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直线与椭圆的综合运用 教案



直线和椭圆的位置关系(综合应用)
教学目标:(1)理解直线与椭圆的各种位置关系,能利用判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系;
(2)掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式; (3)初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧;进一步树立数形结合、 函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想

教学重点:利用“数”与“形”的结合

,利用方程解决直线与椭圆的位置关系 教学难点:利用“数”与“形”的结合,利用方程解决直线与椭圆的位置关系弦长、最值等综合问题. 教学过程 一、知识讲解
提问学生:回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,引出点与椭圆的位置关系 1、点与椭圆的位置关系:设点 P( x0 , y0 ) ,椭圆标准方程为
2 2 x0 y0 若点 P( x0 , y0 ) 椭圆上,则 2 ? 2 ? 1 ; a b 2 2 x0 y0 ? ? 1; a2 b2 2 2 x0 y0 ? ? 1; a2 b2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

若点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内,则

若点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外,则 2、直线与椭圆的位置关系

(1)通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系: 相离:直线与椭圆没有交点; 相切:直线与椭圆有唯一交点; 相交:直线与椭圆两个交点; (2)判断直线与椭圆的位置关系:设直线 l : y ? kx ? m, 椭圆 M :
2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,联立直线与椭圆方 a 2 b2

程消去 y 得 (a k ? b ) x ? 2a kmx ? a (m ? b ) ? 0 ,记该一元二次方程的判别式为 ? ,则 ①当 ? ? 0 时,直线与椭圆相交,有两个交点; ②当 ? ? 0 时,直线与椭圆相切,此时有一个交点; ③当 ? ? 0 时,直线与椭圆相离,没有交点.
1/7

(3)弦长公式的推导 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 为椭圆上的两点, AB 叫做椭圆的弦长. 回忆两点间的距离公式,通过距离公式化简整理,得出弦长公式 AB ? x1 ? x2 (其中 k 为直线 AB 的斜率).

1 ? k 2 ? y1 ? y2 1 ?

1 k2

二、例题精析
x2 例 1、已知直线 l1 过椭圆 C : ? y 2 ? 1 的左焦点 F1 且与椭圆相交于 A, B 两点,椭圆 C 的右焦点为 F2 , 4
则 ?ABF2 的周长为( A、 6 ) B、 7 C、 8 D、 9

解:如图,因为 A, B 在椭圆上, 由椭圆的定义, 则 BF 1 ? BF 2 ? 2a, AF 1 ? AF 2 ? 2a 所以 ?ABF2 的周长 C ? AB ? BF2 ? AF2 ? 2a ? 2a ? 4a ? 8 ,所以选 C. 例 2、若直线 y ? mx ? 2 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有且只有一个交点,求实数 m 的值. 4 2

解:联立 ?

? y ? mx ? 2 ?x ? 2 y ? 4
2 2

消 y 得 (2m2 ? 1) x2 ? 8mx ? 4 ? 0

因为直线与椭圆只有一个交点,则 ? ? 64m ? 4 ? (2m ? 1) ? 4 ? 0 ,解得 m ? ?
2 2

2 . 2

例 3、直线 y ? x ? a 与椭圆

x2 4 2 ? y 2 ? 1相交于 A, B 两点,若 AB ? ,求 a 的值. 2 3

解:联立 ?

?y ? x ? a ?x ? 2 y ? 2
2 2

2 2 消去 y 得 3x ? 4ax ? 2a ? 2 ? 0 , ? ? 16a2 ? 4 ? 3(2a ? 2) ? 0 恒成立,则 a ? R

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由韦达定理,则 x1 ? x2 ? ?

2a 2 ? 2 4a , x1 x2 ? 3 3

由弦长公式 AB ?

2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 ? (?

4a 2 8(a 2 ? 1) 4 2 ,解得 a ? 1 . ) ? ? 3 3 3

例 4、 过原点的直线 l 与曲线 C: 角 ? 的取值范围是

x2 ? y 2 ? 1 相交,若直线 l 被曲线 C 所截得的线段长不大于 6 ,则直线 l 的倾斜 3
( )

2/7

A.

?
6

?? ?

5? 6

B.

?
6

?? ?

2? 3

C.

?
3

?? ?

2? 3

D.

?
4

?? ?

3? 4

解:因为截得的线段长不大于 6 ,故直线不可能与 x 轴重合,可设直线方程为 my ? x 联立 ?

?x ? my ?x ? 3 y ? 3
2 2

消去 x 得, (m2 ? 3) y 2 ? 3 ? 0 ,设直线与椭圆相交于 A, B 两点,则

AB ? 1 ? m2
所以 k ? tan ? ?

12(m2 ? 3) 12(m2 ? 1) ,整理得 ? 6 ? 6 ,解得 ? 1 ? m ? 1 m2 ? 3 m2 ? 3
1 ? 3? ? [ ?1,1] ,又 ? ?[0, ? ) ,解得 ? ? ? .选 D. m 4 4

例 5、已知椭圆 M :

x2 y2 c 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 中 ? ,右顶点到左焦点的距离为 2 ? 3 2 a b a 2

(1)求椭圆 M 的方程. (2)若直线 x ? y ? 2m ? 0 与椭圆 M :①相交,②相切,③相离,求实数 m 的取值范围; (3)设直线 l : y ? x ? t 与椭圆 M 相交于不同的 A, B 两点,令 AB ? f (t ) ,求 f (t ) .

?c 3 x2 ? ? ? y2 ? 1 解: (1)依据题意,则 ? a 解方程组得 a ? 2, c ? 3 ,所以椭圆方程为 2 4 ?a ? c ? 2 ? 3 ?

? x ? y ? 2m ? 0 ? 2 2 2 2 2 (2)联立 ? x 2 消 y 得 5x ? 16mx ? 16m ? 4 ? 0 , ? ? (16m) ? 4 ? 5(16m ? 4) ? 16(5 ? 4m ) 2 ? ? y ?1 ?4
①若直线与椭圆相交,则 ? ? 16(5 ? 4m ) ? 0 ,解得 ?
2

5 5 ?m? 2 2 5 2

②若直线与椭圆相切,则 ? ? 16(5 ? 4m ) ? 0 ,解得 m ? ?
2

③若直线与椭圆相离,则 ? ? 16(5 ? 4m ) ? 0 ,解得
2

5 5 ? m或m ? ? 2 2

?y ? x ?t ? 2 2 (3)联立 ? x 2 消掉 y 得 5x ? 8tx ? 4m ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
因为直线与椭圆有两个交点,则 ? ? 64t ? 20(4t ? 4) ? 0 ,解得 ? 5 ? t ? 5
2 2

3/7

设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) ,由韦达定理,则 x1 ? x2 ? ?

4(t 2 ? 1) 8t , x1 x2 ? 5 5

由弦长公式,则 AB ? 1 ? k 所以 f (t ) ?

2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 ? (?

8t 2 4(t 2 ? 1) 4 ? 5 ? t2 ) ? 4? 5 5 5

4 5 ? t 2 , t ? (? 5, 5) 5

x2 ? y2 ? 1, 例 6、已知椭圆 M : 2
(1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程; (2)过 Q(

2 1 , ) 的直线与椭圆 M 相交于 A, B 两点,且 A, B 关于点 Q 对称,求直线 AB 的方程; 2 2

(3)过点 (2,1) 的直线 l 与椭圆 M 相交,求直线 l 被椭圆截得的弦中点的轨迹方程.

? x12 ? y12 ? 1 ? ?2 解:(1) 设平行弦中点坐标为 ( x0 , y0 ) ,弦与椭圆对应的两个交点为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,则 ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? ?2
两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 2

化简整理得

y1 ? y2 x ?x ? ? 1 2 ? 2 ,又因为 x1 ? x2 ? 2x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 ,代入上式,得 x0 ? 4 y0 ? 0 . x1 ? x2 2( y1 ? y2 )

x2 ? y 2 ? 1 内的部分). 所以平行弦中点的轨迹方程为 x ? 4 y ? 0 (在椭圆 M : 2
2 ? x3 2 ? y3 ?1 ? ( x ? x4 )( x3 ? x4 ) ?2 ? ( y3 ? y4 )( y3 ? y4 ) ? 0 (2)设 A( x3 , y3 ) , B( x4 , y4 ) ,则 ? 两式相减得 3 2 2 ? x4 ? y 2 ? 1 4 ? ?2

化简整理得

y1 ? y2 x ?x 2 1 , ) 对称,则 x3 ? x4 ? 2, y1 ? y2 ? 1 ? ? 1 2 ,又因为 A, B 关于点 Q( 2 2 x1 ? x2 2( y1 ? y2 )

所以 k AB ?

y1 ? y2 x ?x 2 ?? 1 2 ?? x1 ? x2 2( y1 ? y2 ) 2

故直线 AB 的方程为: 2x ? 2 y ? 2 ? 0

(3)由点 (2,1) 的位置结合椭圆方程可知直线 l 的斜率必然存在,

4/7

设弦中点坐标为 ( x?, y?) ,则 kl ?

y? ? 1 ……………………… (i ) x? ? 2

设直线与椭圆的两交点分别为 ( x5 , y5 ),( x6 , y6 ) ,则 x5 ? x6 ? 2x?, y5 ? y6 ? 2 y?
2 ? x5 2 ? y5 ?1 ? ( x ? x6 )( x5 ? x6 ) ?2 ? ( y5 ? y6 )( y5 ? y6 ) ? 0 又? 两式相减得 5 2 2 ? x6 ? y 2 ? 1 6 ? ?2

化简整理得 kl ?

y5 ? y6 x ?x x? …………… (ii ) ?? 5 6 ?? x5 ? x6 2( y5 ? y6 ) 2 y?

由 (i ) (ii ) 联立化简得, x?2 ? 2 y?2 ? 2 x? ? 2 y? ? 0 . 所以弦中点的轨迹为: x2 ? 2 y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 .

三、课程小结
本讲主要学习了下面的内容: 直线与椭圆的位置关系

四、课后作业
1、直线 y ? 2 x ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 相交于 MN 两点,则弦 MN ? ( 9 5



A.

60 10 41

B.

6 10 41

C.

41 10 36

D.

2 10 41

【答案】A.

? y ? 2x ?1 ? 2 【解析】 :联立方程 ? x 2 y 2 消去 y 得 41x ? 36x ? 36 ? 0 ,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 则 ?1 ? ? 5 ?9
MN ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? k 2

362 ? 4 ? 41? 36 60 10 b 2 ? 4ac .选 A. ? 5? ? a 41 41

2、直线 l 方程 y ? m( x ? 1) ,椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1 ,则直线 l 与椭圆 M 的位置关系为( ) 4 3
C. 相切 D. 无法判断

A. 相交
【答案】 A.

B. 相离

5/7

【解析】已知直线 y ? m( x ? 1) 过定点 (1,0) ,定点代入椭圆则

12 0 2 ? ? 1 ,过直线过椭圆内部的点,所以直线 4 3

l 与椭圆 M 相交,选 A.
【巩固】

3、 A, B 是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的短轴端点,点 M 是椭圆上异于 A, B 的任意一点,直线 MA ,MB a 2 b2

与 x 轴交点的横坐标分别为 x1 , x 2 ,求证: x1 ? x2 是定值. 解:证明:如图 C (5) , A(0, b), B(0,?b) ,设 M ( x0 , y0 ) ,则 直线 MA 的方程为:

y ? b y0 ? b ……………① ? x x0

直线 MB 的方程为:

y ? b y0 ? b ……………② ? x x0

由①解得 x1 ?

? bx0 bx0 ,则 , 由②解得 x2 ? y0 ? b y0 ? b

x1 ? x2 ?

2 ?b2 x0 b2 x 2 ? 2 0 2 ……………③ ( y0 ? b)( y0 ? b) b ? y0
2 2 x0 y0 ? ? 1 ……………④ a 2 b2

又因为 M ( x0 , y0 ) 在椭圆上,则

2 2 由④解得 b2 x0 ? a2 (b2 ? y0 ) 代入③式,得 x1 ? x2 ?

2 2 b 2 x0 a 2 (b 2 ? y0 ) ? ? a2 . 2 2 2 2 b ? y0 b ? y0

所以 x1 ? x2 是定值. 4、过椭圆

x2 y2 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被点 M 平分,求这条弦所在的直线方程. 16 4

【解析】法一:设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 ),则 x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ? 2

x12 y12 ? ? 1?? ① 16 4
①-②得

2 x2 y2 ? 2 ? 1?? ② 16 4

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) y ? y2 x ?x 1 ? ? 0 ,整理得 1 ? ?4 ? 1 2 ? ? 16 4 x1 ? x2 y1 ? y2 2

6/7

所以 k AB ? ?

1 ,故直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2

法二:设所求直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,代入椭圆方程并整理得:

(4k 2 ? 1) x 2 ? 8(2k 2 ? k ) x ? 4(2k ? 1) 2 ? 16 ? 0
又设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 , x 2 是方程的两个根,于是

8(2k 2 ? k ) , x1 ? x 2 ? 4k 2 ? 1

x1 ? x2 4(2k 2 ? k ) ? ? 2, 又 M 为 AB 的中点,所以 2 4k 2 ? 1
解得 k ? ?

1 , 2

故所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2.已知直线 l : x ? y ? 3 ,点 P 为椭圆 M : 为( )

x2 ? y 2 ? 1 上的一动点,则 P 到直线 l 的距离的最大值和最小值分别 2

A.

3? 3 ,0 2

B.

3? 3 3? 3 , 2 2

C. 3 ? 1, 3 ? 1

D.

3 ? 1,0

【答案】B. 【解析】设点 P( 2 cos? , sin ? ) ,则 d ?

2 cos? ? sin ? ? 3 2

?

3 sin(? ? ? ) ? 3 2

当 sin(? ? ? ) ? ?1 时, d max ?

3? 3 3? 3 ;当 sin(? ? ? ) ? 1 时, d min ? ,选 B. 2 2

7/7



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