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直线的参数方程



直线的参数方程

1.通过实例了解直线的参数方程的建立过程,并会 与普通方程进行互化.

2.掌握参数方程的不同表示形式,理解其中有几何
意义的参数的含义.

3.能够运用参数方程探究直线与圆锥曲线的位置关
系,解答距离和弦长问题,运用运动变化的观点看待问

题.根据实例说明某些

直线用参数方程表示比用普通方
程表示更方便,感受参数方程的优越性.

直线 l 过点(2,3),倾斜角为 60°的直线方程有 哪些不同的表达形式?

问题1

上述问题中的直线可以用 点斜式 写方程,也 可以由参数方程写出. 过点 P(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方 = + 程为 = + (t 为参数).

问题2

上述直线 l 的参数方程中参数 t 的几何意义

参数 t 的绝对值等于直线上动点 P 到定点 P0(x0,y0)的距离,即|t|=|P0P|.

问题3

直线 l 的参数方程形式一定吗?还可以写成什 么形式?
直线的参数方程形式不是唯一的,直线的参数 方程可以写成 2 2 a,b∈R,其中当 a +b =1 时,t 有明确的几何意义,它 表示 .此时,我们可以认为 2 2 a=cosα ,b=sinα (α 为倾斜角);当 a +b ≠1 时,t 没有明确的几何意义.
= + , (t 为参数) = + ,这里的

问题4

如何用直线 l 的参数方程求弦长和求弦的中点 坐标? 一般是先设出直线 l 的参数方程为 = + , (t 为参数),代入圆锥曲线的方程, = +
得到关于 t 的二次方程,由判别式 Δ 和韦达定理得 到 t1+t2,t1t2 的值,再由弦长公式 = - 计算.

用弦的中点坐标计算时,先计算 t= 入直线的参数方程得到中点坐标.

+

,再代

1

下列可以作为直线 2x-y+1=0 的参数方程的是( C ). = + A. (t 为参数) = + C. = - = - B. = - (t 为参数) = - = + = +


(t 为参数) D.



(t 为参数)



【解析】直线 2x-y+1=0 的参数方程是

= -, = -

(t

为参数),选择 C. = + , 直线 (t 为参数)上对应 t=0,t=1 两点间 2 = - +
的距离是( B ). A.1 B. C.10 D.2

【解析】t=0,t=1 对应的两点分别为(2,-1)和(5,0), 所以两点间的距离为 .

3

设直线的参数方程为

= - + ,

= - . (3,6)到直线的距离是 【解析】直线的普通方程为 3x+y+1=0,所以点

(t 为参数),则点

(3,6)到直线的距离是 d=
4

|× ++| +

=



.

求直线 l:

= -- , = +

(t 为参数)与抛物线

= , C: = (s 为参数)的交点坐标.
【解析】将直线 l 的参数方程

= - - , (t = +

为参数)化为普通方程,得 x+y-1=0.将抛物线 C 的参 = 2 数方程 = (s 为参数)化为普通方程,得 y=2x . + - = 2 联立方程 消去 y, 得 2x +x-1=0,解得 = x1=-1,x2= .直线 l 与抛物线 C 的交点坐标为 (-1,2),( , ).


直线的参数方程 直线 = --°, (t 为参数)的倾斜角为( D ). = + ° A.30° B.45° C.120° D.135° 【解析】对直线参数方程作适当变形, 得 = - = +


′ ′

其中 t′= t.




设倾斜角为 θ ,有

= =




,

,

θ ∈[0°,180°),故 θ =135°,选 D.

利用参数的几何意义求距离 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 =

,


= +

(t 为参

数),在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极 点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ =2 sinθ . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(3, ),求|PA|+|PB|.

【解析】(1)由 ρ =2 sin θ ,得 x +y -2 y=0,即 x +(y- ) =5.
2 2 2 2

(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得(3- t) +( t) =5,即




2



2

t -3 t+4=0. 2 由于 Δ =(3 ) -4?4=2>0,故可设 t1,t2 是上述方程的两实根,所以
2

+ = , ? = . 又直线 l 过点 P(3, )

∴由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 .

直线的参数方程在圆锥曲线中的应用 = -, 2 求直线 被椭圆 +y =1 所截得的弦长. = + = -, 【解析】将直线的参数方程 (t 为参数)代 = +
入椭圆方程可得:

2

(-)



+(1+t) =1,
+ = =


2

即 t + t+ =0.






设方程的两实根分别为 t1、t2,则

∴直线截椭圆的弦长是|t1-t2|= ( + ) - = .






[问题]上述解法中存在什么错误吗?

[结论]存在,没有正确理解直线方程中参数的几何意义,正确解答如下: 直线的参数方程可化为
( ′)

= -






= + 方程可得:

2





(t′= t 为参数),代入椭圆



+(1+ t′) =1,即 t′ +3 t′+1=0.设方程的两实根
2





分别为 t1′,t2′,则

′ + ′ = ′ ′ = ,




,

则直线截椭圆的弦长是|t1′-t2′|= ( ′ + ′) - ′ ′=





.

= + , 1.若直线的参数方程为 (t 为参数),则直线的斜率为( D ). = - A.


B.-



C.
- - -



D.-



【解析】k=

=

=- .


= -- , 2.直线 (t 为参数)上与点 P(-2,3)距 = + 离等于 的点的坐标是( C ). A.(-4,5) B.(-3,4) C.(-3,4)或(-1,2) D.(-4,5)或(0,1) 【解析】设直线的倾斜角为 α ,则 tan α =-1,所以 α =135°,直线

的参数方程可以写为

= - = +



', (t'为参数),令 t'=± ,得点的坐 '

标分别为(-3,4)或(-1,2),选择 C.

3.已知以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立极坐标系,曲线 C 的极 坐标方程为 ρ =6sinθ ,直线 l 的参数方程为 线 l 被曲线 C 截得的线段长度为 4
= ,


= ,




=



+

(t 为参数),直

.

【解析】曲线 C 的极坐标方程为 ρ =6sin θ ,化为直角坐标方程为 x +y =6y,将直线 l 的参数方程
2 2

=



+

(t 为参数)代入,得到 t -

2

2 t-5=0,设方程的两根为 t1,t2,则 t1+t2=2 ,t1?t2=-5,所以弦长 |AB|=|t1-t2|= ( + ) - ? = ( ) + =4 .


4.在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ρ =4cosθ ,直线 l 的参数方程是 = - + =


, (t 为参数).

(1)过极点作直线 l 的垂线,垂足为点 P,求点 P 的极坐标; (2)若点 M,N 分别为曲线 C 和直线 l 上的动点,求 的最小值.
【解析】(1)因为直线 l 的参数方程是 以直线的倾斜角为 ,所以点 P 的极角为


= - + =




, (t 为参数),所

,设极径为 ρ ,则






= - + = ,




,

解得 ρ = ,所以点 P 的极坐标为( ,

2



).

(2)因为曲线 C 的极坐标方程是 ρ =4cosθ ,即 ρ =4ρ cosθ ,所以直角坐 2 2 2 2 标方程为 x +y =4x,即(x-2) +y =4,圆心为(2,0),半径为 2,直线 l 的普通 方程为 x- y+3=0,圆心到直线的距离为 d= ,所以|MN|的最小值为 -2= .


1、直线过点(3,-5),倾斜角为 π ,求直线的参数方程.




【解析】易知参数方程为

= + , = - + ,






= - ,




= - +



(t 为参数).

2、已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 = + , (θ 为参数),直线 l 经过定点 P(3,5),倾斜角为 . = + (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,求|PA|?|PB|的值.
2 2

【解析】(1)曲线 C 的标准方程为(x-1) +(y-2) =16,直线 l 的参数方程 = + , 为 (t 为参数). = +


(2)将直线 l 的参数方程代入圆的方程,化简可得 t +(2+3 )t-3=0, 设 t1,t2 是方程的两个根,则 t1t2=-3,所以|PA|?|PB|=|t1|?|t2|=|t1t2|=3.
2

3、已知在平面直角坐标系 xOy 中.以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极 轴建立极坐标系,P 点的极坐标为 (2 , ),曲线 C 的极坐标方程为


ρ +2 ρ sinθ =1. (1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程;
2

= + , (2)若 Q 为曲线 C 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l: (t = - + 为参数)的距离的最小值.
【解析】(1)易得点 P 的直角坐标(3, ). 2 2 2 2 2 由 ρ +2 ρ sin θ =1 得 x +y +2 y=1,即 x +(y+ ) =4, 2 2 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x +(y+ ) =4. = , (2)曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数),直线 l 的普 = - + 通方程为 x-2y-7=0, 设 Q(2cos θ ,- +2sin θ ),则 M( +cos θ ,sin θ ),那么点 M 到


直线 l 的距离 d=
| +--| |- +


=

|



=

(-)+





- +



=



-1,

所以点 M 到直线 l 的最小距离为

-1.



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