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三种求抛物线表达式的方法教案



附加教案参考(大姚教学范式)

求二次函数的表达式的几种方法
武发龙

? 教学目标:
? 1、知识目标:会求二次函数的表达式

? 2、能力目标:能用几种方法求二次函数的表

达式 ? 3、情感目标:经历探索几种二次函数表达式 的求法,感觉数学模型的重要性。 ? 教学重点:会用

一般式,顶点式,截距式的 求二次函数表达式 ? 教学难点:建立求二次函数表达式的数学模 型 ? 教具学具:直尺

教学过程:
一、导入揭题: ? 你认为求二次函数的表达式最大的困难是什么?(分 析困难、计算量大) ? 那么有没有简单的方法呢?这节课我们我们就一起来 探索------求二次函数的表达式的几种方法。(板书 课题)
? 互动: ? ①谁能告诉我你是如何求一次函数表达式的?步骤是 怎样的? ? ②请同学们先做一做下面这道题:

自学指导1:
?

已知二次函数 y ? a x ? bx ? c(a ? 0) 的图象经过A (1,3),B(-1,5),C(2,-1)三点,求此 二次函数的表达式,
2

? 解:∵经过A(1,3),B(-1,5),C(2,

-1)三点, ? ∴可得方程组 a + b + c =3 a = —1 a - b + c =5 b = -1 4a + 2b + c =-1 c = 5 2 ? 函数表达式为 y ? ? x ? x ? 5 ? (学生先做,5分钟后抽学生回答,强调做题 条件、步骤)

? 方法总结:

这种利用二次函数的一般形式求 函数表达式的方法称为“一般式”。 它的条件是已知图象上的任意三个 坐标点。

巩固练习:

已知二次函数当x = 1 时 y = 2 ,当x=-2时 y=4,当x=-1时y=0,求二次函数的表达式。

提出问题
除了这种方法外,还有另外的方 法,请同学们思考下列问题,把结 果填在空格内

? 自学指导2:
? 1、二次函数

中,顶点坐标 为(h,k),若a = -2,顶点坐标为(3,2)
y ? ?2

y?a

?x?h? ? k
2

则函数表达式为 互动:

?x?3? ? 2
2



? ①你是如何计算的? ? ②你能完成下列问题吗?完成后与同桌交流你的计算方

法,我抽同学回答。

? 2、已知抛物线顶点坐标为(-1,2)

且与y轴交于(0,3),求抛物线的表 达式。

解:根据题意得: y ? a ?x ?1?2 ? 2

又∵图象过(0,3),

?0?1? ? 2 ? 3, a ? 1 ∴抛物线表达式为 y ? ?x ?1? ? 2 ? x ? 2 x ? 3
∴a
2

2

2

方法总结: 利用抛物线顶点公式求表达式的 方法我们称之为“顶点式”它的条 件是已知抛物线的顶点和图像上的 任意一点。

自学指导3: ? 我们在前面曾学过一个公式:a x ? bx ? c ? a?x ? x ??x ? x , 其中x1,x2是一元二次方程的两根,即抛物 线与x轴的两个交点, 利用这个公式求抛物线的表达式的方法 我们称之为“截距式”。 它的条件是已知图 象与x轴的两个交点和图象上任意一点。
2 1 2

试一试: 已知抛物线 y ? a x ? bx ? c(a ? 0) 与x轴交于A (1,0),B(3,0)两点且过(-1,16) 求抛物线的表达式。
2

解:根据题意得 y ? a?x ? 1??x ? 3?

又∵ 图象过(-1,16), ∴ a?? 1 ? 1??? 1 ? 3? ? 16, a ? 2 ∴抛物线表达式为 y ? 2 x ? 8 x ? 6
2

巩固练习
? 1、抛物线与x轴的两个交点为(1,0)(4,

0)顶点纵坐标为-1,求抛物线的表达式。 4 2 20 16 y? x ? x? 9 9 9
? 2、二次函数的图象经过直线与x轴y轴的交点,

并且经过点(1,1),求这个二次函数的表 达式。 1 2 5 y ? x ? x?3 2 2

? 3、已知抛物线 y ? a x ? bx ? c(a ? 0)
2

与x 轴的交点为A(-3,0),B(5,0),顶 点C到x轴的距离为1,求它的解析式。
1 2 1 15 1 2 1 15 y ? ? x ? x ? 或y ? x ? 8 x ? 16 16 8 16 16

3 ?1 , 0),点A在第一象限内且∠AOB=60°,∠ABO=45°。 (1)求点A的坐标。A(1, 3 ) 2 y ? ? x ? ? 3 ? 1?x (2)求过A,B,O三点抛物线的表达式, (3)动点P从O点出发,以每秒2个单位的速度沿OA运动, 若△POB面积为8,写出S与时间t(秒)的函数关系,当 t为何值时△POB的外心在x轴上?。
? 4、如图在平面直角坐标系中点B的坐标为(

3? 3 3 ?1 s? ,s ? 2 4

y

A
P O B x

? 师生小结:
? 求二次函数表达式的基本思路是什么?

1、弄清题意找准关系量, 2、分析已知量选取适当的方法解决问题

? 当堂训练:
? 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司

经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象(部分) 刻画了该公司年初以来累计利润S(万元)与销售时间t(月) 之间的关系(即前七个月的利润总和S与t之间关系)。 ? 根据图象提供的信息,解答下列问题: ? (1)由已知图象上的三个坐标,求累计利润S(万元)与时 1 2 5 s ? ? x?3 间t(月)之间的函数关系式。 2x 2 ? (2)求截止到几月末公司累计利润可达30万元。t1 ? 10, t 2 ? ?6 y ? (3)求第8个月公司所获利润多少万元? (5.5万元,t=7时S=10.5, 2.5 t=8时S=16,所以最8个月 公司获利5.5万元) 1 2 O 5 -1.5 -2.5



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