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2002年全国高中数学联赛试题及解答



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2002 年全国高中数学联赛试题及解答

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数集,若A={x| ≤0} ,B={x| =10x} ,则A∩ 是( A. {2} B. {-1} C?. {x|x≤2} D.

) .

2.设si

nα >0,cosα <0,且sin >cos ,则 的取值范围是( A. (2kπ +π /6,2kπ +π /3) ,k∈Z?

) .

B. (2kπ /3+π /6,2kπ /3+π /3) ,k∈Z C. (2kπ +5π /6,2kπ +π ) ,k∈Z D. (2kπ +π /4,2kπ +π /3)∪(2kπ +5π /6,2kπ +π ) ,k∈Z 3.已知点 A 为双曲线x2-y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△A BC是等边三角形,则△ABC的面积是( ) . A. /3 B.3 /2 C.3 D.6 4.给定正数p,q,a,b,c,其中p≠q.若p,a,q是等比数列,p,b, c,q是等差数列,则一元二次方程bx2-2ax+c=0( ) . A.无实根 B.有两个相等实根 C.有两个同号相异实根 D.有两个异号实根 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=5/3x+4/5 的距离中的最小 值是( ) . A. /170 B. /85 C.120 D.130 6.设ω =cos +isin ,则以ω ,ω 3,ω 7,ω 9 为根的方程是( ) . A.x4+x3+x2+x+1=0 ??B.x4-x3+x2-x+1=0 ??C.x4-x3-x2+x+1=0 ??D.x4+x3+x2-x-1=0 二、填空题〖HTK〗 (本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.arcsin(sin2000°)=_______. 8.设an是(3- )n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…) ,则 =_______. 9.等比数列a+log23,a+log43,a+log83 的公比是______. 10.在椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短 轴上方的端点为 B.若该椭圆的离心率是 ,则∠ABF=______. 11.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是 ______. 12.如果: (1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4} ;

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(2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a; (3) a是a, c, b, d中的最小值, ?那么, 可以组成的不同的四位数 的个数是______. 三、解答题〖HTK〗 (本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.设Sn=1+2+3+…+n,n∈N?,求f(n)= 的最大值. 14.若函数f(x)=-1/2x2+13/2 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值 为 2b,求[a,b] . 15.已知C0:x2+y2=1 和C1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0) ,那么,当 且仅当a,b满足什么条件时,对C1 上任意一点 P,均存在以 P 为顶点、与 C0 外切、与 C1 内接的平行四边形?并证明你的结论. 参考答案或提示 一、1.D;2.D;3.C;4.A;5.B;6.B. 提示:1.易得A={2} ,B={-1,2} , 则A∩ = . 2.由 2kπ +π /2<α <2kπ +π , 得 2kπ /3+π /6<α <2kπ /3+π /3(k∈Z) . 又由sin >?cos , 得 2kπ +π /4< <2kπ +5π /4(k∈Z) . ∴α ∈(2kπ +π /4,2kπ +π /3)∪(2kπ +5π /6,kπ +π ) (k∈Z) . 3. 不妨设B点在x轴上方, 则AB: y= /3x+ /3, 代入x2-y2=1, (2, ) 得B . 同理可得C(2,- ) .故S△ABC=3 . 4.由 2b=p+c,2c=q+b,得b=2p+q3,c=p+2p3.于是 从而Δ =4a2-4bc<0,方程无实根. 5.整点(x0,y0)到直线 5x-3y+12=0 的距离为d=|25x0-15y0+12|/ 5 .因 25x0-15y0 是 5 的倍数,所以|25x0-15y0+12|≥2,当x0=-1、y0=-1 时等号成立.故 /85 即为所求. 6.由ω =cos +isin 知,ω ,ω 2,ω 3,…,ω 10(=1)是 1 的 10 个十次 方根,则 (x-ω ) (x-ω 2) (x-ω 3)…(x-ω 10)=x10-1. ① 又ω 2,ω 4,ω 6,ω 8,ω 10 是 1 的 5 个五次方根,则 (x-ω 2) (x-ω 4) (x-ω 6) (x-ω 8) (x-ω 10)=x5-1. ② ①÷②后,再两边同除以x-ω 5(=x+1) ,得(x-ω ) (x-ω 3) (x-ω 7) (x -ω 9)=x4-x3+x2-x+1. 二、7.-π /9;8.18;9.1/3;10.90°;11. a3;12.28. 提示:7.原式=arcsin[sin(-π /9) ]=-π /9. 8.∵an=Cn2?3n-2, ∴3n/an=…=18( ) . ∴原式=18 =…=18. 9.公比 ,由等比定理,得 10.由c/a= ,得c2+ac-a2=0.

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又|AB|2=a2+b2,|BF|2=a2, 故|AB|2+|BF|2=…=3a2-c2. 而|AF|2=(a+c)2=…=3a2-c2=|AB|2+|BF|2,故∠ABF= 90°. 11.易知球心 O 为正四面体的中心,O 点与棱的中点连线成为球的半径r,则r= , 故球的体积为V=…= . 12.按 中所含不同数字的个数分三类: (1)恰有 2 个不同的数字时,组成 =6 个数; (2)恰有 3 个不同数字时,组成 =16 个数; (3)恰有 4 个不同数字时,组成 =6 个数.故符合要求的四位数 共有 6+16+6=24(个) . 三、13. , 当且仅当n=64/n,即n=8 时,上式等号成立,故f(n)max=1/50. 14.分三种情况讨论: (1)当 0≤a<b时,f(a)=2b,f(b)=2a.解得[a, b]=[1,3] . (2)当a<0<b时,f(0)=2b,f(a)=2a或f(b)=2a.解得[a,b] =[-2- ,13/4] . (3)当a<b≤0 时,f(a)=2a,f(b)=2b.无解. 综上, [a,b]=[1,3]或[-2- ,13/4] . 15.所求条件为 1/a2+1/b2=1.证明如下: 必要性:易知,圆外切平行四边形一定是菱形,圆心即菱形中心. 假设结论成立, 则对点 (a, , (a, 为顶点的棱形与C1 内接, 0) 有 0) 与C0 外切. (a, 0)的相对顶点为(-a,0) ,由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在y轴上, 为 (0, 和 b) (0, -b) 菱形一条边的方程为x/a+y/b=1, . 即bx+ay=ab. 由 于菱形与C0 外切,故必有 ,整理得 1/a2+1/b2=1.必要性得证. 充分性:设 1/a2+1/b2=1,P 是C1 上任意一点,过 P、O 作 C1 的弦 PR,再过 O 作与PR垂直的弦QS,则 PQRS 为与C1 内接的菱形.设|OP|=r1,|OQ|= r2,则点 P 的坐标为(r1cosθ ,r1sinθ ) ,点Q的坐标为(r2cos(θ + ) , r2sin(θ + ),代入椭圆方程,得 )

又在Rt△POQ中,设点 O 到 PQ 的距离为h,则 同理,点O到QR,RS,SP的距离也为 1,故菱形 PQRS 与C0 外切.充分性得证. 说明:今年高中数学联赛第 4 题由陕西省永寿县中学安振平老师提供,第 6 题和第 10 题由西安市西光中学刘康宁老师提供.

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