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高二数学理参考答案



2014 学年第一学期杭州市六县(市、区)期末教学质量检测 高二数学(理科)参考答案
一.选择题: (本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1 B 2 A 3 B 4 C 5 C 6 D 7 A 8 D 9 C 10 A

二.填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 2

8 分,将答案填在答题卷的相应位置) 11. {x | x ? 0}, {x | x ? 1} 12.

10 ,-6 3

13.同位角不相等,两直线不平行

14. 8

15.

2 5 5

16. 12

17. 2 2

三.解答题: 18. (本小题 8 分) 解: (Ⅰ)∵ k AB ? y
A

m 3 ? -------2 分 4 4

∴ m ? 3 --------------3 分

(Ⅱ)由中点公式解得 C(4,-3).----4 分 BC:x+2y+2=0-------------------6 分 d=

B

O

D

x
C

|3? 2| = 5 ,----------------------7 分 5
2 2

所以圆 D 的方程是: (x ? 3) ? y ? 5 ;---8 分

(第 18 题)

19. (本小题 10 分) 解: (1) f ( x) ? 2 cos2 x ?1 ? 3 sin 2x ? 1 ? cos2x ? 3 sin 2x ? 1 = 2 sin( 2 x ? 得 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1。----------------------------------------2 分

?
6

) ? [?1,1] ,即 f ( x) 的值域为[-1,3]。------------4 分

(2)因为 f (C ) ? 2 ,即 2 sin( 2C ?

?
6

) ? 1 ? 2 ,得到 C ?

?
3

。--------------5 分

又因为 sin B ? 2 sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ①----------------------------------7 分
高二理科数学第 1 页

在△ABC 中,由余弦定理得到 cosC ? 由①②解得: a ? 3 , b ? 2 3 ; 20. (本小题 12 分)

1 a 2 ? b2 ? 9 ? ,②----------------------9 分 2 2ab
---------------------------------------10 分

AE ? 平面 CDE ? AE ? CD

证明: (Ⅰ) ABCD为正方形 ? CD ? AD

? ? CD ? 平面ADE ?? ? AD, AE ? 面ADE, AD ? AE ? A?

…………3 分

(Ⅱ)设 AC 与 BD 相交于 G 点,
BE ? 面ACF ? G为BD的中点? ? 连结GF, ? ? GF ∥ BE ? ? BE ∥ 平面ACF F为DE的中点? GF ? 面ACF ? ?

…………6 分

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知, CD ? DE ,以 D 为坐标原点建 空间直角坐标系,DE 为 x 轴,DC 为 y 轴, (如图) 。 设 CD ? a , 则 DE ? CE ? CD ? 81? a ,
2 2 2

z



因 为 AE ? DE ? AD
2 2

2

, 所 以

9 ? 81? a 2 ? a 2 ,则 a ? 3 5 。----------7 分
y C(0, 3 5 , 0) ,D(0,0,0) ,E(6,0,0) , A(6,0,3) ,设 B ( x, y, z ) , 由 CB ? DA ,得 B(6, 3 5 ,3) 。-----------------------------------------8 分 x

设平面 DBC 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

DC ? m ? 0? ? ? ? m ? (?1,0,2) 。----------9 分 DB ? m ? 0 ? ? BC ? n ? 0? ? ? ? n ? ( 5,2,?2 5) 。---------10 分 CE ? n ? 0 ? ?

设平面 EBC 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,

cos ? m, n ??

m? n 5 5 5 29 ? ? 29 5 ? 29 | m || n |
5 29 。---------------------------------12 分 29
高二理科数学第 2 页

所以二面角 D-BC-E 大小的余弦值为

21. (本小题 12 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) 为偶函数,所以 f (? x) = f ( x) ,代入解得 a = 0。------2 分 (Ⅱ)因为 a >0, (1)当 0 ? a ? 1 , f ( x) = ?
2
6

5

? ? x ? 3 x ? 3a, x ? a 的图象如图(1) 2 ? ? x ? 3 x ? 3a, x ? a
2
-8 -6 -4 -2

4

3

2

1

所以 g (a) ? a ;---------------------4 分

2

4

6

-1

(图 1)
-2

2 ? ? x ? 3 x ? 3a, x ? a a ? 1 (2)当 时, f ( x) = ? 2 的图象如图(2) ? ? x ? 3 x ? 3a ? h( x), x ? a

8

7

6

所以 g (a) ? h(1) ? 3a ? 2 ---------------------6 分

5

4

3

?a 2 ,0 ? a ? 1 综合: g (a) ? ? ----------------7 分 3 a ? 2 , a ? 1 ?
-6 -4 -2

2

1

2

4

6

(图 2)

(Ⅲ)当 x ∈[-1,1]时,恒有 f ( x) ? g (a) ? b 成立,先求 f ( x) 在 x ∈[-1,1]时的最大 值。
2 ? ? x ? 3 x ? 3a, x ? a (1)当 0 ? a ? 1 ,f(x)= ? 2 的图象如图(1) ? ? x ? 3 x ? 3a ? h( x), x ? a

f ( x) max= h(?1) ? 4 ? 3a ,所以 b≥ 4 ? 3a ? g (a) ? ?a 2 ? 3a ? 4 ( 0 ? a ? 1 )
所以 b≥6;…………………………………………………………9 分
2 ? ? x ? 3 x ? 3a, x ? a a ? 1 (2)当 时, f ( x) = ? 2 的图象如图(2) ? ? x ? 3 x ? 3a ? h( x), x ? a

所以 f ( x) max= h(?1) ? 4 ? 3a 所以 b ≥ 4 ? 3a ? g (a) ? 6 ( a ? 1 )-----11 分 综合: b ≥6;……………………………………………………………………12 分

高二理科数学第 3 页



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