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高中数学竞赛专题讲座---三角变换与三角不等式



三角变换与三角不等式
一、三角式的化简、求值与证明: 三角恒等变形涉及到三角式的化简、求值与三角恒等式的证明等。在变形过程中,不仅需要熟练掌握 各种三角公式的应用条件和把握应用时机,还需要有一种驾驭和处理复杂代数式的能力,更需要有一种化 归的意识。 1.几个补充公式: (1)万能公式:

sin 2? ?

2 tan ? ; 1

? tan 2 ?

1 ? tan2 ? cos 2? ? ; 1 ? tan2?

tan 2? ?

2 tan? 1 ? tan2 ?

.

(2)三倍角公式:

sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin 3 ? , cos? ? 4 cos3 ? ? 3 cos? , tan 3? ?
(3) a sin ? ? b cos ? ?

3 tan ? ? tan 3 ? 1 ? 3 tan 2 ?



a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) 。其中 tan ? ?

b ,θ 所在的象限,由 a,b 符号决定。 a

(4) 差化积与积化和差公式:

sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ??

2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos ; 2 2

cos

? ??



sin ? ? sin ? ? 2 cos

? ??
2

sin

? ??

cos ? ? cos ? ? ?2 sin

? ??
2

sin

? ??
2

2

; 。

2.三角式的化简与求值: (1)基本思路:使三角函数的种类最少;项数最少;幂次最低;尽可能使分母不含三角函数式;尽量 利用特殊角的三角函数值代换化简(或直接求值) 。 (2)基本方法: ① 化异为同 —— 化异名为同名,化复角为单角。 ② 降高为低 —— 减元、减类、降幂。 ③ 角的分解与组合 —— 化为特殊角。 ④ 活用公式 —— 逆用与变用。 ⑤ 灵活转化 —— 构造代数、几何问题解决。 3. 典例解析: 例 1 求 sin 18 的值。
? ? 解: 设 x ? 18 , 则 2 x ? 36 , 3x ? 54 。 ∴sin2x = cos3x,展开得 2sinxcosx = 4cos x - 3cosx ,
?
3

?

∵cosx ≠ 0,∴4sin x + 2sinx - 1 = 0,∵sinx > 0 ,∴ sin x ? sin 18 ?
2

?

5 ?1 。 4

解法二:构造等腰三角形 OAB,使顶角 ?AOB ? 36 ,腰 OA = OB = 1,作底角∠OAB 的平分线 AD,
?

1 OA AB ?BAO ? 36 ? 。∴△ABD ∽ △OAB , ? 。 2 AB BD 1 x 5 ?1 ? 设 AB = x,则 AD = DO = x ,BD = 1 - x ,∴ ,解之 AB ? x ? , x 1? x 2 ?AOB 1 5 ?1 ? ? AB ? ∴ sin 18 ? sin 2 2 4 ? ? 例 2 求值: csc 40 ? tan10 1 cos80? 2 cos 40? ? cos80? cos 40? ? (cos 40? ? cos80? ) 解:原式 ? ? ? ? sin 40? sin 80? sin 80? sin 80? cos 40? ? 2 cos 60? cos 20? cos 40? ? cos 20? 2 cos 30? cos10? ? ? ? ? 3 sin 80? sin 80? sin 80? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ,求 sin(? ? ? ) 的 例 3 已知 cos(? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,且 2 9 2 3 2 2
则 ?BAD ? ?DAO ? 值。
1

解:∵

?
2

?? ? ? ,0 ? ? ?

?
2

,∴

?
4

?? ?

?
2

?? ,?

?
4

?

?
2

?? ?

?
2

,

? 4 5 ? 5 ?? ? , sin(? ? ) ? , cos( ? ? ) ? 1 ? sin 2 ? ? ? ? ? 2 9 2 ?2 ? 3 ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? cos ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? 2 2? ?2 2? 2? ?2 ?? ? ?2 ? ? ? ??
1 5 4 5 2 7 5 ?? ? ? ? ? . 9 3 9 3 27 ? 3? ? ? ? ? 3? ? ? ? 22 ? ? ∵ ?? ? ? ? , ∴ ? ,∴ sin , 2 2 4 2 4 2 27 ??? ? ? ? 308 5 ∴ sin(? ? ? ) ? 2 sin . cos ? 2 2 729
3 ,求 2? ? ? 的值。 2 ? ?? ? ?? ? ? ?? ? 3 cos ? ? 2 cos2 ? 1? ? , 解:由已知条件有 2 cos 2 2 2 ? ? 2 ??? ??? ? 2??? ??? ? 2 ? ?? ∴ 4 cos ? 4 cos cos ? ? cos ? sin 2 ??0, 2 2 2 2 2 ? ?
例 4 已知

? , ? ? ?0, ? ? ,且 cos ? ? cos ? ? cos(? ? ? ) ?

??? ??? ? ? 2 ? ?? ∴ ? 2 cos ? cos ? 0, ? ? sin 2 2 ? 2 ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? cos ? 0, ② ∴ 2 cos ① 且 sin ∵ ? , ? ? ?0, ? ? ,∴ ??? , ? , 2 2 2 2 ? 2 2? 1 ? ∴ 由② ? ? ? .∴①化为 cos ? ? ,∴ ? ? ,∴ 2? ? ? ? ? . 2 3 3 4 例 5 已知 sin ? ? cos ? ? ①, sin ? ? cos ? ? ②,求 cos? sin ? 的值 5 5 1 2 2 解:① + ② 得 2 ? 2sin(? ? ? ) ? 1,? sin(? ? ? ) ? ? . ③ 2 7 2 2 ② - ① 得 cos 2? ? cos 2 ? ? 2 sin(? ? ? ) ? . 将上式前两项和差化积得 25 7 7 ? 2 sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) ? 2 sin(? ? ? ) ? , ④ 由③,④有 sin(? ? ? ) ? ? , 25 25 1 1? 1 7 ? 11 ∴ cos? sin ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? ? ? ? ? . ??? 2 2 ? 2 25 ? 100 ? ?? ? ?? 3 ? 2 sin cos ? (3) ? ? ? 2 2 5 解法二:令 ? ? ? ? ,则由①、②和差化积得 ? 2 ?2 cos ? ? ? cos ? ? ? ? 4 (4) ? 2 2 5 ? ? ?? 3 2 tan 2? ? ?? ? ?? 3 2 4 ? 24 . ? 0 ,∴③÷④得 tan ? ,∴ sin(? ? ? ) ? ∵ cos ? ? ?? 9 2 2 4 25 1 ? tan2 1? 2 10
2

2

③×④ 得 2 sin

? ??
2

2 2 1 1 7 ∴ 1 ? cos(? ? ? ) ? ,∴ cos( ? ? ? ) ? ? , ⑤ 又 cos( ? ? ? ) ? , ⑥ 2 2 25 11 ⑤ + ⑥ 得: sin ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? . 100 例 6 已知 f (? ) ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? ? ) ? sin 2 (? ? ? ) , 其中 α 、 β 是适合 0≤α ≤β ≤π 的常数,
问α ,β 为何时,f(θ ) 为与θ 无关的定值。 解:取 ? 值分别为 0, ? ? ,
2 2 2

cos

? ??

? 2 cos 2

? ??

?

12 , 25

2 2 2 2 2 sin ? ? sin ? ? sin ? ? sin ( ? ? ? ) ? sin ? ? sin (? ? ? ) ? 1 ? cos ? ? cos2 ? , ① 3 2 2 2 由①得 sin ? ? sin ? ? sin ( ? ? ? ) ? , ② ∵ 0≤α ≤β ≤π ,∴ 0 ? ? ? ? ? ? 4 ? 2? ? 2? 3 , 下证 ? ? , ? ? 由②得 sin ? ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? 。解之 ? ? , ? ? 满足要求。 3 3 3 3 2
2

?? ,

?

,有 f (0) ? f (?? ) ? f (? ? ) ? f ( ) ,即

?

事实上

2? ) 3 3 2? ? 4? ? ? ? 1 ? cos? 2? ? ? 1 ? cos? 2? ? ? 1 ? cos 2? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 3 1 1? ? 2? ? 4? ?? ? ? ? cos2? ? ?cos? 2? ? ? ? cos? 2? ? ? 2 2 2? ? 3 ? 3 ?? ? ? f (? ) ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? ) ? sin 2 (? ?

?

?

3 1 1 ? 3 ? cos 2? ? ? 2 cos(2? ? ? ) ? cos ? 2 2 2 3 2
是与 ? 无关的常数。

4.三角等式的证明 三角等式的证明分恒等式与条件等式两大类型。其解题方法与三角式的化简求值无本质的区别。基本 的思想是“化繁为简” 。对于条件等式的证明,解题的关键在于观察条件式与结论式的特征,分析探索它 们之间的内在联系,从而寻得解题途径。主要方法有: (1)代入法 —— 将条件式代入求证式,证明其两边相等。 (2)推出法 —— 从条件式出发,作以结论式为目标的变形,逐步推出求证式。

1 1 1 ? ??? ? cot x ? cot 2 n x 。 n sin 2 x sin 4 x sin 2 x m? * k ? 0,1,2? n , m ? Z ) (其中 n∈N , x ? k 2 m? k k k 证:∵ x ? k , k ? 0,1, 2? n, m ? Z , ,∴2 x ≠ mπ ,∴sin2 x ≠ 0 ,cot2 x 有意义。 2 1 2 cos2 ? ? cos2? cos? cos2? ? ? ? ? cot? ? cot 2? 一般地: sin 2? sin 2? sin ? sin 2? 1 2 n?1 ? cot 2 k ?1 x ? cot 2 k x k ? 1, 2 , ? , n , 取 ? ? x, 2 x, 2 x,?, 2 x ,有 k sin 2 x
例 1 求证:
3



?

n 1 ? ( cot 2 k ?1 x ? cot 2 k x) ? cot x ? cot 2 n x ? k k ?1 sin 2 x k ?1 2? 4? 2n? 1 ? cos ? ? ? cos ? ? ① 。其中 n∈N* 例 2 求证: cos 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2

n

证:注意到①式左边三角函数内各角度成等差数列,抓住这个特点,可得如下证法。 令

? ? ,则用 2 sin ? 乘以①左边,可得 2n ? 1 2? 4? 2n? ? ? 2sin ? ? cos ? cos ? ? ? cos ? ? 2sin ? cos 2? ? 2sin ? cos 4? ? ? ? 2sin ? cos 2n? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 ? ? ? (sin 3? ? sin ? ) ? (sin 5? ? sin 3? ) ? ? ? (sin(2n ? 1)? ? sin(2n ? 1)? )

?

? sin(2n ? 1)? ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? ? sin ? ∵ sin ? ? 0 ,上式两边同除以 2 sin ? ,原式即得证。 2? 4? 6? 1 ? 3? 5? 1 ? cos ? cos ? ? ,即 cos ? cos ? cos ? 点评:特别地,n = 3 时,有 cos , 7 7 7 2 7 7 7 2
这是常见的求值问题。 例3 已知 cos(θ --α )= a , sin(θ --β )= b ;求证: cos2(α —β )= a2 + b2 – 2absin(α --β ) 证:由已知得 cosθ cosα + sinθ sinα = a ① sinθ cosβ - cosθ sinβ = b ② ①×sinβ + ②×cosα 得 sinθ sinα sinβ + sinθ cosα cosβ = asinβ + bcosα 即 sinθ cos(α —β )= asinβ + bcosα ③ ①×cosβ - ②×sinα 得 2 2 cosθ cos(α —β )= acosβ - bsinα ④ ③ + ④ ,消去θ 得 2 2 cos (α —β )= ( asinβ + bcosα ) + ( acosβ - bsinα )2= a2 + b2 – 2absin(α --β ) 2 2 点评: (1)求证式中不含 ? 角,故关键是如何消去θ 。利用平方关系 sin θ + cos θ = 1 是常用的 方法。 2 2 2 2 (2)本题也可以由已知条件得 cos (θ --α )= a , sin (θ --β )= b 代入右边式子通过和差化 积可得。 例 4 已知锐角α , β 。 且α ≠β , 满足 sinα = asinβ ① ; tanα = btanβ ②。 求证: cos? ? 证: ∵α , β 为锐角, ∴tanα >0,tanβ >0 。 ①÷②得 ①
2

a2 ?1 b2 ?1

+ ③

2

a cos ? 即 b cos? ? a cos ? ③ b a 2 (sin 2 ? ? cos2 ? ) ? sin 2 ? ? b 2 sin 2 ? .∴ (b 2 ? 1) cos2 ? ? a 2 ? 1 ∵ α ≠β , cos ? ?
2

∴ 由②知 b ≠ ±1 。∴ cos ? ?

a2 ?1 a2 ?1 ∵ cos α > 0 ∴ cos ? ? b2 ?1 b2 ?1 a2 ?1 sin ? cos? 1 sin ? ? 例 5 已知: 2 ( * ) 求证: ? ? a2 ?1 a ? 1 2a sin 2? 1 ? 2a cos 2? ? a 2

? ?sin ? ? (a 2 ? 1)k (1) ? cos? ? (2) 证:注意到(*)式为等比式,故可设其比值为 k,解之 ?sin 2? ? 2 ak ? ? 1 ? k (1 ? a 2 ) (3) ?cos 2? ? 2ak ? cos2 ? ? 1 ? 2k (1 ? a 2 ) ? k 2 (1 ? a 2 ) 2 2 2 ? 1 , cos2 ? ? 1 ? 2k (1 ? a 2 ) ? k 2 (1 ? a 2 ) 2 ? 0 (3) + (2) 得 2 2 4a k sin ? 2 sin ? (1 ? a 2 ) a2 ?1 2 2 k ? ? sin ? ? 0 , ∴ 1 ? 2 ? sin ? ? 0 , 由(1) 代入上式,得 cos ? ? 1 ? a2 ?1 a2 ?1 a ?1
4

∴ sin ? ?

a2 ?1 . a2 ?1
2 2

例 6 设α 、β 为锐角,且 sin α + sin β = sin(α +β ) 。求证: ? ? ? ? 证:∵α 、β 为锐角,∴cos(α —β )> 0 。 ①

?
2



1 ? cos 2? 1 ? cos 2 ? 1 ? ? 1 ? (cos 2? ? cos 2 ? ) ? 1 ? cos(? ? ? ) cos(? ? ? ), 2 2 2 ∵ 0 ? sin(? ? ? ) ? 1,∴ 0 ? 1 ? cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? 1 , ③ sin(? ? ? ) ?
由①,③ 得 cos(? ? ? ) ? 0 ,从而 0 ? ? ? ? ?

?

2 2 2 2 0 ? sin(? ? ? ) ? 1 ? cos (? ? ? ) ? sin (? ? ? ) ,∴ sin(? ? ? ) ? 1 ,故只有 sin(? ? ? ) ? 1 ,

, 又0 ? ? ? ? ?? ? ? ?

?

,代入② 得

∴? ? ? ?

?
2



点评: 本题的解题关键是通过不等关系导出 sin(? ? ? ) ? 1 , 而不是由已知条件导出关于 sin(? ? ? ) 的方程。 二、三角不等式: 解决三角不等式问题,一方面要善于利用三角公式进行变形,另一方面还需结合三角函数的图象与性 质,有时还需结合代数不等式的若干方法。其主要的知识点与解题方法有: (1)利用三角函数的有界性与单调性; (2)利用三角形中的边角关系。这包括三角形中边和角的不等关系,正弦定理、余弦定理等; (3)与代数不等式相结合。许多代数不等式经三角代换后,转为证明一个简单的三角不等式;反之, 有时需要将三角不等式转化到代数不等式来处理。 (4)利用单位圆和面积。运用单位圆可以证明一个很重要的三角不等式:当 ? ? ?0, ? 时 , ? 2? 有 sin ? ? ? ? tan ? ,它是一个应用很广的不等式。

? ??

?? ? 2? 2? 2 ? ? ? ? ? 4 ? 2 ? ? cos(sin x) ? sin(cosx) ? 2 sin ? 4 ? 2 ? ? ? ? ? ?? ? cos(sin x) ? sin(cosx) ? cos(sin x) ? cos? ? cos x ? ?2 ? 证: ? ? cos x ? sin x ? ? ? cos x ? sin x ? ? 2 sin ? ? ? ? sin ? ? ? 2 2 ?4 ? ?4 ?
2 例 1 求证: 2 sin ?

2 ? cos x ? sin x ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ,∵ 0 ? ? ? ? ? , 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 2 ? ?? 2? 2? ? ?? 2 ? ? ? cos(sin x) ? sin(cosx) ? 2 sin 2 ? ? ?. 正弦函数在 ?0, ? 上是增函数,∴ 2 sin ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2? ?4 ?4 ?
∵ ? 2 ? cos? sin x ?

2 ,∴

?

?

? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1,求证: ? 2 2 ? sin 2? ? sin 2? ? sin 2? ? 2 2 。 2 2 2 证:对任意实数 x,有 ( x cos? ? sin ? ) ? ( x cos ? ? sin ? ) ? ( x cos? ? sin ? ) ? 0 2 2 2 2 2 2 2 即 (cos ? ? cos ? ? cos ? ) x ? (sin 2? ? sin 2? ? sin 2? ) x ? (sin ? ? sin ? ? sin ? ) ? 0 由已知有 x 2 ? (sin 2? ? sin 2? ? sin 2? ) x ? 2 ? 0 ,∴ ? ? (sin 2? ? sin 2? ? sin 2? ) 2 ? 8 ? 0 即 ? 2 2 ? sin 2? ? sin 2? ? sin 2? ? 2 2 ,且当 x ? tan? ? tan ? ? tan? ? 2 时, sin 2? ? sin 2? ? sin 2? ? 2 2 成立.
例 2 已知 cos
2

例 3 证明: :对任意实数 x,y,有不等式 cos x ? cos y ? 2 cos( x ? y ) ? ?

9 成立. 4
5

cos x ? cos y ? 2 cos( x ? y ) ? 2 cos x? y x? y x? y ? x? y x? y x? y ? cos ? 2 ? ? 2 cos 2 ? 1 ? ? 4 cos 2 ? 2 cos cos ?2 2 2 2 2 2 2 ? ?
2

证:

x? y 1 x? y? 1 1 x? y 9 ? 2 x? y ? ? 2 cos ? cos ? ?2 ? cos 2 ?? . ? ? 2 ? cos 2 2 2 ? 4 2 4 2 4 ?
例4

2 1? C? C 1? C? 1 ? ? C 1? 1? 1 2 C 1 ? sin sin ? ? sin ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2? 2? 2 2? 2 2? 2? 2 2? 4? ? ? ? 8 1 ? cos A 2bc ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) a 2 ? (b ? c) 2 a2 2 A ? ? ? ? 证法二: sin , 2 2 4bc 4bc 4bc A B C 1 B C a2 b2 c2 1 2 A sin 2 sin 2 ? ? ? ? 故 sin ,∴ sin sin sin ? . 2 2 2 8 2 2 2 4bc 4ca 4ab 64 ? ? 例5 设x ? y ? z ? ,且 x ? y ? z ? ,求乘积 cos x sin y cos z 的最大值与最小值。 2 12 ? ? 解:由已知 y ? z ? , x ? ,sin( x ? y ) ? 0 ,sin( y ? z ) ? 0 . 6 3 1 1 1 1 1 2 2 ? ? , ∴ cos x sin y cos z ? cos x ?sin( y ? z ) ? sin( y ? z ) ? ? cos x sin( y ? z ) ? cos x ? cos 2 2 2 2 3 8 ? ? , x ? 时取到最小值。 当且仅当 y ? z ? 12 3 1 1 1 1 ? cos x sin y cos z ? cos z ?sin( y ? x) ? sin( x ? y ) ? ? cos z sin( y ? x) ? cos 2 z ? cos 2 2 2 2 2 12 1? ? ? 2? 3 ? ?1 ? cos ? ? . 4? 6? 8 ? 5? ,x?y? 当且仅当 z ? 时取到最大值。 12 24

证:

A B C 1 sin sin ? . 2 2 2 8 A B C 1? A? B A? B? C sin sin sin ? ? cos ? cos ? sin 2 2 2 2? 2 2 ? 2

A, B, C 为△ ABC 三内角,求证: sin

?

例 6 已知 a,b,A,B 都是实数,若对于一切实数 x,都有 f(x)= 1 - acosx - bsinx - Acos2x 2 2 2 2 - Bsin2x ≥ 0 ,求证: a + b ≤ 2 ,A + B ≤ 1。 2 2 2 2 证:若 a + b = 0 ,A + B = 0 ,则结论显然成立; 若 a + b ≠ 0,A + B ≠ 0,令 sin ? ?
2 2 2 2

a a ?b
2 2

, cos? ?

b a ?b
2 2

, sin ? ?

A A ? B2
2

,

cos? ?

B A ?B
2 2

,于是 f ( x) ? 1 ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) ?

A2 ? B 2 sin(2 x ? ? ) ? 0 ,




?? ? f ? x ? ? ? 1 ? a 2 ? b 2 cos(x ? ? ) ? A 2 ? B 2 sin(2 x ? ? ) ? 0 , 2? ?
① + ② 得 2 ? a2 ? b2

?

?? ? sin(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? ? 0 ,即 2 ? 2(a 2 ? b 2 ) ? sin? x ? ? ? ? ? 0 , 4? ?
6

∴ a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ?

? ? 2 对于一切实数 x 都成立。 4? ? ? ? 2 2 取 x ? ? ? ? ,得 x ? ? ? ,有 a 2 ? b 2 ? 2 ,即 a + b ≤ 2. 4 2 4

? ?

??

又 f ( x ? ? ) ? 1 ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) ?

A 2 ? B 2 sin(2 x ? ? ) ? 0 ,



① + ③ 得 2 ? 2 A2 ? B 2 sin(2 x ? ? ) ? 0 ,即 取 2x ? ? ?

A2 ? B 2 sin(2 x ? ? ) ? 1 ,

?
2

,得 x ?

?
4

?

?
2

时,有

A2 ? B 2 ? 1 ,即 A2 + B2 ≤ 1。

点评: (1)题中所给函数有较多的参数 a,b,A,B,结合结论,引入辅助参数:

a cos x ? b sin x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) , A cos2 x ? B sin 2 x ? A2 ? B 2 sin(2 x ? ? ) .

7



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