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2010年第21至28届全国中学生(高中)物理竞赛初赛试题(含答案)



第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
一、选择题。本题共 5 小题,每小题 7 分。在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一 项是正确的,有的小题有多项是正确的。把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方 括号内。全部选对的得 7 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分。 1.图中 a、b 和 c、

d 分别是两个平行板电容器的极板,E 为电池, c 彼此相距较远。用导线将 E 的正极与 a、c 相连,将 E 的负极与 b、 a + E d 相连,待电容器充电后,去掉导线。这时已知 a 带的电荷量大于 c d b 带的电荷量,称此状态为原始状态。现设想用两根导线分别都从原 始状态出发,进行以下两次连接:第一次用一根导线将 a、c 相连, 用另一根导线将 b、d 相连;第二次用一根导线将 a、d 相连,用另一根导线将 b、c 相连, 每次连接后都随即移去导线。下面哪种说法是正确的?[ ]

A.经过第一次连接,a、b 间的电压下降,c、d 间的电压上升 B.经过第一次连接,a、b 间和 c、d 间的电压都不变 C.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压中有一个上升,一个下降 D.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压都下降 2.两根不同金属导体制成的长度相等、横截面积相同的圆柱形杆,串联后接在某一直流电 源两端,如图所示。已知杆 a 的质量小于杆 b 的质量,杆 a 金属的摩尔质量小于杆 b 金属的 摩尔质量,杆 a 的电阻大于杆 b 的电阻,假设每种金属的每个原子都提供相同数目的自由电 子(载流子) 。当电流达到稳恒时,若 a、b 内存在电场,则该电场可视为均匀电场。下面结 论中正确的是[ ] a b A.两杆内的电场强度都等于零 B.两杆内的电场强度都不等于零,且 a 内的场强大于 b 内的场强 C.两杆内载流子定向运动的速度一定相等 D.a 内载流子定向运动的速度一定大于 b 内载流子定向运动的速度 3.一根内径均匀、两端开中的细长玻璃管,竖直插在水中,管的一部分在水面上。现用手 指封住管的上端,把一定量的空气密封在玻璃管中,以 V0 表示其体积;然后把玻璃管沿竖 直方向提出水面,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V1;最后把玻璃管在竖直平面内转过 900,让玻璃管处于水平位置,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V2。则有 A.V1>V0≥V2B。V1>V0>V2C。V1=V2>V0D。V1>V0,V2>V0 4.一块足够长的白板,位于水平桌面上,处于静止状态。一石墨块(可视为质点)静止在 白板上。石墨块与白板间有磨擦,滑动磨擦系数为μ 。突然,使白板以恒定的速度做匀速直 线运动,石墨块将在板上划下黑色痕迹。经过某一时间 t,令白板突然停下,以后不再运动。 在最后石墨块也不再运动时,白板上黑色痕迹的长度可能是(已知重力加速度为 g,不计石 墨与板磨擦划痕过程中损失的质量) 。[ ] A.
2 v0 2 ?g

B. v0 t

C。v0 t—

1 μ gt2 2

D。

2 v0 ?g

E 1 R 2 C 3 R

K

5.如图 1 所示,一个电容为 C 的理想电容器与两个阻值皆 为 R 的电阻串联后通过电键 K 连接在电动势为 E 的直流电 源的两端,电源的内电阻忽略不计,电键 K 是断开的。在 t=0 时刻,闭合电键 K,接通电路。在图 2 中给出了六种电 压 V 随时间 t 变化的图线 a、b、c、d、e、f,现从其中选取 出三种图线用来表示图 1 所示电路上 1、2、3、4 四点中某 两点间的电压随时间 t 的变化,下面四个选项中正确的是[ V E O V E O d t a t V E O V E O e t b t V E O V E O f c

4

图1 ]

t

t

A.a、b、f B。a、e、f C。b、d、e D。c、d、e 二、填空题和作图题。把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方。只要给出结 果,不需写出求得结果的过程。 6. 分)传统的雷达天线依靠转动天线来搜索空中各个方向的目标,这严重影响了搜索的 (8 速度。现代的“雷达”是“相位控制阵列雷达” ,它是由数以万计的只有几厘米或更小的小 天线按一定的顺序排列成的天线阵, 小天线发出相干的电磁波, 其初相位可通过电子计算机 调节, 从而可改变空间干涉极强的方位, 这就起了快速扫描搜索空中各个方向目标的作用对 下的简单模型的研究,有助于了解改变相干波的初相位差对空间干涉级强方位的影响。 图中 a、b 为相邻两个小天线,间距为 d,发出波长为λ 的相干电磁波。Ox 轴通过 a、b 的 中点且垂直于 a、b 的连线。若已知当 a、b 发出的电磁波在 a、b 处 a 的初相位相同即相位差为 0 时,将在与 x 轴成θ 角(θ 很小)方向 x θ 的远处形成干涉级强,现设法改变 a、b 发出的电磁波的初相位,使 d O b 的初相位比 a 的落后一个小量 φ ,结果,原来相干极强的方向将 从θ 变为θ ,则θ —θ 等于______________________。 b -7 7. 分)He—Ne 激光器产生的波长为 6。33×10 m 的谱线是 Ne (8 原子从激发态能级(用 E1 表示)向能量较低的激发态能级(用 E2 表示)跃迁时发生的;波 长为 3。39×10-6m 的谱线是 Ne 原子从能级 E1 向能量较低的激发态能级(用 E3 表示)跃迁 时发生的。已知普朗克常量 h 与光速 c 的乘积 hc=1。24×10-6m ? eV。由此可知 Ne 的激发 态能级 E3 与 E2 的能量差为________________eV。 8. 分)一列简谐横波沿 x 轴负方向传播,传播速度 v=200m/s。已知位于坐标原点(x=0) (8 处的质元的振动图线如图 1 所示。试在图 2 中画出 t=40ms 时该简谐波的波形图线(不少于 一个波长) 。 y/mm 60 40 20 20 40 60 80 100 120 140 160 t/ms
“ “

y/mm 60 40 20 4 8 12 16 20 24 28 32 x/m

9. 分)图于为某一圆形水池的示意图(竖直截 (8 面) 。AB 为池中水面的直径,MN 为水池底面的

A c M O a b N

B

直径,O 为圆形池底的圆心。已知 ON 为 11。4m,AM、BN 为斜坡,池中水深 5。00m 水 的折射率为 4/3。水的透明度极好,不考虑水的吸收。图中 a、b、c、d 为四个发光点,天空 是蓝色的,水面是平的。在池底中心处有一凹槽,一潜水员仰卧其中,他的眼睛位于 O 处, 仰视水面的最大范围的直径为 AB。 (i)潜水员仰视时所看到的蓝天图象对他的眼睛所张的视角为__________________。 (ii)四个发光点 a、b、c、d 中,其发出的光能通过全反射到过潜水员的眼睛的是 ____________________________。 三、计算题。解答应写出必要的文字说明、方程式的重要的演算步骤。只写出最后结果的 不能得分。有数值计算的,答案中必须明确写出数值和单位。 10. 分)试分析下面两个实验操作中的误差(或失误)对实验结果 (9 的影响。 (i)用“插针法”测量玻璃的折射率时,要先将透明面平行的玻璃砖 放置在铺平的白纸上,然后紧贴玻璃砖的两个透明面,分别画出两条 直线,在实验中便以这两条直线间的距离作为透明面之间的距离。如 果由于操作中的误差,使所画的两条直线间的距离大于玻璃砖两透明 面间的实际距离,问这样的测得的折射率与实际值相比,是偏大,偏 小,还是相同?试给出简要论证。 (ii)在用单摆测量重力加速度 g 时,由于操作失误,致使摆球不在同一竖直平面内运动, 而是在一个水平面内作圆周运动,如图所示。这时如果没出摆球作这种运动的周期,仍用单 摆的周期公式求出重力加速度, 部这样求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比, 哪个 大?试定量比较。 11. 分)现有以下器材:电流表一只(量程适当。内阻可忽略不计。带有按钮开关 k1, (8 按下按钮电流表与电路接通,有电流通过电流表,电流表显出一定的读数) ,阻值已知为 R 的固定电阻一个,阻值未知的待测电阻 Rx 一个,直流电源一个(电动势 ? 和内阻 r 待测) , 单刀双掷开关 K 一个,接线用的导线若干。 试设计一个实验电路,用它既能测量直流电源的电动势 ? 和内阻 r,又能测量待测电阻的阻 值 Rx(注意:此电路接好后,在测量过程中不许再拆开,只许操作开关,读取数据) 。具体 要求: ()画出所设计的电路图。 ()写出测量 ? 、r 和 Rx 主要的实验步骤。 ()导出用已知量和实验中测量出的量表示的 ? 、r 和 Rx 表达式。 12(18 分)一静止的原子核 A 发生α 衰变后变成原子核 B,已知原子核 A、原子核 B 和α 粒子的质量分别为 mA,mB 和 mα ,光速为 c(不考虑质量与速度有关的相对论效应) ,求衰 变后原子核 B 和α 粒子的动能。 13. (18 分)近代的材料生长和微加工技术,可制造出一种使电子 4 的运动限制在半导体的一个平面内(二维)的微结构器件,且可做 3 1 到电子在器件中像子弹一样飞行,不受杂质原子射散的影响。这种 2 特点可望有新的应用价值。图 1 所示为四端十字形二维电子气半导 体,当电流从 1 端进入时,通过控制磁场的作用,可使电流 从 2,3,或 4 端流出。 对下面摸拟结构的研究, 有助于理解电流在上述四端十字形 导体中的流动。在图 2 中,a、b、c、d 为四 根半径都为 R 的圆柱体的横截面, 彼此靠得 N1 很近,形成四个宽度极窄的狭缝 1、2、34, R

a V0 P b 2 F 1

4

d

3 M1 c

N2

M2 Q

在这此狭缝和四个圆柱所包围的空间(设为真空)存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面指向 纸里。以 B 表示磁感应强度的大小。一个质量为 m、电荷量为 q 的带正电的粒子,在纸面 内以速度 v0 沿与 a、 都相切的方向由缝 1 射入磁场内, b 设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞, 碰撞是弹性的,碰撞时间极短,且碰撞不改变粒子的电荷量,也不受磨擦力作用。试求 B 为何值时,该粒子能从缝 2 处且沿与 b、c 都相切的方向射出。 14. (20 分)如图所示,M1N1N2M2 是位于光滑水平桌面上的刚性 U 型金属导轨,导轨中接 有阻值为 R 的电阻,它们的质量为 m0。导轨的两条轨道间的距离为 l。PQ 是质量为 m 的金 属杆,可在轨道上滑动,滑动时保持与轨道垂直,杆与轨道的接触是粗糙的,杆与导轨的电 阻均不计。初始时,杆 PQ 位于图中的虚线处,虚线的右侧为一匀强磁场区域,磁场方向垂 直于桌面,磁感应强度的大小为 B。现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力 F 作用于 PQ 上,使之从静止开始的轨道上向右作加速运动。已知经过时间 t,PQ 离开虚线的距离为 x,此时通过电阻的电流为 I0,导轨向右移动的距离为 x0(导轨的 N1N2 部分尚未进入磁场区 域) 。求在此过程中电阻所消耗的能量。不考虑回路的自感。 15. (20 分)图中 M1 和 M2 是绝热气缸中的两 个活塞,用轻质刚性细杆连结,活塞与气缸壁 M2 的接触是光滑的、不漏气的,M1 是导热的, M1 M2 是绝热的, M2 的横截面积是 M1 的 2 倍。 且 L2 M1 把一定质量的气体封闭在气缸为 L1 部分, P0 L1 M1 和 M2 把一定质量的气体封闭在气缸的 L2 部分,M2 的右侧为大气,大气的压强 p0 是恒 K 定的。K 是加热 L2 中气体用的电热丝。初始 时,两个活塞和气体都处在平衡状态,分别以 V10 和 V20 表示 L1 和 L2 中气体的体积。现通过 K 对气体缓慢加热一段时间后停止加热,让 气体重新达到平衡太,这时,活塞未被气缸壁挡住。加热后与加热前比,L1 和 L2 中气体的 压强是增大了、减小还是未变?要求进行定量论证。 16. (20)一个质量为 m1 的废弃人造地球卫星在离地面 h=800km 高空作圆周运动,在某处 和一个质量为 m2=
1 m1 的太空碎片发生迎头正碰,碰撞时间极短,碰后二者结合成一个物 9

体并作椭圆运动。碰撞前太空碎片作椭圆运动,椭圆轨道的半长轴为 7500km,其轨道和卫 星轨道在同一平面内。已知质量为 m 的物体绕地球作椭圆运动时,其总能量即动能与引力 势能之和 E=—G
Mm ,式中 G 是引力常量,M 是地球的质量,a 为椭圆轨道的半长轴。设 2a

地球是半径 R=6371km 的质量均匀分布的球体,不计空气阻力。 ()试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落在地球上。 ()如果此事件是发生在北极上空(地心和北极的连线方向上) ,碰后二者结合成的物体与 地球相碰处的纬度是多少?

第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷

第 25 届全国中学生物理竞赛预赛题试卷

一.选择题。本题共 6 小题,每小题 6 分,在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只 有一项是正确的, 有的小题有多项是正确的。 把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的 方括号内。全部选对得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分。 1. 如图两块固连在一起的物块 a 和 b, 质量分别为 ma 和 mb, 放在水平的光滑桌面上。现同时施给它们方向如图所示的推力 Fa 和拉力 Fb,已知 Fa>Fb,则 a 对 b 的作用力( (A)必为推力 ) (B)必为拉力
Fb b a Fa

(C)可能为推力,也可能为拉力 (D)可能为零 2.用光照射处在基态的氢原子,有可能氢原子电离。下列说法中正确的是( ) (A)只要光的强度足够大,就一定可以使氢原子电离 (B)只要光的频率足够大,就一定可以使氢原子电离 (C)只要光子的能量足够大,就一定可以使氢原子电离 (D)只要光照的时间足够长,就一定可以使氢原子电离 3.如图所示,一 U 形光滑导轨串有一电阻 R,放置在匀强的外 磁场中,导轨平面与磁场方向垂直。一电阻可忽略不计但有一定质量 的金属杆 ab 跨接在导轨上,可沿导轨方向平移。现从静止开始对 ab 杆施以向右的恒力 F,若忽略杆与 U 形导轨的自感,则在杆运动过程 中,下列哪种说法是正确的( )
R ? ? ? b ? ? a ? ?B F ?

(A)外磁场对杆 ab 的作用力对 ab 杆做功,但外磁场的能量是不变的 (B)外力 F 做的功总是等于电阻 R 上消耗的功 (C)外磁场对杆 ab 作用力的功率与电阻 R 上消耗的功率两者绝对值是相等的 (D)电阻 R 上消耗的功率存在最大值 4.如图所示,放置在升降机地板上的盛有水的容器中,插有两 根相对容器的位置是固定的玻璃管 a 和 b,管的上端都是封闭的,下 端都是开口的。管内被水各封有一定质量的气体。平衡时,a 管内的 水面比管外低,b 管内的水面比管外高。现令升降机从静止开始加速 下降,已知在此过程中管内气体仍被封闭在管内,且经历的过程可视 为绝热过程,则在此过程中( ) (A)a 中气体内能将增加,b 中气体内能将减少 (B)a 中气体内能将减少,b 中气体内能将增加 (C)a、b 中气体内能都将增加 (D)a、b 中气体内能都将减少 5.图示为由粗细均匀的细玻璃管弯曲成的“双 U 形管” ,a、b、c、 d 为其四段竖直的部分,其中 a、d 上端是开口的,处在大气中。管中的 水银把一段气体柱密封在 b、c 内,达到平衡时,管内水银面的位置如 图所示。现缓慢地降低气柱中气体的温度,若 c 中的水银面上升了一小 段高度?h,则( ) (A)b 中的水银面也上升?h (B)b 中的水银面也上升,但上升的高度小于?h (C)气柱中气体压强的减少量等于高为?h 的水银柱所产生的压强
a b c d
a b

(D)气柱中气体压强的减少量等于高为 2?h 的水银柱所产生的压强 6.图中 L 是绕在铁芯上的线圈,电脑与电阻 R、R0、电键和电池 E 可构成闭合回路。线圈上的箭头表示线圈中电流的正方向,当电流的 流向与箭头所示的方向相同时,该电流为正,否则为负。电键 K1 和 K2 都处于断开状态。设在 t=0 时刻,接通电键 K1,经过一段时间,在 t =t1 时刻,再接通 K2,则能较正确地表示 L 中的电流 I 随时间 t 变化的 图线是下面给出的四个图中的哪个图?
I I I I
E K2 R0 R L K1

0 (A)

t1

t

0 (B)

t1

t

0 (C)

t1

t

0 (D)

t1

t

二.填空题和作图题。把答案填在题中的横线上或把图画在题指定的地方。只要给出 结果,不需写出求得的过程。 7. 分)为了估算水库中水的体积,可取一瓶无毒的放射性同位素的水溶液,测得 (8 瓶内溶液每分钟衰变 6?107 次,已知这种同位素的半衰期为 2 天。现将这瓶溶液倒入水库, 8 天后可以认为溶液已均匀分布在水库中,这时取 1.0m3 水库中的水样,测得水样每分钟衰 变 20 次。由此可知水库中水的体积约为_______________m3。 8. 分)在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯 L1、L2 和 L3,L1 与 L2 相距 (8 80m,L1 与 L3 相距 120m。每盏信号灯显示绿色的时间间隔都是 20s,显示红色的时间间隔 都是 40s。L1 与 L3 同时显示绿色,L2 则在 L1 显示红色经历了 10 s 时开始显示绿色。规定车 辆通过三盏信号灯经历的时间不得超过 150 s。若有一辆匀速向前行驶的汽车通过 L1 的时刻 正好是 L1 刚开始显示绿色的时刻,则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大速率是 __________m/s。若一辆匀速向前行驶的自行车通过 L1 的时刻是 L1 显示绿色经历了 10 s 的 时刻,则此自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是__________m/s。 9. 分)位于水平光滑桌面上的 n 个完全相同的小物块,沿一条直线排列,相邻小 (8 物块间都存在一定的距离。自左向右起,第 1 个小物块标记为 P1,第 2 个小物块标记为 P2, 第 3 个小物块标记为 P3, ?,最后一个小物块即最右边的小物块标记为 Pn。现设法同时给 每个小物块一个方向都向右但大小各不相同的速度, 其中最大的速度记作 v1, 最小的速度记 作 vn,介于最大速度和最小速度间的各速度由大到小依次记为 v2、v3、?、vn-1。若当小物 块发生碰撞时,碰撞都是弹性正碰,且碰撞时间极短,则最终小物块 P1、P2、?、Pn 速度 的大小依次为______________________________。 10. (11 分)有两块无限大的均匀带电平面,一块带正电,一 块带负电,单位面积所带电荷量的数值相等。现把两带电平面正交 放置如图所示。 图中直线 A1B1 和 A2B2 分别为带正电的平面和带负电 的平面与纸面正交的交线,O 为两交线的交点。 (1)试根据每块无限大均匀带电平面产生的电场(场强和电 势)具有对称性的特点,并取 O 点作为电势零点,在右面给出的整 个图上画出电场(正、负电荷产生的总电场)中电势分别为 0、1V、2V、3V、-1V、-2V、 -3V 的等势面与纸面的交线的示意图,并标出每个等势面的电势。 (2)若每个带电平面单独产生的电场的场强是 E0=1.0V/m,则可求出(1)中相邻两 等势面间的距离 d=______________。
+ A1 O A2 - + B1 B2 -

11. (10 分)一列简谐横波在 x 轴上传播(振动位移沿 y 轴) 。已知 x=12cm 处的质元 的振动图线如图 1 所示,x=18cm 处的质元的振动图线如图 2 所示。根据这两条振动图线, 可获得关于这 列简谐横波的 确定的和可能 的信息(如频 率、波速、波长 等)是哪些?
y/cm 6 图1 y/cm 6 图2

0

3

6

9

12

15

18

t/s

0

3

6

9

12

15

18

t/s

12. 分)一座平顶房屋,顶的面积 S=40m2,第一次连续下了 t=24h 的雨,雨滴沿 (8 竖直方向以 v=5.0m/s 的速度落到屋顶,假定雨滴撞击屋顶的时间极短且不反弹,并立即流 走。第二次气温在摄氏零下若干度,而且是下冻雨,也下了 24h,全部冻雨落到屋顶便都结 成冰并留在屋顶上,测得冰层的厚度 d=25mm。已知两次下雨的雨量相等,冰的密度为 9?102kg/m3, 由以上数据可估算得第二次下的冰雨结成的冰对屋顶的压力为_________N, 第 一次下雨过程中,雨对屋顶的撞击使整个屋顶受到的压力为_________N。 13. 分) (10 在示波器的 YY’偏转电极 上,加电压 u1=U0sin2??t,式中?=50Hz。 同时在示波器的 XX’偏转电极上加如图 1 所 示的锯齿电压 u2, 试在图 2 中画出荧光屏上 显示出的图线。 如果由于某种原因,此图线很缓慢地 向右移动,则其原因是________________。 三.计算题。解应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。只写出最后答案 的不能给分。有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位。 14. (14 分)一电流表,其内阻 Rg=10.0?,如果将它与一阻值 R0=49990?的定值电 阻串联,便可成为一量程 U0=50V 的电压表。现把此电流表改装成一块双量程的电压表, 两个量程分别为 U01=5V 和 U02=10V。当用此电压表的 5V 挡去测量一直流电源两端的电 压时,电压表示数为 4.50V;当用此电压表的 10V 挡去测量该电源两端的电压时,电压表示 数为 4.80V。问此电源的电动势为多少? 15. (12 分)为训练宇航员能在失重状态下工作和生活,需要创造一种失重的环境。 在地球表面附近, 当飞机模拟某些在重力作用下的运动时, 就可以在飞机座舱内实现短时间 的完全失重状态。现要求一架飞机在速率为 v1=500m/s 时进入失重状态,在速率为 v2= 1000m/s 时退出失重状态试验。重力加速度 g=10m/s2。试问: (1)在上述给定的速率条件下,该飞机需要模拟何种运动,方可在一定范围内任意 选择失重时间的长短?试定量讨论影响失重时间长短的因素。 (2)飞机模拟这种运动时,可选择的失重状态的时间范围是多少? 16. (12 分)假定月球绕地球作圆周运动,地球绕太阳也作圆周运动,且轨道都在同 一平面内。已知地球表面处的重力加速度 g=9.8m/s2,地球半径 Re=6.37?106m,月球质量
图2 0 0.04 图1 0.08 0.12 t/s u1 /V

mm=7.3?1022kg,月球半径 Rm=1.7?106m,引力恒量 G=6.67?10 的距离约为 rem=3.84?108m。 (1)月球的球心绕地球的球心运动一周需多少天? (2)地球上的观察者相继两次看到满月需多少天?

-11

Nm2kg 2,月心地心间



(3)若忽略月球绕地球的运动,设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球,试估 算火箭到达月球表面时的速度至少为多少(结果要求两位有效数字)? 17. (12 分)如图所示,1 和 2 是放在水平地面上的两个 小物块(可视为质点) ,与地面的动摩擦因数相同,两物块间的 距离 d=170.00m,它们的质量分别为 m1=2.00kg,m2=3.00kg。 现令它们分别以初速度 v1=10.00m/s 和 v2=2.00m/s 迎向运动,经过时间 t=20.0s,两物块 相碰, 碰撞时间极短, 碰后两者粘在一起运动。 求从刚碰后到停止运动过程中损失的机械能。 18. (11 分)磅秤由底、载物平台 Q、杠杆系统及砝 码组成,图示为其等效的竖直平面内的截面图。Q 是一块 水平放置的铁板,通过两侧的竖直铁板 H 和 K 压在 E、B 处的刀口上。杠杆系统由横杆 DEF、和 ABCP 竖杆 CF、 MP 以及横梁 MON 组成。 另有两个位于 A、 处的刀口分 D 别压在磅秤的底座上(Q、K、H、E、B、A、D 在沿垂直 于纸面的方向都有一定的长度,图中为其断面) ,C、F、 M、N、O、P 都是转轴,其中 O 被位于顶部并与磅秤底座
D E P H F L M O S Q C B KA N G

1

2

固连的支架 OL 吊住,所以转轴 O 不能发生移动。磅秤设计时,已做到当载物平台上不放任 何待称物品、 游码 S 位于左侧零刻度处、 砝码挂钩上砝码为零时, 横梁 MON 处于水平状态, 这时横杆 DEF、和 ABCP 也都是水平的,而竖杆 CF、MP 则都是竖直的。 当重为 W 的待称物品放在载物平台 Q 上时,用 W1 表示 B 处刀口增加的压力,用 W2 表示 E 处刀口增加的压力,由于杠杆系统的调节,横梁 MON 失去平衡,偏离水平位置。适 当增加砝码 G 或移动游码 S 的位置,可使横梁 MON 恢复平衡,回到水平位置。待秤物品的 重量(质量)可由砝码数值及游码的位置确定。为了保证待秤物品放在载物台上不同位置时 磅秤都能显示出相同的结果,在设计时,AB、DE、AC、EF 之间应满足怎样的关系? 19. (11 分)如图所示,一细长的柱 形均匀玻璃棒,其一个端面是平面(垂直 于轴线) 另一个端面是球面, , 球心位于轴 线上。现有一很细的光束沿平行于轴线方 向且很靠近轴线入射。当光从平端面射入 棒内时,光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为 a;当光从球形端面射入棒内 时,光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为 b。试近似地求出玻璃的折射率 n。 20. (13 分)光子不仅具有能量,而且还具有动量,频率为?的光子能量为 h?,动量 为 h?/c,式中 h 为普朗克常量,c 为光速。光子射到物体表面时将产生压力作用,这就是光 压。设想有一宇宙尘埃,可视为半径 R=10.0cm,的小球,其材料与地球的相同,它到太阳

的距离与地球到太阳的距离相等。 试计算太阳辐射对此尘埃作用力的大小与太阳对它万有引 力大小的比值。假定太阳辐射到尘埃时被全部吸收。已知:地球绕太阳的运动可视为圆周运 动, 太阳辐射在单位时间内射到位于地球轨道处的、 垂直于太阳光线方向的单位面积上的辐 射能 S=1.37?103Wm 2,地球到太阳中心的距离 reS=1.5?1011m,地球表面附近的重力加速 度 g=10m/s2,地球半径 Re=6.4?106m,引力恒量 G=6.67?10
-11 -

Nm2kg 2。



21. (16 分)设空间存在三个互相垂直的已知场:电场强度为 E 的匀强电场,磁感应 强度为 B 的匀强磁场和重力加速度为 g 的重力场。一质量为 m、电荷量为 q 的带正电的质 点在此空间运动,已知在运动过程中,质点速度大小恒定不变。 (1)试通过论证,说明此质点作何种运动(不必求出运动的轨迹方程) 。 (2)若在某一时刻,电场和磁场突然全部消失,已知此后质点在运动过程中的最小 动能为其初始动能(即电场和磁场刚要消失时的动能)的一半,试求在电场、增大刚要消失 时刻该质点的速度在三个场方向的分量。 参考答案: 一.1、C、D, 6、A, 二.7、1.9?105, 10、 (1)如图所示, (2) 8、2,12/13, 2 m, 2 9、vn、vn-1、?、v3、v2、v1,
-3 B2 - -2 -1 0 1 2 3 + O B1

2、B、C,

3、A、C、D,

4、B,

5、 D, A、

11、 (1)振幅 4cm,

1 (2)周期 12s(或频率 Hz)(3)若向正方向传播,可能波长为 , 12 24 24 cm,n=0,1,2,?;若向负方向传播,可能波长为 3+4n 1+4n cm,n=0,1,2,?; 小一点, 三. 14 错误!链接无效。Ig= 12、9?103,0.058, 13、图 为二个波形,锯齿波的周期不正好等于正弦波周期的 2 倍,而是稍

+ A1 3 2 1

0 -1 A2 - -2 -3

U0 U01 - =10 3A,双量程表的两挡内阻分别为 R1’= = Ig Rg+R0

U02 - - 5?103?,R2’= =1.0?104?,由 E=4.5+0.9?10 3r 和 E=4.8+0.48?10 3r 可解得 E= Ig 5.14V, 15. (1)要完全失重,飞机加速度应为竖直向下的 g,所以可以是自由落体、竖直上 抛、平抛或斜抛运动,当飞机的初末速度都确定时,前几种运动的时间就确定了,只有斜抛 运动,失重的时间长短与抛射角有关,v2x=v1cos?,v2y=v1sin?-gt,而:v22=v2x2+v2y2, v1sin?+ v12sin2?+v22-v12 可解得 g2t2-2v1gt sin?+v12-v22=0,t= , g (2)当?=90?时失重时间最长,tmax=150s,当?=-90?时失重时间最短,tmin=50s, memm me 2? 16. (1)G =mmrem?m2 又 G 2 =g,Tm= 可解得 Tm=2? rem2 Re ?m rem3 =27.4 天, gRe2

(2)相邻两次满月时,地月日位置关系如图所示,Tm 2? 2? = ,Te= =365 天,Tm’?m=2?+Tm’?e,解得:Tm’=

月 A 地 月 A’ 地 B

?m

?e

29.6 天,

(3)地月连线上地球与月球引力大小相等的点: mem mmm G =G 2 ,解得:r=3.8?107m,从地球上发射的火箭只要能到达该点,便能 r (rem-r)2 mem 在月球的引力作用下飞到月球, 此时到达月球的速度也最小, 则由机械能守恒得: -G rem-r mmm mem mmm 1 -G =-G -G + mv2,解得:v=2.3?103m/s, r Rm 2 rem-Rm 1 1 17.由 v1t- at2+v2t- at2=d,解得:a=0.175m/s2,此时两物块的速度分别为: 2 2 1 v1’=v1-at=6.5m/s, 2’=v2-at=-1.5m/s 不合) 证明物块 2 已停下, v1t- at2+v22/2a v ( , 则 2 =d,解得:a=0.20m/s2,v1’=6m/s,v2’=0,碰撞后由动量守恒得 m1v1’=(m1+m2)V, 1 碰撞过程中能量损失为?E= (m1+m2)V2=14.4J, 2 18.W=W1 +W2 ,W2?DE=W2’?DF,W3?AP=W1?AB+W2’?AC,可解得:W3?AP= W?AC?DE/DF+W1 (AB-AC?DE/DF) 要 W3 与 W1 无关, AB-AC?DE/DF=0, AB/AC , 必 即 =DE/DF。 19.nsin?1=sin?1, sin?2 =nsin?2 , ?1 = ?1 +
b

?1,?2=?2+?2,因为都是
小角度,所以 R?1=a?1, R?2=b?2,n?1=?1,?2=n?2,则 n=b/a,

?2

?1 ?2 ?2

?1

?1
a

Mm Mme 4?2 me 4 20.太阳对尘埃的万有引力为 f=G 2 ,又 G 2 =me 2 rse,G 2 =g,me= rse rse T Re 3 4 4?2gR3rse ??Re3,m=3 ??R3,解得:f= GR T2 ,设单位时间内射到单位面积上的光子数为 Ni,则 e S=?Nihi?i=c?NiPi,由动量定理得单位时间内射到单位面积上的冲量(即压强) ?I=?NiPi : 2 F GReST - =S/c,则力为 F=?R2?I=?R2S/c,所以 = =1.0?10 6, f 4?gRcrse 21. (1)取坐标系如图所示,要速度大小不变,因为洛仑兹力 不做功,所以电场力和重力也不能做功,即速度方向必与重力与电 场力的合力方向垂直,又质点在 y 方向不受力作用,所以 y 方向分 速度大小不变,故此质点必做匀速直线运动。
x O E g B y z

(2) 电场和磁场消失前, 方向有: x qE=qv0zB, 方向有: z mg=qv0xB, 所以 v0x=mg/qB, v0z=qE/qB,v0y2=v02-v0x2-v0z2,电场和磁场消失后,质点仅在重力作用下运动,vx=v0x, 1 1 1 vy=v0y,vz=v0z-gt,当 vz=0 时质点的动能最小,Ekmin= m(v0x2+v0y2)= mv02= m 2 4 4 (v0x2+v0y2+v0z2) ,则 v0y= q2E2-m2g2 。 qB

第 24 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
本卷共八题,满分 200 分 一、 25 分)填空题 ( 1、2006 年诺贝尔物理学奖授予美国科学家约翰·马瑟和乔治 · 斯穆特,以表彰他们发现 了宇宙微波背景辐射的黑体辐射形式和各向异性. 这一发现为有关宇宙起源的______ 理论提供了进一步的支持,使宇宙学进人了“精确研究”时代. 2、恒星演化到了后期,某些恒星在其内部核燃料耗尽时,会发生强烈的爆发,在短短的几 天中,亮度陡增千万倍甚至上亿倍.我国 《 宋史 》 第五十六卷中对当时观测到的上述现 象作了详细记载。2006 年 5 月是我国发现此现象一千周年,为此在杭州召开了有关的国际 学术研讨会.天文学上把演化到这一阶段的恒星称为_______________,恒星演变到这一阶 段,预示着一颗恒星的终结.此后,它可能成为____________或_____________. 3、2006 年 11 月 21 日,中国、欧盟、美国、日本、韩国、俄罗斯和印度七方在法国总统 府正式签署一个能源方面的联合实施协定及相关文件, 该协定中的能源是指_________能源. 4、潮汐是一种常见的自然现象,发生在杭州湾钱塘江入海口的“钱江潮”是闻名世界的潮 汐现象.在农历初一和十五前后各有一次大潮,在两次大潮之间又各有一次小潮.试把每月 中出现两次大潮时地球、月球和太阳的相对位置示意图定性地画在下面. 试把每月中出现两次小潮时地球、月球和太阳的相对位置示意图定性地画在下面. 5、如图所示,用双线密绕在一个长直圆柱上,形成 两个螺线管线圈 aa’和 bb ' (分别以实线和虚线表 示) ,已知两个线圈的自感都是 L .今若把 a 与 b 两端相连,把 a’和 b’两端接人电路,这时两个线 圈的总自感等于____________;若把 b 与 a’相连, 把 a 和 b’两端接人电路,这时两个线圈的总自感 等于__________;若把 a 与 b 两端相连作为一端,a’与 b ’相连作为另一端,把这两端 接人电路,这时两个线圈的总自感等于______________. 二、 25 分)如图所示,一块光 ( 滑的平板能绕水平固定轴 HH’调 节其与水平面所成的倾角.板上一 根长为 l= l .00m 的轻细绳, 它的一 端系住一质量为 m 的小球 P ,另 一端固定在 HH’ 轴上的 O 点. 当 平板的倾角固定在 a 时,先将轻 绳沿水平轴 HH’拉直(绳与 HH’ 重合) 然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度 v0=5. 0m/s . , 若小球能保持在板面内 作圆周运动, 问倾角 a 的值应在什么范围内 (取图中 a 处箭头所示方向为 a 的正方向) 取 . 2 重力加速度 g=10m/s . 三、 25 分)如图所示,绝热的活塞 S 把一定质 ( 量的稀薄气体(可视为理想气体)密封在水平放置 的绝热气缸内.活塞可在气缸内无摩擦地滑动.气 缸左端的电热丝可通弱电流对气缸内气体十分缓 慢地加热.气缸处在大气中,大气压强为 p0.初始 时,气体的体积为 V0 、压强为 p0.已知 1 摩尔 该气体温度升高 1K 时其内能的增量为一已知恒 量。 ,求以下两种过程中电热丝传给气体的热量 Ql 与 Q2 之比.

1 .从初始状态出发,保持活塞 S 位置固定,在电热丝中通以弱电流,并持续一段时间, 然后停止通电,待气体达到热平衡时,测得气体的压强为 pl . 2 .仍从初始状态出发,让活塞处在自由状态,在电热丝中通以弱电流,也持续一段时间, 然后停止通电,最后测得气体的体积为 V2. 四、 25 分)如图所示, Ml M2 和 M3 M4 都是由无限多根无限长的外表面绝缘的细直导 ( 线紧密排列成的导线排横截面,两导线排相交成 120°,O O ’为其角平分线.每根细导线 中都通有电流 I , 两导线排中电流的方向相反, 其中 Ml M2 中电流的方向垂直纸面向里. 导 线排中单位长度上细导线的根数为 λ.图中的矩形 abcd 是用 N 型半导体材料做成的长直 半导体片的横截面, ab《 bc ) ( ,长直半导体片与导线排中的细导线平行,并在片中通有均 匀电流 I0,电流方向垂直纸面向外.已知 ab 边与 O O ’垂直, bc =l,该半导体材料内 载流子密度为 n , 每个载流子所带电荷量的大小为 q . 求此半导体片的左右两个侧面之间 的电势差. 已知当细的无限长的直导线中通有电流 I 时,电流产生的磁场离直导线的距离为 r 处的磁 感应强度的大小为 B ? k

I ,式中 k 为已知常量. r

五、 25 分)如图所示, ACD 是由均匀 ( 细导线制成的边长为 d 的等边三角形线框,它以 AD 为转轴,在磁感应强度为 B 的恒定 的匀强磁场中以恒定的角速度田转动(俯视为逆时针旋转), 磁场方向与 AD 垂直.已知 三角形每条边的电阻都等于 R.取图示线框平面转至与磁场平行的时刻为 t = 0 . 1 .求任意时刻 t 线框中的电流. 2 .规定 A 点的电势为 0,求 t = 0 时,三角形线框的 AC 边上任一点 P (到 A 点的距 离用 x 表示)的电势 Up,并画出 Up 与 x 之间关系的图线.

六、 25 分)空间存在垂直于纸面方向的均匀磁场,其方向随时间作周期性变化,磁感应 ( 强度 B 随时间 t 变化的图线如图 1 所示.规定 B > 0 时,磁场的方向穿出纸面.现在磁 场区域中建立一与磁场方向垂直的平面坐标 Oxy,如图 2 所示.一电荷量 q = 5π ×10-7c , 质量 m =5×10-10kg 的带电粒子,位于原点 O 处,在 t =0 时刻以初速度 v0=π m/s 沿 x 轴 正方向开始运动,不计重力的作用,不计磁场的变化可能产生的一切其它影响. 1 .试在图 2 中画出 0~20 ms 时间内粒子在磁场中运动的轨迹,并标出图 2 中纵横坐标 的标度值(评分时只按图评分,不要求写出公式或说明. ) 2 .在磁场变化 N 个( N 为整数)周期的时间内带电粒子的平均速度的大小等于 _________________.

七、 25 分)如图所示, L 是一焦距为 f 的薄凸透镜( F 与 F ’为其焦点) ( .在透镜右 侧焦点 F ’处放置一曲率半径大小为 R 的球面反射镜(其顶点位于 F ’处) ,透镜和球面 镜组成一轴对称的光学系统.在透镜 L 左侧光轴上有限远处有一发光点 P,它发出的傍轴 光线经此光学系统后,恰好成像在 P 点.试在下面第 1 和第 2 小题中填空,在第 3 小题 中作图. 1 .若球面镜为凹面镜,则 P 点到透镜的距离等于_____________;若球面镜为凸面镜,则 P 点到透镜的距离等于____________________ . 2 .若将一短细杆垂直于光轴放置,杆的下端位于 P 点,则此细杆经上述光学系统所成的 最后的像的大小与物的大小之比对凹面镜等于_____________;对凸面镜等于____________. 3 .若球面镜的半径大小 R=2f,试按作图法的规范要求,画出第 2 问中短杆对上述光学 系统逐次成的像及成像光路图. (要求将凹面镜和凸面镜分别画在两张图上.评分时只按图 评分,不要求写出作图理由和说明,但须用已知量标出各个像在光轴上的具体位置. )

八、 25 分)如图所示,有一固定的、半径 ( 为 a 、内壁光滑的半球形碗(碗口处于水平位置), O 为球心.碗内搁置一质量为 m 、边 长为 a 的等边三角形均匀薄板 ABC. 板的顶点 A 位于碗内最低点, 碗的最低点处对 A 有

某种约束使顶点 A 不能滑动(板只能绕 A 点转动). 1 .当三角形薄板达到平衡时,求出碗对顶点 A 、 B 、 C 的作用力的大小各为多少. 2.当板处于上述平衡状态时,若解除对 A 点的约束,让它能在碗的 内表面上从静止开始自由滑动,求此后三角形薄板可能具有的最大 动能.

2006 年第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 总分 200 分 考试时间 180 分钟

一、 (20 分,每小题 10 分) 1、如图所示,弹簧 S1 的上端固定在天花板上,下端连一小球 A,球 A 与 球 B 之间用线相连。球 B 与球 C 之间用弹簧 S2 相连。A、B、C 的质量分 别为 mA、mB、mC,弹簧与线的质量均可不计。开始时它们都处在静止状 态。现将 A、B 间的线突然剪断,求线刚剪断时 A、B、C 的加速度。 2、 两个相同的条形磁铁, 放在平板 AB 上, 磁铁的 N、 S 极如图所示。开始时平板及磁铁皆处于水平位置, 且静止不动。 (i)现将 AB 突然竖直向下平移(磁铁与平板间 始终相互接触) ,并使之停在 A′B′处,结果发现两 个条形磁铁碰在一起。 (ii)如果将 AB 从原位置突然竖直向上平移,并使之停在 A″B″位置处,结果发现两 条形磁铁也碰在一起。 试定性地解释上述现象。 二、 (20 分,每 1 小题 12 分,第 2 小题 8 分) 1、老爷爷的眼睛是老花眼。 (i)一物体 P 放在明视距离处,老爷爷看不清楚。试在 示意图 1 中画出此时 P 通过眼睛成像的光路示意图。 (ii)戴了一副 300 度的老花镜后,老爷爷就能看清楚 放在明视距离处的物体 P, 试在示意图 2 中画出 P 通过老花 镜和眼睛成像的光路示意图。 (iii)300 度的老花镜的焦距 f= m。 2、有两个凸透镜,它们的焦距分别为 f1 和 f2,还有两个凹透镜,它们的焦距分别为 f3 和 f4。 已知,f1>f2>|f3|>|f4|。如果要从这四个透镜中选取两个透镜,组成一架最简单的单筒望远镜, 要求能看到放大倍数尽可能大的正立的像,则应选焦距为 的透镜作为物镜,应 选焦距为 的透镜作为目镜。

三、 (20 分,第 1 小题 12 分,第 2 小题 8 分) 1、如图所示,电荷量为 q1 的正点电荷固定在坐标原点 O 处,电荷量为 q2 的正点电荷固定 在 x 轴上,两电荷相距 l。已知 q2=2q1。 (i)求在 x 轴上场强为零的 P 点的坐标。 (ii)若把一电荷量为 q0 的点电荷放在 P 点,试讨论它的稳定性(只考虑 q0 被限制在沿 x 轴运动和被限制在沿垂直于 x 轴方向运动这两种情况) 。 2、有一静电场,其 电势 U 随坐标 x 的 改变而变化,变化 的图线如图 1 所示。 试在图 2 中画出该 静电场的场强 E 随 x 变化的图线 (设场 强沿 x 轴正方向时 取正值,场强沿 x 轴负方向时取负 值) 。 四、 (20 分)一根长为 L(以厘米为单位)的粗细均匀的、可弯曲的细管, 一端封闭,一端开口,处在大气中。大气的压强与 H 厘米高的水银柱产生 的压强相等,已知管长 L>H。现把细管弯成 L 形,如图所示。假定细管被 弯曲时,管长和管的内径都不发生变化。可以把水银从管口徐徐注入细管 而不让细管中的气体泄出。当细管弯成 L 形时,以 l 表示其竖直段的长度, 问 l 取值满足什么条件时, 注入细管的水银量为最大值?给出你的论证并求 出水银量的最大值(用水银柱的长度表示) 。 五、 (20 分)一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子偶素中 的正电子与负电子都以速率 v 绕它们连线的中点做圆周运动。 假定玻尔关于氢原子的理论可 用于电子偶素,电子的质量 m、速率 v 和正、负电子间的距离 r 的乘积也满足量子化条件, 即 mrv=n

h 式中 n 称为量子数,可取整数值 1,2,3,?;h 为普朗克常量。试求电子偶素处 2?

在各定态时的 r 和能量以及第一激发态与基态能量之差。 六、 (25 分)如图所示,两个金属轮 A1、A2,可绕通过各自中 心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴 O1 和 O2 转动, 1 和 O2 O 相互平行,水平放置。每个金属轮由四根金属辐条和金属环组 成,A1 轮的辐条长为 a1、电阻为 R1,A2 轮的辐条长为 a2、电 阻为 R2,连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略。半径为 a0 的绝缘圆盘 D 与 A1 同轴且固连在一起。 一轻细绳的一端固定 在 D 边缘上的某点,绳在 D 上绕足够匝数后,悬挂一质量为 m 的重物 P。当 P 下落时,通过细绳带动 D 和 A1 绕 O1 轴转动。 转动过程中,A1、A2 保持接触,无相对滑 动;两轮与各自细轴之间保持良好的电接触;两细轴通过导线与一阻值为 R 的电阻相连。 除 R 和 A1、A2 两轮中辐条的电阻外,所有金属的电阻都不计。整个装置处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中,磁场方向与转轴平行。现将 P 释放,试求 P 匀速下落时的速度。 七、 (25 分)图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面,其半径为 R, 圆筒的轴线在 O 处。圆筒内有匀强磁场,磁场方向与圆筒的轴线平行,磁感

应强度为 B。筒壁的 H 处开有小孔,整个装置处在真空中。现有一质量为 m、 电荷量为 q 的带电粒子 P 以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒,经 与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。 筒壁是光滑的, 与筒壁碰撞是弹性的, 设: P P 与筒壁碰撞时其电荷量是不变的。若要使 P 与筒壁碰撞的次数最少,问: 1、P 的速率应为多少? 2、P 从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少? 八、 (25 分)图中正方形 ABCD 是水平放置的固定梁的横截面,AB 是水平 的,截面的边长都是 l。一根长为 2l 的柔软的轻细绳,一端固定在 A 点,另 一端系一质量为 m 的小球,初始时,手持小球,将绳拉直,绕过 B 点使小 球处于 C 点。 现给小球一竖直向下的初速度 v0, 使小球与 CB 边无接触地向 2 下运动,当 v0 分别取下列两值时,小球将打到梁上的何处?
2 1、 v0 ? 2(6 2 ? 3 3 ? 1) gl 2 2、 v0 ? 2(3 3 ? 11 gl )

设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的。 九、 (25 分)从赤道上的 C 点发射洲际导弹,使之精确地击中北极点 N, 要求发射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球 体,R=6400km。已知质量为 m 的物体在地球引力作用下作椭圆运动时, 其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为 E=-G Mm 式中 M 为地球质量,G 为
2a

引力常量。 1、假定地球没有自转,求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心 O 到发射 点 C 的连线之间的夹角表示) 。 2、若考虑地球的自转,则最小发射速度的大小为多少? 3、试导出 E=-G Mm 。 2a

06 年第 23 届全国中学生物理竞赛预赛参考答案及评分标准
一、参考答案 1、线剪断前,整个系统处于平衡状态。此时弹簧 S1 的弹力 F1=(mA+mB+mC)g (1) 弹簧 S2 的弹力 F2=mcg (2) 在线刚被剪断的时刻,各球尚未发生位移,弹簧的长度尚无变化,故 F1、F2 的大小尚未变 化,但线的拉力消失。设此时 A、B、C 的加速度的大小分别为 aA、aB、aC, 则有 F1-mAg=mAaA(3) F2+mBg=mBaB(4) F2-mCg=mCaC(5) 解以上有关各式得 aA=

mB ? mC m ? mC g,方向竖直向上(6);aB= B g,方向竖直向下(7); mA mB

aC=0(8) 2、开始时,磁铁静止不动,表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力 平衡。 (i)从板突然竖直向下平移到停下,板和磁铁的运动经历了两个阶段。起初,板向下加 速移动,板与磁铁有脱离接触的趋势,磁铁对板的正压力减小,并跟随板一起作加速度方向 向下、速度向下的运动。在这过程中,由于磁铁对板的正压力减小,最大静摩擦力亦减小。 向下的加速度愈大,磁铁的正压力愈小,最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值 时,最大静摩擦力减小到小于磁力,于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。接着,磁铁和 板一起作加速度方向向上、速度向下的运动,直线停在 A′B′处。在这过程中,磁铁对板 的正压力增大,最大静摩擦力亦增大,因两磁铁已碰在一起,磁力、接触处出现的弹力和可

能存在的静摩擦力总是平衡的,两条磁铁吸在一起的状态不再改变。 (ii)从板突然竖直向下平移到停下,板和磁铁的运动也经历了两个阶段。起初,板和 磁铁一起作加速度方向向上、速度向上的运动。在这过程中,正压力增大,最大静摩擦力亦 增大, 作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡, 磁铁在水平方向不发生运动。 接着, 磁铁和板一起作加速度方向向下、速度向上的运动,直线停在 A″B″处。在这过程中,磁 铁对板的正压力减小,最大静摩擦力亦减小,向下的加速度愈大,磁铁的正压力愈小,最大 静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时,最大静摩擦力减小到小于磁力,于是磁铁 沿着平板相向运动并吸在一起。 评分标准: (本题 20 分) 1、10 分, 、 、 、 、 、 、 、 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)式各 1 分,aA、aB 的方向各 1 分。 2、10 分, (i)5 分, (ii)5 分, (必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由,才给这 5 分,否则不给分) 。 二、参考答案

1、 (i)

(ii)

(iii)

1 3

2、f1,

f4 评分标准: (本题 20 分)1、12 分, (i)4 分, (ii)4 分, (iii)4 分。 格都填对,才给这 8 分,否则 0 分。 三、参考答案

2、8 分。两个空

1、 (i)通过对点电荷场强方向的分析,场强为零的 P 点只可能位于两点电荷之间。设 P 点 的坐标为 x0,则有 k

q1 q2 =k 2 x0 (l ? x0 ) 2

(1)

已知 q2=2q1 (2)

由(1)(2)两式解得 x0= ( 2 ? 1)l (3) 、 (ii)先考察点电荷 q0 被限制在沿 x 轴运动的情况。q1、q2 两点电荷在 P 点处产生的场 强的大小分别为 E10= k

q1 2 x0

E20= k

q2 ,且有 E10=E20,二者方向相反。点电荷 q0 在 (l ? x0 ) 2

P 点受到的合力为零,故 P 点是 q0 的平衡位置。在 x 轴上 P 点右侧 x=x0+△x 处,q1、q2 产 生的场强的大小分别为 E′1= k

q1 q2 <E10 方向沿 x 轴正方向 E′2= k >E20 方向沿 x 轴 2 ( x0 ? ?x) (l ? x0 ? ?x) 2

负方向 由于 E′2>E′1, 0+△x 处合场强沿 x 轴的负方向, x=x 即指向 P 点。 x 轴上 P 点左侧 x=x0 在 -△x 处,q1、q2 的场强的大小分别为 E″1= k

q1 >E10 方向沿 x 轴正方向 E″ ( x0 ? ?x) 2

2=

k

q2 <E20 方向沿 x 轴负方向 (l ? x0 ? ?x) 2

由于 E″2<E″1,x=x0-△x 处合场强的方向沿 x 轴的正方向,即指向 P 点。 由以上的讨论可知,在 x 轴上,在 P 点的两侧,点电荷 q1 和 q2 产生的电场的合场强的 方向都指向 P 点,带正电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点,所以当 q0>0 时, P 点是 q0 的稳定平衡位置。带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都背离 P 点,所以当 q0<0 时,P 点是 q0 的不稳定平衡位置。 再考虑 q0 被限制在沿垂直于 x 轴的方向运动的情况。沿垂直于 x 轴的方向,在 P 点两 侧附近,点电荷 q1 和 q2 产生的电场的合场强沿垂直 x 轴分量的主向都背离 P 点,因而带正 电的点电荷在 P 点附近受到沿垂直 x 轴的分量的电场力都背离 P 点。所以,当 q0>0 时,P 点是 q0 的不稳定平衡位置。带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点,所以当 q0<0 时,P 点是 q0 的稳定平衡位置。 2、如图 评分标准: (本题 20 分) 1、12 分, (i)2 分 (ii)当 q0 被限制在沿 x 轴方向运动时,正确论证 q0>0,P 点是 q0 的 稳定平衡位置,占 3 分;正确论证 q0<0,P 点 是 q0 的不稳定平 衡位置,占 3 分。 (未列公式,定性分析正确的同样给分)当 q0 被限制在垂直于 x 轴方向运 动时,正确论证 q0>0,P 点是 q0 的不稳定平衡位置,占 2 分;正确论证 q0<0,P 点是 q0 的 稳定平衡位置,占 2 分。 2、8 分。纵坐标的数值或图线有错的都给 0 分。纵坐标的数值、图线与参考解答不同,正 确的同样给分。 四、参考解答: 开始时竖直细管内空气柱长度为 L,压强为 H(以 cmHg 为单位) ,注入少量水银后, 气柱将因水银柱压力而缩短。当管中水银柱长度为 x 时,管内空气压强 p=(H+x),根据玻意 耳定律,此时空气柱长度 L′= =

HL H?x

(1)

空气柱上表面与管口的距离 d=L-L′

L x H?x

(2)

开始时 x 很小,由于 L>H,故

d >1 H?x

即水银柱上表面低于管口,可继续注入水银,直至 d=x(即水银柱上表面与管口相平)时为 止。何时水银柱表面与管口相平,可分下面两种情况讨论。 1、水银柱表面与管口相平时,水银柱未进入水平管,此时水银柱的长度 x≤l, 由玻意耳定律有(H+x)(L-x)=HL (3) 由(3)式可得 x=L-H (4) 由此可知,当 l≥L-H 时,注入的水银柱的长度 x 的最大值 xmax=L-H(5) 2、水银柱表面与管口相平时,一部分水银进入水平管,此时注入水银柱的长度 x>l,由玻 意耳定律有(H+l)(L-x)=HL (6) x=

Ll H ?l

(7)

l<x=

Ll (8) H ?l

由(8)式得 l<L-H 或 L>H+l (9)

x=L-H

L <L-H (10) H ?l

即当 l<L-H 时,注入水银柱的最大长度 x<xmax。 由上讨论表明,当 l≥L-H 时,可注入的水银量为最大,这时水银柱的长度为 xmax, 即(5)式。 评分标准: (本题 20 分) 正确论证当 l≥L-H 时,可注入的水银量最大,占 13 分。求 出最大水银量占 7 分,若论证的办法与参考解答不同,只要正确,同样给分。 五、参考解答: 正、负电子绕它们连线的中点作半径为

r 的圆周运动,电子的电荷量为 e,正、负电子 2

间的库仑力是电子作圆周运动所需的向心力,即 k

e2 v2 ?m (r / 2) r2

(1)

正电子、负电子的动能分别为 Ek+和 Ek-,有 Ek+=Ek-=

1 2 mv (2) 2
(4)

正、 负电子间相互作用的势能 Ep=- k

e2 r

(3) 电子偶素的总能量 E=Ek++Ek-+Ep

1 e2 h 由(1)(2)(3)(4)各式得 E=- k 、 、 、 (5) 根据量子化条件 mrv=n n 2 r 2?

n=1,2,3,?

(6) (6)式表明,r 与量子数 n 有关。由(1)和(6)式得与量子数 n 对应的定态 r 为 rn=

n2h2 2? 2 ke 2 m

n=1,2,3,?? (7)

代入(5)式得与量子数 n 对应的定态的 E 值为 En=

n2k 2e4m n2h2

n=1,2,3,?? (8)

n=1 时,电子偶素的能量最小,对应于基态。基态的能量为 E1=-

n2k 2e4m h2

(9)

n=2 是第一激发态,与基态的能量差△E=

3 n 2k 2e4m 4 h2

(10)

评分标准: (本题 20 分) (2)式 2 分, (5)式 4 分, (7)式、 (8)式各 5 分, (10)式 4 分。 六、参考解答: P 被释放后,细绳的张力对 D 产生机械力矩,带动 D 和 A1 作逆时针的加速转动,通过 两个轮子之间无相对运动的接触,A1 带动 A2 作顺时针的加速运动。由于两个轮子的辐条切 割磁场线,所以在 A1 产生由周边沿辐条指向轴的电动势,在 A2 产生由轴沿辐条指向周边的 电动势,经电阻 R 构成闭合电路。A1、A2 中各辐条上流有沿电动势方向的电流,在磁场中 辐条受到安培力。不难看出,安培力产生的电磁力矩是阻力矩,使 A1、A2 加速转动的势头

减缓。A1、A2 从起始的静止状态逐渐加速转动,电流随之逐渐增大,电磁阻力矩亦逐渐增 大,直至电磁阻力矩与机械力矩相等,D、A1 和 A2 停止作加速转动,均作匀角速转动,此 时 P 匀速下落,设其速度为 v,则 A1 的角速度 ?1 ?

v a0

(1)

A1 带动 A2 转动,A2 的角速度ω 2 与 A1 的角速度ω 1 之间的关系为ω 1a1=ω 2a2 (2) A1 中每根辐条产生的感应电动势均为 ? 1 ?

1 2 Ba1 ?1 2

(3)

轴与轮边之间的电动势就是 A1 中四条辐条电动势的并联,其数值见(3)式。 同理,A2 中,轴与轮边之间的电动势就是 A2 中四条辐条电动势的并联,其数值为

?2 ?

1 2 Ba 2 ? 2 (4) 2

A1 中,每根辐条的电阻为 R1,轴与轮边之间的电动势就是 A1 中四条辐条电动势的并联,其 数值为 RA1=

R1 (5) 4

A2 中,每根辐条的电阻为 R2,轴与轮边之间的电动势就是 A2 中

四条辐条电动势的并联,其数值为 RA2=

R2 (6) 4

A1 轮、A2 轮和电阻 R 构成串联回路,其中的电流为 I=

?1 ? ? 2
R ? R A1 ? R A2

(7)

1 ) Ba1 (a1 ? a 2 )v 2a 0 以(1)至(6)式代入(7)式,得 I= (8) R1 R2 R?( )?( ) 4 4 (
当 P 匀速下降时,对整个系统来说,重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和,即 mgv=I2(R+

R1 R 2 + ) 4 4

(9)

以 (8) 式代入 (9) 式得 v=

m g(4 R ? R1 ? R2 )a0 B 2 a1 (a1 ? a 2 ) 2
2

2

(10)

评分标准: (本题 25 分) (1)(2)式各 2 分, 、 、 (3)(4)式各 3 分, 、 、 (5)(6)(7)式各 2 分, (9)式 6 分, (10) 式 3 分。 七、参考解答: 1、如图 1 所示,设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外,带电粒子 P 带正电,其速率为 v。 P 从小孔射入圆筒中因受到磁场的作用力而偏离入射方向,若与筒壁只发生一次碰撞,是 不可能从小孔射出圆筒的。但与筒壁碰撞两次,它就有可能从小孔射出。在此情形中,P 在筒内的路径由三段等长、 等半径的圆弧 HM、 MN 和 NH 组成。 现考察其中一段圆弧 MN, 如图 2 所示, 由于 P 沿筒的半径方向入射, OM 和 ON 均与轨道相切, 两者的夹角 ? ? (1)

2 ? 3

设圆弧的圆半径为 r,则有 qvB=m

v2 (2) r

圆弧对轨道圆心 O′所张的圆心角 ? ? 由几何关系得 r=Rcot

?
3

(3)

? (4) 2

解(2)(3)(4)式得 v= 3qBR (5) 、 、 m 2、P 由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为 s=β r(6) ,经历时间为 t1= P 从射入小孔到射出小孔经历的时间为 t=3t1 (8) 由以上有关各式得 t=

s (7) v
(9)

?m qB

评分标准: (本题 25 分)1、17 分, 、 、 、 (1)(2)(3)(4)式各 3 分, (5)式 5 分。2、8 分, 、 、 、 (6)(7)(8)(9)式各 2 分。 八、参考解答: 小球获得沿竖直向下的初速度 v0 后, 由于细绳 处于松弛状态,故从 C 点开始,小球沿竖直方向作 初速度为 v0、加速度为 g 的匀加速直线运动。当小 球运动到图 1 中的 M 点时,绳刚被拉直,匀加速直 线运动终止。此时绳与竖直方向的夹角为α =30?。 在这过程中,小球下落的距离 s=l+2lcosα =l(1+ 3 ) (1) 细绳刚拉直时小球的速度 v1 满足下式:v12=v22+2gs (2) 在细绳拉紧的瞬间,由于绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的,故小球沿细绳方向的分 速度 v1cosα 变为零,而与绳垂直的分速度保持不变,以后小球将从 M 点开始以初速度 v1′ =v1sinα =

1 v1 (3) 2 1 2 1 v0 ? gl (1 ? 3 ) 4 2
(4)

在竖直平面内作圆周运动,圆周的半径为 2l,圆心位于 A 点,如图 1 所示,由(1)(2) 、 、 (3)式得 v12=

当小球沿圆周运动到图中的 N 点时,其速度为 v,细绳与水平方向的夹角为θ ,由能量关 系有

1 1 ? mv1 2 ? mv 2 ? mg ( 3l ? 2l s i n ) (5) ? 2 2
用 FT 表示绳对小球的拉力,有 FT+mgsinθ = m
2 1、 v0 ? 2(6 2 ? 3 3 ? 1) gl

v2 2l

(6)

设在θ =θ 1 时(见图 2) ,绳开始松弛,FT=0,小球的速度 v=u1。以此代入(5)(6)两式得 、

? v1 2 ? u12 ? 2g ( 3l ? 2l s i n 1 ) ?

(7)

mgsinθ 1=

u12 (8) 2l
u1=

由(4)(7)(8)式和题设 v0 的数值可求得θ 1=45° (9) 、 、

2 gl

(10)

即在θ 1=45°时,绳开始松弛,以 N1 表示此时小球在圆周上的位置,此后,小球将脱离圆 轨道从 N1 处以大小为 u1,方向与水平方向成 45°角的初速度作斜抛运动。 以 N1 点为坐标原点,建立直角坐标系 N1xy,x 轴水平向右,y 轴竖直向上。若以小球 从 N1 处抛出的时刻作为计时起点, 小球在时刻 t 的坐标分别为 x=u1cos45°t=

2 u1t (11) 2

y= u1sin45°t-

1 2 2 1 gt = u1t- gt2 (12) 2 2 2

x2 x2 由(11)(12)式,注意到(10)式,可得小球的轨道方程:y=x-g 2 =x- 、 (13) u1 2l
AD 面的横坐标为 x=2lcos45°= 2 l (14)

由(13)(14)式可得小球通过 AD 所在竖直平面的纵坐标 y=0 (15) 、 由此可见小球将在 D 点上方越过,然后打到 DC 边上,DC 边的纵坐标为 y=-(2lsin45°-l)=-( 2 -1)l(16) 把(16)式代入(13)式,解得小球与 DC 边撞击点的横坐标 x=1.75l (17) 撞击点与 D 点的距离为△l=x-2lcos45°=0.35l (18) 2、v02=2(3 3 +11)gl 设在θ =θ 2 时,绳松弛,FT=0,小球的速度 v=u2。以此代替(5)(6) 、

? 式中的θ 1、u1,得 v1 ? u ? 2g ( 3l ? 2l sin ? 2 )
2 2 2

(19)

2 u2 msinθ 2= (20) 2l

以 v02=2(3 3 +11)gl3 代入 (4) 与 式, (19) 、 (20) 式联立, 可解得θ 2=90° (21)

u2= 2gl

(22) (22)式表示小球到达圆周的最高点处时,绳中张力为 0,随后绳子被拉紧,球速增大, 绳中的拉力不断增加, 拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力, 小 球将绕以 D 点为圆心,l 为半径的圆周打到梁上的 C 点。 评分标准: (本题 25 分) (3)式 2 分, 、 (5)(6)式各 1 分, 、 (9)(10)式各 3 分,得出小 球不可能打在 AD 边上,给 3 分,得出小球能打在 DC 边上,给 2 分,正确求出小球打在 DC 边上的位置给 2 分。求出(21)(22)式各占 3 分,得出小球能打在 C 点,再给 2 分。 、 如果学生直接从抛物线方程和 y=-(2lsin45°-l)=-( 2 -1)l 求出 x=1.75l,同样给分。不必证明不能撞击在 AD 边上。 九、参考答案:

1、这是一个大尺度运动,导弹发射后,在地球引力作用下将沿 椭圆轨道运动。如果导弹能打到 N 点,则此椭圆一定位于过地 心 O、北极点 N 和赤道上的发射点 C 组成的平面(此平面是 C 点所在的子午面)内,因此导弹的发射速度(初速度 v)必须也 在此平面内,地心 O 是椭圆的一个焦点。根据对称性,注意到 椭圆上的 C、N 两点到焦点 O 的距离相等,故所考察椭圆的长 辆是过 O 点垂直 CN 的直线, 即图上的直线 AB, 椭圆的另一焦 点必在 AB 上。 已知质量为 m 的物体在质量为 M 的地球的引力 作用下作椭圆运动时,物体和地球构成的系统的能量 E(无穷 远作为引力势能的零点) 与椭圆半长轴 a 的关系为 E=-

GMm 2a

(1) 要求发射的能量最少,即要求椭圆的半长轴 a 最短。根据椭圆的几何性质可知,椭圆的两焦 点到椭圆上任一点的距离之和为 2a,现 C 点到一个焦点 O 的距离是定值,等于地球的半径 R,只要位于长轴上的另一焦点到 C 点的距离最小。该椭圆的半长轴就最小。显然,当另一 焦点位于 C 到 AB 的垂线的垂足处时,C 到该焦点的距离必最小。由几何关系可知 2a=R+

2 R (2) 2
1 2 GMm mv - 2 R
(4) (3)

设发射时导弹的速度为 v,则有 E=

解(1)(2)(3)式得 v= 、 、

2GM ( 2 ? 1) R



GMm =mg (5) R2
(7)

比较(4)(5)两式得 v= 2 Rg ( 2 ? 1) 、

(6)

代入有关数据得 v=7.2km/s

速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切。根据解析几何知识,过椭圆上一点的切线的垂直线, 平分两焦点到该点连线的夹角∠OCP, 从图中可看出, 速度方向与 OC 的夹角θ =90?- 45?=67.5? (8) 2、由于地球绕通过 ON 的轴自转,在赤道上 C 点相对地心的速度为 vC=

1 × 2

2?R T

(9)

式中 R 是地球的半径,T 为地球自转的周期,T=24×3600s=86400s,故 vC=0.46km/s (10) C 点速度的方向垂直于子午面(图中纸面) 。位于赤道上 C 点的导弹发射前也有与子午面垂 直的速度 vC,为使导弹相对于地心速度位于子午面内,且满足(7)(8)两式的要求,导 、 弹相对于地面(C 点)的发射速度应有一大小等于 vC、方向与 vC 相反的分速度,以使导弹 在此方向相对于地心的速度为零,导弹的速度的大小为 v′= v ? vC
2 2

(11) 代入有关

数据得 v′=7.4km/s (12) 它在赤道面内的分速度与 vC 相反,它在子午面内的分速度满足(7)(8)两式。 、 3、质量为 m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律,故对于近 地点和远地点有下列关系式

1 2 GMm 1 2 GMm m v1 ? = m v2 ? 2 r1 2 r2

(13)

1 1 r1 v1 = r2 v 2 2 2

(14) 式中 v1、v2 分别为物体在远地点和近地点的速度,r1、r2 为远地点和近地点到地心的距离。 将(14)式中的 v1 代入(13)式,经整理得

1 2 r22 GMm mv2 ( 2 ? 1) ? (r2 ? r1 ) 2 r1r2 r1
因 E=

(15)

注意到 r1+r2=2a

(16)



1 2 GMm r1 (17) m v2 ? 2 2a r2
GMm 2a
(19)

1 2 GMm m v2 ? 2 r2

(18)

由(16)(17)(18)式得 E=- 、 、

评分标准: (本题 25 分) 1、14 分。 (2)式 6 分, (3)式 2 分, 、 (6)(7)式共 4 分, (8)式 2 分。 2、6 分。 (11)式 4 分, (12)式 2 分。 3、5 分。 (13)(14)式各 1 分, 、 (19)式 3 分。

第 22 届全国中学生物理竞赛预赛题试卷
本卷共九题,满分 200 分
一、 (10 分)在横线上填上恰当的内容 1.在 2004 年 6 月 10 日联合国大会第 58 次会议上,鼓掌通过一项决议。决议摘录如下: 联合国大会, 承认物理学为了解自然界提供了重要基础, 注意到物理学及其应用是当今众多技术进步的基石, 确信物理教育提供了建设人类发展所必需的科学基础设施的工具, 意识到 2005 年是爱因斯坦科学发现一百周年,这些发现为现代物理学奠定了基础, i . ……; ii . ……; 年. iii .宣告 2005 年为 2.爱因斯坦在现代物理学领域作出了很多重要贡献,试举出其中两项: ; . 二、 (17 分)现有一个弹簧测力计(可随便找地方悬挂) ,一把匀质的长为 l 的有刻度、零点 位于端点的直尺,一个木块及质量不计的细线.试用这些器件设计一实验装置(要求画出示 意图) ,通过一次测量(弹簧测力计只准读一次数) ,求出木块的质量和尺的质量. (已知重 力加速度为 g) 三、 (18 分)内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为 R 的黑球,距球心为 2R 处有一 点光源 S,球心 O 和光源 S 皆在圆筒轴线上,如图所示.若使点光源向右半边发出的光最后 全被黑球吸收,则筒的内半径 r 最大为多少?

r S

2R O R

四、 (20 分)处在激发态的氢原子向能量较低的状态跃迁时会发出一系列不同频率的光,称 为氢光谱.氢光谱线的波长? 可以用下面的巴耳末—里德伯公式来表示

1 ? ? 1 ? R? 2 ? 2 ? ? n ? ?k 1
n, k 分别 表示氢原子跃迁前后所处状态的量子数. k ? 1,2,3, ? ,对于每一 个 k,有 n ? k ? 1, k ? 2 , k ? 3,? ,R 称为里德伯常量,是一个已知量.对于 k ? 1 的一系列谱线其波 长处在紫外线区,称为赖曼系; k ? 2 的一系列谱线其波长处在可见光区,称为巴耳末系. 用氢原子发出的光照射某种金属进行光电效应实验,当用赖曼系波长最长的光照射时, 遏止电压的大小为 U1,当用巴耳末系波长最短的光照射时,遏止电压的大小为 U2. 已知 电子电量的大小为 e ,真空中的光速为 c ,试求:普朗克常量和该种金属的逸出功. 五、 (25 分)一质量为 m 的小滑块 A 沿斜坡由静止开始下滑,与一质量为 km 的静止在水平 地面上的小滑块 B 发生正碰撞,如图所示.设碰撞是弹性的,且一切摩擦不计.为使二者 能且只能发生两次碰撞,则 k 的值应满足什么条件? A

六、 (25 分)如图所示,两根位于同一水平面内的平行的 直长金属导轨,处于恒定磁场中,磁场方向与导轨所在平 B 面垂直.一质量为 m 的均匀导体细杆,放在导轨上,并 与导轨垂直,可沿导轨无摩擦地滑动,细杆与导轨的电阻 均可忽略不计.导轨的左端与一根阻值为 R0 的电阻丝相 连,电阻丝置于一绝热容器中,电阻丝的热容量不计.容器与一水平放置的开口细管相通, 细管内有一截面为 S 的小液柱(质量不计) ,液柱将 1mol 气体(可视为理想气体)封闭在 容器中.已知温度升高 1K 时,该气体的内能的增加量为

5R 2 (R 为普适气体常量) ,大气压强为 p0,现令细杆沿
导轨方向以初速 v0 向右运动,试求达到平衡时细管中液柱 的位移. R0 v0

七、 (25 分)三个电容器分别有不同的电容值 C1、C2、C3 .现把这三个电容器组成图示的 (a)、(b)、(c)、(d)四种混联电路,试论证:是否可以通过适当选择 C1、C2、C3 的数值,使其 中某两种混联电路 A、B 间的等效电容相等.

A C1 C2 B (a) C3 C1 C3

A C2 C1 B (b)

A C 2 C1 C3 B (c)

A C3 C2 B (d)

八、 (30 分)如图所示,一根长为 l 的细刚性轻杆的两端分别连结小球 a 和 b ,它们的质量

1 4 直位置.小球 b 几乎接触桌面.在杆的右边水平桌面上,紧挨着细杆放着一个质量为 m 的 立方体匀质物块,图中 ABCD 为过立方体中心且与细杆共面的截面.现用一水平恒力 F 作 用于 a 球上,使之绕 O 轴逆时针转动,求当 a 转过??角时小球 b 速度的大小.设在此过程中 立方体物块没有发生转动,且小球 b 与立方体物块始终接触没有分 a 离.不计一切摩擦.
分别为 ma 和 mb. 杆可绕距 a 球为 l 处的水平定轴 O 在竖直平面内转动.初始时杆处于竖 九、 (30 分)如图所示,水平放置的金属细圆环半径为 a,竖直放置的 金属细圆柱(其半径比 a 小得多)的端面与金属圆环的上表面在同一 平面内,圆柱的细轴通过圆环的中心 O.一质量为 m,电阻为 R 的均 匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑,棒的一端有一小孔套在细轴 O 上, 另一端 A 可绕轴线沿圆环作圆周运动, 棒与圆环的摩擦系数为?. 圆 环处于磁感应强度大小为 B ? Kr 、方向竖直向上的恒定磁场中,式中 K 为大于零的常量,r 为场点到轴线的距离.金属细圆柱与圆环用导 线 ed 连接.不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦,也不计细圆柱、圆环 及导线的电阻和感应电流产生的磁场.问沿垂直于棒的方向以多大的 水平外力作用于棒的 A 端才能使棒以角速度? 匀速转动. 注: ?x ? Δx? ? x 3 ? 3x 2 Δx ? 3x?Δx? ? ?Δx?
3 2 3

F

O

B

C

b

A

D

第 22 届全国中学生物理竞赛预赛参考解答
一、 国际物理(或世界物理) . 相对论;光的量子性 评分标准:本题 10 分.第 1 小问 4 分.第 2 小问 6 分(填写任意两项爱因斯坦的成果只要 正确都给 6 分) .

二、找个地方把弹簧测力计悬挂好,取一段细线做成一环,挂在 弹簧测力计的挂钩上,让直尺穿在细环中,环与直尺的接触点就 是直尺的悬挂点,它将尺分为长短不等的两段.用细线栓住木块 挂在直尺较短的一段上,细心调节直尺悬挂点及木块悬挂点的位 置,使直尺平衡在水平位置(为提高测量精度,尽量使二悬挂点 相距远些) ,如图所示.设木块质量为 m,直尺质量为 M.记下二 悬挂点在直尺上的读数 x1、x2,弹簧测力计读数 G.由平衡条件 和图中所设的直尺零刻度线的位置有

G 0 x1 x2 M

m (1) (2)

(m ? M ) g ? G

?l ? mg ( x 2 ? x1 ) ? Mg ? ? x 2 ? 2 ? ?
(1)、(2)式联立可得

m?

G ?l ? 2 x 2 ? g ?l ? 2 x1 ?

(3)

M ?

2G ?x 2 ? x1 ? g ?l ? 2 x1 ?

(4)

评分标准:本题 17 分. 正确画出装置示意图给 5 分. (1)式、 (2)式各 4 分, (3)式、 (4)式各 2 分. 三、

S?
M r S

S?
M S

??
2R

O N

??
2R

R ??

r O O N

图1

图2

自 S 作球的切线 S?,并画出 S 经管壁反射形成的虚像点 S ? ,及由 S ? 画出球面的切线

S ? N,如图 1 所示,由图可看出,只要 S ?M 和 S ?N 之间有一夹角,则筒壁对从 S 向右的光
线的反射光线就有一部分进入球的右方,不会完全落在球上被吸收. 由图可看出,如果 r 的大小恰能使 S ?N 与 S ?M 重合,如图 2,则 r?就是题所要求的筒的 内半径的最大值.这时 SM 与 MN 的交点到球心的距离 MO 就是所要求的筒的半径 r.由图 2 可得?

????????????????????????????????????? 由几何关系可知

r?

R R ? cos ? 1 ? sin 2 ?

(1)

sin? ? ?R 2R ?
由(1)(2)式得 、

(2)

r?
评分标准:本题 18 分.? 给出必要的说明占 8 分,求出 r 占 10 分. 四、由巴耳末—里德伯公式

2 3 R 3

(3)

1 1 ? 2) 2 ? k n 可知赖曼系波长最长的光是氢原子由 n = 2→ k = 1 跃迁时发出的,其波长的倒数 ? R(

1

1

?12
对应的光子能量为

?

3R 4

(1)

E12 ? hc

1

?12

?

3Rhc 4

(2)

式中 h 为普朗克常量.巴耳末系波长最短的光是氢原子由 n = ∞→ k = 2 跃迁时发出的,其 波长的倒数

1

?2 ?
对应的光子能量

?

R 4

(3)

E2? ?

Rhc 4

(4)

用 A 表示该金属的逸出功,则 eU 1 和 eU 2 分别为光电子的最大初动能.由爱因斯坦光 电效应方程得

3Rhc ? eU 1 ? A 4 Rhc ? eU 2 ? A 4
解得

(5) (6)

e A ? (U1 ? 3U 2 ) 2 2e(U1 ? U 2 ) h? Rc

(7) (8)

评分标准:本题 20 分. (1)式 3 分,(2)式 2 分, (3)式 3 分,(4)式 2 分, (5)、 (6)式各 3 分, (7)、(8)式各 2 分. 五、设 A 与 B 碰撞前 A 的速度为 v0,碰后 A 与 B 的速度分别为 v1 与 V1,由动量守恒及机 械能守恒定律有

mv 0 ? mv1 ? kmV1

(1) (2)

1 1 1 2 2 mv0 ? mv1 ? kmV12 2 2 2
由此解得

v1 ?

? (k ? 1) v0 k ?1 2 V1 ? v0 k ?1

(3) (4)

为使 A 能回到坡上,要求 v1<0,这导致 k>1;为使 A 从坡上滑下后再能追上 B,应有

? v1 ? V1 ,即 (k ? 1) ? 2 ,这导致 k ? 3 ,于是,为使第二次碰撞能发生,要求
k>3 对于第二次碰撞, v2 和 V2 分别表示碰后 A 和 B 的速度, 令 同样由动量守恒及机械能守 恒定律有: (5)

m(?v1 ) ? kmV1 ? mv 2 ? kmV2

1 1 1 1 2 2 mv1 ? kmV12 ? mv 2 ? kmV22 2 2 2 2
由此解得

v2 ?

4k ? (k ? 1) 2 v0 (k ? 1) 2
4(k ? 1) v0 (k ? 1) 2

(6)

V2 ?

(7)

若 v2>0,则一定不会发生第三次碰撞,若 v2<0,且 ? v 2 ? V2 ,则会发生第三次碰撞.故 为使第三次碰撞不会发生,要求 A 第三次从坡上滑下后速度的大小 ( ? v 2 ) 不大于 B 速度的 大小 V2 ,即

? v2 ? V2
由(6)、 、 (7)(8)式得

(8)

k 2 ? 10k ? 5 ? 0
由 k2-10 k + 5 = 0

(9)

可求得

k?
(9)式的解为

10 ? 80 ? 5?2 5 2

5?2 5 ?k ?5?2 5
(10)与(5)的交集即为所求:

(10)

3? k ?5? 2 5
评分标准:本题 25 分. 求得(3)、(4) 式各得 3 分,求得(5)式得 4 分,求得(6)(7)(8)(10)和(11) 、 、 、 式各得 3 分. 六、导体细杆运动时,切割磁感应线,在回路中产生感应电动势与感应电流,细杆将受到 安培力的作用,安培力的方向与细杆的运动方向相反,使细杆减速,随着速度的减小,感应 电流和安培力也减小,最后杆将停止运动,感应电流消失.在运动过程中,电阻丝上产生的 焦耳热,全部被容器中的气体吸收. 根据能量守恒定律可知,杆从 v0 减速至停止运动的过程中,电阻丝上的焦耳热 Q 应等 于杆的初动能,即

(11)

1 2 Q ? mv0 2
容器中的气体吸收此热量后,设其温度升高?T,则内能的增加量为

(1)

ΔU ?

5 RΔT 2

(2)

在温度升高?T 的同时, 气体体积膨胀, 推动液柱克服大气压力做功. 设液柱的位移为 Δl , 则气体对外做功

A ? p0 SΔl
SΔ l 就是气体体积的膨胀量

(3)

ΔV ? SΔl
由理想气体状态方程 pV ? RT ,注意到气体的压强始终等于大气压 p 0 ,故有

(4)

p 0 ΔV ? RΔT
由热力学第一定律

(5)

Q ? A ? ΔU
由以上各式可解得

(6)

Δl ?

2 mv 0 7 p0 S

(7)

评分标准:本题 25 分. (1)式 6 分, (2)式 4 分, 、 、 (3)(4)(5)式各 2 分, (6)式 5 分, (7)式 4 分. 七、由电容 C ? 、 C ?? 组成的串联电路的等效电容

C串 ?
由电容 C ? 、 C ?? 组成的并联电路的等效电容

C ?C ?? C ? ? C ??

C并 ? C ? ? C ??
利用此二公式可求得图示的 4 个混联电路 A、B 间的等效电容 Ca、Cb、Cc、Cd 分别为

Ca ?

C C ? C1C 3 ? C 2 C 3 C1C 2 ? C3 ? 1 2 ? C3 C1 ? C 2 C1 ? C 2 C1C 3 C C ? C1C 3 ? C 2 C 3 ? C2 ? 1 2 ? C2 C1 ? C 3 C1 ? C 3

(1)

Cb ?

(2)

Cc ?

?C1 ? C 2 ?C3 ?C1 ? C 2 ? ? C3 ?C1 ? C3 ?C 2 ?C1 ? C3 ? ? C 2

?

C1C 3 ? C 2 C 3 ? C3 C1 ? C 2 ? C 3 C1C 2 ? C 2 C3 ? C2 C1 ? C 2 ? C3

(3)

Cd ?
由(1)(3)式可知 、

?

(4)

Ca ? Cc
由(2)(4)式可知 、

(5)

C b ? Cd
由(1)(2)式可知 、

(6)

Ca ? C b
由(3)(4)式可知 、

(7)

Cc ? Cd
若 Ca ? Cd ,由(1)(4)式可得 、

(8)

C12 ? 2C1C2 ? C1C3 ? C2 C3 ? 0
因为 C1 、 C 2 和 C 3 均大于 0,上式不可能成立,因此

Ca ? Cd
若 C b ? Cc ,由(2)(3)式可得 、

(9)

C12 ? 2C1C3 ? C1C2 ? C2 C3 ? 0
因为 C1 、 C 2 和 C 3 均大于 0,上式不可能成立,因此

C b ? Cc
综合以上分析,可知这四个混联电路的等效电容没有一对是相等的. 评分标准:本题 25 分. (1)(2)(3)(4)式各 4 分,得到(5)(6)(7)(8)式各 1 分,得到(9)(10) 、 、 、 、 、 、 、 式共 5 分. 八、如图所示,用 v b 表示 a 转过 ? 角时 b 球速度的大小, v 表 示此时立方体速度的大小,则有 a O F

(10)

vb cos ? ? v

(1)

由于 b 与正立方体的接触是光滑的, 相互作用力总是沿水平 方向,而且两者在水平方向的位移相同,因此相互作用的作用 力和反作用力做功大小相同,符号相反,做功的总和为 0.因此 在整个过程中推力 F 所做的功应等于球 a 、 b 和正立方体机械 能的增量.现用 v a 表示此时 a 球速度的大小,因为 a 、 b 角速 度相同, Oa ?

??
3l 4

B

C

1 3 l , Ob ? l ,所以得 4 4 1 v a ? vb 3 根据功能原理可知

b A (2) D

l 1 ?l l ? 1 ? 3l 3l ? 1 2 2 F ? sin ? ? ma v a ? ma g ? ? cos ? ? ? mb v b ? mb g ? ? cos ? ? ? mv 2 4 2 ?4 4 ? 2 ?4 4 ? 2
(3) 将(1)(2)式代入可得 、

l 1 ?1 ? ?l l ? 1 ? 3l 3l ? 1 2 F ? sin ? ? ma ? vb ? ? ma g ? ? cos ? ? ? mb vb ? mb g ? ? cos ? ? ? m( vb cos ? ) 2 4 2 ?3 ? ?4 4 ? 2 ?4 4 ? 2
解得

2

vb ?

9l?F sin ? ? ?ma ? 3mb ?g ?1 ? cos ? ?? 2ma ? 18mb ? 18m cos 2 ?

(4)

评分标准:本题 30 分. (1)式 7 分, (2)式 5 分, (3)式 15 分, (4)式 3 分. 九、将整个导体棒分割成 n 个小线元, 小线元端点到轴线的距离分别为 r0(=0), 1,r2,??, r ri-1,ri,??,rn-1,rn(= a),第 i 个线元的长度为 Δri ? ri ? ri ?1 ,当 Δri 很小时,可以认为该 线元上各点的速度都为 vi ? ?ri ,该线元因切割磁感应线而产生的电动势为

ΔE ? Bvi Δri ? Kri? ri Δri ? K? ri2Δri i
整个棒上的电动势为

(1)

E ?

?
i ?1

n

ΔE ? K? i

? r Δr
2 i i ?1

n

i

(2)



?r ? Δr ?3 ? r 3 ? 3r 2 Δr ? 3r?Δr ?2 ? ?Δr ?3 ,
1 r 2 ?r ? [( r ? ?r ) 3 ? r 3 ] 3

略去高阶小量(Δr)2 及(Δr)3,可得

代入(2)式,得

E ?

n 1 1 1 K? (ri3 ? ri31 ) ? K?[( r13 ? r03 ) ? (r23 ? r13 ) ? ?? ? (rn3 ? rn3?1 )] ? K?a 3 ? 3 3 3 i ?1

?

(3)

由全电路欧姆定律,导体棒通过的电流为

E K ?a 3 ? R 3R 导体棒受到的安培力方向与棒的运动方向相反. I?
第 i 个线元 ?ri 受到的安培力为

(4)

Δf Ai ? BIΔri ? Kri IΔri
作用于该线元的安培力对轴线的力矩

(5)

ΔM i ? Δf Ai ? ri ? KIri2Δri
作用于棒上各线元的安培力对轴线的总力矩为

M?


?
i ?1

n

ΔM i ? KI

?
i ?1

n

ri2 Δri ?

n 1 1 KI (ri3 ? ri3 1 ) ? KIa 3 ? 3 3 i ?1

?

M?
因棒 A 端对导体圆环的正压力为

K 2 ωa 6 9R

(6)

1 1 mg,所以摩擦力为 ?mg ,对轴的摩擦力矩为 2 2 1 M ? ? ?mga 2

(7)

其方向与安培力矩相同,均为阻力矩.为使棒在水平面内作匀角速转动,要求棒对于 O 轴所受的合力矩为零,即外力矩与阻力矩相等,设在 A 点施加垂直于棒的外力为 f,则有

fa ? M ? M ?
由(6)、(7)、 (8)式得

(8)

f ?

K 2 ωa 5 1 ? μmg 9R 2

(9)

评分标准:本题 30 分. 求得(3)式得 10 分, (4)式 2 分;求得(6)式得 8 分, (7)式 4 分, (8)式 4 分, (9) 式 2 分.

第21届全国中学生物理竞赛预赛题试卷
本卷共九题,满分140分。 一、 (15分)填空 1.a.原子大小的数量级为__________m。 b.原子核大小的数量级为_________m。 c.氦原子的质量约为_________kg。 d.一个可见光光子的能量的数量级为_________J。 e.在标准状态下,1cm3 气体中的分子数约为____________。 - - (普朗克常量 h=6.63×10 34J·s 阿伏加德罗常量 NA=6.02×1023 mol 1) 2.已知某个平面镜反射的光能量为入射光能量的80%。试判断下列说法是否正确,并简 述理由。 a. 反射光子数为入射光子数的80%; b.每个反射光子的能量是入射光子能量的80%。 二、 (15分)质量分别为m1和m2的两个小物块用轻绳连结,绳 跨过位于倾角? =30?的光滑斜面顶端的轻滑轮,滑轮与转轴 之间的磨擦不计, 斜面固定在水平桌面上, 如图所示。 第一次, m1悬空,m2放在斜面上,用t表示m2自斜面底端由静止开始运 动至斜面顶端所需的时间。第二次,将m1和m2位置互换,使 m2悬空,m1放在斜面上,发现m1自斜面底端由静止开始运动 至斜面顶端所需的时间为t/3。求ml与m2之比。 三、 (15分)测定电子荷质比(电荷q与质量m之比q/m)的实验 装置如图所示。真空玻璃管内,阴极K发出的电子,经阳极A 与阴极K之间的高电压加速后,形成一束很细的电子流,电子流以平行于平板电容器极板的 速度进入两极板C、D间的区域。若两极板C、D间无电压,则离开极板区域的电子将打在荧 光屏上的O点;若在两极板间加上电压U,则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的P点; 若再在极板间加一方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场,则打到荧光屏上的电 子产生的光点又回到O点。现已知极板的长度l=5.00cm,C、D间的距离d=l.50cm,极板区 的中点M到荧光屏中点O的距离为L=12.50cm, U=200V, P点到O点的距离 y ? OP ? 3.0 cm; B=6.3×10 4T。试求电子的荷质比。 (不计重力影响) 。


四、 (15分)要使一颗人造地球通讯卫星(同步卫星)能覆盖赤道上东经75.0?到东经135.0? 之间的区域,则卫星应定位在哪个经度范围内的上空?地球半径R0=6.37×106m。地球表面 处的重力加速度g=9.80m/s2。 五、 (15分)如图所示,两条平行的长直金属细导轨KL、PQ固定于同一水平面内,它们之 间的距离为l,电阻可忽略不计;ab和cd是两根质量皆为m的金属细杆,杆与导轨垂直,且与 导轨良好接触,并可沿导轨无摩擦地滑动。两杆的电阻皆为R。杆cd的中点系一轻绳,绳的 另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为M的物体,滑轮与转轴之间的摩擦不计,滑轮与杆cd之 间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行。 导轨和金属细杆都处于匀强磁场中, 磁场方向垂 直于导轨所在平面向上,磁感应强度的大小为B。现两杆及悬物都从静止开始运动,当ab杆 及cd杆的速度分别达到v1和v2时, 两杆加速度 的大小各为多少?

六、 (15分)有一种高脚酒杯,如图所示。杯 内底面为一凸起的球面, 球心在顶点O下方玻 璃中的C点,球面的半径R=1.50cm,O到杯 口平面的距离为8.0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片,P点距O点6.3cm。这种酒杯未斟 酒时,若在杯口处向杯底方向观看,看不出画片上的景物,但如果斟了酒,再在杯 口处向杯底方向观看,将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n1=1.56,酒的折 射率n2=1.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。

七、 (15分)如图所示,B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗,放在光滑的水平桌面上。 A是质为mA的细长直杆,被固定的光滑套管C约束在竖直方向,A可自由上下运动。碗和杆 的质量关系为:mB=2mA。初始时,A杆被握住,使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触 (如图) 。然后从静止开始释放A,A、B便开始运动。设A杆的位置用? 表示,? 为碗面的 球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A与B速度的大小(表 示成? 的函数) 。

八、 (17分)如图所示的电路中,各电源的内阻均为零,其中B、C两点与其右方由1.0?的电 阻和2.0?的电阻构成的无穷组合电路相接。 求图中10?F的电容器与E点相接的极板上的电荷 量。

九、 (18分)如图所示,定滑轮B、C与动滑轮D组成一滑轮组,各滑轮与转轴间的摩擦、滑 轮的质量均不计。在动滑轮D上,悬挂有砝码托盘A,跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端 各挂有砝码2和3。一根用轻线(图中穿过弹簧的那条坚直线)拴住的压缩轻弹簧竖直放置在 托盘底上,弹簧的下端与托盘底固连,上端放有砝码1(两者未粘连) 。已加三个砝码和砝码 托盘的质量都是m,弹簧的劲度系数为k,压缩量为l0,整个系统处在静止状态。现突然烧断 栓住弹簧的轻线,弹簧便伸长,并推动砝码1向上运动,直到砝码1与弹簧分离。假设砝码1 在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰。 求砝码1从与弹簧分离 至再次接触经历的时间。

第21届全国中学生物理竞赛预赛参考解答
一、1. a. 10 10 - b. 10 15 - c. 6.6×10 27 - d. 10 19 e. 2.7×1019 2. a正确,b不正确。理由:反射时光频率? 不变,这表明每个 光子能量h? 不变。 评分标准:本题15分,第1问10分,每一空2分。第二问5分,其中结 论占2分,理由占3分。 二、第一次,小物块受力情况如图所示,设T1为绳中张力,a1为两物块加速度的大小,l为斜 面长,则有


m1g ? T1 ? m1a1
(1)

T1 ? m2 g sin ? ? m2 a1

(2)

1 l ? a1t 2 2

(3)

第二次,m1与m2交换位置.设绳中张力为T2,两物块加速度的大小为a2,则有

m2 g ? T2 ? m2 a2 T2 ? m1g sin ? ? m1a2
1 ?t? l ? a2 ? ? 2 ? 3?
2

(4) (5)

(6)

由(1)(2)式注意到? =30?得 、

a1 ?

2m1 ? m2 g 2(m1 ? m2 )

(7)

由(4)(5)式注意到? =30?得 、

a2 ?
由(3)(6)式得 、

2m2 ? m1 g 2(m1 ? m2 )

(8)

a1 ?

a2 9

(9)

由(7)(8)(9)式可解得 、 、

m1 11 ? m2 19

(10)

评分标准: 本题15分, 、 、 、 、 、 (1)(2)(3)(4)(5)(6)式各2分,求得(10)式再给3分。 三、设电子刚进入平行板电容器极板间区域时的速度为v0,因为速度方向平行于电容器的极 板,通过长度为l的极板区域所需的时间 t1=l/v0 (1) 当两极板之间加上电压时,设两极板间的场强为E,作用于电子的静电力的大小为qE方向垂 直于极板由C指向D,电子的加速度

a?


qE m U d

(2)

E?

(3)

因电子在垂直于极板方向的初速度为0,因而在时间t1内垂直于极板方向的位移

1 y1 ? at12 2
电子离开极板区域时,沿垂直于极板方向的末速度 vy=at1

(4)

(5)

设电子离开极板区域后,电子到达荧光屏上P点所需时间为t2 t2=(L-l/2)/v0 在t2时间内,电子作匀速直线运动,在垂直于极板方向的位移 y2=vyt2 P点离开O点的距离等于电子在垂直于极板方向的总位移 y=y1+y2 由以上各式得电子的荷质比为

(6) (7) (8)

2 q v0 d ? y (9) m UlL 加上磁场B后,荧光屏上的光点重新回到O点,表示在电子通过平行板电容器的过程中电子 所受电场力与磁场力相等,即 qE=qv0B (l0) 注意到(3)式,可得电子射入平行板电容器的速度 U (11) v0 ? Bd 代人(9)式得 q U (12) ? 2 y m B lLd 代入有关数据求得 q (13) ? 1.6 ?1011 C/kg m 评分标准: 本题15分. 、 (l)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)式各1分, 、 、 、 、 、 、 (10)式3分, (12) 、 (13)式各2分。 四、如图所示,圆为地球赤道,S为卫星所在处,用R表示卫星运动轨道的半径。由万 有引力定律、牛顿运动定律和卫星周期T(亦即地球自转周期)可得

Mm ? 2? ? G 2 ? mR ? ? R ? T ?

2

(1)

式中M为地球质量,G为万有引力常量,m为卫星质量 另有
2 GM ? R0 g

(2)

由图可知 Rcos? =R0 由以上各式可解得 (3)
1/3

? 4? 2 R ? ? ? arccos ? 2 0 ? ? T g ?

(4)

取T=23小时56分4秒(或近似取T=24小时) ,代入数值,可得 ? =81.3? (5) 由此可知,卫星的定位范围在东经135.0?-81.3?=53.7?到75.0?+81.3?=156.3?之间的上空。 评分标准: 本题15分. 、 、 (1)(2)(3)式各2分, 、 (4)(5)式共2分,得出最后结论再给7分。

五、用E 和I分别表示abdc回路的感应电动势和感应电流的大小,根据法拉第电磁感应定律 和欧姆定律可知 E =Bl(v2-v1) (1)

I?

E 2R

(2)

令F表示磁场对每根杆的安培力的大小,则 F=IBl (3) 令a1和a2分别表示ab杆cd杆和物体M加速度的大小, T表示绳中张力的大小, 由牛顿定律可知 F=ma1 (4) Mg-T=ma2 (5) T-F=ma2 (6) 由以上各式解得

a1 ?

B 2l 2 (v2 ? v1 ) 2 Rm

(7)

a2 ?

2MgR ? B 2l 2 (v2 ? v1 ) 2( M ? m) R

(8)

评分标准: 本题15分. (l)式3分, (2)式2分, (3)式3分, (4)(5)(6)式各1分, 、 、 、 (7)(8) 式各2分。 六、把酒杯放平,分析成像问题。

图1

1.未斟酒时,杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0=1。在图1中,P为画片中 心,由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中;由P发出的与PO成? 角的 另一光线PA在A处折射。设A处入射角为i,折射角为r,半径CA与PO的夹角为? ,由折射定 律和几何关系可得 n1sini=n0sinr (1) ? =i+? (2) 在△PAC中,由正弦定理,有

R PC ? sin ? sin i 考虑近轴光线成像,?、i、r 都是小角度,则有

(3)

r?

n1 i n0

(4)

??

R i PC

(5)

由(2)(4)(5)式、n0、nl、R的数值及 PC ? PO ? CO ? 4.8 cm可得 、 、

? =1.31i

r =1.56i 由(6)(7)式有 、 r>? (8) 由上式及图1可知,折射线将与PO延长线相交于P?,P? 即为P点的实像.画面将成实像于P? 处。 在△CAP? 中,由正弦定理有

(6) (7)

R CP? ? sin ? sin r
又有 r=? +? 考虑到是近轴光线,由(9)(l0)式可得 、

(9) (10)

CP? ?
又有

r R r ??

(11)

OP? ? CP? ? R
由以上各式并代入数据,可得

(12)

OP? ? 7.9 cm

(13)

由此可见,未斟酒时,画片上景物所成实像在杯口距O点7.9 cm处。已知O到杯口平面 的距离为8.0cm,当人眼在杯口处向杯底方向观看时,该实像离人眼太近,所以看不出画片 上的景物。 2.斟酒后,杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒,折射率分别为n1和n2,如图2所示, 考虑到近轴光线有

图2

r?

n1 i n2

(14)

代入n1和n2的值,可得 r=1.16i 与(6)式比较,可知

(15)

r<? (16) 由上式及图2可知,折射线将与OP延长线相交于P?,P? 即为P点的虚像。画面将成虚像于P? 处。计算可得

CP? ?
又有

r R ? ?r

(17)

OP? ? CP? ? R
由以上各式并代入数据得

(18)

OP? ? 13 cm

(19)

由此可见,斟酒后画片上景物成虚像于P?处,距O点13cm.即距杯口21 cm。虽然该虚 像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离, 但仍然离杯口处足够远, 所以人眼在 杯口处向杯底方向观看时,可以看到画片上景物的虚像。 评分标准: 本题15分.求得(13)式给5分,说明“看不出”再给2分;求出(l9)式,给5分,说 明“看到”再给3分。 七、由题设条件知,若从地面参考系观测,则任何时刻,A 沿竖直方向运动,设其速度为vA,B沿水平方向运动,设其速 度为vB,若以B为参考系,从B观测,则A杆保持在竖直方向, 它与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动, 速度的方向 与圆周相切,设其速度为VA。杆相对地面的速度是杆相对碗 的速度与碗相对地面的速度的合速度,速度合成的矢量图如 图中的平行四边形所示。由图得

VA sin? ? vA VA cos? ? vB
因而

(1) (2)

vB ? vA cot ?
由能量守恒

(3)

1 1 2 2 mA gR cos? ? mAvA ? mBvB 2 2
由(3)(4)两式及mB=2mA得 、

(4)

vA ? sin ?

2 gR cos? 1 ? cos 2 ? 2 gR cos? 1 ? cos 2 ?

(5)

vB ? cos?

(6)

评分标准: 本题(15)分. 、 (1)(2)式各3分, (4)式5分, 、 (5)(6)两式各2分。 八、设B、C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC,则题图中通有电流的电路可以简化为图1

中的电路。B、C右方的电路又可简化为图2的电路,其中 RB?C? 是虚线右方电路的等效电阻。 由于B?、C?右方的电路与B、C右方的电路结构相同,而且都是无穷组合电路,故有

RBC ? RB?C?
(1) 由电阻串、并联公式可得

RBC ? 1 ?

2 RB?C ? 2 ? RB?C ?

(2) 由式(1)(2)两式得 、
2 RBC ? RBC ? 2 ? 0

图1

图2

解得 RBC=2.0 ? (3) 图1所示回路中的电流为

I?

20 ? 10 ? 24 A=0.10 A 10 ? 30 ? 18 ? 2

(4)

电流沿顺时针方向。 设电路中三个电容器的电容分别为C1、C2和C3, 各电容器极板上的电荷分别为Q1、Q2和Q3,极性如图 3所示。由于电荷守恒,在虚线框内,三个极板上电荷 的代数和应为零,即 Q1+Q2-Q3=0 (5) A、E两点间的电势差

图3 (6)

U A ?UE ? ?
又有

Q1 Q3 ? C1 C3

U A ? U E ? (10 ? 30 ? 0.10)V=7.0 V
B、E两点间的电势差

(7)

UB ?UE ?
又有

Q2 Q3 ? C2 C3

(8)

U B ? U E ? (24 ? 20 ? 0.10)V=26 V

(9)

根据(5)(6)(7)(8)(9)式并代入C1、C2和C3之值后可得 、 、 、 、 - Q3=1.3×10 4C (10) -4 即电容器C3与E点相接的极板带负电,电荷量为1.3×10 C。 评分标准: 本题17分.求得(3)式给3分, (4)式1分, (5)(6)(7)(8)(9)(10)式各2 、 、 、 、 、

分,指出所考察的极板上的电荷是负电荷再给1分。

九、设从烧断线到砝码1与弹簧分离经历的时 间为△t,在这段时间内,各砝码和砝码托盘 的受力情况如图1所示:图中,F表示△t 时 间内任意时刻弹簧的弹力,T 表示该时刻跨 过滑轮组的轻绳中的张力,mg为重力,T0为 悬挂托盘的绳的拉力。因D的质量忽略不计, 有 图1 T0=2T (1) 在时间△t 内任一时刻,法码1向上运动,托盘向下运动,砝码2、3则向上升起,但砝 码2、3与托盘速度的大小是相同的。设在砝码1与弹簧分离的时刻,砝码1的速度大小为v1, 砝码2、3与托盘速度的大小都是v2,由动量定理,有

I F ? I mg ? mv1 IT ? I mg ? mv2 IT ? I mg ? mv2 I F ? I mg ? IT0 ? mv2

(2) (3) (4) (5)

式中IF、Img、IT、IT0分别代表力F、mg、T、T0在△t 时间内冲量的大小。注意到式(1) ,有 IT0=2IT (6) 由(2)(3)(4)(5)(6)各式得 、 、 、 、

1 v2 ? v1 3

(7)

在弹簧伸长过程中,弹簧的上端与砝码1一起向上运动,下端与托盘一起向下运动。以 △l1表示在△t 时间内弹簧上端向上运动的距离, 2表示其下端向下运动的距离。 △l 由于在弹 簧伸长过程中任意时刻,托盘的速度都为砝码1的速度的1/3,故有

1 ?l2 ? ?l1 3
另有

(8)

?l1 ? ?l2 ? l0

(9)

在弹簧伸长过程中, 机械能守恒, 弹簧弹性势能的减少等于系统动能和重力势能的增加, 即有

1 2 1 2 1 2 kl0 ? mv1 ? 3 ? mv2 ? mg?l1 ? mg?l2 ? 2mg?l2 2 2 2
由(7)(8)(9)(10)式得 、 、 、
2 v1 ?

(10)

3 ?1 2 ? ? kl0 ? mgl0 ? 2m ? 2 ?

(11)

砝码1与弹簧分开后, 砝码作上抛运动, 上升到最大高度经历时间为t1,有 v1=gt1 (12) 砝码2、3和托盘的受力情况如图2所示,以a 表示加速度的大小,有 mg-T=ma (13) mg-T=ma (14) T0-mg=ma (15) T0=2T (16) 由(14)(15)和(16)式得 、

图2

1 a? g 3
托盘的加速度向上,初速度v2向下,设经历时间t2,托盘速度变为零,有 v2=at2 由(7)(12)(17)和(18)式,得 、 、

(17)

(18)

t1 ? t2 ?

v1 g

(19)

即砝码1自与弹簧分离到速度为零经历的时间与托盘自分离到速度为零经历的时间相等。由 对称性可知,当砝码回到分离位置时,托盘亦回到分离位置,即再经历t1,砝码与弹簧相遇。 题中要求的时间

t总 ? 2t1
由(11)(12)(20)式得 、 、

(20)

t总 ?

2 3 ?1 2 ? ? kl0 ? mgl0 ? g 2m ? 2 ?

评分标准: 本题18分.求得(7)式给5分,求得(11)式给5分, (17)(19)(20)(21)式各2 、 、 、 分。

第二十届全国中学生物理竞赛预赛试卷(2003 年)
全卷共七题,总分为 140 分.
一、 (20 分)两个薄透镜 L1 和 L2 共轴放置, 如图所示.已知 L1 的焦距 f1=f , L2 的焦距 f2=—f,两透镜间距离也是 f.小物体位于物面 P 上,物距 u1 =3f. (1)小物体经这两个透镜所成的像在 L2 的 __________边,到 L2 的距离为_________,是 __________倍 (虚或实) ____________像 、 (正 或倒) ,放大率为_________________。 (2)现在把两透镜位置调换,若还要给定的

原 物 体 在 原 像 处 成 像 , 两 透 镜 作 为 整 体 应 沿 光 轴 向 ____________ 边 移 动 距 离 _______________.这个新的像是____________像(虚或实) 、______________像(正或倒) 放大率为________________。 二、(20 分)一个氢放电管发光,在其光谱中测得一条谱线的波长为 4.86×10-7m.试计算这 是氢原子中电子从哪一个能级向哪一个能级 (用量子数 n 表示) 跃迁时发出的?已知氢原子 - -18 基态(n=1)的能量为 El=一 13.6eV=-2.18×10 J,普朗克常量为 h=6.63×10 34J·s。 三、(20 分)在野外施工中,需要使质量 m=4.20 kg 的铝合金构件升温。除了保温瓶中尚存 有温度 t= 90.0℃的 1.200 kg 的热水外,无其他热源.试提出一个操作方案,能利用这些热 水使构件从温度 t0=10℃升温到 66.0℃以上(含 66.0℃) ,并通过计算验证你的方案.已知 3 -1 铝合金的比热容 c=0.880×l0 J·(Kg·℃) ,水的比热容 c0 =4.20×103J·(Kg·℃)-1,不计 向周围环境散失的热量。 四、 (20 分)从 z 轴上的 O 点发射一束电量为 q(>0) 、质量为 m 的带电粒子,它们速度 统方向分布在以 O 点为顶点、z 轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内(如图所示) ,速度的 大小都等于 v.试设计一种匀强磁场,能使这束带电粒子会聚于 z 轴上的另一点 M,M 点离 开 O 点的经离为 d.要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和最小值.不计粒子间的相 互作用和重力的作用.

五、(20 分)有一个摆长为 l 的摆(摆球可视为 质点, 摆线的质量不计) 在过悬挂点的竖直线上距悬挂点 O 的距 , 离为 x 处(x<l)的 C 点有一固定的钉子,如图所示,当摆摆动 时,摆线会受到钉子的阻挡.当 l 一定而 x 取不同值时,阻挡后摆 球的运动情况将不同.现将摆拉到位于竖直线的左方(摆球的高 度不超过 O 点) ,然后放手,令其自由摆动,如果摆线被钉子阻挡 后,摆球恰巧能够击中钉子,试求 x 的最小值.

六、(20 分)质量为 M 的运动员手持一质量为 m 的物块,以速率 v0 沿与水平面成 a 角的方向向前跳跃 (如图) 为了能跳得更远一点, . 运动员可在跳远全过程中的某一位置处, 沿某一方向把物块抛出. 物块抛出时相对运动员的 速度的大小 u 是给定的,物块抛出后,物块和运动员都在同一竖直平面内运动. (1)若运动员在跳远的全过程中的某 时刻 to 把物块沿与 x 轴负方向成某 θ 角的 方向抛出,求运动员从起跳到落地所经历 v0 的时间. (2)在跳远的全过程中,运动员在何处 把物块沿与 x 轴负方向成 θ 角的方向抛出, 能使自己跳得更远?若 v0 和 u 一定,在什 么条件下可跳得最远?并求出运动员跳的 最大距离. 七、 (20 分)图预 20-7-1 中 A 和 B 是真空中的两块面积很大的平行金属板、加上周期为 T 的交流电压,在两板间产生交变的匀强电场.己知 B 板电势为零,A 板电势 UA 随时间变化

的规律如图预 20-7-2 所示,其中 UA 的最大值为的 U0,最小值为一 2U0.在图预 20-7-1 中, 虚线 MN 表示与 A、B 扳平行等距的一个较小的面,此面到 A 和 B 的距离皆为 l.在此面所 在处,不断地产生电量为 q、质量为 m 的带负电的微粒,各个时刻产生带电微粒的机会均 等.这种微粒产生后,从静止出发在电场力的作用下运动.设微粒一旦碰到金属板,它就附 在板上不再运动,且其电量同时消失,不影响 A、B 板的电压.己知上述的 T、U0、l,q 和 m 等各量的值正好满足等式

3 U0q ? T ? l ? ? ? 16 2m ? 2 ?
2

2

若在交流电压变化的每个周期 T 内,平均产主 320 个上述微粒,试论证在 t=0 到 t=T/2 这段时间内产主的微粒中,有多少微粒可到达 A 板(不计重力,不考虑微粒之间的相互作 用) 。

第二十届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案、评分标准
一、参考解答 (1) 右 f 实 倒 1 。 (2) 左 2f 实 倒 1 。 评分标准:本题 20 分,每空 2 分。 二、参考解答 波长 ? 与频率? 的关系为 光子的能量为

??

c

?



(1) (2)

E? ? h? ,

由式(1)(2)可求得产生波长 ? ? 4.86 ? 10?7 m 谱线的光子的能量 、

E? ? 4.09 ?10?19 J
氢原子的能级能量为负值并与量子数 n 的平方成反比:

(3)

En ? ?k

1 , n ? 1,2,3,? n2

(4)

式中 k 为正的比例常数。氢原子基态的量子数 n ? 1,基态能量 E1 已知,由式(4)可得出

k ? ? E1

(5)

把式(5)代入式(4) ,便可求得氢原子的 n ? 2,3,4,5,? 各能级的能量,它们是

1 k ? ?5.45 ?10?19 J, 22 1 E3 ? ? 2 k ? ?2.42 ?10?19 J, 3 1 E4 ? ? 2 k ? ?1.36 ?10?19 J, 4 1 E5 ? ? 2 k ? ?8.72 ?10?20 J。 5 E2 ? ?
比较以上数据,发现

E? ? E4 ? E2 ? 4.09 ?10?19 J。
所以,这条谱线是电子从 n ? 4 的能级跃迁到 n ? 2 的能级时发出的。 评分标准:本题 20 分。 式(3)4 分,式(4)4 分,式(5)4 分,式(6)及结论共 8 分。

(6)

三、参考解答 1. 操作方案:将保温瓶中 t ? 90.0 ℃的热水分若干次倒出来。第一次先倒出一部分,与 温度为 t0 ? 10.0 ℃的构件充分接触,并达到热平衡,构件温度已升高到 t1 ,将这部分温度为

t1 的水倒掉。 再从保温瓶倒出一部分热水, 再次与温度为 t1 的构件充分接触, 并达到热平衡,
此时构件温度已升高到 t 2 ,再将这些温度为 t 2 的水倒掉。然后再从保温瓶中倒出一部分热水 来使温度为 t 2 的构件升温??直到最后一次, 将剩余的热水全部倒出来与构件接触, 达到热 平衡。只要每部分水的质量足够小,最终就可使构件的温度达到所要求的值。 2. 验证计算:例如,将 1.200kg 热水分 5 次倒出来,每次倒出 m0 =0.240kg,在第一次 使热水与构件达到热平衡的过程中,水放热为

Q1 ? c0 m0 (t ? t1 )
构件吸热为

(1)

Q1? ? cm(t1 ? t0 )
由 Q1 ? Q1? 及题给的数据,可得

(2)

t1 =27.1℃
同理,第二次倒出 0.240kg 热水后,可使构件升温到

(3)

t 2 =40.6℃

(4)

依次计算出 t1 ~ t5 的数值,分别列在下表中。 倒水次数/次 平衡温度/℃ 可见 t5 =66.0℃时,符合要求。 附:若将 1.200kg 热水分 4 次倒,每次倒出 0.300kg,依次算出 t1 ~ t 4 的值,如下表中的数 据: 倒水次数/次 平衡温度/℃ 1 30.3 2 45.50 3 56.8 4 65.2 1 27.1 2 40.6 3 51.2 4 59.5 5 66.0

由于 t 4 =65.2℃<66.0℃,所以如果将热水等分后倒到构件上,则倒出次数不能少于 5 次。 评分标准:本题 20 分。 设计操作方案 10 分。操作方案应包含两个要点:①将保温瓶中的水分若干次倒到构件上。 ②倒在构件上的水与构件达到热平衡后,把与构件接触的水倒掉。 验证方案 10 分。使用的验证计算方案可以与参考解答不同,但必需满足两条:①通过计算 求出的构件的最终温度不低于 66.0℃。②使用的热水总量不超过 1.200kg。这两条中任一条 不满足都不给这 10 分。例如,把 1.200kg 热水分 4 次倒,每次倒出 0.300kg,尽管验算过程 中的计算正确,但因构件最终温度低于 66.0℃,不能得分。 v? v 四、参考解答 vz ? 设计的磁场为沿 z 轴方向的匀强磁场, O 点和 M 点 vz 都处于这个磁场中。下面我们根据题意求出这种磁场的 磁感应强度的大小。粒子由 O 点射出就进入了磁场,可 将与 z 轴成 ? 角的速度分解成沿磁场方向的分速度 vZ 和 垂直于磁场方向的分速度 v? (见图预解 20-4-1) ,注意到 ? 很小,得

vZ ? v cos? ? v v? ? v sin? ? v?

(1) (2)

粒子因具有垂直磁场方向的分速度,在洛仑兹力作用下作圆周运动,以 R 表示圆周的半径, 有

qBv? ? m
圆周运动的周期

2 v? R

T?
由此得

2? R v?

T?

2? m qB

(3)

可见周期与速度分量 v? 无关。 粒子因具有沿磁场方向的分速度,将沿磁场方向作匀速直线运动。由于两种分速度同 时存在,粒子将沿磁场方向作螺旋运动,螺旋运动 螺距为

h ? v T? v T Z

(4)

由于它们具有相同的 v ,因而也就具有相同的螺距; 又由于这些粒子是从同一点射出的,所以经过整数 个螺距(最小是一个螺距)又必定会聚于同一点。 只要使 OM 等于一个螺距或一个螺距的 n (整数) 倍,由 O 点射出的粒子绕磁场方向旋转一周(或若 干周后)必定会聚于 M 点,如图 20-4-2 所示。所以 d ? n h n =1,2,3,? , (5) 由式(3)(4)(5)解得 、 、

B?

2? mvn , n =1,2,3,? qd

(6)

这就是所要求磁场的磁感应强度的大小,最小值应取 n =1,所以磁感应强度的最小值为

B?

2? mv 。 qd

(7)

评分标准:本题 20 分。 磁场方向 2 分,式(3)(4)各 3 分,式(5)5 分,求得式(6)给 5 分,求得式(7)再 、 给 2 分。 五、参考解答 摆线受阻后在一段时间内摆球作圆周运动,若摆球的质量 为m, 则摆球受重力 mg 和摆线拉力 T 的作用, 设在这段时间内 任一时刻的速度为 v ,如图预解 20-5 所示。用 ? 表示此时摆线 与重力方向之间的夹角,则有方程式

mv 2 (1) l?x 运动过程中机械能守恒,令 ? 表示摆线在起始位置时与竖直方 向的夹角,取 O 点为势能零点,则有关系 1 (2) ?mgl cos? ? mv2 ? mg[ x ? (l ? x)cos? )] 2 摆受阻后,如果后来摆球能击中钉子,则必定在某位置时 摆线开始松弛,此时 T =0,此后摆球仅在重力作用下作斜抛运 T ? mg c o ? ? s
动。设在该位置时摆球速度 v ? v0 ,摆线与竖直线的夹角 ? ? ? 0 ,由式(1)得
2 v0 ? g (l ? x)cos?0 ,

(3)

代入(2)式,求出

2l cos? ? 3( x ? l )cos? 0 ? 2 x
要求作斜抛运动的摆球击中 C 点,则应满足下列关系式:

(4)

(l ? x)sin ?0 ? v0 cos?0t ,

(5) (6)

1 (l ? x)cos?0 ? ?v0 sin ?0t ? gt 2 2 利用式(5)和式(6)消去 t ,得到
2 v0 ?

g (l ? x)sin 2 ? 0 2cos? 0

(7)

由式(3)(7)得到 、

cos? 0 ?
代入式(4) ,求出

3 3

(8)

? ? arccos ?

? x(2 ? 3) ? l 3 ? ? 2l ? ?

(9)

? 越大, cos ? 越小, x 越小, ? 最大值为 ? / 2 ,由此可求得 x 的最小值:

x(2 ? 3) ? 3l ,
所以

x ? (2 3 ? 3)t ? 0.464l

(10)

评分标准:本题 20 分。 式(1)1 分,式(2)3 分,式(3)2 分,式(5)(6)各 3 分,式(8)3 分,式(9)1 、 分,式(10)4 分。 六、参考解答 (1)规定运动员起跳的时刻为 t ? 0 ,设运动员在 P 点(见图预解 20-6)抛出物块,以 t 0 表 示运动员到达 P 点的时刻,则运动员在 P Vpy ux v0 Vpx

y 点的坐标 xP 、 P 和抛物前的速度 v 的分量

v px 、 v py 分别为 v px ? v0 cos? , v py ? v0 sin? ? gt0 x p ? v0 cos? t0 ,
(1) (2) (3) (4)

?

uy

1 2 y p ? v0 sin?t0 ? gt0 2

设在刚抛出物块后的瞬间,运动员的速度 V 的分量大小分别为 V px 、 V py ,物块相对运 动员的速度 u 的分量大小分别为 u x 、 u y ,方向分别沿 x 、负 y 方向。由动量守恒定律可知

MVpx ? m(Vpx ? ux ) ? (M ? m)v px , MVpy ? m(Vpy ? u y ) ? (M ? m)v py
因 u 的方向与 x 轴负方向的夹角为 ? ,故有

(5) (6)

u x ? u cos?

(7) (8)

u y ? u sin?
解式(1)(2)(5)(6)和式(7)(8) 、 、 、 、 ,得

Vpx ? v0 cos? ? Vpy

mu cos? M ?m mu sin? ? v0 sin? ? gt0 ? M ?m

(9) (10)

抛出物块后, 运动员从 P 点开始沿新的抛物线运动, 其初速度为 V px 、 py 。 t 时刻 t ? t0 ) 在 ( V 运动员的速度和位置为

Vx ? Vpx , Vy ? Vpy ? g (t ? t0 ) ,

(11) (12) (13) (14)

x ? x p ? Vpx (t ? t0 ) ? (v0 cos? ?

mux mux )t ? t0 , M ?m M ?m

1 y ? y p ? Vpy (t ? t0 ) ? g (t ? t0 )2 2
由式(3)(4)(9)(10)(13)(14)可得 、 、 、 、 、

mu cos? ? x ? ? v0 cos? ? M ?m ? mu sin ? ? y ? 2 ? v0 sin ? ? M ?m ?
运动员落地时,

? mu cos? t0 ?t ? M ?m ?

(15)

2mu sin ? ? 2 t0 ? t ? gt ? M ?m ?

(16)

y?0
由式(16)得

mu sin ? ? gt 2 ? 2 ? v0 sin ? ? M ?m ?
方程的根为

? 2mu sin ? t0 ? 0 , ?t ? M ?m ?

(17)

t?

v0 sin ? ?

mu sin ? mu sin ? 2 mu sin ? ? (v0 sin ? ? ) ? 2g t0 M ?m M ?m M ?m g

(18)

式(18)给出的两个根中,只有当“ ? ”取“+”时才符合题意,因为从式(12)和式(10) , 可求出运动员从 P 点到最高点的时间为式

? mu sin ? ? v0 sin ? ? ? ? ? M ?m ? g
而从起跳到落地所经历的时间应比上面给出的时间大,故从起跳到落地所经历的时间为

t?

v0 sin ? ?

mu sin ? mu sin ? 2 mu sin ? ? (v0 sin ? ? ) ? 2g t0 M ?m M ?m M ?m g

(19)

(2)由式(15)可以看出, t 越大, t 0 越小,跳的距离 x 越大,由式(19)可以看出,当

t 0 =0
时, t 的值最大,由式(3)和式(4)可知,抛出物块处的坐标为

xp ? 0 , y p ? 0

(20)

即应在原点亦即在刚起跳时把物块抛出,运动员可跳得远一点。由式(19)可以得到运动员 自起跳至落地所经历的时间为

T ?2

v0 sin ? m u sin ? ?2 g M ?m g

把 t0 ? 0 和 t ? T 代入式(15) ,可求得跳远的距离,为

x?
可见,若

2 v0 sin 2? 2mv0u m2u 2 ? sin(? ? ? ) ? sin 2? g ( M ? m) g ( M ? m)2 g

(21)

sin 2? ? 1, sin(? ? ? ) ? 1, sin 2? ? 1 ,

? ?? /4 , ? ?? /4 即 (22) 时,x 有最大值, 即沿与 x 轴成 45?方向跳起, 且跳起后立即沿与负 x 轴成 45?方向抛出物块, 则 x 有最大值,此最大值为
xm ?
2 v0 2mv0u m2u 2 ? ? g ( M ? m) g ( M ? m ) 2 g

(23)

评分标准:本题 20 分。 第一小问 13 分:求得式(15)(16)各 3 分,式(17)2 分,求得式(19)并说明“ t ”取 、 “+”的理由给 5 分。第二小问 7 分:式(20)2 分,式(22)2 分,式(23)3 分。

七、参考解答 在电压为 U 0 时,微粒所受电场力为 U 0 q / 2l ,此时微粒的加速度为 a0 ? U 0 q / 2lm 。将 此式代入题中所给的等式,可将该等式变为

3 ?T ? l ? a0 ? ? 16 ? 2 ?

2

(1)

现在分析从 0 到 T / 2 时间内,何时产生的微粒在电场力的作用下能到达 A 板,然后计 算这些微粒的数目。 在 t ? 0 时产生的微粒,将以加速度 a0 向 A 板运动,经 T / 2 后,移动的距离 x 与式(1) 相比,可知

1 ?T ? x ? a0 ? ? ? l 2 ?2?

2

(2)

即 t ? 0 时产生的微粒,在不到 T / 2 时就可以到达 A 板。在 U A ? U 0 的情况下,设刚能到达 A 板的微粒是产生在 t ? t1 时刻,则此微粒必然是先被电压 U 0 加速一段时间 ?t1 ,然后再被 电压 ?2U 0 减速一段时间,到 A 板时刚好速度为零。用 d 1 和 d2 分别表示此两段时间内的位 移, v1 表示微粒在 ?t1 内的末速,也等于后一段时间的初速,由匀变速运动公式应有

1 d1 ? a0 (?t1 )2 2
0 ? v12 ? 2(?2a0 )d2
又因

(3) (4)

v1 ? a0 ?t1 , d1 ? d2 ? l ,

(5) (6) (7)

t1 ? ?t1 ?
由式(3)到式(7)及式(1) ,可解得

T , 2

t1 ?

T , 2

(8)

这就是说, U A ? U 0 的情况下, t ? 0 到 t ? T / 4 这段时间内产生的微粒都可到达 A 板 在 从 (确 切地说,应当是 t ? T / 4 ) 。 为了讨论在 T / 4 ? t ? t / 2 这段时间内产生的微粒的运动情况, 先设想有一静止粒子在 A 板附近,在 U A ? ?2U 0 电场作用下,由 A 板向 B 板运动,若到达 B 板经历的时间为 ? ,则



1 2l ? (2a0 )? 2 2
根据式(1)可求得

??

3 1 ? T 2 4

由此可知,凡位于 MN 到 A 板这一区域中的静止微粒,如果它受 U ? ?2U 0 的电场作用时间 大于 ? ,则这些微粒都将到达 B 板。 在 t ? T / 4 发出的微粒, U A ? U 0 的电场作用下, A 板加速运动, 在 向 加速的时间为 T / 4 , 接着在 U A ? ?2U 0 的电场作用下减速, 由于减速时的加速度为加速时的两倍, 故经过 T / 8 微 粒速度减为零。由此可知微粒可继续在 U A ? ?2U 0 的电场作用下向 B 板运动的时间为

?1 ? T ? T ? T ? ? T
由于 ? 1 ? ? ,故在 t ? T / 4 时产生的微粒最终将到达 B 板(确切地说,应当是 t ? T / 4 ) ,不 会再回到 A 板。 在 t 大于 T / 4 但小于 T / 2 时间内产生的微粒,被 U A ? U 0 的电场加速的时间小于 T / 4 , 在 U A ? ?2U 0 的电场作用下速度减到零的时间小于 t ? T / 8 ,故可在 U A ? ?2U 0 的电场作用 下向 B 板运动时间为

1 2

1 8

3 8

3 1 2 4

? ? ? T ? T ? ?1
所以这些微粒最终都将打到 B 板上,不可能再回到 A 板。 由以上分析可知,在 t ? 0 到 t ? T / 2 时间内产生的微粒中,只有在 t ? 0 到 t ? T / 4 时间 内产生的微粒能到达 A 板,因为各个时刻产生带电微粒的机会均等,所以到达 A 板的微粒 数为

1 2

1 8

1 N ? 320 ? ? 80 4

(9)

评分标准:本题 20 分。 论证在 t ? 0 到 t ? T / 4 时间内产生的微粒可能到达 A 板给 10 分;论证 t ? T / 4 到 t ? T / 2 时 间内产生的微粒不能到达 A 板给 6 分。求得最后结果式(9)再给 4 分。



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