 P(- 1,0)处的切线,②错误; 对于③,y′=cos x,y′x=0=1,所以曲线 C 在点 P(0,0)处的切线为 l:y=x,画图可知 曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,③正确; 对于④,y′= 1 ,y′x=0=1,所以曲线 C 在点 P(0,0)处的切线为 l:y=x,画图可知 cos2x

曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,④正确; 1 对于⑤,y′= ,y′x=1=1,所以曲线 C 在点 P(1,0)处切线为 l:y=x-1,又由 h(x)=x x

1 x-1 -1-ln x(x>0)可得 h′(x)=1- = ,所以 hmin(x)=h(1)=0,故 x-1≥ln x,所以曲线 C x x 在点 P 附近位于直线 l 的下侧,⑤错误. 20. 、[2014· 安徽卷] 设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (2)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 20.解: (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=1+a-2x-3x2. -1- 4+3a 令 f′(x)=0,得 x1= , 3 x2= -1+ 4+3a ,且 x1<x2, 3

所以 f′(x)=-3(x-x1)(x-x2). 当 x<x1 或 x>x2 时,f′(x)<0; 当 x1<x<x2 时,f′(x)>0. -1- 4+3a? ? 故 f(x)在?-∞, ?和 3 ? ? 在?

?-1+ 4+3a ? ? ,+∞?内单调递减, 3 ? ?

?-1- 4+3a -1+ 4+3a?内单调递增. ? , 3 3 ? ?

(2)因为 a>0,所以 x1<0,x2>0, ①当 a≥4 时,x2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,所以 f(x)在 x=0 和 x=1 处分 别取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1,由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减, -1+ 4+3a 因此 f(x)在 x=x2= 处取得最大值.又 f(0)=1,f(1)=a, 3 所以当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 和 x=1 处同时取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值. 20. 、[2014· 北京卷] 已知函数 f(x)=2x3-3x. (1)求 f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围; (3)问过点 A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x)相切?(只需 写出结论) 20.解:(1)由 f(x)=2x3-3x 得 f′(x)=6x2-3. 令 f′(x)=0,得 x=- 2 2 或 x= . 2 2 2? 2 = 2,f? ?=- 2,f(1)=-1, 2? 2 ? ?

因为 f(-2)=-10,f?-

?

所以 f(x)在区间[-2,1]上的最大值为 f?-

?

2? = 2. 2?

(2)设过点 P(1,t)的直线与曲线 y=f(x)相切于点(x0,y0), 3 则 y0=2x0 -3x0,且切线斜率为 k=6x2 0-3, 2 所以切线方程为 y-y0=(6x0-3)(x-x0), 因此 t-y0=(6x2 0-3)(1-x0),

2 整理得 4x3 0-6x0+t+3=0, 设 g(x)=4x3-6x2+t+3, 则“过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切”等价于“g(x)有 3 个不同零点”. g′(x)=12x2-12x=12x(x-1). 当 x 变化时,g(x)与 g′(x)的变化情况如下:

x g′(x) g(x)

(-∞,0) +

0 0 t+3

(0,1) -

1 0 t+1

(1,+∞) +

所以,g(0)=t+3 是 g(x)的极大值,g(1)=t+1 是 g(x)的极小值.
? ?g(0)=t+3>0, 结合图像知,当 g(x)有 3 个不同零点时,有? 解得-3<t<-1. ?g(1)=t+1-0, ?

故当过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切时,t 的取值范围是(-3,-1). (3)过点 A(-1,2)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切; 过点 B(2,10)存在 2 条直线与曲线 y=f(x)相切; 过点 C(0,2)存在 1 条直线与曲线 y=f(x)相切. 22. 、 [2014· 福建卷] 已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A, 曲线 y=f(x) 在点 A 处的切线斜率为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x2<ex; (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<cex. 22.解:方法一:(1)由 f(x)=ex-ax, 得 f′(x)=ex-a. 又 f′(0)=1-a=-1,得 a=2. 所以 f(x)=ex-2x,f′(x)=ex-2. 令 f′(x)=0,得 x=ln 2. 当 x<ln 2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln 2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=ln 2 时,f(x)有极小值, 且极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4, f(x)无极大值. (2)证明:令 g(x)=ex-x2,则 g′(x)=ex-2x. 由(1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0, 即 g′(x)>0. 所以 g(x)在 R 上单调递增,又 g(0)=1>0, 所以当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x2<ex. 1 (3)证明:对任意给定的正数 c,取 x0= , c 由(2)知,当 x>0 时,x2<ex. 1 所以当 x>x0 时,ex>x2> x,即 x<cex. c 因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<cex. 方法二:(1)同方法一.

(2)同方法一. 1 (3)证明:令 k= (k>0),要使不等式 x<cex 成立,只要 ex>kx 成立. c 而要使 ex>kx 成立,则只需要 x>ln(kx), 即 x>ln x+ln k 成立. ①若 0<k≤1,则 ln k≤0,易知当 x>0 时,x>ln x≥ln x+ln k 成立. 即对任意 c∈[1,+∞),取 x0=0, 当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<cex. 1 x-1 ②若 k>1,令 h(x)=x-ln x-ln k,则 h′(x)=1- = , x x 所以当 x>1 时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上单调递增. 取 x0=4k,h(x0)=4k-ln(4k)-ln k=2(k-ln k)+2(k-ln 2), 易知 k>ln k,k>ln 2,所以 h(x0)>0. 4 因此对任意 c∈(0,1),取 x0= ,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<cex. c 综上,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<cex. 方法三:(1)同方法一. (2)同方法一. (3)证明:①若 c≥1,取 x0=0, 由(2)的证明过程知,ex>2x, 所以当 x∈(x0,+∞)时,有 cex≥ex>2x>x, 即 x<cex. ②若 0<c<1, 令 h(x)=cex-x,则 h′(x)=cex-1. 1 令 h′(x)=0 得 x=ln . c 1 当 x>ln 时,h′(x)>0,h(x)单调递增. c 2 取 x0=2ln , c 2 2? 2 2 则 h(x0)=ce2ln -2ln =2? ?c-lnc?, c c 2 2 易知 -ln >0,又 h(x)在(x0,+∞)内单调递增, c c 所以当 x∈(x0,+∞)时,恒有 h(x)>h(x0)>0, 即 x<cex. 综上,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<cex. 1 21.[2014· 广东卷] 已知函数 f(x)= x3+x2+ax+1(a∈R). 3 (1)求函数 f(x)的单调区间; 1? ?1 ? ?1? (2)当 a<0 时,试讨论是否存在 x0∈? ?0,2?∪?2,1?,使得 f(x0)=f?2?. 21.[2014· 湖北卷] π 为圆周率,e=2.718 28?为自然对数的底数. ln x (1)求函数 f(x)= 的单调区间; x

(2)求 e3,3e,e ,π e,3 ,π 3 这 6 个数中的最大数与最小数. 21.解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). 1-ln x ln x 因为 f(x)= ,所以 f′(x)= . x x2 当 f′(x)>0,即 0<x<e 时,函数 f(x)单调递增; 当 f′(x)<0,即 x>e 时,函数 f(x)单调递减. 故函数 f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞). (2)因为 e<3<π ,所以 eln 3<eln π ,π ln e<π ln 3, π π 即 ln 3e<ln π e,ln e <ln 3 . π π 于是根据函数 y=ln x,y=ex,y=π x 在定义域上单调递增可得,3e<π e<π 3,e3<e <3 . π 故这 6 个数中的最大数在π 3 与 3 之中,最小数在 3e 与 e3 之中. 由 e<3<π 及(1)的结论,得 f(π )<f(3)<f(e), ln π ln 3 ln e 即 < < . 3 e π ln π ln 3 π π 由 < , 得 ln π 3<ln3 ,所以 3 >π 3. 3 π ln 3 ln e 由 < ,得 ln 3e<ln e3,所以 3e<e3. 3 e π 综上,6 个数中的最大数是 3 ,最小数是 3e. 9.[2014· 湖南卷] 若 0<x1<x2<1,则( ) A.ex2-ex1>ln x2-ln x1 B.ex2-ex1<ln x2-ln x1 C.x2ex1>x1ex2 D.x2ex1<x1ex2 ex·x-ex ex(x-1) ex 9.C [解析] 依题可构造函数 f(x)= ,则 f′(x)= = .当 x∈(0,1) x x2 x2 x e 时,f′(x)<0,所以 f(x)= 在区间(0,1)上递减,故 0<x1<x2<1 时有 f(x1)>f(x2),即 x2ex1 x >x1ex2. 21. 、[2014· 湖南卷] 已知函数 f(x)=xcos x-sin x+1(x>0). (1)求 f(x)的单调区间; 1 1 1 (2)记 xi 为 f(x)的从小到大的第 i(i∈N*)个零点, 证明: 对一切 n∈N*, 有 2+ 2+?+ 2< x1 x2 xn 2 . 3 21.解: (1)f′(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x. 令 f′(x)=0,得 x=kπ (k∈N*). 当 x∈(2kπ ,(2k+1)π )(k∈N)时,sin x>0,此时 f′(x)<0; 当 x∈((2k+1)π ,(2k+2)π )(k∈N)时,sin x<0,此时 f′(x)>0. 故 f(x)的单调递减区间为(2kπ ,(2k+1)π )(k∈N),单调递增区间为((2k+1)π ,(2k+2) π )(k∈N). π π (2)由(1)知,f(x)在区间(0,π )上单调递减.又 f? ?=0,故 x1= . 2 ?2? * 当 n∈N 时,因为 + f(nπ )f[(n+1)π ]=[(-1)nnπ +1][(-1)n 1(n+1)π +1]<0, 且函数 f(x)的图像是连续不断的, 所以 f(x)在区间(nπ , (n+1)π )内至少存在一个零点. 又 f(x)在区间(nπ ,(n+1)π )上是单调的,故 nπ <xn+1<(n+1)π . 1 4 2 因此,当 n=1 时, 2= 2< ; x1 π 3
π π

1 1 1 2 当 n=2 时, 2+ 2< 2(4+1)< ; x1 x2 π 3 当 n≥3 时, 1 1 1 1 1 1 + 2+?+ 2< 2?4+1+22+?+(n-1)2? x2 x x ? 1 2 n π ? 1 1 1 1 ?5+ ? +?+ < < 2 1 × 2 ( n - 2 )( n - 1 ) ? ? π π2 ?5+?1-1?+?1-1?+?+? 1 - 1 ?? ? ? 2? ?2 3? ?n-2 n-1?? 1 1 6 2 = 2?6-n-1?< 2< . ? π 3 π ? 1 1 1 2 综上所述,对一切 n∈N*, 2+ 2+?+ 2< . x1 x2 xn 3 11.[2014· 江西卷] 若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点 P 的坐标是________. 11.(e,e) [解析] 由题意知,y′=ln x+1,直线斜率为 2.由导数的几何意义知,令 ln x +1=2,得 x=e,所以 y=eln e=e,所以 P(e,e). 21. 、 、[2014· 江西卷] 将连续正整数 1,2,?,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数 123? n,F(n)为这个数的位数(如 n=12 时,此数为 123456789101112,共有 15 个数字,F(12)= 15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到 0 的概率. (1)求 p(100); (2)当 n≤2014 时,求 F(n)的表达式; (3)令 g(n)为这个数中数字 0 的个数,f(n)为这个数中数字 9 的个数,h(n)=f(n)-g(n),S ={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当 n∈S 时 p(n)的最大值. 21.解:(1)当 n=100 时,这个数中总共有 192 个数字,其中数字 0 的个数为 11,所以 11 恰好取到 0 的概率为 p(100)= . 192 n,1≤n≤9,

? ?2n-9,10≤n≤99, (2)F(n)=? 3n-108,100≤n≤999, ? ?4n-1107,1000≤n≤2014.

(3)当 n=b(1≤b≤9,b∈N*),g(n)=0; 当 n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)时,g(n)=k; 当 n=100 时,g(n)=11,即 g(n)= ?0,1≤n≤9,

? ?k,n=10k+b,1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N, ? ?11,n=100.
同理有 f(n)= 0,1≤n≤8,

? ?k,n=10k+b-1,1≤k≤8,0≤b≤9,k∈N ,b∈N, ?n-80,89≤n≤98, ? ?20,n=99,100.
*

由 h(n)=f(n)-g(n)=1,可知 n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90, 所以当 n≤100 时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}. 当 n=9 时,p(9)=0. g(90) 9 1 当 n=90 时,p(90)= = = . F(90) 171 19

g(n) k k k 当 n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)= = = ,由 y= 关于 k F(n) 2n-9 20k+9 20k+9 8 单调递增,故当 n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)的最大值为 p(89)= . 169 8 1 1 又 < ,所以当 n∈S 时,p(n)的最大值为 . 169 19 19 12. 、[2014· 辽宁卷] 当 x∈[-2,1]时,不等式 ax3-x2+4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的 取值范围是( ) 9? A.[-5,-3] B.? ?-6,-8? C.[-6,-2] D.[-4,-3] x2-4x-3 x2-4x-3 12.C [解析] 当-2≤x<0 时,不等式可转化为 a≤ ,令 f(x)= (- 3 x x3 2≤x<0),则 -x2+8x+9 -(x-9)(x+1) f′(x)= = ,故函数 f(x)在[-2, -1]上单调递减,在(- x4 x4 1+4-3 1,0)上单调递增,此时有 a≤fmin(x)=f(-1)= =-2. -1 当 x=0 时,不等式恒成立. x2-4x-3 当 0<x≤1 时,a≥ , x3 x2-4x-3 令 g(x)= (0<x≤1), x3 2 -x +8x+9 则 g′(x) = ,故函数 g(x)在 (0,1]上单调递增,此时有 a≥ gmax(x) = g(1)= x4 1-4-3 =-6. 1 综上,-6≤a≤-2. 11.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的取 值范围是( ) A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] C.[2,+∞) D.[1,+∞) 11.D 1 kx-1 1 [解析] f′(x)=k- = ,且 x>0,由题可知 f′(x)≥0,即得 kx-1≥0,得 x≥ x x k

1 (k<0 时不满足),因为函数 f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以 ≤1,解得 k≥1. k 21.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知函数 f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线 y=f(x)在点(0,2)处 的切线与 x 轴交点的横坐标为-2. (1)求 a; (2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点. 21.解:(1)f′(x)=3x2-6x+a,f′(0)=a. 曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为 y=ax+2. 2 由题设得- =-2,所以 a=1. a (2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2. 设 g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4, 由题设知 1-k>0. 当 x≤0 时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,

g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4, 所以 g(x)=0 在(-∞,0]上有唯一实根. 当 x>0 时,令 h(x)=x3-3x2+4, 则 g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x). h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 所以 g(x)>h(x)≥h(2)=0, 所以 g(x)=0 在(0,+∞)上没有实根. 综上,g(x)=0 在 R 有唯一实根, 即曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点. 12.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1) 12.C [解析] 显然 a=0 时,函数有两个不同的零点,不符合.当 a≠0 时,由 f′(x)= 2? 2 ?2,+∞?上单调递增, 3ax2-6x=0, 得 x1=0, x2= .当 a>0 时, 函数 f(x)在(-∞, 0), 在? ?a ? ?0,a? a 上单调递减, 又 f(0)=1, 所以函数 f(x)存在小于 0 的零点,不符合题意;当 a<0 时, 函数 f(x) 2? ?2 ? ?2? 在? ?-∞,a?,(0,+∞)上单调递减,在?a,0?上单调递增,所以只需 f?a?>0,解得 a<-2, 所以选 C. 1-a 2 21. 、 [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 设函数 f(x)=aln x+ x -bx(a≠1), 曲线 y=f(x)在点(1, 2 f(1))处的切线斜率为 0. (1)求 b; (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)< a ,求 a 的取值范围. a-1

a 21.解:(1)f′(x)= +(1-a)x-b. x 由题设知 f′(1)=0,解得 b=1, (2)f(x)的定义域为(0,+∞), 1-a 2 由(1)知,f(x)=aln x+ x -x, 2 a ? 1-a? a x- f′(x)= +(1-a)x-1= (x-1). x x ? 1-a? 1 a (i)若 a≤ ,则 ≤1,故当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增. 2 1-a 1-a a a a 所以, 存在 x0≥1, 使得 f(x0)< 的充要条件为 f(1)< , 即 -1< , 解得- 2 2 1-a a-1 a-1 -1<a< 2-1. 1 a (ii)若 <a<1,则 >1, 2 1-a a 故当 x∈?1,1-a?时,f′(x)<0;

?

?

a 当 x∈?1-a,+∞?时,f′(x)>0.

?

?

a a f(x)在?1,1-a?上单调递减,在?1-a,+∞?上单调递增.

?

?

?

?

a a a 所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)< 的充要条件为 f?1-a?< . ? ? a-1 a-1 a a a2 a a 而 f?1-a?=aln + + > ,所以不合题意. ? ? 1-a 2(1-a) a-1 a-1 1-a -a-1 a (iii)若 a>1, 则 f(1)= -1= < ,符合题意. 2 2 a-1 综上,a 的取值范围是(- 2-1, 2-1)∪(1,+∞). x-1 20. ,[2014· 山东卷] 设函数 f(x)=aln x+ ,其中 a 为常数. x+1 (1)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数 f(x)的单调性. x-1 20.解:(1)由题意知,当 a=0 时,f(x)= ,x∈(0,+∞). x+1 此时 f′(x)= 2 1 ,所以 f′(1)= . 2 (x+1)2

又 f(1)=0,所以曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 x-2y-1=0. (2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). ax2+(2a+2)x+a a 2 f′(x)= + = . x (x+1)2 x(x+1)2 当 a≥0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当 a<0 时,令 g(x)=ax2+(2a+2)x+a, 由于 Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1), 1 ①当 a=- 时,Δ=0, 2 1 - (x-1)2 2 f′(x)= ≤0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减. x(x+1)2 1 ②当 a<- 时,Δ<0,g(x)<0, 2 f′(x)<0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减. 1 ③当- <a<0 时,Δ>0. 2 设 x1,x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个零点, -(a+1)+ 2a+1 则 x1= , a x2= -(a+1)- 2a+1 . a

a+1- 2a+1 因为 x1= -a



a2+2a+1- 2a+1 >0, -a

所以,x∈(0,x1)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减, x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增, x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. 1 综上可得,当 a≥0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增;当 a≤- 时,函数 f(x)在(0, 2 + ∞) 上 单 调 递 减 ; 当 - 1 ? -(a+1)+ 2a+1? , < a<0 时 , f(x) 在 ?0, ? 2 a ? ?

?-(a+1)- 2a+1 ? ? ,+∞?上单调递减, a ? ?
在?

?-(a+1)+ 2a+1 -(a+1)- 2a+1?上单调递增. ? , a a ? ?

m 21. 、 、[2014· 陕西卷] 设函数 f(x)=ln x+ ,m∈R. x (1)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; x (2)讨论函数 g(x)=f′(x)- 零点的个数; 3 f(b)-f(a) (3)若对任意 b>a>0, <1 恒成立,求 m 的取值范围. b-a x-e e 21.解:(1)由题设,当 m=e 时,f(x)=ln x+ ,则 f′(x)= 2 , x x ∴当 x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减; 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增. e ∴x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=ln e+ =2, e ∴f(x)的极小值为 2. x 1 m x (2)由题设 g(x)=f′(x)- = - 2- (x>0), 3 x x 3 1 令 g(x)=0,得 m=- x3+x(x>0), 3 1 设 φ(x)=- x3+x(x≥0), 3 则 φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1), 当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减. ∴x=1 是 φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此 x=1 也是 φ(x)的最大值点, 2 ∴φ (x)的最大值为 φ(1)= . 3 又 φ(0)=0,结合 y=φ(x)的图像(如图所示),可知

2 ①当 m > 时,函数 g(x)无零点; 3 2 ②当 m= 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 3 2 ③当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点; 3 ④当 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点. 2 综上所述,当 m> 时,函数 g(x)无零点; 3 2 当 m= 或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 3 2 当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点. 3 f(b)-f(a) (3)对任意的 b>a>0, <1 恒成立, b-a 等价于 f(b)-b<f(a)-a 恒成立.(*) m 设 h(x)=f(x)-x=ln x+ -x(x>0), x ∴(*)等价于 h(x)在(0,+∞)上单调递减. 1 m 由 h′(x)= - 2-1≤0 在(0,+∞)上恒成立, x x 1 2 1 x- ? + (x>0)恒成立, 得 m≥-x2+x=-? ? 2? 4 1 1 1 对m= ,h′(x)=0仅在x= 时成立?, ∴m≥ ? 4 2 ? 4? 1 ? ∴m 的取值范围是? ?4,+∞?. 2 19. 、[2014· 天津卷] 已知函数 f(x)=x2- ax3(a>0),x∈R. 3 (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)若对于任意的 x1∈(2,+∞),都存在 x2∈(1,+∞),使得 f(x1)· f(x2)=1,求 a 的取值 范围. 1 19.解:(1)由已知,有 f′(x)=2x-2ax2(a>0).令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x= . a 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 1 ?0,1? ?1,+∞? x 0 (-∞,0) a ? a? ?a ? 0 0 f′(x) - + - 1 f(x) 0 3a2 1? ?1 ? 所以,f(x)的单调递增区间是? ?0,a?;单调递减区间是(-∞,0),?a,+∞?.

当 x=0 时,f(x)有极小值,且极小值 f(0)=0; 1? 1 1 当 x= 时,f(x)有极大值,且极大值 f? ?a?=3a2. a 3? 3? ? ?3 ? (2)由 f(0)=f? ?2a?=0 及(1)知,当 x∈?0,2a?时,f(x)>0;当 x∈?2a,+∞?时,f(x)<0. ? 1 ? 设集合 A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合 B=?f(x)x∈(1,+∞),f(x)≠0?,则“对 ? ? 于任意的 x1∈(2,+∞),都存在 x2∈(1,+∞),使得 f(x1)· f(x2)=1”等价于 A?B,显然 0? B.下面分三种情况讨论: 3? 3 3 (i)当 >2,即 0<a< 时,由 f? ?2a?=0 可知,0∈A,而 0?B,所以 A 不是 B 的子集. 2a 4 3 3 3 (ii)当 1≤ ≤2,即 ≤a≤ 时,有 f(2)≤0,且此时 f(x)在(2,+∞)上单调递减,故 A= 2a 4 2 (-∞,f(2)),因而 A?(-∞,0).由 f(1)≥0,有 f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(-∞, 0),则(-∞,0)?B,所以 A?B. 1 3 3 (iii)当 <1, 即 a> 时, 有 f(1)<0, 且此时 f(x)在(1, +∞)上单调递减, 故 B=?f(1),0?, 2a 2 ? ? A=(-∞,f(2)),所以 A 不是 B 的子集. 3 3? 综上,a 的取值范围是? ?4,2?. 21.[2014· 浙江卷] 已知函数 f(x)=x3+3|x-a|(a>0).若 f(x)在[-1,1]上的最小值记为 g(a). (1)求 g(a); (2)证明:当 x∈[-1,1]时,恒有 f(x)≤g(a)+4. 21.解:(1)因为 a>0,-1≤x≤1,所以, (i)当 0<a<1 时,若 x∈[-1,a],则 f(x)=x3-3x+3a,f′(x)=3x2-3<0,故 f(x)在(-1, a)上是减函数; 若 x∈[a,1],则 f(x)=x3+3x-3a,f′(x)=3x2+3>0,故 f(x)在(a,1)上是增函数. 所以 g(a)=f(a)=a3. (ii)当 a≥1 时,有 x≤a,则 f(x)=x3-3x+3a,f′(x)=3x2-3<0,故 f(x)在(-1,1)上是 减函数,所以 g(a)=f(1)=-2+3a.
3 ? ?a ,0<a<1, 综上,g(a)=? ?-2+3a,a≥1. ?

(2)证明:令 h(x)=f(x)-g(a). (i)当 0<a<1 时,g(a)=a3. 若 x∈[a,1],则 h(x)=x3+3x-3a-a3,得 h′(x)=3x2+3>0,则 h(x)在(a,1)上是增函 数,所以 h(x)在[a,1]上的最大值是 h(1)=4-3a-a3,而 0<a<1,所以 h(1)<4,故 f(x)≤g(a) +4. 若 x∈[-1,a],则 h(x)=x3-3x+3a-a3≤0,得 h′(x)=3x2-3,则 h(x)在(-1,a)上 是减函数, 所以 h(x)在[-1, a]上的最大值是 h(-1)=2+3a-a3, 令 t(a)=2+3a-a3, 则 t′(a) 2 =3-3a >0,知 t(a)在(0,1)上是增函数,所以 t(a)<t(1)=4,即 h(-1)<4.故 f(x)≤g(a)+4. (ii)当 a≥1 时, g(a)=-2+3a, 故 h(x)=x3-3x+2, 得 h′(x)=3x2-3≤0, 此时 h(x)在(- 1,1)上是减函数,因此 h(x)在[-1,1]上的最大值是 h(-1)=4.故 f(x)≤g(a)+4. 综上,当 x∈[-1,1]时,恒有 f(x)≤g(a)+4. x a 3 19.[2014· 重庆卷] 已知函数 f(x)= + -ln x- ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1, 4 x 2

1 f(1))处的切线垂直于直线 y= x. 2 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 1 a 1 1 19.解:(1)对 f(x)求导得 f′(x)= - 2- ,由 f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y= 4 x x 2 3 5 x 知 f′(1)=- -a=-2,解得 a= . 4 4 x 5 3 (2)由(1)知 f(x)= + -ln x- , 4 4x 2 x2-4x-5 则 f′(x)= .令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=5. 4x2 因为 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)上为减函数;当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(5,+∞)上为增函数.由此知函数 f(x)在 x=5 时取得极小值 f(5)=-ln 5.

B13 定积分与微积分基本定理 B14 单元综合 - 19. 、 、 、[2014· 江苏卷] 已知函数 f(x)=ex+e x,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明:f(x)是 R 上的偶函数. - (2)若关于 x 的不等式 mf(x)≤e x +m-1 在(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围. - 3 (3)已知正数 a 满足:存在 x0∈[1,+∞),使得 f(x0)<a(-x0 +3x0)成立.试比较 ea 1 与 - ae 1 的大小,并证明你的结论. - - 19.解: (1)证明:因为对任意 x∈R,都有 f(-x)=e x+e -(-x)=e x+ex=f(x), 所以 f(x)是 R 上的偶函数. - - (2)由条件知 m(ex+e x-1)≤e x-1 在(0,+∞)上恒成立. t-1 令 t=ex(x>0),则 t>1,所以 m≤- 2 = t -t+1 - 1 对任意 t>1 成立. 1 t-1+ + 1 t-1 1 1 1 (t-1)· +1=3, 所以 - ≥- , 1 3 t - 1 t-1+ + 1 t-1

1 因为 t-1+ + 1≥2 t-1

当且仅当 t=2, 即 x = ln 2 时等号成立. 1 -∞,- ?. 因此实数 m 的取值范围是? 3? ? 1 1 (3)令函数 g(x)=ex+ x- a(-x3+3x),则 g′ (x) =ex- x+3a(x2-1). e e 1 当 x≥1 时,ex- x>0,x2-1≥0.又 a>0,故 g′(x)>0,所以 g(x)是[1,+∞)上的单调 e 递增函数, 因此 g(x)在[1,+∞)上的最小值是 g(1)= e+e 1-2a. 由于存在 x0∈[1, +∞), 使 ex0+e-x0-a(-x3 0+ 3x0 )<0 成立,当且仅当最小值 g(1)<0,


e+e 1 - 故 e+e 1-2a<0, 即 a> . 2


e-1 令函数 h(x) = x -(e-1)ln x-1,则 h′(x)=1- . 令 h′(x)=0, 得 x=e-1. x 当 x∈(0,e-1)时,h′(x)<0,故 h(x)是(0,e-1)上的单调递减函数; 当 x∈(e-1,+∞)时,h′(x)>0,故 h(x)是(e-1,+∞)上的单调递增函数. 所以 h(x)在(0,+∞)上的最小值是 h(e-1). 注意到 h(1)=h(e)=0,所以当 x∈(1,e-1)?(0,e-1)时,h(e-1)≤h(x)<h(1)=0; 当 x∈(e-1,e)?(e-1,+∞)时, h(x)<h(e)=0. 所以 h(x)<0 对任意的 x∈(1,e)成立. e+e ? 故①当 a∈? ? 2 ,e??(1,e)时, h(a)<0, 即 a-1<(e-1)ln a,从而 ea 1<ae 1; - - ②当 a=e 时,ea 1=ae 1; - - ③当 a∈(e,+∞)?(e-1,+∞)时,h(a)>h(e)=0,即 a-1>(e-1)ln a,故 ea 1>ae 1.
- - -1

综上所述,当 a∈? 时,ea 1>ae 1.
- -

e+e 1 ? a-1 e -1 a-1 e-1 ? 2 ,e?时,e <a ;当 a=e 时,e =a ;当 a∈(e,+∞)


a 10 . [2014· 江西卷 ] 在同一直角坐标系中,函数 y= ax2 - x + 与 y= a2x3 - 2ax2 + x + 2 a(a∈R)的图像不可能是( )

A

B

D [解析] 当 a=0 时,为 D 选项. 1 当 a≠0 时,抛物线的对称轴为直线 x= ,另一个函数的导数 y′=3a2x2-4ax+1,令 2a 1 1 1 1 1 y′=0,解得该函数的两个极值点分别为 x1= ,x2= , 一直介于 和 之间,排除法知选 a 3a 2a a 3a B. 1-sin x 21. 、 [2014· 辽宁卷] 已知函数 f(x)=π (x-cos x)-2sin x-2, g(x)=(x-π ) + 1+sin x 2x -1.证明: π π (1)存在唯一 x0∈?0, ?,使 f(x0)=0; 2? ? π (2)存在唯一 x1∈? ,π ?,使 g(x1)=0,且对(1)中的 x0,有 x0+x1>π . ?2 ? π π 21.证明:(1)当 x∈?0, ?时,f′(x)=π +π sin x-2cos x>0,所以 f(x)在区间?0, ? 2? 2? ? ?

C 10.B

π2 π π 上为增函数.又 f(0)=-π -2<0,f? ?= -4>0,所以存在唯一 x0∈?0, ?,使 f(x0) 2? ?2? 2 ? =0. π cos x 2x (2)当 x∈? ,π ?时,化简得 g(x)=(π -x)· + -1. ?2 ? 1+sin x π π 令 t=π -x 则 t∈?0, ?.记 u(t)=g(π -t)= 2? ? f(t) tcos t 2 - - t+1,则 u′(t)= . 1+sin t π π (1+sin t) π π 由(1)得,当 t∈(0,x0)时,u′(t)<0;当 t∈?x0, ?时,u′(t)>0.所以在?x0, ?上 u(t) 2? 2? ? ? π π π 为增函数,由 u? ?=0 知,当 t∈?x0, ?时,u(t)<0,所以 u(t)在?x0, ?上无零点. 2? 2? ?2? ? ? 在(0,x0)上 u(t)为减函数, 由 u(0)=1 及 u(x0)<0 知存在唯一 t0∈(0,x0),使 u(t0)=0. π 于是存在唯一 t0∈?0, ?,使 u(t0)=0. 2? ? π π 设 x1=π -t0∈? ,π ?,则 g(x1)=g(π -t0)=u(t0)=0.因此存在唯一的 x1∈? ,π ?, ?2 ? ?2 ? 使 g(x1)=0. 由于 x1=π -t0,t0<x0,所以 x0+x1>π . 9.[2014· 山东卷] 对于函数 f(x),若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值,都 有 f(x)=f(2a-x),则称 f(x)为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是( ) A.f(x)= x B.f(x)=x2 C.f(x)=tan x D.f(x)=cos(x+1) 9.D [解析] 因为 f(x)=f(2a-x),所以函数 f(x)的图像关于 x=a 对称.A 选项中,函 数 f(x)= x没有对称性;B 选项中,函数 f(x)=x2 关于 y 轴对称,与 a≠0 矛盾;C 选项中, 函数 f(x)=tan x 也没有对称性;D 选项中,函数 f(x)=cos(x+1)的图像是由函数 g(x)=cos x 的图像向左平移一个单位后得到的, 又函数 g(x)=cos x 的图像关于 x=kπ (k∈Z)对称, 所以 函数 f(x)=cos(x+1)的图像关于 x=kπ -1(k∈Z)对称.故选 D. 15. 、 、[2014· 四川卷] 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函 数 φ(x)组成的集合:对于函数 φ(x),存在一个正数 M,使得函数φ (x)的值域包含于区间[- M,M].例如,当φ 1(x)=x3,φ2(x)=sin x 时,φ 1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D, 则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R, ?a∈D, f(a)=b”; ②若函数 f(x)∈B,则 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)∈/B; x ④若函数 f(x)=aln(x+2)+ 2 (x>-2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B. x +1 其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号) 15.①③④ [解析] 若 f(x)∈A,则函数 f(x)的值域为 R,于是,对任意的 b∈R,一定 存在 a∈D,使得 f(a)=b,故①正确. 取函数 f(x)=x(-1<x<1),其值域为(-1,1),于是,存在 M=1,使得函数 f(x)的值 域包含于[-M,M]=[-1,1],但此时函数 f(x)没有最大值和最小值,故②错误. 当 f(x)∈A 时,由①可知,对任意的 b∈R,存在 a∈D,使得 f(a)=b,所以,当 g(x)∈B 时,对于函数 f(x)+g(x),如果存在一个正数 M,使得 f(x)+g(x)的值域包含于[-M,M],那 么对于该区间外的某一个 b0∈R,一定存在一个 a0∈D,使得 f(x)+f(a0)=b0-g(a0),即 f(a0) +g(a0)=b0?[-M,M],故③正确. x 对于 f(x)=aln(x+2)+ 2 (x>-2),当 a>0 或 a<0 时,函数 f(x)都没有最大值.要使 x +1

1 1? x 得函数 f(x)有最大值,只有 a=0,此时 f(x)= 2 (x>-2).易知 f(x)∈? ?-2,2?,所以存在 x +1 1 正数 M= ,使得 f(x)∈[-M,M],故④正确 2 3.[2014· 汕头期末] 设 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+x,则 f(-1)=( ) A.-2 B.0 C.2 D.-1 3.A [解析] 因为 f(x)为奇函数,所以 f(-1)=-f(1)=-2. ?(a-2)x,x≥2, 6.[2014· 株洲模拟] 设函数 f(x)=??1?x 是 R 上的单调递减函数,则实数 ??2? -1,x<2 ? a 的取值范围为( ) A.(-∞,2) 13? B.? ?-∞, 8 ? C.(0,2) 13 ? D.? ? 8 ,2? a-2<0, ? ? 13 6.B [解析] 依题意可得?12 解得 a≤ . 8 - 1 ≥ 2 ( a - 2 ), ? ?2

?

2.[2014· 合肥联考] 已知定义域为 R 的奇函数 f(x)满足 f(x+1)=f(x-1),且当 x∈(0, x 2 -1 1)时,f(x)= x . 2 +1 (1)求 f(x)在区间[-1,1]上的解析式; (2)若存在 x∈(0,1),满足 f(x)>m,求实数 m 的取值范围.

2.解:(1)当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1). 由 f(x)为 R 上的奇函数, - 2 x-1 1-2x 得 f(-x)=-f(x)= -x = x , 2 +1 2 +1 2x - 1 ∴f(x)= x ,x∈(-1,0). 2 +1 又由 f(x)为奇函数, 得 f(0)=0,f(-1)=-f(1),且 f(-1)=f(1), ∴f(-1)=0,f(1)=0, 2x-1 ? ? x ,x∈(-1,1), 故 f(x)在区间[-1,1]上的解析式为 f(x)=?2 +1

? 1. ?0,x=±

(2)∵x∈(0,1), 2x-1 2x+1-2 2 ∴f(x)= x = x =1- x . 2 +1 2 +1 2 +1 2 1 又∵2x∈(1,2),∴1- x ∈0, . 3 2 +1 1 若存在 x∈(0,1),满足 f(x)>m,则 m< , 3 1 故实数 m 的取值范围为-∞, . 3 α 7.[2014· 广州联考] 设函数 f(x)=x +1(α∈Q)的定义域为[-b,-a]∪[a,b],其中 0

<a<b,且 f(x)在区间[a,b]上的最大值为 6,最小值为 3,则 f(x)在区间[-b,-a]上的最 大值与最小值的和是( ) A.-5 B.9 C.-5 或 9 D.以上都不对 α 7.C [解析] 设 h(x)=f(x)-1=x ,则由题意可知,h(x)为奇函数或偶函数.当 h(x)为 奇函数时,由 f(x)在区间[a,b]上的最大值为 6,最小值为 3,得 h(x)在区间[-b,-a]上的 最大值与最小值分别是-2 和-5,从而 f(x)在区间[-b,-a]上的最大值与最小值分别是- 1 和-4,其和为-5;当 h(x)为偶函数时,由 f(x)在区间[a,b]上的最大值为 6,最小值为 3, 得 h(x)在区间[-b,-a]上的最大值与最小值分别是 5 和 2,从而 f(x)在区间[-b,-a]上的 最大值与最小值分别是 6 和 3,其和为 9.故选 C. 3sin θ 3 cos θ 2 5π 4. [2014· 岳阳模拟] 若 f(x)= x+ x +4x-1, 其中 θ∈0, , 则导数 f′(- 3 2 6 1)的取值范围是( ) A.[3,6] B.[3,4+ 3] C.[4- 3,6] D.[4- 3,4+ 3] 4.A [解析] 因为 f′(x)= 3sin θ x2+cos θ x+4,所以 f′(-1)= 3sin θ -cos θ +4 π 5π π =2sinθ - +4.又 θ∈0, ,所以 2sinθ - ∈[-1,2],故 f′(-1)∈[3,6]. 6 6 6 1 3 1 2 2.[2014· 内江模拟] 已知函数 f(x)= x - x +cx+d 有极值,则实数 c 的取值范围为 3 2 ( ) 1 1 A.c< B.c≤ 4 4 1 1 C.c≥ D.c> 4 4 2.A [解析] 由题意知,f′(x)=x2-x+c. 1 ∵函数 f(x)有极值,∴Δ=1-4c>0,解得 c< . 4 8.[2014· 常德期末] 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f′(x)>f(x).若 x1<x2,则 ex1f(x2)与 ex2f(x1)的大小关系为( ) A.ex1f(x2)>ex2f(x1) B.ex1f(x2)<ex2f(x1) C.ex1f(x2)=ex2f(x1) D.ex1f(x2)与 ex2f(x1)的大小关系不确定 f(x) 8.A [解析] 因为 f′(x)>f(x),所以 f′(x)-f(x)>0.故可构造函数 F(x)= x ,则 F′(x)= e x x f′(x)· e -f(x)· e f′(x)-f(x) = >0,即函数 F(x)在 R 上单调递增.又因为 x1<x2, ex (ex)2 f(x1) f(x2) 所以 F(x1)<F(x2),即 < ,故 ex2f(x1)<ex1f(x2). ex1 ex2 1 2.[2014· 长沙四校联考] 已知函数 f(x)= x3+ax2+bx. 3 (1)若函数 f(x)在区间[-1,1),(1,3]内各有一个极值点,当 a2-b 取最大值时,求函数 f(x)的解析式. (2)若 a=-1,在曲线 y=f(x)上是否存在唯一的点 P,使曲线在点 P 处的切线 l 与曲线 只有一个公共点?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 1 2.解:(1)因为函数 f(x)= x3+ax2+bx 在区间[-1,1),(1,3]内各有一个极值点,所 3

以 x2+2ax+b=0 在区间[-1,1),(1,3]内各有一个实数根. 设两个实根分别为 x1,x2(x1<x2),则 x1+x2=-a,x1x2=b,所以 x2-x1=2 a2-b,且 0<x2-x1≤4, 所以 0<2 a2-b≤4,即 0<a2-b≤4, 当 x1=-1,x2=3,即 a=-1,b=-3 时,等号成立,此时 a2-b 取最大值 4. 1 故函数的解析式为 f(x)= x3-x2-3x. 3 (2)假设存在点 P(x0,y0)符合条件. 由 f′(x)=x2-2x+b,得 f(x)在点 P 处的切线 l 的方程是 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),即 y= 2 3 2 (x2 0-2x0+b)x- x0+x0. 3 2 3 2 1 3 2 2 3 2 2 令 g(x)=f(x)-(x2 0-2x0+b)x- x0+x0= x -x -(x0-2x0)x+ x0-x0,则 g(x0)=0. 3 3 3 2 3 2 由题设知,g(x)=f(x)-(x2 0-2x0+b)x- x0+x0有唯一的零点 x0,且在 x=x0 两边附近的 3 函数值异号,所以 x=x0 一定不是 g(x)的极值点. 易知 g′(x)=x2-2x-x2 0+2x0=(x-x0)(x+x0-2). 若 x0≠2-x0,则易知 x=x0 和 x=2-x0 都是 g(x)的极值点,不合题意; 若 x0=2-x0,即 x0=1,则 g′(x)=(x-1)2≥0, 1 2 3 2 1 3 2 1 1 3 此时函数 g(x)= x3-x2-(x2 其在 R 上单调 0-2x0)x+ x0-x0= x -x +x- = (x-1) , 3 3 3 3 3 递增. 当 x>1 时,g(x)>0;当 x<1 时,g(x)<0.故函数 g(x)有唯一的零点 x0=1,且在 x0=1 两边 附近的函数值异号. 故在曲线 y=f(x)上存在唯一的点 P(1,f(1)),使曲线 y=f(x)在点 P 处的切线 l 与曲线 y =f(x)只有一个公共点.



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