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第五章 多组分多级分离的严格计算 青岛科技



第五章

多组分多级分离的严格计算

Chapter5 Multistage separation process of multi-component rigorous calculation 多组分精馏问题的图解法、 经验法和近似算法, 除了像二组分精馏那样的简单情况外, 只适用于初步设计,对于完成多组分多级分离设备的最终设计,必须使用

严格计算法, 以便确定各级上的温度、压力、流率、汽液相组成和传热速率。严格计算法的核心是联 立求解物料衡算、相平衡和热量衡算式。尽管对过程作了若干假设,使问题简化,但由 于所涉及的过程是多组元,多级和两相流体的非理想性等原因,描述过程的数学模型仍 是一组数量很大,高度非线性的方程,必须借助计算机求解。

§5-1 平衡级的理论模型 Theoretical Model of equilibrium stage
在建立精馏等分离过程的数学模型时需先给出明确的模型 以建立描述精馏等过程的物理模型。 一、复杂精馏塔物理模型 对于多于两股出料的精馏,称为复杂精馏。采用复杂精馏进行 离是为了节省能量和减少设备的数量。 ⒈复杂精馏塔类型 ①多股进料 将不同组成的物料加在相应浓度的塔板上,从能耗看,单股 料更耗能, 因为混合物的分离不是自发过程, 必须外界供给能量。 用三股进料,表明它们进塔前已有一定程度的分离,比它们混合 一股在塔内进行分离节省能量。 如氯碱厂脱 HCl 塔, 有三股不同 成的物料分别进入塔的相应浓度的板上。 ② 侧线采出 从塔身中部采出一个或一个以上物料, 侧线采出口可在精馏 或提馏段,按工艺要求采出的物料可为液体或气体。采用侧线采 出,可减少塔的数目,但操作要求更高,如裂解气分离中的乙 塔,炼油中的常压、减压塔等。 ③ 中间冷凝或中间再沸 中间再沸是在提馏段抽出一股料液,通过中间再沸器加入 分热量,以代替塔釜再沸器加入的部分热量,中间再沸器的温 低,所用加热介质温度要求低,甚至可用回收热,以节省能量。 中间冷凝在精馏段抽出一股料液(气相) ,通过中间冷凝加 部分冷量,以代替塔顶冷凝器的部分冷量。由于中间冷凝温度 高,可采用较高温度的冷剂,从而节约冷量。 使用中间再沸器或中间冷凝器的精馏, 相当于多了一股侧线出料和一股进料及中间有 热量引入的或取出的复杂塔。 入 更 部 度 烯 段 进 采 成 组 分 塔,

⒉ 模型塔

该模型塔有 N 块理论板,包括一个塔顶冷凝器和一个再沸器。理论板的顺序是从塔 顶向塔釜数,冷凝器为第一块板,再沸器为第 N 块板,除冷凝器与再沸器外每一块板都 有一个进料 F;气相侧线出料 G;液相侧线出料 S 和热量输入或输出,若计算的塔不包括 其中的某些项目,则设该参数为零,并假定每块板为一块理论板。 二、平衡级的理论模型 ⒈多级分离过程的平衡级 在多级分离塔中的每一级上进行的两相流体间的传质和传热现象是十分复杂的,受 到很多因素的影响,把所有因素够考虑在内,获得的两相间传质和传热的关系式,进而 求得这两相流体的温度,压力和组成等参数是不可能的,因此常对每一分离级做如下假 设: ①在每一分离级上的每一相流体都是完全混合的,其温度、压力和组成在分离级上各处 都一致,且与离开分离级的该相流体相同。 ② 离开分离级的两相流体之间成相平衡。 具备这两个条件的分离级就是平衡级,在做了上面两个假设后,精馏、吸收、蒸出和 萃取的多级分离过程就可以被认为是多级平衡过程。由平衡级假设引起的误差,可以进 行修正,如引进级效率等。 对于应用填料塔作为分离设备的多级分离过程,可以用等板高度 (HETP)的概念,把 一定的填料高度折算成相应的平衡级数,仍按多级平衡过程进行计算。

⒉多级分离过程的数学模型—MESH 方程组 在平衡级的严格计算中,必须同时满足 MESH 方程,它描述多级分离过程每一级达 汽液平衡时的数学模型。 ① 物料平衡式(每一级有 C 个,共 NC 个) Material Balance Equ。

L j ?1 xi, j ?1 ? (V j ? G j ) yij ? ( L j ? U j ) xij ? V j ?1 yi, j ?1 ? ?F j z ij

②相平衡关系式(每一级有 C 个,共 NC 个) Equilibrium Balance Equ。
yij ? kij xij

③摩尔分率加和式(每一级有一个,共有 N 个)
? xij ? 1 或 ? yij ? 1

Summary Equ。

④热量平衡式(每一级有一个,共有 N 个) Heat Balance Equ。
L j ?1h j ?1 ? (V j ? G j ) H j ? ( L j ? U j )h j ? V j ?1 H j ?1 ? ?F j H Fj ? Q j

除 MESH 模型方程组外, kij , H j , h j 的关联式必须知道
k ij ? k ij (T j , p j , xij , yij ) h j ? h j (T j , p j , xij ) H j ? H j (T j , p j , yij )

NC 个 N个 N个

u 将 上 述 N 个 平 衡 级 按 逆 流 方 式 串 联 起 来 , 有 Nc ? N (2C ? 3) 个 方 程 和 u Nv ? [ N (3C ? 9) ? 1] 个变量。

设计变量总数 N iu ? NC ? 6N ? 1 个, 固定 N (C ? 3) ,可调 3 N ? 1 如 1)各级 Fij , zij , TFj , p Fj , N (C ? 2) 个 2)各级 p j , N 个 3)各级 G j ( j ? 2? N ) 和 S j ( j ? 1? N ? 1) , 2( N ? 1) 个 4)各级 Q j , N 个 5)各级 N ,1 个 若要规定其他变量,则可以对以上的变量作相应替换,对不同类型分离,有不同典 型的规定方法,可见化工分离过程 P122 表 4-1。 在 N (2C ? 3) 个 MESH 方程中,未知数为 xij , yij , L j , V j , T j ,其总数也是 N (2C ? 3) 个,故 联立方程组的解是唯一的。 三、计算方法 ⒈开发前的准备 构成一个精馏塔模拟计算的算法。必须对下列三点作出选择和安排。 ①迭代变量的选择。即选择那些变量在迭代过程中逐步修正而趋近解的。其余变量择

由这些迭代变量算得。 ②迭代变量的组织。 决定是对整个方程组进行联列解, 还是进行分块解, 若为联列解, 那么方程和迭代变量如何排列和对应必须决定。如果选定分块解,则需确定如何分块, 那些(个)变量与那一块方程组相匹配,那一块在内层解算,那一块在外层解算等。 ③一些变量的圆整和归一的方法以及迭代的加速方法。 由于对这三种方法不同的选择和安排,产生了许多模拟计算方法,这些算法在收敛的 稳定性,收敛的速度和所需的计算机内存的大小等方面存在显著的差异。所以需要选择 比较合适的算法。 ⒉严格计算法的种类 ①逐板计算法 逐板计算法是运用试差的方法,逐级求解相平衡,物料平衡和热平衡方程式。该法由 Lewis-Mathesm 于 1933 年首先导出数学模型,并于 50 年代计算机应用后,提出了逐板求 解的方法,这类方法适合于清晰分割场合。对非清晰、非关键组分在塔顶、釜的组成较 难估计,致使每轮计算产生较大的误差,计算不容易收敛。在计算机被广泛应用前,曾 是主要的较严格的多级平衡过程的计算方法,但其受截断误差传递影响较大,对复杂塔 稳定性较差。目前在电算中很少采用,但在吸收上仍有采用。 ②矩阵法 是将 MESH 方程按类别组合,对其中一类和几类方程组用矩阵法对各级同时求解,该 法由 Amundson 于 1953 年提出,有三角矩阵法,矩阵求逆法,CMB 矩阵法,2N 牛顿法 等。由于这些方程都是高度非线性的,因此必须用迭代的方法,逐次逼近方程组的解。 所选用的迭代方法主要有直接迭代法,校正迭代法和牛顿—拉夫森迭代法。这些迭代法 都是设法将非线性方程组简化为线性方程组,然后对此线性方程组求解。并将该解作为 原方程的近似解,逐次逼近原方程组的解。 ③松弛法 松弛法是采用不稳定状态的物料平衡方程和热平衡方程, 求解稳定状态下多级平衡过 程。通常是只用不稳定状态的物料平衡方程,求解稳定状态下的组成。该法优点是“算 法简单,只要选取了合适的松弛因子,一般都能收敛,且不受初值影响” , “迭代的中间 结果具有物理意义” 。如以进料组成为各级重流体相组成的初值时,中间结果可以被看成 是由于开工不稳定状态趋向稳定状态的过程。 ⒊计算类型 多级平衡过程的计算,从其计算的目的和要解决的问题来划分,又可分为设计性计算

和操作性计算。 ①设计性计算。其目的在于解决完成一预定的分离任务的新过程设计问题。即在给定的 进料条件 F , x F , T , p) ,塔的操作压力和回流比外,还需知道轻、重关键组分的回收率,求 解所需的理论板数,和最佳进料位置和侧线采出位置。 ②操作性计算。是已知操作条件下,分析和考察已有的分离设备的性能。如精馏计算是 在给定操作压力,进料情况,进料位置,塔中具有的板数和回流比下,计算塔顶,塔底 产品和量和组成,以及侧线抽出的组成和塔中的温度分布等。 前面提到的算法除了逐级计算法中的 Lewis-Matheson 法适用于设计性计算外。其他 方法只适用于操作型计算,若用其进行设计型计算,需先设平衡级数(板数) ,进料位置 和出料速度与位置,然后进行试算。根据每次试算的结果对所设变量进行修正,直至计 算结果满足设计要求。 ⒋发展动态 开发新的方法,动态模拟与调优,特定过程模拟。 ⑴精馏塔 MESH 方程组求解的一种双重迭代法,化工学报,1992, (6) :705 ⑵模拟复杂精馏过程的新算法,石油化工,1997, (12) :817,将松弛法与 N-R 法结合。 ⑶模拟复杂精馏过程的新算法,化学工程,1996, (3) :13,三维非平衡混合池模型。 ⑷面向方程联立求解的精馏塔模拟与优化一体化算法,化工学报,1997, (1) :46 ⑸非均相催化精馏过程模拟,华东理工大学学报,1998, (3) :279 ⑹精馏过程动态模拟与仿真的研究,1998 级杨霞研究生论文。

§5-2 三对角矩阵法 Tridiagonal matrix method
一、计算原理 此法用于分块解法,分块求解就是将 MESH 模型方程作适当分组,每小组方程与一 定迭代变量相匹配,那些不是与此组方程相匹配的迭代变量当作常量。解这小组方程得 到相应的迭代变量值,他们在解另一组方程时也作为常量。当一组方程求解后再解另一 组方程。当全部方程求解后,全部迭代变量值均得到了修正,如此反复迭代计算,直至 各迭代变量的新值和旧值几乎相等,也即修正值很小时,才得到了收敛解。 矩阵法计算原理在初步假定的沿塔高温度 T 、汽、液流量 V , L 的情况下,逐板地用 物料平衡(M)和汽液平衡(E)方程联立求得一组方程,并用矩阵求解各板上组成 xij 。 用 S 方程求各板上新的温度 T 。用 H 方程求各板上新的汽液流量 V , L 。如此循环计算直 到稳定为止。

二、ME 方程 将 E 方程带入 M 方程消去 yij 。
L j ?1 xi, j ?1 ? V j ?1k i, j ?1 xi, j ?1 ? Fzij ? (V j ? G j )k ij xij ? ( L j ? U j ) xij ? 0 L j ?1 xi, j ?1 ? [(V j ? G j )k ij ? ( L j ? U j )]xij ? V j ?1k j ?1 xi, j ?1 ? ?F j z ij

令 Aj ? L j ?1
C j ? V j ?1ki, j ?1

B j ? ?[(V j ? G j )k ij ? ( L j ? U j )]

D j ? ?F j zij

∴ A j xi, j ?1 ? B j xij ? C j xi, j ?1 ? D j 当 j ? 1 时,即塔顶冷凝器,由于没有上一板来的液体 ∴ A1 ? L0 ? 0 ; B1 ? ?(V1 k i1 ? L1 ? U 1 ) ; C j ? V2 K i 2 ; D1 ? 0 ∴ B1 xi1 ? C1 xi 2 ? D1 当 j ? N 时,即塔釜,由于没有下一板上来的蒸汽

AN ? LN ?1 ; B N ? ?(V N k iN ? W ) ; C N ? VN ?1 ? 0 ; DN ? 0
∴ AN xi, N ?1 ? BN xi, N ? DN ME 线性方程组和矩阵为:
B1 xi1 ? C1 xi 2 ? D1
j ?1 2 ? j ? N ?1
j?N

A j xi, j ?1 ? B j xij ? C j xi, j ?1 ? D j
AN xi, N ?1 ? BN xi , N ? DN

? B1 ?A ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

C1 B2 C 2 ? ? Aj Bj ? Cj ? AN ?1 ? B N ?1 AN

? ? xi1 ? ? D1 ? ?? x ? ? D ? ?? i2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? xij ? ? ? D j ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? C N ?1 ? ? xi , N ?1 ? ? D N ?1 ? ? ? ? ? BN ? ? ? xi , N ? ? D N ?

或简写为[ A, B, C ]{ xij }={ D j }。其中{ xij }未知量的列向量;{ D j }常数项的列向量; [ A, B, C ]三对角矩阵;A, B, C 矩阵元素。 若 V j , L j , T j ( F j , G j , U j ) 等值先固定, 则 Aj , B j , C j , D j 为常数。所以其中只有 N 个未知量 xij ,故能求解。 三、初值的确定 ⒈ T j 。根据塔顶、塔釜的温度线性分布。
T j初? TD ? ( TB ? TD )( j ? 1) N ?1

⒉ V j 。设为恒摩尔流。
j 板平衡: F j ? V j ?1 ? L j ?1 ? V j ? G j ? L j ? U j

V j ?1 ? V j ? G j ? L j ? U j ? L j ?1 ? F j

液相平衡: L j ?1 ? qFj ? L j ? U j

?V j ?1 ? V j ? G j ? Fj (1 ? q j )
2 ? j ? N ?1

其中:V2 ? ( R ? 1) D ? D ? L1
⒊ L j 。由 V j 求 由 j 板与塔顶作物料平衡
V j ?1 ? ? Fk ? L j ? ? U k ? ? G k ? D
k ?2 j j j k ?2 k ?2

L j ? V j ?1 ? ? ( Fk ? G k ? U k ) ? D
k ?2

j

A j , B j , C j , D j 常数中如果某些物料没有可以用零代入。

四、求解方法 ⒈三对角矩阵中求解{ x ji }的方法(Gauss 消去,托马司法,追赶法) 利用矩阵的初等变换将矩阵中一对角线元素 A j 变为零,另一对角线元素 B j 变为 1, 然后将 C j 与 D j 引用两个辅助参量 Pj 和 q j 。
?1 P1 ? ? xi1 ? ? q1 ? ?0 1 P ?? x ? ? q ? 2 ? ?? i2 ? ? 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 0 1 Pj ? ? ? xij ? ? ? q j ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 0 1 PN ?1 ? ? xi , N ?1 ? ?q N ?1 ? ? ? ? ? ? ? 0 1 ? ? ? ? xiN ? ? q N ?

增广矩阵

其中 Pj ?

Cj B j ? A j Pj ?1

qj ?

D j ? A j q j ?1 B j ? A j Pj ?1
1

当 j ? 1, A1 ? 0 。∴ P1 ? C1 B , q1 ? D1 B
1

由此求出各 Pj 和 q j ,并可以求出某一组分在各块板上的液相组成。
xiN ? q N xi , N ?1 ? p N ?1 xiN ? q N ?1 ?? xij ? p j xi , j ?1 ? q j ?? xi1 ? p1 xi 2 ? q1

若对 C 个组分的矩阵进行求解后,即得各块板上所有组分的液相组成。 ⒉用 S 方程计算新的温度分布,在未收敛前 ? xij ? 1 ,在 0.3~15 的范围内。

①圆整. xij ?

xij ? xij

②用泡点法求 T j ,并同时得 yij 。 ⒊用 H 方程计算各块板的 V j 和 L j 。 H 方程: L j ?1h j ?1 ? V j ?1 H j ?1 ? F j H Fj ? (V j ? G j )H j ? (L j ? U j )h j ? Q j 任一板总物料衡算
L j ? U j ? L j ?1 ? V j ?1 ? F j ? (V j ? G j )

代入上式并整理。
V j ?1 ? ( H j ? h j )(V j ? G j ) ? (h j ? h j ?1 ) L j ?1 ? ( H Fj ? h j ) F j ? Q j H j ?1 ? h j

由假定的初始值 V1 即可求得 V j ?1 ,计算顺序从冷凝器开始,然后随着 j 的递增而求得
V N 为止。
V1 ? D ? U 1 , L1 ? RD, V2 ? D ? L1 ? ( R ? 1) D

而 L j ? V j ?1 ? ? ( FK ? G K ? U K ) ? D
K ?2

j

也可将各板的 H 方程写出,并把他们集合在一起,也可得到一个二对角线矩阵方程。 通过计算α ,β ,γ 计算出各板的 V , L 。 五、计算步骤 ⒈确定必要条件和基础数据。 ⒉按塔顶、塔釜的温度假定在塔内温度为线性分布的温度初始值 T j ,按恒摩尔流假定一 组初始的蒸汽量分布 V j 。 ⒊由假设的 T j 计算 k ij ,然后计算 ME 矩阵方程中的 A j , B j , C j , D j , Pj , q j 。 ⒋用高斯消去法解矩阵得 xij ,若 ? xij ? 1 ,则圆整。 ⒌由计算出的 xij ,用 S 方程试差迭代出新的温度 T j? ,同时计算 yij 。 ⒍由 xij 、 yij 、 T j? 计算 H j , h j 。 ⒎用 H 方程从冷凝器开始向下计算出各板的新的汽液相流量 V j? , L?j 。 ⒏判断是否满足收敛条件
? T ? ?[(T j ) k ? (T j ) k ?1 ]2 ? 0.01N
? H ? ??
? (V j ) k ? (V j ) k ?1 ? ? ? 0.01 ( V ) ? ? j k ? ?

若计算结果不能满足此收敛条件, 得到的 T j? 、V j? , L?j 值作为初值, 重复③以下的步骤。 计算框图见 P131 图 4-6。P133 例 4-2。

六、流量加和法(SR 法) 三对角矩阵的另一形式,即在解 ME 三对角矩阵方程求出组分流率 l ij 或 vij ,组分流 率加和得到 L j 和 V j ,再用 H 方程校正温度 T j 。用这一顺序为计算方便,独立变量取用各 板之组分流率 l ij 代替 xij ,相应的衡算式的形式也要有所改变。见 138 页。 七、讨论 ⒈由子程序求解 ME 三对角矩阵的 xij ,若为负值均置为零。 ⒉对接近理想溶液的物系,采用大循环,计算速度快,对非理想溶液物系,采用 T 循环 有利收敛。 ⒊对接近理想溶液体系,对 T j , V j 初值要求不苛刻, T j 按线性内插,V j 按恒摩尔流能够达 到收敛解。对非理想物系, T j , V j 初值会影响到是否收敛和收敛速度。 ⒋收敛判据不唯一。 ⒌BP 法与 SR 法比较 BP 法是以求得的浓度来决定下一循环所用的温度。即适用于塔板温度主要决定于浓 度,而流率主要决定于热平衡。即热衡算中潜热影响大于显热影响的情况。对组分沸点 相近的系统(即窄沸程物系) ,由于其精馏时,汽液相的总流率是由潜热差通过热平衡确 定,且塔板温度受组成的影响较大,适用于该法。即适用于 ?TDB ? 55 ℃。 SR 法可以用在组成对流率的影响大于焓平衡对流率的影响,温度主要是决定于热量 平衡而不是组成,以及热平衡中显热的影响较为显著的情况,沸点差较大(宽沸程)的 混合物的精馏计算宜用 SR 法,此时全塔温差大,在热量平衡中显热的影响较为显著,即 适用于 ?TDB ? 55 ℃的情况。 但郭天民提出 SR 法用于精馏稳定性差, 仅适合于吸收, 萃取, 谁是谁非,难以定夺。 ⒍BP 法的缺陷 BP 法用于非理想性较强的物系,往往不收敛,除对初值有要求外,最主要是由 M 方 程得到的液相组成 xij 在没有收敛前,不满足的 ? xij ? 1 关系式,如果将这些组成直接返回 第二步运算,结果会发散。如果将得到的这些 xij 值圆整,则 xij 已不再满足 M 方程,将这 些不满足物料衡算的 xij 值作为下次迭代的初值,对非理想物系必然不收敛。仲,高松提 出用物料衡算来校正圆整后的液相组成,使之不仅满足 S 方程,也尽量符合 M 方程。该 法称为 CMB 法。丁惠华对此进行了修正,在三对角矩阵基础上,引进组分的物料衡算, 对塔两端产品的组成及塔内各板组成进行校正,使计算适用于非理想物系的精馏计算。 他用文献上 8 组三对角矩阵不收敛的物系,用改进 CMB 计算全部收敛。 ⑴丁惠华, “改进的 CMB 矩阵法” ,石油化工,1984, (2) :121。

⑵丁惠华,三对角矩阵法在计算非理想系统精馏塔时的局限性,化学工程,1981(1) :7 ⑶多组分吸收计算—SR 法,化学工程,1984, (6) :30 ⑷三对角矩阵的精馏过程新算法,扬子石油化工,1990,5(3) :34(用于吸收,扬子乙 烯装置 C3 绿油吸收塔) 。 ⑸三对角与二对角矩阵法应用于非理想溶液精馏计算的收敛性,化工学报,1999, (1) : 70

§4-3 逐板计算法(Stage-by-stage calculation)
任意精馏装置只要各设计变量的数值一经指定, 则其他所有条件 (各板的温度, 流量, 组成等)均已确定。而分离装置计算中一切严格计算法的目的就是要计算出在指定的设 计变量值下,分离装置其他各个变量的唯一数值。讨论简单精馏塔的情况。 一、计算内容与计算起点 开发思维:二元精馏图解梯级法。 ⒈计算内容 以塔顶或塔釜为计算起点,根据 MESH 关系,逐板计算出各板的条件及满足关键组 分分离要求所需的理论板数。 恒摩尔流:求 N , T , x, y ,用 MES 方程联立求解。 变摩尔流:求 N , T , x, y, V , L ,用 MESH 方程联立求解。 ⒉计算起点 物料预分布采用非清晰分割法,逐板计算可以从塔顶或塔釜任一端点算起,也可以 从塔的两端同时算起,一般起点选择应从组成较精确的一端算起。 ①两个易挥发组分作关键组分,则以塔釜作起点向上逐级计算,各板的温度由泡点温度 决定。 ②两个难挥发组分作关键组分时,则以塔顶为起点向下逐板计算,各板的温度由露点温 度决定。 ③关键组分是中间组分,则无论从哪一端算起都有较大的误差,则可以从两端同时算起, 在加料板处契合。 二、计算方法 ⒈从塔顶向下计算,塔序从塔顶向下。 ①MES 方程 M 方程:精馏段, Vn?1 y n?1,i ? Ln xn,i ? DxD,i ;? y n ?1,i ?
Ln D x n ,i ? x D ,i Vn ?1 Vn ?1

恒摩尔流: L ? RD, V ? ( R ? 1) D, R 由 Underwood 法求得。

提馏段, y m?1,i ?
y ji k ji

Lm W x mi ? xW ,i Vm?1 Vm?1

E 方程: x ji ?

?

y ji ? ji ? y ji ? ji

S 方程: ? x ji ? 1 ②计算步骤
, S露点) E, S? 露点 y Di ?分凝( ? ? ?E ? ? ?? ?? x d ,i , t D ?M ?精 ?? ??加料板 ?精 ?? y1,i ?? ? ?? t1,x1 ?M

y D,i

全凝

提 ?? 塔釜。 ?M ? ? ? y ni ???? ?

⒉从塔釜向上计算,塔序从塔釜向上。 ①MES 方程 M 方程:提馏段, x m?1,i ?
V Vm D W x D ,i y mi ? xW ,i ;精馏段,? x n ?1,i ? n y n,i ? Ln ?1 Ln ?1 Lm?1 Lm?1

E 方程: y ji ? k ji x ji ? S 方程: ? y ji ? 1 ②计算步骤

? ji x ji
? ? ji x ji

E, S? 泡点 E, S? 泡点 xWi ?? ? ?? yW ,i , tW ?M ?提 ?? x1,i ?? ? ?? t1,y1,i ?M ?提 ?? ??加料板
精 ?? 塔顶。 ?M ? ? ? xni ???? ?

⒊从两头往中间算 方法同上,但由塔顶向下计算到加料板的组成,与由塔釜向上计算到加料板处的 组成一般是不吻合的, 因根据物料分布, 塔顶产品中往往不含比重关键组分还重的组分, 这样由上向下计算时, 就应该在适当部位加入这些组分, 才能保证在进料板处得到吻合。 同时由塔釜向上计算时,也需要在适当部位加入一些轻组分。 三、进料板的确定和计算结束的判断 如何确定适宜的进料位置是逐板计算的关键之一,适宜的进料位置定义为达到规定 分离要求所需总级数最少的进料位置。其近似确定方法是以轻,重关键组分的浓度之比 作为精馏效果的准则。即改变操作线效果比不改变更好时,换操作线方程. ⒈从塔釜向上计算 为使分离效果好,要求轻、关键组分液相浓度比值增加越快越好。
? xl 如果 ? ?x ? h ? ? xl ? ? xl ? ? ?? ?x ? ? 且? ? ? j精 ? h ? j提 ? x h ? ? xl ? ? ?? ? ? ? ? ? j ?1精 ? x h ? j ?1提

则第 j 极为适宜进料位置, j ? 1 级应转换成用精馏段操作线计算。

? xl 计算结束判据: ? ?x ? h

? ? xl ? ? ? ?? ? ? ? ? N ? xh ? D

⒉从塔顶向下计算 要求轻、重关键组分汽相浓度比值降低的越快越好。
? yl ? ? yl ? 若 ? ?y ? ? ?? ? ? ? 且 ? h ? j精 ? y h ? j提 ? yl ? ? yl ? ? ?? ?y ? ? ? ? ? ? h ? j ?1精 ? y h ? j ?1提

则第 j 级是适宜进料级, j ? 1 级应应转换成由提馏段操作线计算。
? xl 计算结束判据: ? ?x ? h ? xl ? ?x ? h ? xl ? ?x ? h ? ? xl ? ? ? ?? ? ? ? ? N ? xh ? D

⒊从两头向中间计算(近似法)
? ? xl ? ? xl ? ? ? ?? ?x ? ? ?? ?x ? ? ? n ? h ? F ? h ? n ?1 ? ? xl ? ? ?? ? ? m ? xh ? ? xl ? ? ?? ? ? F ? xh ? ? ? ? m ?1 ?n n ?1 取( n ? 1 )板为进料板

?1 ?m ?N ?n?m m 取( m ? 1 )板为进料板

若 n ? 1 级与 m ? 1 级的组成相差很大,则需重新估计塔顶釜组成。 四、变摩尔流的逐板法 以上为恒摩尔流的计算,若为变摩尔流,则各板的 Vn?1 ? Vn , Ln?1 ? Ln ,则需再引入焓 平衡式。即由 x n ,i 计算 y n?1,i 时,应用 M 和 H 方程联立求解,从而求得理论板数。 精馏段热量平衡式: Vn ?1 H n ?1 ? Ln hn ? DhD ? qc ∴ Vn ?1 ?

D( h D ? h n ) ? q c H n ?1 ? hn

由塔顶向下计算至进料板,从而求得各板上的新流量 V , L 。 提馏段热量衡算式 Lm?1 ? hm?1 ? qr ? Vm H m ? Whw ∴ Vm ?

W (hm ?1 ? hw ) ? q r (hm ? H m ?1 )

由釜向上逐板计算直至加料板为止,即可计算提馏段各板的 Lm及Vm 值。
方程 ?操 ?? y n ?1 ? ?? H n ?1 ?热平 ? ?H ? ? ?? Vn ?1 比较。 或每块板上段 Vn ?1 ?M

⑴用物料衡算校正温度的逐板计算,高校化学工程学报,1995,9(4) :338 ⑵塔底直接蒸汽加热蒸馏的逐板计算法,化工设计通讯,1995, (3) :56

§4-4 松弛法(Relaxation Method)
Rose 的松弛法的原则是仿照精馏过程由不稳定态趋向稳态的进程来求解,它用非稳 定态的物料衡算方程,计算时各板的起始组成可以采用进料组成,也可选择其他认为便

于计算的组成,选好起始组成后,用物料衡算方法对每块板进行计算,每一时间间隔计 算一次,每一次计算得到一组塔板上的液相组成,每一次得到的结果与上一次得到的组 成稍有不同,重复这种计算将给出一组又一组的板上组成,当两次三次接连计算的结果 不再变化时,表示板上的组成达到了稳定态,迭代次数代表计算过程时间。 一、松弛法的基本方程 松弛法所用的物料衡算方程与一般操作线方程不同, 它在由开始的非稳定态向稳定态 变化的过程中,对某一时间间隔内每块塔板上的物料变化进行衡算的。为了简化计算过 程,假定塔内为恒摩尔流率,每块板均为理论板,并假定无侧线采出和热量交换,则在 不稳定态时,在每个时间间隔 ?t 内必有累积现象发生。 累积量=进入量—排出量 对第 j 板上的组分进行物料衡算 组分 i 进入 j 板的量= ? ( L j ?1 xi , j ?1 ? V j ?1 yi , j ?1 )d?
? ? ? ??

V j , yij
j 平衡级

L j ?1 , xi, j ?1

① ② V j ?1 , yi, j ?1 ③
L j , xij

组分 i 离开 j 板的量= ? (V j yij ?L j xij )d?
?

? ? ??

组分 i 在 j 板上的累积量= E j xij |? ??? ?E j xij |?

E j ? U j ? W j ,其中 U j 为 j 板上的存液量, W j 为 j 板上的存气量折算成存液量。

根据积分中值定理: ? f ( x )dx ? f (? )(b ? a )
a

b

①、②式可写为 组分 i 进入 j 板的量= (L j ?1 xi, j ?1 ? V j ?1 yi, j ?1 ) av ?? 组分 i 离开 j 板的量= (V j yij ? L j xij ) av ?? 根据拉格朗日(lagrange)中值定理。 f (b) ? f (a ) ? (b ? a )
d ( E j xij ) d?
? ????

df ( x ) dx m
? xij dE j ? ? d? ? ???? ? ?

③式可写成组分 i 的累积量 ? ??

? dxij ? ?? ? E j d? ? ?

? ????

∴ ?L j ?1 xi , j ?1 ? V j ?1 yi , j ?1 ? V j yij ? L j x ij ?av ? E j
dE j d?

dxij d?
? ????

? xij

dE j d?
? ? ???

设 E j 不随时间变化,且 ?? ? 0 时,

? 0 ,上式变为瞬时值。
dxij d?

L j ?1 xi , j ?1 ? V j ?1 y i , j ?1 ? V j y ij ? L j x ij ? E j



当 ? ? ? 时,全塔各板上的 L, V , x, y 均为已知,即可由上式算出在 ? 时各板上组分 i 随 时间的变化率
dxij d?



然后由拉格朗日中值定理求 j 板上组分在 ? ? ?? 时的组成
( xij )? ? ?? ? ( xij )? ? ?? dxij d?
? ????

Rose 等假定 xij 随时间 ? 的变化率为线性关系即
dxij d?
? ????

?

dxij d?
?

∴ ( xij ) k ?1 ? ( xij ) k ?

?? L j ?1 xi , j ?1 ? V j ?1 y i , j ?1 ? V j y ij ? L j xij Ej

?

?

k

——松弛法基本方程

uj ?

?? 称为松弛系数,Rose 指出,为避免迭代过程中塔板组成发生不合理的变 Ej
?? 1 ? 。 E j (5 ? 10) F

化,使过程不收敛,松弛系数必须选的较小,一般

F 为进料量,若各板的存液量相等,各板的松弛系数也可取等值,但对不同组分有

时可用不同的松弛系数值。 对冷凝器: ( xij ) k ?1 ? ( xij ) k ? u j (V2 yi 2 ? V1 yi1 ? L1 xi1 ) k 再沸器: ( xi, N ) k ?1 ? ( xi, N ) k ? u N (LN ?1 xi, N ?1 ? VN yi, N ? LN xi, N ) k 进料板: ( x F ) k ?1 ? ( x F ) k ? u F ( Fzi ? VF ?1 yi, F ?1 ? LF ?1 xi, F ?1 ? VF yi, F ? LF xi, F ) k 二、计算步骤 计算由一组初始值开始, 用选定的松弛系数由松弛方程反复计算, 直至得到的 ( xij ) k ?1 与 ( xij ) k 值之差符合要求为止,最方便的计算是按照恒摩尔流将进料组成作为各板上液相 组成的初始值,这些值也作为时间为零时的组成值,为避免由于各板上存液量的变动造 成较大的误差,所取时间间隔应尽量的短。 计算步骤: ⒈假定一组初值。 选?j ?
?? 1 ? 。 E j (5 ? 10) F

设一组各板的 xij (一般设 xij ? xiF ) ,泡点试差得 yij 。 设一组各板的 V j 或 L j 。 (设为恒摩尔流) ⒉由松弛法基本方程计算新的 ( xij ) k ?1 ,判断
| ( xij ) k ?1 ? ( xij ) k | ( xij ) k ?1 ??

直至稳定为止。

⒊由 S 方程求 (T j ) k ?1 , ( yij ) k ?1 。 ⒋由 ( xij ) k ?1 , (T j ) k ?1 , ( yij ) k ?1 计算 H j , h j 。 ⒌由 H 方程计算 (V j ) k ?1 , ( L j ) k ?1 。 ⒍判断

| (V j ) k ?1 ? (V j ) k | (V j ) k ?1

? ?v

不成立则重复②~⑤式。 松弛法的优点是适用于各种复杂的精馏过程的,不仅初值选定没有严格要求,而且 某一组分的量发生变化时,对计算也没有太大影响,所以收敛很稳定,但必须使用计算 机,即便如此,其收敛速度也太慢,因此只有其他方法无法解时,才用松弛法。 石川、平田等人进行了修正,但收敛速度仍较慢,而由丁惠华提出的新松弛法则在
k ?1 Rose 松弛法的基础上,经过适当处理(将 x k j ?1 改为 x j ?1 ,收敛速度增加 10 倍,并能用于

萃取)允许采用较大的松弛系数,克服了收敛速度慢的缺点,可用于非理想物系的精馏 计算。见 ① 新松弛法用于非理想溶液的计算,青岛化工学院学报,1984(2) :151。 ② 石川、平田 J of chem eng Japan1972.5(2)

③ 分离过程非稳态算法的分析和讨论。化学工程,1988(4) :36。 ④ 酸性污水汽提塔的模拟算法。华东理工大学学报,1995(4) :435。



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