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湖南娄底重点中学2011高三10月联考--数学(文)



娄底市重点中学 2010 年 10 月联考 文科数学试题卷
时量: 120 分钟, 总分:150 分, 2010.10.10 注意:请同学们将答案填涂在答题卡上,考后只交答题卡。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,每题只有一项符合题目要求的. 1、已知 i 是虚数单位,复数 z 的共轭复数是 z ,若 (1 ? i ) 2 z ? 4 ,则

z ? (A) 2i 2、 若函数 y ? (B) ? 2i (C) ? 2 (D) 2 ( ) ( )

xa x (0 ? a ? 1) 的图象大致形状是 x

A

B
? 26 ? 3

C ,则 tan a7 的值为

D ( )

3、若 {an } 为等差数列, S n 是其前 n 项和,且 S13

3 (A) 3 (B) ? 3 (C) ? 3 (D) ? 3 ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? 4、已知 a 、 b 是不共线的向量, AB ? ? a ? b , AC ? a ? ? b(? , ? ? R) ,则 A、B、C 三点

共线的充要条件是: (A) ? ? ? ? 1

(B) ?? ? 1

(C) ?? ? ?1

( (D) ? ? ? ? 1



5.已知等比数列{ an }中, 各项都是正数, a2 , a4 , 2a3 成等差数列, a7 ? a8 ? 且 则 2 a5 ? a6 (

1



(A) 1 ? 2 (B) 1 ? 2 6、函数 f ( x) ? ? sin(2 x ? ( ① ) 图象 C 关于直线 x ?

(C) 3 ? 2 2

(D) 3 ? 2 2

?
4

) 图像为 C ,以下四个结论中正确的是(写出所有正确编号)

5? 5? , 0) 对称 ③ 函数 f ( x) 在区间 对称 ②图象关于点 (? 8 8

7? 3? ? , ? ) 内是增函数 ④ 由 y ? ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位长度可以得到 8 8 4 图象 C (?
(A) ①② (B) ①③ (C)①②④ (D) ①②③

第 1 页 共 9 页

7、已知 ? ? (? , 2? ),cos ? ? sin ? ? (A) ?

1 ,则 cos ? ? 5
(C) ?





4 5

(B) ?

3 5

4 5

(D) ?

3 5

8、记事件 A 发生的概率为 P( A) ,定义 f ( A) ? lg[ p( A) ?

1 ] 为事件 A 发生的“测度”, P( A)
( )

现随机抛掷一个骰子,则下列事件中测度最大的一个事件是 (A)向上的点数为 2 点 (C)向上的点数为奇数 (B)向上的点数不大于 2 (D)向上的点数不小于 3

二、填空题: 本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 9、二次函数 y ? ax ? bx ? c( x ? R) 的部分对应值如下表:
2

x
y

-4 10

-3 4

-2 0

-1 -2

0 -2

1 0

2 4

3 10

则不等式 cx2 ? bx ? a ? 0 的解集为
1 4 1 0.2 4 b ? log 10、 阅读流程图(右)填空: a?( ) , 设 1 ,c ? 2 , 4 4

开始

输入 a , b, c 是

则输出的数(用字母表示)是 11、某地举办歌手大奖赛,9 位评委为参赛选手甲给出的 分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低 分后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数 字(茎叶图中的 a )无法看清,若记分员计算无误,则数 字a? ; 选手甲 8 9 8 2 9 3 9 a 2 1 4

a?b且a?c ?


b?c ?




输出

a

输出

c

输出 b

结束

? ? ? ? ? ? 12、设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,定义 a 与 b 的“向量积”: a ? b ,它是一个向量,
? ? ? ? ? ? ? ? sin 它的模: a ? b ? a ?b ? ? ,若 a ? ( 3,1), b ? (?1, ? 3) ,则 a ? b ?

?x ? 2 ? 0 ? 13、已知 x、y 满足约束条件 ? y ? 1 ? 0 , 则z ? x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
14、已知下列命题:(1)已知函数 f ( x) ? x ?

p ( p 为常数且 p ? 0 ),若 f ( x) 在区 x ?1

第 2 页 共 9 页

间 (1, ??) 的

最小值为 4,则实数 p 的值为 列 ? an ? 中: a4 .a6 ? 8

9 ? ; (2) ?x ? [0, ],sin x ? cos x ? 2 (3)正项等比数 4 2
(4)若

函数 f ( x) ? x( x ? a3 )( x ? a5 )( x ? a7 ) ,则 f ' (0) ? 16 2 ,

数 列 ? an ? 的 前 n 项 和 为 Sn ? 2n 2 ? n ? 1 , 且 bn ? 2an ? 1 , 则 数 列 ?bn ? 前 n 项 和 为

Tn ? 4n 2 ? n ? 2
上述命题正确的序号是 15、在 Rt ?ABC 中, CA ? CB ,斜边 AB 上的高为 h1 ,则有:

1 1 1 ? ? 2 2 h1 CA CB 2

类比此性质,在四面体 P ? ABC 中,若 PA, PB, PC 两两垂直,底面 ABC 上的高为 h , 则得到的正确结论为: 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、(本题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c 。 (1)若 cos A ?

5 10 , cos B ? , 求 cos( A ? B) 和 ?C 大小。 5 10

(2)若 a 2 ? c 2 ? 8b ,且 sin A cos C ? 3cos Asin C ? 0 ,求 b 的值

17. (本题满分 12 分)某机构下设 A、B、C 三个工作组,其分别有组员 32、32、16 人, 现向社会公开征求意见,为搜集所征求的意见,拟采用分层抽样的方法从 A、B、C 三个工 作小组抽取 5 名工作人员来完成。(1)求从三个工作组分别抽取的人数;(2)搜集意见结 束后, 若从抽取的 5 名工作人员中再随机抽取 2 名进行汇总整理, 求这两名工作人员没有 A 组工作人员的概率。 (3)用随机抽样的方法从 B 工作组中抽取 8 人进行测试,测试成绩如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 人的测试成绩看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均 数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 18、(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 的图象的一部分如下图所示。 (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? [?

?
2

, x ? R)

? 5?
,

] 时,求函数 y ? f ( x) ? f ( x ? ) 4 6 3

?

的最大值与最小值及相应的 x 的值。

第 3 页 共 9 页

19. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 ?a n ?的公差大于 0,且 a3 , a 5 是方程 x 2 ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 S n ,且 Sn ? (1) 求数列 ?a n ?, ?bn ? 的通项公式; (2)记 c n ? a n ? bn , 求证: c n ?1 ? c n ;(3)求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

1 ? bn (n ? N * ) . 2

20、(本题满分 13 分)某种商品的成本为 5 元/ 件,开始按 8 元/件销售,销售量为 50 件, 为了获得 最大利润,商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现:销售价每上涨 1 元每天销售量就减少 10 件;而降价后,日销售量 Q (件)与实际销售价 x (元)满足关系:

39(2 x 2 ? 29 x ? 107)(5 ? x ? 7)

Q( x) ?

(1)写出该商家的日销售总利润(利润=销售额-成本) y (元)与销售价 x (元)的函 数关系式。 (2)当实际销售价为多少元时,日销售总利润最大,并求最大利润。

198 ? 6 x (7 ? x ? 8) x ?5

21、(本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

a ?1 ? 3(a ? R) x

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 a ? 1 时,若关于 x 的不等 f ( x) ? m ? 5m 恒成立,求实数 m 的取值范围。
2

(3)当 a ? ?

1 时,讨论 f ( x) 的单调性. 2

2011 届高三联考数学(文)参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) ADBB CDBA 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分) 9.
? 1 ? ? x ? ? x ? 1? 2 ? ?

10. c

11.

1

12. 2

第 4 页 共 9 页

13. 2

14. (1)(3)(4)

15.

1 1 1 1 ? ? ? 2 2 2 h PA PB PC 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 解:(1)由 cos A ?

2 5 5 , 0 ? A ? ? ,得 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 5 5

cos B ?

3 10 10 , 0 ? B ? ? ,得 sin B ? 1 ? cos 2 B ? ……..2 分 10 10
2 ………4 分 2

∴ cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ? ? 又? A ? B ? C ? ? ?C ? ? ? ( A ? B)
? cos C ? ? cos( A ? B) ? ? 0 ? C ? ? ??C ? 2 2

?
4

………6 分.

(2)由 sin A cos C ? 3cos Asin C ? 0 ,及正弦定理和余弦定理 得 a 2 ? c2 ? 2b2 又∵ a 2 ? c 2 ? 8b ------------------(i) …..10 分

-----------------(ii) ……11 分 .

联立(i) 和 (ii)可得 2b2 ? 8b 解得 b ? 0(舍)或b ? 4 ?b ? 4 ……12 分. 17.(本小题满分 12 分) 解:(1)三个工作组的总人数为 32+32+16=80,样本容量与总体中个体 数的比为 5 1 ……4 ? , 所以从 A、B、C 三个工作组分别抽取的人数为 2、2、1 80 16 分 (2)设 A1,A2 为从 A 组抽得的 2 名工作人员,B1,B2 为从 B 组抽得的工作人 员,C1 为从 C 组抽得的工作人员,若从这 5 名工作人员中随机抽取 2 名,其 所以可能的结果是:

( A1 , A2 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , C1 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , C1 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , C1 ),

( B2 , C1 ) ,共有 10 种,其中没有 A 组工作人员的结果有 3 种,
第 5 页 共 9 页

所以所求的概率 P ? 分

3 。 10

……8

1 (3)样本的平均数为 x ? (9.4 ? 8.6 ? 9.2 ? 9.6 ? 8.7 ? 9.3 ? 9.0 ? 8.2) ? 9 ,那么与样 8 本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0 这 6 个数,总的个数为 8, 所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 6 的概率为 ? 0.75 . …12 分 8 18.(本小题满分 12 分)

解:(1)由图可知: A ?

1 ? (?1) 1 2? ? ? ? 1 , ? ? ? (? ) 得 ? ? 2 ….2 分 2 4 ? 12 6

? ? 取点 ( ,1) 为五点法作图的第一个点,则: 2 ? ? ? ? 0 12 12
?? ? ?

? ….4 分? f ( x) ? cos(2 x ? ) …..5 分 6 6 ? (2)因为 y ? f ( x) ? f ( x ? ) , 3 ? ? ? ? ? y ? cos(2 x ? ) ? cos[2( x ? ) ? ] ? cos(2 x ? ) ….9 分 6 3 6 6 π 5? π ? 11? 当 x ? [? , ] 时, 2 x ? ? [? , ….10 分 ] 4 6 6 3 6 π ? 当 2 x ? ? 0 即 x ? ? 时, ymax ? 1 ….11 分 6 12 π 3? 5? 当 2x ? ? 即 x? 时, ym i n? ?1 …..12 分 6 2 12 19.(本小题满分 13 分)
? (? , ) 2 2

?

? ?

解:(1)∵a3,a5 是方程 x 2 ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,且数列 {a n } 的公差 d >0, ∴a3=5,a5=9,公差 d ?

a5 ? a3 ? 2. 5?3
……………2 分

∴ a n ? a5 ? (n ? 5)d ? 2n ? 1. 又当 n =1 时,有 b1 ? S1 ?

1 ? b1 1 ? b1 ? 2 3

当 n ? 2时, 有bn ? S n ? S n ?1 ?

b 1 1 (bn ?1 ? bn ),? n ? (n ? 2). 2 bn ?1 3
1 1 , 公 比 q? 等 比 数 列 , 3 3

∴ 数 列 { bn } 是 首 项 b1 ?

第 6 页 共 9 页

∴ bn ? b1q n ?1 ?

2n ? 1 2n ? 1 …………6 分 , cn ?1 ? n?1 , n 3 3 2n ? 1 2n ? 1 4(1 ? n) ∴ cn?1 ? cn ? n ?1 ? n ? n ?1 ? 0. ∴ cn ?1 ? cn . ………9 分 3 3 3 2n ? 1 (3) cn ? anbn ? n ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 3 1 3 5 2n ? 1 (1) ? Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ........ ? n 3 3 3 3 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 (2) ………11 分 ? Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ? n ?1 3 3 3 3 3 3 2 1 2 2 2 2n ? 1 ( 1 ? ( 得: Tn ? ? 2 ? 3 ? ..... ? n ? n ?1 ? ) 2) 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 n2 ? 1 ? 2 ( 2 ? 3 ? . . ? . . ? )n? 1 . n 3 3 3 3 3 n ?1 化简得: Tn ? 1 ? n ………13 分 3 20.(本小题满分 13 分)

1 . ………5 分 3n

(2)由(Ⅰ)知 cn ? anbn ?

39(2 x 2 ? 29 x ? 107)( x ? 5)...(5 ? x ? 7)

(1)据题意得: y ? {198 ? 6 x ( x ? 5)....................(7 ? x ? 8) ………5 分

?50 ? 10( x ? 8)? ( x ? 5)...........( x ? 8)
39 ? (2 x3 ? 39 x 2 ? 252 x ? 535)...(5 ? x ? 7) ? { 6(33 ? x)..................................(7 ? x ? 8) ………6 分 ?10 x 2 ? 180 x ? 650.......................( x ? 8)

x?5

(2)由(1)得:当 5 ? x ? 7 时, y ? 39 ? (2 x3 ? 39 x 2 ? 252 x ? 535) 当 5 ? x ? 6 时, y ' ? 0 , y ? f ( x) 当 6 ? x ? 7 时, y ' ? 0, y ? f ( x) 为增函数 为减函数

当 x ? 6 时, f ( x)max ? f (16) ? 195 ……10 分 当 7 ? x ? 8 时, y ? 6(33 ? x) ? ?150,156? 当 x ? 8 时, y ? ?10( x ? 9)2 ? 160 当 x ? 9 时, ymax ? 160 ……12 分 ……13 分 ……11 分

综上知:当 x ? 6 时,总利润最大,最大值为 195 21.(本小题满分 13 分)

第 7 页 共 9 页

2 解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x ? ? 3, x ? (0, ??) x

? f ' ( x) ?

1 2 x2 ? x ? 2 ?1? 2 ? , x ? (0, ??) ? f ' (2) ? 1 2 x x x

即曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线的斜率为 1 故 曲 线
x ? y ? ln 2 ? 4 ? 0 y ? f ( x)

又 f (2) ? 6 ? ln 2 ,

在 点 ( 2 , f ……3 分

处 ) ( 2 的 )切 线 方 程 为 :

(2)当 a ? 1 时, ? f ' ( x) ?

1 2 x2 ? x ? 2 ?1? 2 ? , x ? (0, ??) x x x2

令 f ' ( x) ? 0 得: x2 ? x ? 2 ? 0 解得: x1 ? ?2 (舍) x2 ? 1 当 x ? (0,1) 时, f '( x) ? 0 此时函数 f ( x) 单调递减 当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 此时函数 f ( x) 单调递增 因此函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值,又因为函数 f ( x) 在 (0, ??) 只有唯一的极 小值点 故函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得最小值 f ( x)min ? f (1) ? 6
f ( x) ? m2 ? 5m 恒成立 ? f ( x)min ? m2 ? 5m 即: m2 ? 5m ? 6 解得: ?1 ? m ? 6

故 所 ?1 ? m ? 6
'



m







范 ……7 分





1 a ? 1 ax 2 ? x ? (a ? 1) , x ? (0, ??) (3)? f ( x) ? ? a ? 2 ? x x x2

令 g ( x) ? ax 2 ? x ? (a ? 1), x ? (0, ??) , a ? 0 时, g ( x) ? x ? 1, x ? (0, ??) 此时:当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 函数 f ( x) 单调递减 当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 函数 f ( x) 单调递增……10 分
1 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 ,即 ax 2 ? x ? (a ? 1) ? 0 解得: x1 ? 1, x2 ? ? ? 1 a

①当 a ? ?

1 时,x1 ? x2 , g ( x) ? 0 恒成立, 此时: f ' ( x) ? 0, 函数 f ( x) 在 (0, ??) 递 2

减 ……9 分
第 8 页 共 9 页

1 1 ②当 ? ? a ? 0 时, ? ? 1 ? 1 ? 0 2 a
此时:当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 函数 f ( x) 单调递减
1 当 x ? (1, ? ? 1) 时, g ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 函数 f ( x) 单调递增 a 1 当 x ? (? ? 1, ??) 时 , g ( x ) 0 f ' x ?) 函 数 f ( x) 单 调 递 ( 0 ? , a 减 ……11 分 1 ③当 a ? 0 时, ? ? 1 ? 0 a

此时:当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 函数 f ( x) 单调递减 当 x ? (1, ??) 增 综上所述: ……12 分 时 , g(x ) ?
, ( 0 f ' x ?) 0 函 数 f ( x) 单 调 递

当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减 函数 f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增 当a ? ?

1 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 单调递减 2

1 当 ? ? a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减 2
1 函数 f ( x) 在 (1, ? ? 1) 上单调递增 a 1 函数 f ( x) 在 (? ? 1, ??) 上单调递减 a

… …13 分

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