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集合与简易逻辑重难点精析


“集合与简易逻辑”重点难点精析 江西省永丰中学(331500) 刘 忠 (本文发表于《数字世界报》2005 年 8 月 15 日) 一、表示集合的描述法 用描述法表示的集合{p|f(p)}中,p 为元素的一般形式(代表元素) ,f(p)为元素所满足的条件. 在解题时要特别注意对元素的一般形式(p)的理解. 例1 分析 集合 A={y|y=x2,x∈R}与集合 B={(x,y) |y=x2,x∈R}是否相同? 集合 A 中的元素为函数 y=x2 的函数值,故 A 为函数的值域;而 B 中的元素为满足 y=x2 的有序实数对(x,y),从“形”的角度讲是抛物线. 所以 A、B 是不同的. 变式 例2 集合 A={y|y=x2,x∈R}与集合 B={x|y=x2,x∈R}是否相同? 已知集合 A={ (x,y)|x2+y2=4},B={ (x,y)|x2+y2=1} ,则 A、B 的关系为( A. B ? A B. A∩B=B C. A∩B=Φ y 分析 如图,集合 A、B 分别是以原点为圆心,以 ). D. A∪B=A 2、1 为半径的圆,所以 A∩B=Φ ,故选 C. 注意 图的干扰. 本题容易错选 A. 关键要排除集合的韦恩 x 二、集合元素的“三性” 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性,以互 异性为背景的题有不少,但解法都显繁烦,下面提供此类题的一种简单解法. 例3 分析 解 已知集合 A={1,a,b},集合 B={a,a2,ab} ,若 A=B,求实数 a, 若集合 A=B,则必有元素之和相等;元素之积相等;元素个数相等. 2 ? ? 1 ? a ? b ? a ? a ? ab; ∵A=B,∴ ? 1 ? a ? b ? a ? a 2 ? ab; ? ? b 的值. 2 ? ?ab(a ? 1)( a ? a ? 1) ? 0; ∴? (a ? 1)(1 ? a ? b) ? 0. ? ? 由 a≠1,a≠0(元素互异性)及 a2+a+1>0 知 a=-1,b=0. 三、元素与集合的相对性 空集Φ 是元素还是集合呢?当然是集合, 但在{Φ }中也是元素,所以元素与集合具有相对性. 第 1 页 共 3页 例4 分析 Φ 与{Φ }之间可填入哪几个符号? 可填入∈、 ?和 ? ? 四、命题的否定 “命题的否定”与“命题的否命题”不同,后者比较好掌握,而对前者的理解就比较难了. 例5 写出下列命题的否定: (1)矩形的对角线相等; 1 ? ? ? 0? . (2) p : ? x | 2 ? x ? 7 x ? 10 ? 分析 (1)命题“矩形的对角线相等” “完整化”后变为“所有矩形的对角线都相等” ,所以其否 定为“存在对角线不相等的矩形”. 1 ? ? ? 0? ? x | x 2 ? 7 x ? 10有意义,且 (2) p : ? x | 2 , x 2 ? 7 x ? 10>0 ={x|x<2 或 x>5} ? x ? 7 x ? 10 ? ∴﹁p: {x| 2 ? x ? 5 }. 另解 ﹁ p: ? ? 1 1 ? ? ? 0或 2 无意义?= x | x 2 ? 7 x ? 10 ? 0或x 2 ? 7 x ? 10=0 ?x | 2 x ? 7 x ? 10 ? x ? 7 x ? 10 ? ? ? ={x| x 2 ? 7 x ? 10 ≦0}={x| 2 ? x ? 5 }. 注意 (1) “矩形的对角线相等”的否定容易错成“矩形的对角线不相等” ; 1 (2)﹁p 易遗

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