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[首发]山东省桓台第二中学2015-2016学年高二6月月考数学试题



高二数学试题
时间 120 分钟。 。

:] 源 [来

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 5 页。满分 150 分,考试

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. cos300? 的值是( )

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

2.设 ? ? R, 则“ ? ? 0 ”是“ f ( x) ? cos(x ? ? )(x ? R) 为偶函数”的

B.必要而不充分条件 D.既不充分与不必要条件 a? 3.若点(9, a )在函数 y ? log3 x 的图象上,则 tan= 的值为: ( 6 A.0 B.
3 3

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件



C. 1

D.

3


π? ? 4. 已 知 下 图 是 函 数 y ? 2sin(? x ? ? ) ? ? ? ? 的 图 象 上 的 一 段 , 则 ( 2? ?

A. ? ?

10 π ,? ? 11 6

B. ? ?

10 π ,? ? ? 11 6

C. ? ? 2,? ?

π 6

D. ? ? 2,? ? ?

π 6

5.已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π ),则 tan ? =(

) D. 1


A. ? 1

B. ?

2 2

C.

2 2

6.函数 f ( x) ? 2 x ? tan x 在 ( ?

? ?

, ) 上的图像大致为( 2 2

ZXK] 网 .科 :学 源 [来

A

B

C
2 2 2

D

7. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cos C 的最小 值为( )

A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2


8. 当 0 ? x ?

?
4

时,函数 f ( x) ?

cos 2 x 的最小值是( cos x sin x ? sin 2 x

A. 4

B.

1 2

C. 2

D.

1 4

9.已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a 的图像关于点 ( ,0) 对称,则 a =(

1 2



C,2 D,-2 ? ? 10.已知 ? ? 0 , 函数 f ( x ) ? sin(? x ? ) 在 ( , ? ) 上单调递减。 则 ? 的取值范围是 ( 2 4 1 5 1 3 1 A. [ , ] B. [ , ] C. (0, ] D. (0, 2] 2 4 2 4 2

A,1

B,-1



11. 已 知 函 数 f ( x) 在 实 数 集 R 上 具 有 下 列 性 质 : ① f ( x ? 1) 是 偶 函 数 , ②

f ( x ? 2) ? ? f ( x) , ③ 当 1 ? x1 < x2 ? 3 时 , ( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? ( x2 ? x1 ) <0 , 则 f (2011 ) 、 f (2012) 、 f (2013 ) 的大小关系为( ) > f (2012) > f (2013 ) A. f (2011 ) > f (2011 ) > f (2012) C. f (2013


) > f (2013 ) B. f (2012) > f (2011 ) > f (2012) > f (2011 ) D. f (2013
)

12.在△ABC 中, a 2 ? b 2 ? ab ? c 2 ? 2 3S ?ABC ,则△ABC 一定是( A.等腰三角形 C.等边三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。) 13.设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a ,b , c . 若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab , 则角 C ?


?x π ? ? ? , g ( x) ? sin 2 x .设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一 ? 2 12 ?

14. 已知函数 f ( x ) ? cos2 ?

条对称轴,则 g ( x0 ) 的值等于



15. 已知直线 l1 : y ? k1 x , 直线 l 2 : y ? k 2 x 分别与曲线 y ? e x 与 y ? ln x 相切,则

k1 ? k 2 ?

.

16.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确的是 _____
2 ①若 ab ? c ;则 C ?

?
3

②若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3

3 3 3 ③若 a ? b ? c ;则 C ?

?
2

④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

⑤若 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 ;则 C ?

?
3

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 18.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x,1) , n ? ( 3 A cos x, 大值为 6. (Ⅰ)求 A;
ZXK] 网 +科 :学 源 [来

A cos 2 x)( A ? 0) ,函数 f ( x) ? m ? n 的最 2

(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象像左平移

? 个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短 12

为原来的 值域。
:Z-XK] 源 [来

1 ? 5? ? 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象。求 g(x)在 ?0, 上的 2 ? 24 ? ?

19.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 2 4

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期; ( II ) 设 函 数 g ( x) 对 任 意 x ? R , 有 g ( x ?

?
2

) ? g ( x ) , 且 当 x ? [ 0,

?
2

]时 ,

g ( x) ?

1 ? f ( x ) ; 求函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式。 2

20.(本小题满分 12 分)
2 在 ? ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 cosA= , sinB= 5 cosC. 3

(Ⅰ)求 tanC 的值;
(Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积.

21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ?1 x

x ? 2y ? 3 ? 0 ,
(1)求 a , b 的值 (2)证明:当 x ? 0, x ? 1 时, f ( x ) ?

ln x 1? x

22.(本小题满分 13 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的 车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数,当桥上的 车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/ 千米时,车流速度为 60 千米,/小时,研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车 流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ( x ) 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/小时) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)

数学试题参考答案 一、选择题 二、填空题 AABC 13、
2? 3

ACCA CADB 14、
3 2

15、1

16、①②③

16 题解析:正确的是 _____ ①②③ ① ab ? c 2 ? cos C ?
a 2 ? b2 ? c 2 2ab ? ab 1 ? ? ? ?C ? 2ab 2ab 2 3 a 2 ? b2 ? c 2 4(a 2 ? b2 ) ? (a ? b)2 1 ? ? ? ?C ? 2ab 8ab 2 3

② a ? b ? 2c ? cos C ? ③当 C ?

?
2

时, c2 ? a2 ? b2 ? c3 ? a2c ? b2c ? a3 ? b3 与 a3 ? b3 ? c3 矛盾

④取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a ? b)c ? 2ab 得: C ?

?
2

⑤取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 得: C ?

?
3

18、解: (Ⅰ)

] 网 *科 :学 源 [来

f ( x) ? m ? n ? 3 A cos x sin x ?

A 3 A ?? ? cos2 x ? A sin 2 x ? cos2 x ? A sin? 2 x ? ? , 2 2 2 6? ?

则 A ? 6;

???5 分 ? ? ? (Ⅱ) 函数 y=f (x) 的图象像左平移 个单位得到函数 y ? 6 sin[ 2( x ? ) ? ] 的 12 12 6 1 图象,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 2
g ( x) ? 6 sin(4 x ?

?

当 x ? [0,

5? ? ? 7? ? 1 ] 时, 4 x ? ? [ , ], sin( 4 x ? ) ? [? ,1] , g ( x) ? [?3,6] . 24 3 3 6 3 2

3

)

???9 分.

? 5? ? 故函数 g(x)在 ?0, ? 上的值域为 [?3,6] ? 24 ?

???12 分.

19、 解: f ( x) ?
1 1 2 ? 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x 2 2 2 4 2 2 2

???4 分 (I)函数 f ( x) 的最小正周期 T ?
2? ?? 2

???6 分

? 1 1 (II)当 x ? [0, ] 时, g ( x) ? ? f ( x) ? sin 2 x 2 2 2 ? ? ? ? 1 ? 1 当 x ? [? , 0] 时, ( x ? ) ? [0, ] g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 1 当 x ? [?? , ? ) 时, ( x ? ? ) ? [0, ) g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 2 2 2 2
得:函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式为

? ? 1 ? sin 2 x(? ? x ? 0) ? ? 2 2 g ( x) ? ? ? 1 sin 2 x(?? ? x ? ? ) ? ? 2 2
2 3

???12 分

20、解: (Ⅰ)∵cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos2 A ?

5 ,??2 分 3

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA =
2 5 cosC+ sinC. 3 3

整理得:tanC= 5 . (Ⅱ):由 tanC= 5 得 sinC= 又由正弦定理知: 故 c ? 3 . (1)
5 . 6

??6 分

a c , ? sin A sin C

??8 分

对角 A 运用余弦定理:cosA= 解(1) (2)得: b ? 3 或 ∴ ? ABC 的面积为:S=
a(

b2 ? c 2 ? a 2 2 ? . (2)??10 分 2bc 3

b=

3 (舍去).??11 分 3

5 .??12 分 2

? f ?( x) ?

21、解: (Ⅰ)

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x ,

? f (1) ? 1 ?b ? 1 ? ? ? 1 ?a 1 f ?(1) ? ? ?b ? ? ? ? 2 即 ?2 2 由题意知: ?
?a ? b ? 1

???4 分
f ( x) ? ln x 1 ? x ? 1 x ,所以,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

ln x 1 x2 ?1 f ( x) ? ? (2 ln x ? ) x ?1 1? x2 x h( x) ? 2 ln x ? x2 ?1 ? ( x ? 1) 2 h?( x) ? , ( x ? 0) x x2 则,



???8 分

当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,而 h(1) ? 0
1 h( x ) ? 0 2 故,当 x ? (0,1)时h( x) ? 0,当x ? (1,??),时h( x) ? 0 得: 1 - x f ( x) ? ln x ln x ? 0, f ( x) ? x ?1 x ?1 即

从而,当 x ? 0 时, 22、解析:

???12 分

(1)由题意:当 0 ? x ? 20 时, v( x) ? 60 ;当 20 ? x ? 200 时,设 v( x) ? ax ? b.
1 ? a?? , ? 200 a ? b ? 0, ? ? 3 再由已知得 ? 解得 ? 20 a ? b ? 60. 200 ? ?b ? . ? 3 ?

………4 分

:Z-xk.Com] 源 [来

0 ? x ? 20, ?60, ? 故函数 v(x)的表达式为 v( x) ? ? 1 (200 ? x), 20 ? x ? 200. ? ?3

………6 分

(2)依题意并由(1)可得 f ( x) ? ? ?1

?60 x,

0 ? x ? 20,

x(200 ? x), 20 ? x ? 200. ? ?3

,………8 分

当 0 ? x ? 20 时, f ( x) 为增函数.故当 x=20 时, 其最大值为 60×20=1200; …9 分 当 20 ? x ? 200 时, f ( x) ? x(200 ? x) ? [
1 3 1 x ? (200 ? x) 2 10000 ] ? . 3 2 3

当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立. 所以,当 x ? 100 时, f ( x) 在区间[20,200]上取得最大值 综上,当 x ? 100 时, f ( x) 在区间[0,200]上取得最大值
10000 ……….12 分 3

10000 ? 3333 . 3

即当车流密度为 100 辆/千米时, 车流量可以达到最大, 最大值约为 3333 辆/小时 …….14 分



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