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2016届湖南省高考数学冲刺卷(理科)(1)(解析版)



湖南省 2016 年高考数学冲刺卷(理科)(1)(解析版)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U=R,A={x|x>3},B={x|≥﹣1},则(?UA)∩B=( A.[﹣1,3] B.[﹣1,3) C.[﹣1,+∞) D.(3,+∞) ) )

2

.若复数 z 满足(1+i)z=(3+i)i,则|z|=( A. B. C. ﹣ D.

3.若双曲线

=1 的一条渐近线过点(2,3),则此双曲线的离心率为(



A.2

B.

C.

D. )

4.(2﹣x)(1+x)5 的展开式中 x3 的系数为( A.﹣10 B.10 C.﹣15 D.15

5. =Asin(ωx+φ) 已知函数 f (x) (A>0,|φ|<

)的部分图象如图,则 f (

=( )



A.

B.

C.

D. )

6. =0.02, = ?2 ) 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N (0, , 若P (ξ>1) 则P (﹣1≤ξ≤1) ( A.0.04 B.0.64 C.0.86 D.0.96

7.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且最小正周期为 2,若 0≤x≤1 时,f(x)=x, 则 f(﹣1)+f(﹣2017)=( A.0 B. C.1 D.2 ) )

8.执行如图的程序框图,则输出的 S 的值为(

A.

B.

C.

D. )

9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.

B.

C.

D.

10.设 x,y 满足 A.﹣4 B.1

,且 z=ax﹣2y 的最小值是 1,则实数 a=( C.﹣4 或 1 D.﹣1 或 4



11.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数),设 aij(i,j∈N+)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数,如 a42=8, 若 aij=2010,则 i,j 的值的和为( )

A.75

B.76

C.77

D.78 ,a∈R,若对任意非零实数 )

12.已知函数 f(x)=

x1,存在非零实数 x2(x1≠x2),使得 f(x2)=f(x1),则实数 k 的最小值( A. B. C. D.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知向量 , 均为单位向量, 与 夹角均为 ,则| ﹣2 |= .

14. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人, 并根据所得数据画出了如图所 示的频率分布直方图,现要从这 10000 人中再用分层抽样的方法抽出 100 人作进一步调查, 则月收入在[2500,3000)(元)内应抽出 人.

15.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 acosB+bcosA=3a,则 = .

16.已知半圆 C:x2+y2=1(y≥0),A,B 分别为半圆 C 与 x 轴的左右交点,直线 m 过点 B 且与 x 轴垂直,T 是圆弧 OBST 的面积为 上的一个三等分点,连接 AF 并延长至直线 m 于 S,则四边形 .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=1﹣an, (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=4(n+1)an,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,n∈N*,求 Tn. 18.如图,所有棱长都为 2 的正三棱柱 BCD﹣B′C′D′,四边形 ABCD 是菱形,其中 E 为 BD

的中点

(Ⅰ)求证:平面 BC′D∥面 AB′D′; (Ⅱ)求面 AB′D′与面 ABD 所成锐二面角的余弦值. 19.某校为了研究学情,从高三年级中抽取了 20 名学生三次测试数学成绩和物理成绩,计 算出了他们三次成绩的平均名次如下表: 学生序号 数学平均名次 物理平均名次 学生序号 数学平均名次 物理平均名次 1 1.3 2.3 11 78.3 49.7 2 12.3 9.7 12 50.0 46.7 3 25.7 31.0 13 65.7 83.3 4 36.7 22.3 14 66.3 59.7 5 50.3 40.0 15 68.0 50.0 6 67.7 58.0 16 95.0 101.3 7 49.0 39.0 17 90.7 76.7 8 52.0 60.7 18 87.7 86.0 9 40.0 63.3 19 103.7 99.7 10 34.3 42.7 20 86.7 99.0

学校规定:平均名次小于或等于 40.0 者为优秀,大于 40.0 者为不优秀. (1)对名次优秀赋分 2,对名次不优秀赋分 1,从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生,若用 ξ 表示这 2 名学生两科名次赋分的和,求 ξ 的分布列和数学期望; (2)根据这次抽查数据列出 2×2 列联表,能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下的物 理成绩和数学成绩有关? 附:K2= P(K2>k) k 0.15 2.072 0.10 2.706 ,其中 n=a+b+c+d 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

20.已知函数 f(x)=(ax2+x﹣1)ex,a∈R. (1)若函数 f(x)在 x=﹣1 时取极值,求 a 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性. 21.设 F1、F2 分别为椭圆 E: 顶点,且|CD|= + =1(a>b>0)的左、右焦点,点 D 为椭圆 E 的左

,椭圆的离心率为



(1)求椭圆 E 的方程; (2)对于正常数 λ,如果存在过点 M(x0,0)(﹣a<x0<a)的直线 l 与椭圆 E 交于 A、 B 两点,使得 S△ AOB=λS△ AOD(其中 O 为原点),则称点 M 为椭圆 E 的“λ 分点”.试判断 点 M(1,0)是否为椭圆 E 的“2 分点”.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-1: 几何证明选讲](共 1 小题,满分 10 分) 22.如图所示,AB 是圆 O 的直径,延长 BA 至 C,使 AC= BC,过 C 作圆 O 的切割线交 圆 O 于 M、N 两点,且 AM=MN. (1)证明:∠AOM=∠ABN; (2)若 MN=2,求 AN 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.(2016 湖南模拟)已知圆 C1 的参数方程为 (φ 为参数),以坐标原点 O 为 .

极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为

(Ⅰ)将圆 C1 的参数方程化为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)圆 C1、C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.2(ab+bc+ca)+3 (2)a2+b2+c2 . ≤1

2016 年湖南省高考数学冲刺卷(理科)(1)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U=R,A={x|x>3},B={x|≥﹣1},则(?UA)∩B=( A.[﹣1,3] B.[﹣1,3) C.[﹣1,+∞) D.(3,+∞) )

【分析】根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:∵A={x|x>3},B={x|≥﹣1}, ∴?UA={x|x≤3}, 则(?UA)∩B={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1,3], 故选:A 【点评】本题主要考查集合的基本运算,根据集合交集补集的定义是解决本题的关键.

2.若复数 z 满足(1+i)z=(3+i)i,则|z|=( A. B. C. D.



【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出. 【解答】解:∵(1+i)z=(3+i)i,(1﹣i)(1+i)z=(3i﹣1)(1﹣i),∴2z=4i+2,∴ z=1+2i. ∴|z|= .

故选:C. 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式,考查了推理能力与 计算能力,属于基础题.

3.若双曲线



=1 的一条渐近线过点(2,3),则此双曲线的离心率为(



A.2

B.

C.

D.

【分析】求出双曲线的渐近线,建立 a,b 的关系,结合双曲线离心率的公式进行求解即可.

【解答】解:双曲线的渐近线方程为 y=± x,

∵双曲线



=1 的一条渐近线过点(2,3),

∴(2,3)在 y= x 上,即 2× =3,即 = ,

则双曲线的离心率 e= = 故选:D

=

=

=



【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算,根据点与渐近线的关系求出 a,b 的关系是解 决本题的关键.

4.(2﹣x)(1+x)5 的展开式中 x3 的系数为( A.﹣10 B.10 C.﹣15 D.15



【分析】(2﹣x)(1+x)5 的展开式中 x3 的项由两种可能,化简计算. 【解答】解:(2﹣x)(1+x)5 的展开式中 x3 的项为 2 故(2﹣x)(1+x)5 的展开式中 x3 的系数为 10; 故选 B. 【点评】本题考查了二项展开式的特征项的系数问题;关键是熟练二项式定理,明确展开式 的通项. +(﹣x) =10x3;

5.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,|φ|<

)的部分图象如图, 则 f(

)= (



A.

B.

C.

D.

【分析】根据三角函数的图象求出 A,ω 和 φ 的值,代入进行求解即可. 【解答】解:由图象得 A=2, 得 ω= , T= ﹣( )=π,则 T= = ,

则 f(x)=2sin( x+φ), 由五点对应法得 × 则 f(x)=2sin( x+ 则 f( )=2sin( × +φ= ), + )=2sin( + )=2cos =2× = , ,即 φ= ﹣ = ,

故选:B. 【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解,根据条件求出 A,ω 和 φ 的值是解决本题 的关键.

6. =0.02, = ?2 ) 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N (0, , 若P (ξ>1) 则P (﹣1≤ξ≤1) ( A.0.04 B.0.64 C.0.86 D.0.96



【分析】根据随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,?2),得到正态曲线关于 x=0 对称,根据 P (ξ>1)=0.02,得到对称区间上的概率,从而可求 P(﹣1≤ξ≤1). 【解答】解:由随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,?2)可知正态密度曲线关于 y 轴对称, 而 P(ξ>1)=0.02, 则 P(ξ<﹣1)=0.02, 故 P(﹣1≤ξ≤1)=1﹣P(ξ>1)﹣P(ξ<﹣1)=0.96, 故选:D. 【点评】本题主要考查正态分布的概率求法,结合正态曲线,加深对正态密度函数的理解.

7.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且最小正周期为 2,若 0≤x≤1 时,f(x)=x, 则 f(﹣1)+f(﹣2017)=( A.0 B. C.1 D.2 )

【分析】由函数的奇偶性和周期性得 f(﹣1)=f(1)=1,f(﹣2017)=f(2017)=f(1) =1,由此能求出 f(﹣1)+f(﹣2017)的值. 【解答】解:∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且最小正周期为 2, 0≤x≤1 时,f(x)=x, ∴f(﹣1)=f(1)=1, f(﹣2017)=f(2017)=f(1)=1,

∴f(﹣1)+f(﹣2017)=1+1=2. 故选:D. 【点评】 本题考查函数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意函数性质的合理运用.

8.执行如图的程序框图,则输出的 S 的值为(



A.

B.

C.

D.

【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:第一次执行循环体后,S= ,n=2,满足进行循环的条件, 第二次执行循环体后,S= ,n=3,满足进行循环的条件, 第三次执行循环体后,S= ,n=4,满足进行循环的条件,

第四次执行循环体后,S= ,n=5,满足进行循环的条件, 第五次执行循环体后,S= 故输出的 S 值为 故选:B 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环 的方法解答. , ,n=6,不满足进行循环的条件,

9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

B.

C.

D.

【分析】几何体为底面为长方形,长为 2,宽为 1,高为 2 的棱柱,切去一个棱台,上底面 为 直角三角形,直角边为 1, ,下底面为直角三角形,直角边为 2,1,即可求出体积. 【解答】解:几何体为底面为长方形,长为 2,宽为 1,高为 2 的棱柱,切去一个棱台,上 底面为 直角三角形,直角边为 1, ,下底面为直角三角形,直角边为 2,1,故体积为 1 ×2×2﹣ 故选:A. = .

【点评】本题考查由三视图求面积、体积,考查学生的计算能力,确定几何体的形状是关 键.

10.设 x,y 满足

,且 z=ax﹣2y 的最小值是 1,则实数 a=(



A.﹣4 B.1

C.﹣4 或 1 D.﹣1 或 4

【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合即可得到 结论. 【解答】解:不等式则对应的平面区域为角形区域,



,解得



故最小值应该在点( 则a ﹣2 =1,



)处取得,

解得 a=﹣4,或 a=1, 当 a=1 时,不等式组为 ,此时目标函数为 z=x﹣2y,即 y= ,

此时直线经过 A(1,0),满足条件 z=1, 当 a=﹣4 时,则不满足条件, 故选:B.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.

11.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数),设 aij(i,j∈N+)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数,如 a42=8, 若 aij=2010,则 i,j 的值的和为( )

A.75

B.76

C.77

D.78

【分析】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,前 31 个偶数行内数 的个数的和为 992,前 32 个偶数行内数的个数的和为 1056 个,得到第 1005 个偶数 2010 在 第 32 个数数行内,确定 2010 是第几行第几列的数字,得到结果. 【解答】解:由三角形数表可以看出其奇数行中的数都是奇数,偶数行中的数都是偶数, 2010=2×1005, ∴2010 为第 1005 个偶数, ∵前 31 个偶数行内数的个数的和为 992, 前 32 个偶数行内数的个数的和为 1056 个, ∴第 1005 个偶数 2010 在第 32 个数数行内, 即 i=64, 又由 1005﹣992=13 得: j=13, ∴i+j=64+13=77. 故选 C. 【点评】本题考查简单的演绎推理,考查数列的特点,是一个综合题,这种题目是我们经常 见到的问题,是一个比较新颖的题目,注意观察分析数字的排列规律.

12.已知函数 f(x)=

,a∈R,若对任意非零实数 )

x1,存在非零实数 x2(x1≠x2),使得 f(x2)=f(x1),则实数 k 的最小值(

A.

B.

C.

D.

【分析】 利用函数的连续性, 列出方程, 通过方程有实数解, 得到不等式求解 k 的范围即可. 【解答】解:函数 f(x)= ,a∈R,

则 x=0 时,f(x)=2k(1﹣a2).对任意非零实数 x1,存在非零实数 x2(x1≠x2),使得 f (x2)=f(x1), ∴函数必须是连续函数,即在 x=0 附近的左右两侧函数值相等. (a﹣4)2=2k(1﹣a2),a∈R,所以 k≠0, 即(2k+1)a2﹣8a+16﹣2k=0 有实数解. ∴△=82﹣4(2k+1)(16﹣2k)≥0. 整理得:2k2﹣15k≥0,解得 k≥ 故选:A. 【点评】本题考查分段函数的应用,函数的连续性的应用,考查分析问题解决问题的能力. .或 k<0,当 k<0 时,k 没有最小值.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知向量 , 均为单位向量, 与 夹角均为 【分析】根据向量的数量积公式计算即可. 【解答】解:向量 , 均为单位向量, 与 夹角均为 则| ﹣2 |2=| |2﹣4| || |cos ∴| ﹣2 |= 故答案为: 【点评】本题考查向量的模长公式,涉及向量的数量积的运算,属基础题. , ,则| ﹣2 |= .

+|4 |2=1﹣4×1×1× +4×1=3,

14. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人, 并根据所得数据画出了如图所 示的频率分布直方图,现要从这 10000 人中再用分层抽样的方法抽出 100 人作进一步调查, 则月收入在[2500,3000)(元)内应抽出 25 人.

【分析】直方图中小矩形的面积表示频率,先计算出[2500,3000)内的频率,再计算所需 抽取人数即可. 【解答】解:由直方图可得[2500,3000)(元)月收入段共有 10000×0.0005×500=2500 人 按分层抽样应抽出 2500× 故答案为:25. 【点评】 本题考查频率分布直方图与分层抽样的规则, 解题的关键是从直方图中求得相应收 入段的频率,再根据分层抽样的规则计算出样本中本收入段应抽的人数. =25 人.

15.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 acosB+bcosA=3a,则 = 3 . 【分析】 先利用正弦定理把 a 和 b 的表达式代入 acosB+bcosA 中, 利用了两角和公式化简整 理,求得 acosB+bcosA=2RsinC,进而把 2RsinC 转化成边,即可得解. 【解答】解:由正弦定理得: ∴左=acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA =2Rsin(B+A)=2RsinC=c=右=3a, ∴ =3. 故答案为:3. 【点评】 本题主要考查了正弦定理的应用. 解题的关键是利用正弦定理完成了边角问题的互 化,属于基本知识的考查. ,

16.已知半圆 C:x2+y2=1(y≥0),A,B 分别为半圆 C 与 x 轴的左右交点,直线 m 过点 B 且与 x 轴垂直,T 是圆弧 OBST 的面积为 或 上的一个三等分点,连接 AF 并延长至直线 m 于 S,则四边形 .

【分析】由题意,∠SAB=60°或∠SAB=30°.再分类讨论,即可求出四边形 OBST 的面积. 【解答】解:由题意,∠SAB=60°或∠SAB=30°. ∠SAB=60°,直线 AT 的方程为 y= ∴四边形 OBST 的面积为 ∠SAB=30°,直线 AT 的方程为 y= ∴四边形 OBST 的面积为 故答案为: 或 . (x+1),x=1,y=2 ﹣ = ; , = . ,

(x+1),x=1,y=

【点评】本题考查四边形 OBST 的面积,考查分类讨论的数学思想,考查学生的计算能力, 属于中档题.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=1﹣an, (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=4(n+1)an,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,n∈N*,求 Tn. 【分析】(1)求数列{an}的通项公式; (2)利用错位相减法进行求解. 【解答】解:(1)∵Sn=1﹣an, ∴Sn+1=1﹣an+1, 两式相减得 Sn+1﹣Sn=1﹣an+1﹣(1﹣an)=an﹣an+1, 即 an+1=an﹣an+1, 则 2an+1=an, 则 = ,

当 n=1 时,a1=1﹣a1,

解得 a1= , 即数列{an}是以 a1= 为首项,公比 q= 的等比数列, 则 an= ( )n﹣1= ; ;

(2)bn=4(n+1)an=4(n+1)

则 Tn=4[2×( )1+3×( )2+…+n×( )n﹣1+(n+1)( )n], 于是 Tn=4[2×( )2+3×( )3+…+n×( )n+(n+1)×( )n+1],

1 2 n n+1 两式相减得 Tn=4[2× ( ) + ( ) +…+ ( ) ﹣ (n+1) × ( ) ]=4[1+

﹣(n+1)×( )n+1]=4[ ∴Tn=12﹣(n+3)( )n﹣2.

]=

【点评】本题以数列的递推关系式为载体,主要考查数列求和,要求熟练掌握错位相减法.

18.如图,所有棱长都为 2 的正三棱柱 BCD﹣B′C′D′,四边形 ABCD 是菱形,其中 E 为 BD

的中点

(Ⅰ)求证:平面 BC′D∥面 AB′D′; (Ⅱ)求面 AB′D′与面 ABD 所成锐二面角的余弦值. 【分析】(Ⅰ)取 B′D′的中点为 F,连 AF,C′F,由已知得 AFC′E 为平行四边形,由此能 证明平面 BC′D∥面 AB′D′. (Ⅱ)连结 EF,由已知得面 AB′D′与面 ABD 所成锐二面角为∠EAF,由此能求出面 AB′D′ 与面 ABD 所成锐二面角的余弦值. 【解答】(Ⅰ)证明:如图取 B′D′的中点为 F,连 AF,C′F,

∵正三棱柱 BCD﹣B′C′D′,四边形 ABCD 是菱形, ∴B′D′∥BD,C′F AE,∴AFC′E 为平行四边形.

∴AF∥C′E,又 BD∩C′E=E, ∴平面 BC′D∥面 AB′D′. (Ⅱ)解:连结 EF,由已知得 EF⊥平面 ABD, ∴面 AB′D′与面 ABD 所成锐二面角为∠EAF, ∵所有棱长都为 2 的正三棱柱 BCD﹣B′C′D′, 四边形 ABCD 是菱形, ∴EF=2,AE= ∴cos∠EAF= = = = ,AF= , . = ,

∴面 AB′D′与面 ABD 所成锐二面角的余弦值为

【点评】本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系,线线角、线面角、二面角 的概念、求法等知识,以及空间想象能力和逻辑推理能力.

19.某校为了研究学情,从高三年级中抽取了 20 名学生三次测试数学成绩和物理成绩,计 算出了他们三次成绩的平均名次如下表: 学生序号 数学平均名次 物理平均名次 学生序号 数学平均名次 物理平均名次 1 1.3 2.3 11 78.3 49.7 2 12.3 9.7 12 50.0 46.7 3 25.7 31.0 13 65.7 83.3 4 36.7 22.3 14 66.3 59.7 5 50.3 40.0 15 68.0 50.0 6 67.7 58.0 16 95.0 101.3 7 49.0 39.0 17 90.7 76.7 8 52.0 60.7 18 87.7 86.0 9 40.0 63.3 19 103.7 99.7 10 34.3 42.7 20 86.7 99.0

学校规定:平均名次小于或等于 40.0 者为优秀,大于 40.0 者为不优秀. (1)对名次优秀赋分 2,对名次不优秀赋分 1,从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生,若用 ξ 表示这 2 名学生两科名次赋分的和,求 ξ 的分布列和数学期望; (2)根据这次抽查数据列出 2×2 列联表,能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下的物 理成绩和数学成绩有关? 附:K2= P(K2>k) k 0.15 2.072 0.10 2.706 ,其中 n=a+b+c+d 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

【分析】(1)ξ 可能的取值为 4,5,6,7,8.求出概率得到分布列,然后求解期望. (2)列出 2×2 列联表,求出 K2 的观测值,然后推出结果. 【解答】解:(1)ξ 可能的取值为 4,5,6,7,8.又 ,

, 故 ξ 的分布列为 ξ P ξ 的数学期望 (2)根据这次抽查数据及学校的规定,可列出 2×2 列联表如下: 数学优秀 物理优秀 物理不优秀 合计 4 2 6 数学不优秀 2 12 14 合计 6 14 20 . 4 5 6 7 8

假设物理成绩与数学成绩无关,根据列表中数据,得 K2 的观测值 , 因此, 在犯错误的概率不超过 0.025 的前提 下认为物理成绩与数学成绩有关.

【点评】本题考查离散性随机变量的分布列以及期望的求法,独立检验的应用,考查计算能 力.

20.已知函数 f(x)=(ax2+x﹣1)ex,a∈R. (1)若函数 f(x)在 x=﹣1 时取极值,求 a 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性. 【分析】(1)求导 f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x﹣1)ex=xex(ax+2a+1);令 f′(﹣1)= ﹣e﹣1(﹣a+2a+1)=0,从而解得; (2)由(1)知,f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x﹣1)ex=xex(ax+2a+1);分类讨论以确定 导数的正负,从而确定函数的单调性. 【解答】解:(1)f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x﹣1)ex=xex(ax+2a+1); 则 f′(﹣1)=﹣e﹣1(﹣a+2a+1)=0,解得,a=﹣1; 故 a=﹣1 时, f′(x)=﹣xex(x+1); 经检验在 x=﹣1 处有极小值. (2)①当 a=0 时,f′(x)=xex, 当 x∈(﹣∞,0)时,f′(x)<0, 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0; 故 f(x)在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数; ②当 2a+1=0,即 a=﹣ 时,f′(x)=﹣ x2ex≤0, 故 f(x)在 R 上是减函数; ③当 a>0 时,f′(x)=axex(x+ 当 x∈(﹣ );

,0)时,f′(x)<0, ),(0,+∞)时,f′(x)>0; ,0)上是减函数,在(﹣∞,﹣ ); ),(0,+∞)上是增函数;

当 x∈(﹣∞,﹣ 故 f(x)在(﹣

④当﹣ <a<0 时,f′(x)=axex(x+ 当 x∈(0,﹣ )时,f′(x)>0,

当 x∈(﹣∞,0),(﹣ 故 f(x)在(﹣∞,0),(﹣

,+∞)时,f′(x)<0; ,+∞)上是减函数,在(0,﹣ ); )上是增函数;

⑤当 a<﹣ 时,f′(x)=axex(x+ 当 x∈(﹣ ,0)时,f′(x)>0,

当 x∈(﹣∞,﹣ 故 f(x)在(﹣

),(0,+∞)时,f′(x)<0; ,0)上是增函数,在(﹣∞,﹣ ),(0,+∞)上是减函数.

【点评】本题考查了导数的综合应用,同时重点考查了分类讨论的应用,属于中档题.

21.设 F1、F2 分别为椭圆 E: 顶点,且|CD|=

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,点 D 为椭圆 E 的左

,椭圆的离心率为



(1)求椭圆 E 的方程; (2)对于正常数 λ,如果存在过点 M(x0,0)(﹣a<x0<a)的直线 l 与椭圆 E 交于 A、 B 两点,使得 S△ AOB=λS△ AOD(其中 O 为原点),则称点 M 为椭圆 E 的“λ 分点”.试判断 点 M(1,0)是否为椭圆 E 的“2 分点”. 【分析】(1)利用已知条件,列出方程求解椭圆的几何量,即可得到结果. (2)如果点 M 为椭圆 C 的“2 分点“,即有 S△ AOB=2S△ AOD,设直线 l 的方程为 x=my+x0, 代入椭圆方程,运用韦达定理,计算即可得到所求范围. 【解答】解:(1)由题意 F1、F2 分别为椭圆 E: 点 D 为椭圆 E 的左顶点,且|CD|= + =1(a>b>0)的左、右焦点,

,椭圆的离心率为



可得:

得 a2=4,b2=1,

椭圆 E 的方程为



(2)假设 M 是椭圆 E 的“2 分点”, 则存在过点 M 的直线 l 与椭圆 E 交于 A、B 两点,使得 S△ AOB=2S△ AOD, 显然直线 l 与 y 轴垂直,设 l:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).



,得(m2+4)y2+2my﹣3=0,所以

,①

.②

因为 S△ AOB=2S△ AOD,∴ 由②知 y1y2<0,∴y2=﹣3y1,③将③代入①得 将③代入②得 ,⑤将④代入⑤得 ,④



,无解.

所以点 M(1,0)不是椭圆 E 的“2 分点”. 【点评】本题主要考查新定义的理解和运用,考查椭圆的方程和性质,同时考查联立直线方 程和椭圆方程,运用韦达定理,考查运算能力,属于中档题.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-1: 几何证明选讲](共 1 小题,满分 10 分) 22.如图所示,AB 是圆 O 的直径,延长 BA 至 C,使 AC= BC,过 C 作圆 O 的切割线交 圆 O 于 M、N 两点,且 AM=MN. (1)证明:∠AOM=∠ABN; (2)若 MN=2,求 AN 的长.

【分析】(1)连接 AN,说明 AN⊥BN,BN∥OM,然后证明∠AOM=∠ABN. (2)根据切割线定理得,CM×CN=CA×CB=3OA2,求出 BN,在 Rt△ABN 中,求解 AN 即可. 【解答】解:(1)连接 AN,∵AB 是圆 O 的直径,∴AN⊥BN, ∵AM=MN,∴OM⊥AN,∴BN∥OM, ∴∠AOM=∠ABN. (2)∵ ,∴AC=AO,

∵OM∥BN,∴

,∴MN=2,∴CM=4,∴CN=6, ,又 ,

根据切割线定理得,CM×CN=CA×CB=3OA2,∴ ∴ ,

在 Rt△ABN 中,AN2=AB2﹣BN2=32﹣18=14, ∴ .

【点评】本题考查与圆有关的线段成比例问题,切割线定理的应用,考查分析问题解决问题 的能力.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.(2016 湖南模拟)已知圆 C1 的参数方程为 (φ 为参数),以坐标原点 O 为 .

极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为

(Ⅰ)将圆 C1 的参数方程化为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)圆 C1、C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由. 【分析】(Ⅰ)对于曲线 C1 利用三角函数的平方关系式 sin2φ+cos2φ=1 即可;对于曲线 C2 利用极坐标与直角坐标的互化公式即可化简; (Ⅱ)先求出两圆的圆心距,与两圆的半径和差进行比较即可判断出两圆的位置关系;再将 两圆的方程联立求出其交点坐标,利用两点间的距离公式即可. 【解答】解:(I)由 又∵ρ=2cos(θ+ ∴ρ2=ρcosθ﹣ ∴x2+y2﹣x+ )=cosθ﹣ ρsinθ. y=0,即 . 得 x2+y2=1 即为圆 C1 的普通方程. sinθ,

(II)圆心距

,得两圆相交.

由两圆的方程联立得

,解得



即 A(1,0),B







【点评】 熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、 两圆的位置关系判定方法及两点间的距离 公式是解题的关键.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.2(ab+bc+ca)+3 (2)a2+b2+c2 . ≤1

【分析】利用条件,两边平方,利用基本不等式,即可证得结论. 【解答】证明:(1)∵a+b+c=1, ∴a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1, ∴2(ab+bc+ca)+3 (2)∵a+b+c=1, ∴1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)≤3(a2+b2+c2), ∴a2+b2+c2≥ . 【点评】本题考查不等式的证明,考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. ≤1



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