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高中数学竞赛辅导07-数列(二)由数列的递推公式求通项公式



竞赛辅导-数列(二) 由数列的递推公式求通项公式
引入

转化法

巧用换元法

其他方法

2014-8-28

高中数学竞赛辅导

1

竞赛辅导-数列(二)
由数列的递推公式求通项公式
递推数列有关概念:

①递推公式:一个数列 {an } 中的第 n 项 an 与它前面若干项 an?1 , an? 2 ,?, an? k ( k ? n )的关系式称为递推公式. ②递推数列:由递推公式和初始值确定的数列. ③线性递推数列:(见课本 P116 ) 2. 由数列的递推公式求通项公式的常用方法: ⑴ 转化法 ( 经常用的 ); ⑵ 归纳法 ( 先猜想 , 后证明 ( 用数学 归纳法 )); ⑶换元法 ( 针对特点考虑换元 ); ⑷ 迭代法 ( 累 加法);⑸待定系数法;⑹不动点法;⑺特征根法(见定理 1)
2014-8-28 高中数学竞赛辅导 2

转化法:这里需要恰当的变形?? an 3 思考 1.已知数列{an}中,a1= ,an+1= , 5 2an ? 1 求{an}的通项公式. 2an ? 1 1 1 解:(倒数变形) ? ? ?2 an?1 an an
?1? 5 ∴ ? ? 是以 为首项,公差为 2 的等差数列, 3 ? an ? 6n ? 1 3 1 5 即 ? +2(n-1)= ∴an= 3 6n ? 1 an 3
类似地 ,教程第120页例高中数学竞赛辅导 3(自学) 2014-8-28
练习1 思考2
3

练习 1.(教程 P127 12 )
1 数列 ? xn ? 定义如下: x1 ? , xn?1 ? xn 2 ? xn . 2 1 1 1 求S ? 的整数部分. ? ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x2007

1

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思考 2.已知 a1 ? 10 , an?1 ? 4 10an ( n ? N * ),求通项公式 an . 2 1 n?1 1 …… lg an ? ( ) ? ……
3 4

3 ( x ? 1)4 ? ( x ? 1)4 思考 3. 已知函数 f ( x ) ? ( x ? 0 ), 在数列 4 4 ( x ? 1) ? ( x ? 1)
(an ? 1) ? (an ? 1) an ?1 ? 1 (an ? 1) ? an ? 1 ? 解:∵ an?1 ? ? ? ?? ? , 4 4 4 an?1 ? 1 (an ? 1) ? an ? 1 ? (an ? 1) ? (an ? 1) an ? 1 ? 1 an ? 1 a1 ? 1 ? 4ln ? ln 3 ? 0 (取对数变形)∴ ln ,由此及 ln a1 ? 1 an ? 1 ? 1 an ? 1
4 4 4 4

{an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? f (an ) ( n ? N? ),求数列 {an } 的通项公式.

an ? 1 n ? 1 an ? 1 4n?1 34 ? 1 故有 ln ( n ? N? ). ? 4 ln 3 ? ? 3 ? an ? 4n?1 an ? 1 an ? 1 3 ?1 2014-8-28 5 高中数学竞赛辅导

? an ? 1 ? 知:数列 ? ln ? 是首项为 ln 3 ,公比为 4 的等比数列, ? an ? 1 ? n?1

练习 2.(教程 P115 13 )已知 a1 ? 10 , an?1 ? 10 an ( n ? N * ), 求通项公式 an .

法一:取对数变形 法二:作商用迭加法也很好!

10

2?

1 2 n ?1

练习 3.(教程 P127 9 )各项为正数的数列 ?an ? 中,

a1 ? 1, a2 ? 10 , an2an?1?3an?2 ? 1 ( n ≥ 3 , n ? N * ), 求通项公式 an . 1 n?1 ? ?

取对数变形,

10

2 ?1? ( ) 2 ?

? ?

中间的突破用“特征根法”非常好!
2014-8-28 高中数学竞赛辅导 6

1 ? an ?1 思考 4. 已知数列{an}中,a1=2,an= , 1 ? an ? 1 求{an}的通项公式.
解:(三角换元)令 an-1=tan ? ,

?? ? 则 an+1= =tan ? ? ? ? ? ?4 ? 1 ? tan ? tan ? 4 ? (n ? 1)? ? ? atc tan 2? . ∴an=tan ? ? 4 ?
4

tan

?

? tan ?

一般地, 可仿第122 页例5的处 理方法试 试看.

思考 5.设 a0 ? 1 , an ?
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1? a

2 n ?1

?1

an ?1
思考5

* n ? N ? ? ,求通项公式 an .
7

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练习4

思考 5.设 a0 ? 1 , an ?
山重水尽疑无路……
1 ? tan ? n?1 ? 1 tan ? n?1

1? a

2 n ?1

?1

an ?1

* n ? N ? ? ,求通项公式 an .

? ?? 解:易知 an ? 0 ,构建新数列 ?? n ? ,使 an ? tan?n , ? n ? ? 0, ? 2? ? 2
an ? 1 ? cos ? n?1 ? n ?1 ? ? tan sin ? n?1 2

? n ?1 ? n ?1 ? ? ? tan ? n ? tan , ? n ? 又 a0 ? 1 , a1 ? 2 ? 1 ? tan ,从而 ?1 ? , 2 2 8 8 ? 1 ∴新数列 ?? n ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. 8 2
?1? ∴ ?n ? ? ? ? 2?
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n ?1

?

?
8

?

?
2
n? 2

∴ an ? tan

?
2n ? 2

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类似地,有 第110页例5的第 一种情况的处理 方法(自学) 8

练习 4.(教程 P126 4 )给定数列 ? xn ? , x1 ? 1 , 且 xn ? 1 ?
3 xn ? 1 3 ? xn

,求通项公式 xn .

解:令 xn ? tan?n ,∵ xn?1 ?

3 xn ? 1

? ? tan(? n ? ) 6 3 ? xn

? ? ∴可构建新数列 ?? n ? ,使 xn ? tan?n 且 ? n?1 ? ? n ? , ? 1 ? , 6 4

? ? ∴ xn ? tan[ ? ( n ? 1) ] 4 6

抓住式子特点,三角换元妙!
2014-8-28 高中数学竞赛辅导 9

待定系数法: (an+1=pan+r 类型数列) 练习 5.在数列{an}中,an+1=2an-3, a1=5,求{an}的通项公式.
解:∵an+1-3=2(an-3) ∴{an-3}是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列. ∴an-3=2n∴an=2n+3.

(an+1=pan+f(n)类型) 练习 6.已知数列{an}中,a1=1,且 an ? an?1 ? 3n?1 ( n ≥ 2 ), 求{an}的通项公式.
解:设 an+p· 3n=an-1+p· 3n-1 则 an=an-1-2p· 3n-1, n ? ? 3 1 - n 1 与 an=an-1+3 比较可知 p=- .所以 ? a n ? ? 是常数列, 2? 2 ?
3n ? 1 3n 3 1 1 且 a1- =- .所以 an ? =- ,即 an= 2 2 2 2 2
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练习7、8

练 习 7.( 教 程 P126 5 ) 给 定 数 列
xn ? 1

? xn ?

,

x1 ? 0 , 且

n? 2 1 n( n ? 1) ? xn ? ,则 xn =____. n n

4

1 ? 2

练 习 8.( 教 程 P126 8 ) 给 定 数 列

?an ?

满 足 a1 ? 2 ,

an?1

1998 1 ? 1 ? ,则 ? ak =____. 999 an k ?1

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