2012-2013学年上海市十二校高三联考数学文科试卷(2012-12-6)

上海市十二校 2012-2013 学年第一学期高三 12 月联考数学（文科）试卷
满分：150 分；时间：120 分钟
2012 年 12 月 6 日

14 、 对 于 定 义 域 和 值 域 均 为 [ 0 , 1] 函 数 f(x) ， 定 义 f1 ( x) ? f ( x) f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ， ? ， 的 ，

fn ( x )? f (fn?1 x )，n=1，2，3，?．满足 fn ( x) ? x 的点称为 f 的 n 阶周期点． ( )
1 ? 0? x? , ? 2 x, ? 2 则 f 的 阶周期点的个数是 设 f ( x) ? ? 2 ?2 ? 2 x, 1 ? x ? 1, ? ? 2
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相 应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分． 15、 x ? 4 ”是“ x ? 3 ? 0 ”的 “ A．充分非必要条件 ???（ ） Ｄ．既非充分又非必要条件 ) D. y ? ?

一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果， 每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1、函数 f ( x) ? log 1 (2 x ? 1) 的定义域为
2

．

2、设集合 A ? {x | ?

1 ? x ? 2}, B ? {x x 2 ? 1} ，则 A ? B ? _________ 2

3、已知角 ? 的终边过点 P(?3, 4) ,则 sin ? ? cos ? 的值为_______ 4、若函数 f ? x ? ?

x ? 1的反函数为 f ?1 ? x ? ，则方程 f ?1 ( x) ? 4 的解为 x =________

5、若 0 ? x ? ? ，则方程 2 ? cos x ? 1 ? 0 的解 x ? 6、设等差数列 {an } 的前 n 项之和为 Sn 满足 S10 ? S5 ? 20 ，那么 a8 =

B．必要非充分条件Ｃ．充要条件

16、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(

?? ? 7、若函数 f ( x ) ? 2 sin ? ax ? ? 3? ?

? a ? 0? 的最小正周期为 ? ，则 f (

?
2

) ? _____

A. y ? x3 , x ? R

B. y ? sin x, x ? R

C. y ? lg x, x ? 0

x ?3? ? ,x?R ?2?
）

8、已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 3) x ? 3, x ? [2a ? 3,4 ? a] 是偶函数,则 a ? b ? _____. 9、某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元， 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x ? 吨．

17、函数 y ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ?

? ?

??

? 的图像如图所示，则 y 的表达式为( 2?
2
2 1.5 1

A． y ? 2sin ?

? 10 x ? ? ? ? ? 11 6 ?

B． y ? 2sin ?

? 10 x ? ? ? ? ? 11 6 ?
-1

0.5

10、已知等比数列 {an } 的各项和为 1，则 a1 的取值范围为______

O
-0.5 -1

?
6

2? 3
1 2 3 4 5

11、已知 tan(

?
4

??) ＝

sin 2? ? 2 cos ? 1 ，则 的值为______ 2 1 ? cos 2?
2

?? ? C． y ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?
18、已知数列 {an } 中， a1 ? 设 bn ? an?1 ? an ? 1 A．等比数列

?? ? D． y ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?

-1.5

-2
-2

1 ，点 (n, 2an?1 ? an ) 在直线 y ? x 上，其中 n ? 1, 2,3,?,? 2
（ ） D．既不是等比数列也不是等比数列

(n ? 1, 2,3, 4) ?n 12、已知数列 ?an ? 满足 an ? ? ，则 a2013 ? ___________ ??an ? 4 (n ? 5 , n ? N )

，则数列{bn } 是 B．等差数列

13、设函数 f ( x) ? b cos x ? c sin x 的图象经过两点 (0,1) 和 (

?
2

, 3) ，对一切 x ??0, ? ? ，

C．常数数列

| f ( x) ? a |? 3 恒成立，则实数 a 的的取值范围_______

1

三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤． 19、 （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分. 23、 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分. 已知数列 {an } ，如果数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , bn ? an ? an?1 (n ? 2, n ? N ) ，则称数列 {bn } 是数列 {an } 的
*

1 2x ?1 ? 0} B ? {x | x 2 ? ax ? b ? 0} ，且 A ? B ? {x | ? x ? 3} ， A ? B ? R ， ， 已知 A ? {x | x?2 2
求（1） A （2）实数 a ? b 的值.

“生成数列” （1）若数列 {an } 的通项为 an ? n ，写出数列 {an } 的“生成数列” {bn } 的通项公式 （2）若数列 {cn } 的通项为 cn ? 2n ? b , 数列，请说明理由。 （3）已知数列 {dn } 的通项为 dn ? 2 ? n ，设数列 {dn } 的“生成数列” { pn } 的前 n 项和为 Tn
n

(其中 b 是常数)，试问数列 {cn } 的“生成数列”{ln } 是否是等差

20、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第（1）小题满分 7 分，第（2）小题满分 7 分. 在 △ ABC 中，内角 A, B, C 所对的边长分别是 a, b, c . （1）若 a ? 4 ， C ?

?
3

，且 △ ABC 的面积 S ? 3 ，求 b, c 的值；

问是否存在自然数 m 满足满足 (Tm ? 2012)(Tm ? 6260) ? 0 ，若存在请求出 m 的值，否则请说明理由。

（2）若 sin(B ? A) ? sin(B ? A) ? sin 2 A ，试判断 △ ABC 的形状

21、 （本题满分 14 分）本题有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 若函数 f ( x ) 在定义域 D 内某区间 I 上是增函数， F ( x) ? 而 是“弱增函数” (1)请分别判断 f ( x ) = x ? 4 ， g ( x) ? x2 ? 4 x 在 x ? (1, 2) 是否是“弱增函数” ，并简要说明理由。 （2） 证明函数 h( x) ? x2 ? a2 x ? 4 ( a 是常数且 a ? R )在 (0， 上是“弱增函数” 。 1]

f ( x) 在 I 上是减函数， 则称 y ? f ( x) 在 I 上 x

22、 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分. 已知 f ( x) ?

2x ? a （ a ? R ）是奇函数. 2x ? 1
4 ? 1 的零点； 2 ?1
x

（1）求 a 的值 （2）求函数 F ( x) ? f ( x) ? 2 ?
x

（3）设 g ( x) ? log 4

k?x 1 2 ?1 ，若方程 f ( x) ? g ( x) 在 x ? [ , ] 上有解,求实数 k 的取值范围. 1? x 2 3

2

上海市十二校 2012-2013 学年第一学期高三 12 月联考数学（文科）试卷参考答案
一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果， 每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1、函数 f ( x) ? log 1 (2 x ? 1) 的定义域为
2

fn ( x )? f (fn?1 x )，n=1，2，3，?．满足 fn ( x) ? x 的点称为 f 的 n 阶周期点． ( )
1 ? 0? x? , ? 2 x, ? 2 则 f 的 阶周期点的个数是 设 f ( x) ? ? 2 ?2 ? 2 x, 1 ? x ? 1, ? ? 2

4

． (? , ??)

1 2

1 ? 1 ? 2、设集合 A ? {x | ? ? x ? 2}, B ? {x x 2 ? 1} ，则 A ? B ? _________ ? ? ,1 ? 2 ? 2 ?
3、已知角 ? 的终边过点 P(?3, 4) ,则 sin ? ? cos ? 的值为_______ 4、若函数 f ? x ? ?

二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相 应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分． 15、 x ? 4 ”是“ x ? 3 ? 0 ”的 “ A．充分非必要条件 Ｃ．充要条件 ???（ B．必要非充分条件 Ｄ．既非充分又非必要条件 )A ）A

1 5

x ? 1的反函数为 f ?1 ? x ? ，则方程 f ?1 ( x) ? 4 的解为 x =________3
2 ? 3
4

5、若 0 ? x ? ? ，则方程 2 ? cos x ? 1 ? 0 的解 x ?

16、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( A. y ? x3 , x ? R C. y ? lg x, x ? 0 B. y ? sin x, x ? R D. y ? ?

6、设等差数列 {an } 的前 n 项之和为 Sn 满足 S10 ? S5 ? 20 ，那么 a8 = 7、若函数 f ( x ) ? 2 sin ? ax ?

? ?

??
? 3?

? a ? 0? 的最小正周期为 ? ，则 f (

?
2

) ? _____ ? 3

x ?3? ? ,x?R ?2?

8、已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 3) x ? 3, x ? [2a ? 3,4 ? a] 是偶函数,则 a ? b ? _____. 2 9、某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元， 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x ? 吨．20

17、函数 y ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ?

? ?

??

? 的图像如图所示，则 y 的表达式为( 2?
2
2 1.5 1

）C

A． y ? 2sin ?

? 10 x ? ? ? ? ? 11 6 ?

B． y ? 2sin ?

? 10 x ? ? ? ? ? 11 6 ?
-1

0.5

10、已知等比数列 {an } 的各项和为 1，则 a1 的取值范围为______ (0,1) ? (1, 2)

O
-0.5 -1

?
6

2? 3
1 2 3 4 5

sin 2? ? 2 cos 2 ? 1 2 11、已知 tan( ? ? ) ＝ ，则 的值为______ 4 2 3 1 ? cos 2?

?

?? ? C． y ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?
18、已知数列 {an } 中， a1 ? 设 bn ? an?1 ? an ? 1 A．等比数列

?? ? D． y ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?

-1.5

-2
-2

(n ? 1, 2,3, 4) ?n 12、已知数列 ?an ? 满足 an ? ? ，则 a2013 ? _____________-1 ??an ? 4 (n ? 5 , n ? N )

1 ，点 (n, 2an?1 ? an ) 在直线 y ? x 上，其中 n ? 1, 2,3,?,? 2
（ ）A D．既不是等比数列也不是等比数列

，则数列{bn } 是 B．等差数列

13、设函数 f ( x) ? b cos x ? c sin x 的图象经过两点 (0,1) 和 (

?
2

, 3) ，对一切 x ??0, ? ? ，

C．常数数列

| f ( x) ? a |? 3 恒成立，则实数 a 的的取值范围_______ ??2,1?
14 、 对 于 定 义 域 和 值 域 均 为 [ 0 , 1] 函 数 f(x) ， 定 义 f1 ( x) ? f ( x) f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ， ? ， 的 ，
3

三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤． 19、 （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分.

证明函数 h( x) ? x2 ? a2 x ? 4 ( a 是常数且 a ? R )在 (0， 上是“弱增函数” 。 1] 解： （1）由于 f ( x ) = x ? 4 在 (1, 2) 上是增函数，且 F ( x) = 所以 f ( x ) = x ? 4 在 (1, 2) 上是“弱增函数”

f ( x) 4 ? 1 ? 在 (1, 2) 上是减函数， x x
3分

1 2x ?1 ? 0} B ? {x | x 2 ? ax ? b ? 0} ，且 A ? B ? {x | ? x ? 3} ， A ? B ? R ， ， x?2 2 求（1） A （2）实数 a ? b 的值.
已知 A ? {x | 解：依题意 A ? ( ??，? 2) ? ( ，? ?)

g ( x) ? x2 ? 4 x 在 (1, 2) 上是增函数，但

1 2

g ( x) ? x ? 4 在 (1, 2) 上不是减函数， x
6分 8分

4分

所以 g ( x) ? x2 ? 4x ? 2 在 (1, 2) 上不是“弱增函数” （2）显然易得 h( x) ? x2 ? a2 ? x ? 4 在 (0， 上是增函数 1] 下面证明函数 F ( x) =

A 由 A ? B ? R， ? B ? {x |

1 ? x ? 3} 得 ∴ B ? {x | ?2 ? x ? 3} 2
9分

7 分，

即方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的解是 x1 ? ?2，x2 ? 3 于是 a ? ?( x1 ? x2 ) ? ?1 ， b ? x1 x2 ? ?6 ， ∴ a ? b ? ?7

h( x ) 4 ? x ? ? a 2 在 (0，1] 上是减函数 x x

11 分 12 分

设 0 ? x1 ? x2 ? 1， 则 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? ( x1 ?

20、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第（1）小题满分 7 分，第（2）小题满分 7 分. 在 △ ABC 中，内角 A, B, C 所对的边长分别是 a, b, c . （1）若 a ? 4 ， C ?

( x ? x )( x x ? 4) 4 4 ? a 2 ) ? ( x2 ? ? a 2 ) ? 1 2 1 2 x1 x2 x1 x2
11 分

10 分

?
3

∵ 0 ? x1 ? x2 ? 1，∴ x1 ? x2 ? 0 ， 0 ? x1 x2 ? 1 ， ∴ F ( x1 ) ? F ( x2 ) ?

，且 △ ABC 的面积 S ? 3 ，求 b, c 的值；

（2）若 sin(B ? A) ? sin(B ? A) ? sin 2 A ，试判断 △ ABC 的形状 解： （1）因为 △ ABC 的面积等于 3 ，所以
2 2 2

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? b) ?0 x1 x2

12 分

1 ab sin C ? 3 ，得到 b ? 1 2

4分 7分 9分

即 F ( x) 在 (0， 上单调递减， 1] 所以 h( x) 在 (0， 上是“弱增函数” ； 1]

13 分 14 分

由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab ? cos C =13 （2）由题意得 sin B cos A ? sin A cos A ， 当 cos A ? 0 时， A ?

c ? 13

22、 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分.

? ， △ ABC 为直角三角形 11 分 2 当 cos A ? 0 时，得 sin B ? sin A ，由正弦定理得 a ? b ，所以， △ ABC 为等腰三角形 13 分 所以 △ ABC 是等腰或直角三角形 14 分
21、 （本题满分 14 分）本题有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 若函数 f ( x ) 在定义域 D 内某区间 I 上是增函数， F ( x) ? 而 是“弱增函数” (1)请分别判断 f ( x ) = x ? 4 ， g ( x) ? x ? 4 x 在 x ? (1, 2) 是否是“弱增函数” ，并简要说明理由。 （2）
2

2x ? a 已知 f ( x) ? x （ a ? R ）是奇函数. 2 ?1
（1）求 a 的值 （2）求函数 F ( x) ? f ( x) ? 2 ?
x

f ( x) 在 I 上是减函数， 则称 y ? f ( x) 在 I 上 x

4 ? 1 的零点； 2 ?1
x

（3）设 g ( x) ? log 4

k?x 1 2 ?1 ，若方程 f ( x) ? g ( x) 在 x ? [ , ] 上有解,求实数 k 的取值范围. 1? x 2 3

解： （1）由 f (0) ? 0 得

a ?1

2分

4

验证知当 a ? 1 时， f ( x) ?

2x ? 1 2x ? 1

此时 f ( x) ? ? f (? x) ，所以 f ( x ) 在 R 上的奇函数， 4 分

解： （1） bn ? ?

?1 ? 2n ? 1

n ?1 n ? 2 ,? N *

3分

（2） f ( x) ?

2x ? 1 2x ? 1
x

F（x）＝

2 x ? 1 2 x ? 4 ? 1 (2 x ) 2 ? 2 x ? 6 ＋ ＝ 2x ? 1 2x ? 1 2x ? 1
x

6分

综合得： bn ? 2n ? 1 （2） ln ? ? 当b ? 0时 是等差数列 当b ? 0 时 由于 c1 ? 2 ? b , c2 ? 6 ? 2b

4分

?2 ? B ? 4n ? 2 B ? 2
l n = 4n ? 2

n ?1 n ? 2 ,? N *

由 (2 ) ? 2 ? 6 ＝0，可得 2 ＝2，
x 2

8分 10 分 11 分

6分

所以，x=1，即 F（x）的零点为 x＝1。

1? x k?x （3）由 f ( x) ? g ( x) 得 log 2 ? log 4 1? x 1? x
?1

由于 ln?1 ? ln ? 4 （常数）所以此时数列 {cn } 的“生成数列” {ln } 8分

(1 ? x)2 k?x? 1? x
显然 x ? [ , ] 时 k ? x ? 0 即 k ? 设 m ? 1 ? x ,由于x ? [ , ]
2 2

12 分

c3 ? 10 ? 2b

9分 10 分

此时 c1 ? c3 ? 2c2 所以此时数列 {cn } 的“生成数列” {ln } 不是等差数列。

1 2 2 3

2 x ? x +1 1? x
2

13 分

（3） pn ? ? 14 分

?3 ?3 ? 2
n ?1

n ?1 ? 2n ? 1 n ?1

11 分

1 2 2 3

1 1 所以m ? [ , ] 3 2

当 n ? 1 时 Tn ? p1 ? 3 15 分 16 分

12 分

于是

2 x ? x +1 2m ? 5m ? 4 4 23 ? ? 2m ? ? 5 ? [4, ] 1? x m m 3
23 3

当 n ? 2 时 Tn ? p1 ? p2 ? p3 ? ?? pn ? 3 ? (3 ? 2 ? 3) ? (3 ? 22 ? 5) ? ?? (3 ? 2n?1 ? 2n ?1) = 3 ? (3 ? 2 ? 3 ? 22 ? ?? 3 ? 2n?1 ) ? (3 ? 5 ? ?? 2n ?1) = 3? 2 ? n ? 4
n 2

所以实数 k 的取值范围 4 ? k ?

23、 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分. 已知数列 {an } ，如果数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , bn ? an ? an?1 (n ? 2, n ? N ) ，则称数列 {bn } 是数列 {an } 的
*

14 分

“生成数列” （1）若数列 {an } 的通项为 an ? n ，写出数列 {an } 的“生成数列” {bn } 的通项公式 （2）若数列 {cn } 的通项为 cn ? 2n ? b , 数列，请说明理由。 （3）已知数列 {dn } 的通项为 dn ? 2 ? n ，设数列 {dn } 的“生成数列” { pn } 的前 n 项和为 Tn
n

所以 Tn ? ?

?3
n 2 ?3 ? 2 ? n ? 4

n ?1 n?2

15 分

若(Tm ? 2012)(Tm ? 6260) ? 0 ，则 2012 ? Tn ? 6260
由于 {Tn } 对于一切自然数是增函数， T9 ? 1613 ? 2012 ,

16 分

(其中 b 是常数)，试问数列 {cn } 的“生成数列”{ln } 是否是等差

T10 ? 3168 ? 2013 T11 ? 6261 ? 6260
18 分

所以存在唯一的自然数 m=10 满足 若(Tm ? 2012)(Tm ? 6260) ? 0 成立

问是否存在自然数 m 满足满足 (Tm ? 2012)(Tm ? 6260) ? 0 ，若存在请求出 m 的值，否则请说明理由。

5