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四川省成都七中实验学校2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理



成都七中实验学校 2015--2016 学年度期中考试 高二数学(理科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟.考试结束后,只将答题卷交回. 第 I 卷(选择题) 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卷上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号,不能答在试题卷上. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分.在每小题列出的四个选项中,只 有一项是最符合题目要求的. 1.直线 y ? ? 3x ? 2 3 的倾斜角是( A. 30? B. 60? ) C. 120? D. 150? )

2.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( A.l1⊥l2,l2⊥l3? l1∥l3 C.l1∥l2∥l3? l1,l2,l3 共面 B.l1⊥l2,l2∥l3? l1⊥l3

D.l1,l2,l3 共点? l1,l2,l3 共面

3.经过圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是 A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

4.圆 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 9 和圆 x 2 ? ( y ? 3)2 ? 4 的公切线有 A.1 条 B. 2 条 C.3 条 D. 4 条 )

5.直线 L1:ax+3y+1=0,L2:2x+(a+1)y+1=0,若 L1∥L2,则 a 的值为( A.﹣3 B.2 C.﹣3 或 2 D.3 或﹣2

6.在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E、F 分别是 CC1、AD 的中 点,那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于( A. B. C. D. )

7.若点 (5, b) 在两条平行直线 6 x ? 8 y ? 1 ? 0 与 3x ? 4 y ? 5 ? 0 之间,则整数 b 的值为 A. ?4 B. 4 C. ?5 D. 5

-1-

8. 过点 P(?1,0) 作圆 C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 的两切线, 设两切点为 A 、B , 圆心为 C , 则过 A 、
B 、 C 的圆方程是

A. x 2 ? ( y ? 1)2 ? 2

B. x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1

C. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4

D. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1

9.如图,在正四棱锥(底面为正方形,顶点在底面的射影 为底面的中心)S﹣ABCD 中,E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点,动点 P 在线段 MN 上运动时,下列四个结论中恒成 立的个数为( )

(1)EP⊥AC; (2)EP∥BD; (3)EP∥面 SBD; (4)EP⊥面 SAC. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

10.二面角 ? ? l ? ? 为 60? ,A 、B 是棱上的两点,AC 、BD 分别在半平面 ? 、? 内,AC ? l ,
BD ? l 且 AB ? AC ? 1 , BD ? 2 ,则 CD 的长为

A.1

B. 3

C. 2

D. 5

11.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为错误!未找到引用源。 ,若直线错误!未找到引 用源。上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值 是( A. ? )

4 3

B. ?

5 4

C. ?

2 5

D. ?

5 3

12.在直角 V ABC 中,?ACB ? 30? ,?B ? 90? , D 为 AC 中点(左图) .将 V ABD 沿 BD 折起, 使得 AB ? CD (右图) ,则二面角 A ? BD ? C 的余弦值为 A. ?
1 3

B.

1 3

C. ?

3 3

D.

3 3

第Ⅱ卷(非选择题)

-2-

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分. 13.已知直线 y=(3a﹣1)x﹣1,为使这条直线经过第一、三、四象限,则实数 a 的取值范围 是 _________ . 14.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为
2 2



2 2

2 2

2 2

1
正视图

1
侧视图

1
1
俯视图
15.已知直线 l 过点 P(2,1)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,O 为坐标原点, 则三角形 OAB 面积的最小值为 _________ . 16.关于图中的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,下列说法正确的有: ___________________. ① P 点在线段 BD 上运动,棱锥 P ? AB1 D1 体积不变; ② P 点在线段 BD 上运动,二面角 P ? B1 D1 ? A 不变; ③一个平面 ? 截此正方体,如果截面是三角形,则必为锐角三角形; ④一个平面 ? 截此正方体,如果截面是四边形,则必为平行四边形; ⑤平面 ? 截正方体得到一个六边形(如图所示) ,则截面 ? 在平面
D H A I B A1 G J C D1 F B1 E C1

AB1 D1 与平面 BDC1 间平行移动时此六边形周长先增大,后减小。

三、解答题:本大题共 6 小题,合计 70 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都相等,且 D, E , F 分别为 BC, BB1 , AA 1 的中点. (I) 求证:平面 B1FC // 平面 EAD ;
A1 B1 C1

F E

-3-

(II)求证:平面 C BC1 ? 平面 EAD .

P

A

O C

D

B
18. (本小题满分 12 分) 直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 与坐标轴的交点是圆 C 一条直径的两端点. (I)求圆 C 的方程;
1 (II)圆 C 的弦 AB 长度为 21 且过点 (1, ) ,求弦 AB 所在直线的方程. 2

19.(本小题满分 12 分) 如图所示,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长与侧棱长均为 2 , D 为 AC 中点. (1)求证: B1C ∥平面 A 1 DB ; (2)求直线 BD 与平面 A1BC1 所成的角的正弦值.

A1
C1

B1

A D
C

B

-4-

20.(本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ABCD 中, 侧面 PAD⊥底面 ABCD, 侧棱 PA ? PD ? 2 , PA ? PD ,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD, AB⊥AD, AB ? BC ? 1 ,O 为 AD 中点.

(1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值; (2)求 B 点到平面 PCD 的距离; (3)线段 PD 上是否存在一点 Q ,使得二面角 Q ? AC ? D 的余弦

值为

6 PQ ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由. QD 3

21. (本小题满分 12 分)已知圆 C : x ? ( y ?1) ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1) 求证:对 m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 A、B; (2) 求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线;

-5-

22.(本小题满分 12 分) 点 P 到 A(?2, 0) 的距离是点 P 到 B(1, 0) 的距离的 2 倍. (I)求点 P 的轨迹方程; (II)点 P 与点 Q 关于点 (2,1) 对称,点 C (3, 0) ,求 | QA |2 ? | QC |2 的最大值和最小值.
uur uur (III)若过 A 的直线从左向右依次交第(II)问中 Q 的轨迹于不同两点 E , F , FA ? ? EA ,

判断 ? 的取值范围并证明.

-6-

成都七中实验学校 2015--2016 学年度期中考试 高二数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题: 1.C.2.B. 3.B. 4.C.5.A. 6.B. 7.B. 8.A.9.B . 10.C. 11.A. 12.A. 二、填空题: 13. . 14. 2 3 . 15.4. 16.①②③.

三、解答题: 17.解: (I)直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 与两坐标轴的交点分别为 A(?4, 0) , B(0,3) . (2 分)
3 所以线段 AB 的中点为 C (?2, ) , | AB |? 5 . (4 分) 2 3 5 故所求圆的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? ) 2 ? ( ) 2 . (6 分) 2 2

5 21 2 (II)设直线 AB 到原点距离为 d ,则 d ? ( ) 2 ? ( (8 分) ) ?1. 2 2

若直线 AB 斜率不存在, 不符合题意. 若直线 AB 斜率存在, 设直线 AB 方程为 y ? 则d ?
| k (?2 ? 1) ? 1| k ?1
2

1 ? k ( x ? 1) , 2

3 (11 分) ? 1 ,解得 k ? 0 或 k ? ? . 4

所以直线 AB 的方程为 2 y ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 5 ? 0 . (12 分)

18.(1)连接 AB1 与 A1 B 交于 E ,则 E 为 AB1 中点,又 D 为 AC 中点,所以 DE ∥ B1C ,又

DE ? 平面 A1DB ,所以 B1C ∥平面 A1DB ....................5
(2)法一: (构造垂面,作线面角的平面角) 取 AC 1 1 中点 F ,连接 DF , BF ,则 DF 从而 AC 1 1

? AC 1 1 ,又 BA 1 1, 1 ? BC1 ? 2 2 ,所以 BF ? AC

? 平面 BDF ,所以平面 A1BC1 ? 平面 BDF ,作 DH ? BF 于 H ,则

DH ? 平面 A1BC1 ,所以 ?DBF 为直线 BD 与平面 A1BC1 所成角的平面角,
Rt ?BDF 中, BD ? 3, DF ? 2 ,所以 BF ? 7 ,所以 sin ?DBH ?

DF 2 ? 7. BF 7

-7-

法二:(等体积法) 设 D 与平面 A1BC1 的距离为 h ,由 VD? A1BC1 ? VB? A1DC1 得

1 1 ? S?A1BC1 ? h ? ? S ?A1DC1 ? BD , 等 腰 ?A1 BC1 中 BA1 ? BC1 ? 2 2 , AC 1 1 ?2 ,所以 3 3

S? A1BC1 ? 7 ,又 S? A1DC1 ? 2 , BD ? 3 ,代入求得 h ?
所成的角的正弦值为

2 21 ,从而直线 BD 与平面 A1BC1 7

h 2 ? 7 ..............................12 BD 7

PB
19.(1) 与平面

POC

PCD B 6 3 所成角的余弦值为 3 ; (2) 点到平面 的距离 d ? ; 3

(3)存在, 【解析】

PQ 1 ? . QD 2

试题分析: 思路一、由 PA=PD, O 为 AD 中点,侧面 PAD⊥底面 ABCD,可得 PO⊥平面 ABCD. 又在直角梯形

ABCD

中,易得

OC ? AD

所以可以

O

为坐标原点,

OC

为 轴,

x

OD



y

轴,

OP 为 z 轴建立空间直角坐标系,然后利用空间向量求解 . 思路二、 ( 1 )易得 BC ? 平面

POC ,所以 ?BPC 即为所求.(2)由于 BO ? CD ,从而 BO ? 平面 PCD ,所以可转化为求
点 O 到平面 PCD .(3)假设存在,过 Q 作 QQ? ? OD ,垂足为 Q? ,过 Q? 作 Q?M ? AC ,垂

? 即为二面角 足 为 M , 则 ?Q M Q

Q ? AC ? D

的 平 面 角 . 设 QQ? ? x(0 ? x ? 1) , 利 用

cos ?QMQ? ?

6 求出 x ,若 0 ? x ? 1 ,则存在,否则就不存在. 3

试题解析:(1) 在△PAD 中 PA=PD, O 为 AD 中点,所以 PO⊥AD, 又侧面 PAD⊥底面 ABCD, 平面 PAD ? 平面 ABCD=AD, PO ? 平面 PAD,

-8-

P

A

O C

D

B

所以 PO⊥平面 ABCD. 又在直角梯形 ABCD 中,易得 OC ? AD ; 所以以

O

为坐标原点,

OC

为 轴,

x

OD



y

轴,

OP 为 z 轴建立空间直角坐标系.
则 P ? 0,0,1? , A ? 0, ?1,0? , B ?1, ?1,0? C ?1,0,0 ? , D ? 0,1,0? ;

? ? ??? PB ? ?1, ?1, ?1? ,易证: OA ? 平面POC , ??? ? OA ? ? 0, ?1,0? 平面 POC 的法向量, 所以
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PB? OA 3 cos PB, OA ? ??? ? ??? ? ? 3 PB OA

PB
所以 与平面

POC

6
所成角的余弦值为 3 .4 分

(2)? PB ? ?1,?1,?1? ,设平面 PDC 的法向量为 u ? ?x, y, z ? ,

z ? 1 u ? ?1,1,1? ? ?u ? CP ? ? x ? y ? 0 则? ,取 得 ? u ? PD ? y ? z ? 0 ? PCD B BP ? u 3 d? ? 点到平面 的距离 3 u
(3)假设存在,且设 PQ ? ? PD(0 ? ? ? 1) .

.8 分

??? ?

??? ?

因为 PD ? (0,1, ?1), ?OQ ? OP ? PQ ? (0, ?, ??), ?OQ ? (0, ?,1 ? ?) 所以 Q(0, ? ,1 ? ? ) ,

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

-9-

?? ???? ?m ? AC ? x ? y ? 0 ?? ? 设平面 CAQ 的法向量中 m ? ( x, y, z) ,则 ? ?? ???? ? ?m ? AQ ? (? ? 1) y ? (1 ? ? ) z ? 0 ?? 取 z ? 1 ? ? ,得 m ? (1 ? ?, ? ?1, ? ? 1) .
平面 CAD 的一个法向量为 n ? (0,0,1) ,

?

?? ? m ?n ?? ? 6 6 因为二面角 Q OC D 的余弦值为 ,所以 | cos ? m, n ?|? ?? ? ? . 3 3 m n
整理化简得: 3? ? 10? ? 3 ? 0 ? ? ?
2

1 或 ? ? 3 (舍去), 3
13 分

所以存在,且

PQ 1 ? QD 2

考点:空间的角与距离.

20.解法一: (1)如图,过点 E 作 EG⊥AC,垂足为 G,过点 F 作 FH⊥AC,垂足为 H,则

EG ? FH ? 2 , GH ? 2 2 .
D H E M O G A B A F E M G O B H F C C D

因为二面角 D-AC-B 为直二面角,? EF 2 ? GH 2 ? EG2 ? FH 2 ? 2EG ? FH cos90?

? (2 2)2 ? ( 2)2 ? ( 2)2 ? 0 ? 12. 又在 ?EOF 中, OE ? OF ? 2 ,
? cos ?EOF ? OE 2 ? OF 2 ? EF 2 22 ? 22 ? (2 3)2 1 ? ? ? . ??EOF ? 120? .…..6 分 2OE ? OF 2? 2? 2 2

(2)过点 G 作 GM 垂直于 FO 的延长线于点 M,连 EM. ∵二面角 D-AC-B 为直二面角,∴平面 DAC⊥平面 BAC,交线为 AC, 又∵EG⊥AC,∴EG⊥平面 BAC.∵GM⊥OF,由三垂线定理,得 EM⊥OF.
- 10 -

∴ ?EMG 就是二面角 E ? OF ? A 的平面角.…..9 分
? 在 Rt ? EGM 中, ?EGM ? 90 , EG ? 2 , GM ?

1 OE ? 1 , 2
z D E O A x B F

∴ tan ?EMG ?

EG 3 ? 2 ,? COS?EMG ? GM 3

所以,二面角 E ? OF ? A 的余弦值为

3 。…..12 分 3

C y

解法二: (1)建立如图所示的直角坐标系 O-xyz, 则 OE ? (1, ?1, 2) , OF ? (0, 2,0) .

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OE ? OF 1 ? ??? ? ? ? .??EOF ? 120? .…..6 分 ? cos ? OE, OF ?? ???? 2 | OE || OF |
(2)设平面 OEF 的法向量为 n1 ? (1, y, z) . 由 n1 ? OE ? 0, n1 ? OF ? 0, 得

??

?? ??? ?

?? ??? ?

?? ?1 ? y ? 2 z ? 0, 2 2 ? y ? 0, z ? ? n ) .…..9 分 解得 .所以, ? 1 ? (1, 0, ? 2 2 ? ? 2 y ? 0,
又因为平面 AOF 的法向量为 n2 ? (0,0,1) ,…..10 分

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 3 ? ? .…..11 分 ? cos ? n1 , n2 ?? ??? ?? | n1 || n2 | 3
且根据方向判断,二面角 E ? OF ? A 的大小为余弦为
2 2

3 .…..12 分 3

21. ( 1 )证明见解析; ( 2 ) x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,为圆的轨迹方程; (3) x ? y ? 0 或

x? y ?2 ? 0;
(1)由题可知,判断直线与圆的位置关系,我们常采取两种方法,圆心到直线的距离与半径 的比较,若距离大于半径,则位置关系是相离,若距离等于半径,则位置关系是相切,若距 离小于半径,则位置关系是相交;或是判断直线所经过的定点和圆的关系,点在圆内,则位 置关系是相交,点在圆上,则位置关系是相切,点在圆外,则位置关系是相离; (2)关于求 轨迹方程的问题,求哪个点的轨迹就设哪个点的坐标,通过题中的条件将 x,y 的关系式求出, 即得轨迹方程; ( 3 )过一点的直线用点斜式设出,再和圆的方程联立,由韦达定理以及

- 11 -

??? ? ??? ? PB ? 2 AP ,得出直线方程为 x ? y ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 ;
试题解析: (Ⅰ)解法一:圆 C : x 2 ? ( y ?1) 2 ? 5 的圆心为 C (0,1) ,半径为 5 。 ∴圆心 C 到直线 l : m x ? y ? 1 ? m ? 0 的距离 d ?

| ?m | m ?1
2

?

|m| 1 ? ? 5 ,∴直线 l 与圆 C | 2m | 2

相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点;

y
B C M A O

l

P(1,1)

x

方法二:∵直线 l : m x ? y ? 1 ? m ? 0 过定点 P(1,1) ,而点 P(1,1) 在圆内∴直线 l 与圆 C 相交, 即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; (4 分) (Ⅱ)当 M 与 P 不重合时,连结 CM、CP,则 CM ? MP ,又因为

| CM |2 ? | MP |2 ?| CP |2 ,
设 M ( x, y )(x ? 1) ,则 x ? ( y ?1) ? ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 ,
2 2 2 2

化简得: x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0( x ? 1)
2 2

当 M 与 P 重合时, x ? 1, y ? 1 也满足上式。 故弦 AB 中点的轨迹方程是 x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0 。 (8 分)
2 2

(Ⅲ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,由 PB ? 2 AP , ∴ 1 ? x1 ?

??? ?

??? ?

1 ( x2 ? 1) ,化简的 x2 ? 3 ? 2 x1 2



?mx ? y ? 1 ? m ? 0 ? 2 x ? ( y ? 1)2 ? 5 消去 y 得 (1 ? m2 ) x 2 ? 2m2 x ? m2 ? 5 ? 0 又由 ?
∴ x1 ? x2 ?

(*)

2m 2 1 ? m2



(10 分)

- 12 -

由①②解得 x1 ?

3 ? m2 ,带入(*)式解得 m ? ?1 , 1 ? m2

∴直线 l 的方程为 x ? y ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 。 (12 分) 考点:直线与圆的位置关系中点轨迹方程直线方程的应用

22.解: (I)设点 P( x, y ) ,由题意可得 | PA |? 2 | PB | ,即 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 .化 简可得 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 . (4 分) (II)设 Q( x0 , y0 ) ,由题可得 ( x ? 2) ? y ? 4 , ?
2 2

? x0 ? x ? 2 ? 2 代入上式消去可得 ? y0 ? y ? 2 ? 1

( x0 ? 2) 2 ? ( y 0 ? 2) 2 ? 4 ,即 Q 的轨迹为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ,即
(6 分) x 2 ? y 2 ? 4 ? 4x ? 4 y . 令 z ?| QA |2 ? | QC |2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 2 x 2 ? 2 y 2 ? 2 x ? 13 ? 6 x ? 8 y ? 5 .所以

6x ? 8 y ? 5 ? z ? 0 , d ?
(9 分) 53 ,最小值为 13 .

33 ? z 10

? r ? 2 ,所以 13 ? z ? 53 .因此 | QA |2 ? | QC |2 的最大值为

(注:用参数方程计算的参考给分) (III) ? 的取值范围是 (1,
3? 5 (10 分) ]. 2

uur uur ? x ? 2 ? ? ( x1 ? 2) 证明: 设 E ( x1 , y1 ) ,F ( x2 , y2 ) 且 y1 ? y2 . 因为 FA ? ? EA , 所以 ? 2 , 且 ? ?1. (11 ? y2 ? ? y1

分) 设过 A 的直线方程为 x ? ty ? 2 (一定存在) ,与 Q 的轨迹方程联立,
? x ? ty ? 2 .消去 x 得 (1 ? t 2 ) y 2 ? (8t ? 4) y ? 16 ? 0 . ? ? (8t ? 4)2 ? 64(1 ? t 2 ) ? 0 , ? 2 2 ?x ? y ? 4x ? 4 y ? 4 ? 0

解得 t ?

y1 y2 ( y1 ? y2 ) 2 3 8t ? 4 16 ? ? 2 ? .而 y1 ? y2 ? , , ,因此 y y ? 1 2 y2 y1 y1 y2 4 1? t2 1? t2
4t ? 3 16 ? 4? ? 5 ,当且仅当 t ? 2 时等号成立.所以 2 25 1? t (4t ? 3) ? ?6 (4t ? 3)

??

1

?

?2?4?

- 13 -

??

1

?

,解得 1 ? ? ? ? 3 ? 0 ( k ? 1)

3? 5 . (14 分) 2

(注:用平面几何方法得出结论的参考给分. )

- 14 -



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